图论课件第三章图的连通性
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3图的连通性
• 设G=<V,E>为无向图，对于任意的 v∈V， 为无向图， 为无向图 对于任意的u, ∈ ， 是连通的， 若u和v是连通的，则称 v之间长度最短的通 和 是连通的 则称u, 之间长度最短的通 路为u, 之间的短程线 短程线的长度为u, 之间的短程线， 路为 v之间的短程线，短程线的长度为 v 距离， 之间的距离 记为d(u, v)。规定当 和v不连 。规定当u和 不连 之间的距离，记为 通时， 通时，d(u, v) = ∞ 。 • 在无向图 中，任何两点之间的距离最大值 在无向图G中 称为G的直径，记为d(G)。 称为 的直径，记为 。 在下图中， 【例】在下图中，d(2, 6)=2，d(2, 7)=3，而d(G) ， ， = 4正是图中的最大距离 正是图中的最大距离d(1, 7)。 正是图中的最大距离 。
存在一条通路， 到vj (vi≠vj)存在一条通路，则从 i到vj存在一条长 存在一条通路 则从v 度不大于n 的通路 的通路。 度不大于 −1的通路。 设在一个具有n个顶点的图中存在一条长度 证明 设在一个具有 个顶点的图中存在一条长度 的通路v 其中v 为m的通路 0v1…vm，其中 0=vi，vm=vj。 的通路 若m ≤n − 1，则存在所求的通路； ，则存在所求的通路； 若m >n − 1，则通路上的顶点数 +1 >n，因 ，则通路上的顶点数m ， 为图中只有n 个顶点，所以必然有m 为图中只有 个顶点，所以必然有 +1 − n个顶点 个顶点 在通路中重复出现，即存在回路。 在通路中重复出现，即存在回路。在通路中去掉 的通路， 回路所得到的仍然是从v 回路所得到的仍然是从 i到v j的通路，且长度至少 比原通路少1。重复以上过程， 比原通路少 。重复以上过程，将通路中的所有回 路去掉，必然可得到一条长度不多于n 的通路。 路去掉，必然可得到一条长度不多于 − 1的通路。 的通路
图-连通的概念
三、连通性3.1 连通性和Whitmey定理定义V真包含于V(G), G[V(G)-V'不连通，而G是连通图，则称V是G的顶剖分集。
最小顶剖分集中顶的个数，记成K (G)叫做G的连通度；规定K (Kv)=-U; K不连通图)=平凡图)=0。
由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。
没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。
定义E包含于E(G)，G为连通图，而G-E'从G中删除E'中的边)不连通，则称E'为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E〃，使得|E 〃|v|E则称|E '为G的边连通度，记成K' (G归’|=时，E'中的边叫做桥。
规定K不连通图)=0，K' (Kv)= u1。
定义K (G)>=k时，G叫做k连通图；K' (G)>=k，G称为k边连通图。
k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。
k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。
上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。
定理1 K (G)=< K' 2)=可以复习一下第一章的1.2：S =min{d(v)})证：设d(v)=，则删除与v边关联的S条边后，G变不连通图，所以这S 条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过即K' (G)=<T证K =<K'分情形讨论之。
若G中无桥，则有K' >条边，移去它们之后，G变成不连通图。
于是删除这K条中的K'条后，G变成有桥的图。
设此桥为e=uv，我们对于上述K'条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过K'个)端点，若G变得不边能，则K =<K-1；若仍连通，则再删去u或v,即可使G变得不连通，于是K =<K'证毕。
这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种友好”的面目出现。
F面就是Whitmey定理定理2(Whitney,1932) u >的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。
图的连通性
图的连通性图的连通性2010-07-23 21 ：02 图的连通性第十三章图的基本概念第三节图的连通性一.连通性概念图中两点的连通：如果在图G中u、v 两点有路相通，则称顶点u、v 在图G中连通。
连通图(connected graph) ：图G中任二顶点都连通。
图的连通分支(connected brch,component) ：若图G 的顶点集V(G)可划分为若干非空子集V 1,V 2, ⋯,V w, 使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G 中连通，则称每个子图G为图G的一个连通分支(i=1,2, ⋯,w) 。
注：(1) 图G的连通分支是G的一个极大连通子图。
(2)图G连通当且仅当w=1。
例13.5 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。
证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。
问题化为：已知图G有2n 个顶点，且δ(G) ≥n，求证G连通。
事实上，假如G不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。
在此连通分支中，顶点的度至多是n–1。
这与δ(G)≥n 矛盾。
证毕例13.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。
假如u与v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。
将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。
这与推论13.1 矛盾。
证毕在连通图中，连通的程度也有高有低。
例如后面将定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
二.割点定义13.2 设v∈V(G)，如果w(G–v)w(G) ，则称v 为G的一个割点。
( 该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。
例如定理13.3 如果点v 是图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集E 1和E 2，使得G[E 1]和G[E 2]恰好有一个公共顶点v。
推论13.2 对连通图G，顶点v 是G的割点当且仅当G–v 不连通。
图的连通性精品PPT课件
ar Cows
给定一个有向图，求有多少个顶点是由任何顶 点出发都可达的。
顶点数<= 10,000,边数 <= 50,000
有用的定理:
有向无环图中唯一出度为0的点，一定可 以由任何点出发均可达(由于无环，所 以从任何点出发往前走，必然终止于 一个出度为0的点)
ACM2186: 解题思路
有向图的强连通分支
定义
在有向图G中，如果任意两个不同的顶点 相互可达，则称该有向图是强连通的。 有向图G的极大强连通子图称为G的强连 通分支。
转置图的定义：将有向图G中的每一条 边反向形成的图称为G的转置GT。（注 意到原图和GT的强连通分支是一样的）
Korasaju算法
procedure Strongly_Connected_Components(G);
学习并没有结束，希望继续努力
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ACM1236: 解题思路
1. 求出所有强连通分量
2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有 向无环图DAG。
3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的 答案就是多少
ACM1236: 解题思路
在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通 的，问题2的答案就是多少
加边的方法：
要为每个入度为0的点添加入边，为每个出度 为0的点添加出边
end; 证明参考：
(a)为有向图G， 其中的阴影部分 是G的强连通分 支，对每个顶点 都标出了其发现 时刻与完成时刻 ，黑色边为深度 优先搜索的树 枝；
给定一个有向图，求有多少个顶点是由任何顶 点出发都可达的。
顶点数<= 10,000,边数 <= 50,000
有用的定理:
有向无环图中唯一出度为0的点，一定可 以由任何点出发均可达(由于无环，所 以从任何点出发往前走，必然终止于 一个出度为0的点)
ACM2186: 解题思路
有向图的强连通分支
定义
在有向图G中，如果任意两个不同的顶点 相互可达，则称该有向图是强连通的。 有向图G的极大强连通子图称为G的强连 通分支。
转置图的定义：将有向图G中的每一条 边反向形成的图称为G的转置GT。（注 意到原图和GT的强连通分支是一样的）
Korasaju算法
procedure Strongly_Connected_Components(G);
学习并没有结束，希望继续努力
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ACM1236: 解题思路
1. 求出所有强连通分量
2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有 向无环图DAG。
3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的 答案就是多少
ACM1236: 解题思路
在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通 的，问题2的答案就是多少
加边的方法：
要为每个入度为0的点添加入边，为每个出度 为0的点添加出边
end; 证明参考：
(a)为有向图G， 其中的阴影部分 是G的强连通分 支，对每个顶点 都标出了其发现 时刻与完成时刻 ，黑色边为深度 优先搜索的树 枝；
图论中的连通性与最短路径问题的解法
最短路径问题的变种问题
无向图中最小生成树问题
定义：在无向图中，最小生成树问题是指寻找一棵包含所有顶点的树，使得这棵树的边的权值和最小。 算法：常见的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。Kruskal算法基于并查集，通过不断添加边来形 成最小生成树；Prim算法基于优先队列，每次选择权值最小的边，直到所有顶点都被包含在树中。 应用：最小生成树问题在计算机网络中有着广泛的应用，如路由协议、网络设计、通信网络等。
交通规划：在道路 网络中，连通性分 析可以帮助优化路 径选择和交通流分 配。
计算机网络：在网 络拓扑结构中，连 通性分析可以用于 路由优化和容错设 计。
最短路径问题的解法
Dijkstra算法
定义：Dijkstra算法 是一种用于求解最短 路径问题的贪心算法
原理：通过不断选择 当前距离最短的边， 逐步扩展最短路径的 搜索范围，直到找到 最短路径
汇报人：XX
适用场景：适用 于稀疏图或稠密 图，但更适用于 稠密图。
Johnson算法
定义：Johnson 算法是一种用于求 解加权图中所有顶 点对间最短路径的 算法
适用场景：适用 于稀疏图，即边 的数量相对较少 的情况
算法思想：通过 预处理阶段和主 算法阶段实现最 短路径的求解
时间复杂度： O(V+E^2)，其 中V是顶点数，E 是边数
时间复杂度：O(VE)，其中V是顶点数，E是边数
Floyd-Warshall算法
简介：FloydWarshall算法是 一种用于求解所 有顶点对之间最 短路径的动态规 划算法。
算法思想：通过 构建一个距离矩 阵，逐步更新最 短路径，最终得 到所有顶点对之 间的最短路径。
时间复杂度： O(V^3)，其中V 是顶点数。
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
THANKS
感谢观看
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
图论+第3章+图的连通性
直观上看，右边的比左边的图连通“程度”
要好。
(点)连通度
图的(点)连通度我们常常省略“点”字称连
通度。 树是具有最小连通度的图。 若κ (G ) ≥ k ，则称G是k-连通的。 若G是平凡图或非连通图，则κ (G ) = 0 。 所有非平凡连通图都是1连通的。
边连通度
边连通度λ (G )=min{ S | S是G的边割集} 完全图的边连通度定义为 λ ( K v ) = v − 1。 空图的边连通度定义为0。 边连通度λ (G ) 有时又记作 κ ′(G ) 。
2-连通图的性质
定理 3.2.4：若G是 p ≥ 3的2-连通图，则G的
任意两条边都在同一个圈上。
证明：(板书)
2-连通图的性质
对于一个无环且无孤立点的图G，下面的条
件是等价的：
(1)图是不可分的； (2)图是2-连通的； (3)过任意两个顶点总有一个圈； (4)过任意两条边总有一个圈。
不可分图
没有割点的非平凡的连通图称为不可分图 (non separable graph)。
定理3.1.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。 证明：设e是不可分图G的任意边，e=(x,y)，x和y都 不是割点，所以图G-e是连通的，故G-e必有一条(x,y) 道路P。于是P+e就是构成G中的一个圈。
e相连接。于是u和v在G-e中成为连通的。故矛盾。
(2)假设e=(x,y)不是割边，那么G-e和G的分支数
相同。由于G中存在一条(x,y)道路，所以x和y均 在G的同一分支。于是x和y在G-e的同一分支中， 故在G-e中存在一条(x,y)道路P，这样边e就在G的 圈P+e中。
割点定理(1)
定理3.1.2 当且仅当在G中存在与顶点v 不同
图论及其应用第3章
(G)
则G 是 k 连通的。
nk 2 2
证明 任意删去G中k-1个点，记所得之图为H，则 δ(H)≥δ(G)-(k-1) ≥ 因δ(H)是整数, 故
(H )
n k n k 1 2 2
nk 2 2- k+1
=
nk 2
情况2 情况1的反面。 设S是H的一个κ(H) 顶点割，于是|S|≤k-1。若G-S不连 通，则κ(G)≤κ(H)≤k-1。若G-S连通，因H-S不连通，故e 是G-S的割边。此时若G-S恰含两个点，则 |V(G)| = |S| +2，于是
λ(G) = k ,κ(H)≤k-1,|S|≤k-1
κ(G)≤|V(G)|-1= | S | +1≤k 若G-S至少含3个点，则G-S有1顶点割 {v}，于是S∪{v} 是 G的顶点割，从而 κ(G)≤| S∪{v}|≤k 所以总有 κ(G)≤k=λ(G) 例 满足 κ(G) < λ(G) < δ(G) 的图: 该图
定理3 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割点当且 仅当V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1， y∈V2，点v都在每一条 (x, y) 路上。
证明 必要性 因v是G的割点，故G-v至少含两个连通分支， 设V1是其中一个连通分支的顶点集，V2为其余分支的顶点 集。对x∈V1，y∈V2，因在G-v中x与y不连通，而在G中x与 y连通（因 G连通）所以v在每一条 (x, y) 路上。
G2 ：删去任意一条边后仍连通，
但删去点u后便不连通；
G3
G4
G3和G4删去任意一条边或任意一个点后仍连通，但从直观上 看G4的连通程度比G3高。那么如何来衡量一个图的连通程度 呢？
则G 是 k 连通的。
nk 2 2
证明 任意删去G中k-1个点，记所得之图为H，则 δ(H)≥δ(G)-(k-1) ≥ 因δ(H)是整数, 故
(H )
n k n k 1 2 2
nk 2 2- k+1
=
nk 2
情况2 情况1的反面。 设S是H的一个κ(H) 顶点割，于是|S|≤k-1。若G-S不连 通，则κ(G)≤κ(H)≤k-1。若G-S连通，因H-S不连通，故e 是G-S的割边。此时若G-S恰含两个点，则 |V(G)| = |S| +2，于是
λ(G) = k ,κ(H)≤k-1,|S|≤k-1
κ(G)≤|V(G)|-1= | S | +1≤k 若G-S至少含3个点，则G-S有1顶点割 {v}，于是S∪{v} 是 G的顶点割，从而 κ(G)≤| S∪{v}|≤k 所以总有 κ(G)≤k=λ(G) 例 满足 κ(G) < λ(G) < δ(G) 的图: 该图
定理3 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割点当且 仅当V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1， y∈V2，点v都在每一条 (x, y) 路上。
证明 必要性 因v是G的割点，故G-v至少含两个连通分支， 设V1是其中一个连通分支的顶点集，V2为其余分支的顶点 集。对x∈V1，y∈V2，因在G-v中x与y不连通，而在G中x与 y连通（因 G连通）所以v在每一条 (x, y) 路上。
G2 ：删去任意一条边后仍连通，
但删去点u后便不连通；
G3
G4
G3和G4删去任意一条边或任意一个点后仍连通，但从直观上 看G4的连通程度比G3高。那么如何来衡量一个图的连通程度 呢？
离散数学图论路与连通PPT课件
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7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
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3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
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3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
(图论)图的基本概念(课堂PPT)
15
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
16
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
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图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
(软件补课)图论
4.2 偶图（双图、双色图、二部图） 定义2 设G=(V,E)是一个图， 若G的顶点集V有一个二 划分{V1,V2}，使得G的任一条边的两个端点一个在V1 中,另一个在V2中,则这个图称为偶图。偶图有时记 为({V1,V2},E)。 4.3 偶图的特征性质 定理2 图G为偶图的充分必要条件是它的所有圈都是 偶数长。 4.4 图兰(Turan)定理 定理3 具有P个顶点的而没有三角形的图中最多有 [p2/4]条边。 例2 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则 (1)若G是一个偶图，证明q≤p2/4； (2)若G是一个K-正则偶图，证明：p≥2K。
1.3 顶点连通度、边连通度、最小度之间关系 定理1 对任一图G，有k(G)≤λ(G)≤δ(G)。 对任意一个图有： 0≤k(G)≤λ(G)≤δ(G)， 并且k(G),λ(G),δ(G)都是非负整数； 反过来，若对任意整数a，b，c，0≤a≤b≤c， 是否存在一个图G，使得 k(G)=a,λ(G)=b,δ(G)=c呢？ 定理2 对任何整数a,b,c，0≤a≤b≤c，存在 一个图G,使得x(G)=a,λ(G)=b,δ(G)=c。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。 例11证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公 共的顶点。 例12 至少要删除多少条边，才能使Kp(p>2)不连通且 其中有一个连通分支恰有k(0<k<p)个顶点？简述理由。
图的连通性
16
有关割边的四个等价命题
以下四个命题等价：
(1) e是割边。 (2) e不在G的任一简单回路上。(注意：割点没有相应结论) (3) 存在V的分划{V1, V2}, 使得u∈V1, w∈V2, uw-通路均
包含e。 (4) 存在顶点u,w，使得任意的uw-通路均包含e。
17
连通图“连接的牢固度”不一样
图的连通性
离散数学─图论初步 南京大学计算机科学与技术系
内容提要
通路与回路 通路与同构 无向图的连通性
连通度 2-连通图
有向图的连通性
无向图的定向
2
通路的定义
定义：图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n条边 e1,…, en的序列，满足下列性质
存在viV (0in), 使得vi-1和vi是ei的两个端点 (1in)。
同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
7
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
u5
u3
v5
u4
u2
v3 v4 v2
u1
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v1
v3
u5
定义：无向图G称为是连通的，如果G中任意两个不 同顶点之间都有通路。
b
a
c
b
a
c
e
d
G1
e
d
G2
9
连通分支
连通分支
极大连通子图
定义：使非平凡连通图G成为不连通图或者平凡图需要 删除的最少顶点数称为图G的(点)连通度，记为κ(G)。
(注意：这不意味着任意删除κ(G)个点就一定会使该图不连通)
约定：不连通图或平凡图的连通度为0，而κ(Kn)=n-1 若图G的连通度不小于 k, 则称G是k-连通图；
有关割边的四个等价命题
以下四个命题等价：
(1) e是割边。 (2) e不在G的任一简单回路上。(注意：割点没有相应结论) (3) 存在V的分划{V1, V2}, 使得u∈V1, w∈V2, uw-通路均
包含e。 (4) 存在顶点u,w，使得任意的uw-通路均包含e。
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连通图“连接的牢固度”不一样
图的连通性
离散数学─图论初步 南京大学计算机科学与技术系
内容提要
通路与回路 通路与同构 无向图的连通性
连通度 2-连通图
有向图的连通性
无向图的定向
2
通路的定义
定义：图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n条边 e1,…, en的序列，满足下列性质
存在viV (0in), 使得vi-1和vi是ei的两个端点 (1in)。
同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
7
通路与同构
u1
u6
u2
v1
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定义：无向图G称为是连通的，如果G中任意两个不 同顶点之间都有通路。
b
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连通分支
连通分支
极大连通子图
定义：使非平凡连通图G成为不连通图或者平凡图需要 删除的最少顶点数称为图G的(点)连通度，记为κ(G)。
(注意：这不意味着任意删除κ(G)个点就一定会使该图不连通)
约定：不连通图或平凡图的连通度为0，而κ(Kn)=n-1 若图G的连通度不小于 k, 则称G是k-连通图；
图论-图的连通性
图论算法三、图的连通性算法求图的连通性之零：遍历欧拉路求图的连通性之一：判断两点是否连通1.Floyed算法时间复杂度：O(N3 )算法实现：不再赘述。
2.遍历算法时间复杂度：O(N2 )算法实现：从任意一个顶点出发，进行一次遍历，就可以求出此顶点和其它各个顶点的连通状况。
所以只要把每个顶点作为出发点都进行一次遍历，就能知道任意两个顶点之间是否有路存在。
可以使用DFS实现。
3.并查集算法时间复杂度：O(N*小常数)算法实现：只适用于无向图，即判断两点是否有相同的父亲。
例题：寻找满足条件的连通分支。
求图的连通性之二：求无向图的连通分量个数。
只要使用并查集即可，如果两个点的祖先相同，显然属于同一连通分量。
一遍循环，统计一共有多少个祖先即可。
求图的连通性之三：求有向图的强连通分量个数与收缩强连通分量。
主要采用Kosaraju算法，复杂度O(N)。
一个有向图的强连通分量，能够收缩为一个点，统计最后点的个数，即是强连通分量的个数。
（a）（b）Kosaraju 算法的思想讲解：1） 对原图进行深搜（DFS ），得到一个深搜出栈的顺序。
假设出栈顺序 3→5→2→4→1 2）将原图每条边进行反向。
3） 逆序，对反图进行搜索。
出栈顺序 3→5→2→4→1 逆序 1→4→2→5→3并且在每轮搜索中对搜到的点进行染色。
color:=0;for i:= p downto 1 do {得到的出栈顺序的逆序就是拓扑顺序}if col [a [i ]]=0 then {没染色过的点，就是没被搜索到的点} begin inc (color );DFS2(a [i ]); {按照1中生成顺序再进行DFS 染色染成同色的是一个强连通块} end ;显然，每条边都进行反向后，在反图中按出栈的逆序也能搜到的连通块一定是强连通块。
因为如果是强连通子图，那么反向没有任何影响，依然是强连通子图。
但如果是单向的边连通，反向后再按原序就无法访问了（因此反向处理是对非强连通块的过滤）。
《图的遍历和连通性》课件
《图的遍历和连通性》ppt课件
目录 CONTENTS
• 图的遍历 • 图的连通性 • 图的遍历和连通性之间的关系 • 图遍历和连通性的实际应用 • 图遍历和连通性的算法复杂度分析
01
图的遍历
深度优先遍历
深度优先遍历是一种用于遍历或搜索树或图的算法。这个算法会尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的 起始节点。
计算机视觉和图像处理
图像分割
目标检测
图像拼接
图像增强
在计算机视觉和图像处理领 域，图遍历算法被广泛应用 于图像分割。通过图遍历算 法，可以将图像划分为不同 的区域或对象，便于后续的
识别和分析。
利用图遍历算法，可以对图 像中的目标进行检测和定位 ，为后续的目标跟踪、行为
分析等提供基础数据。
通过图遍历算法，可以将多 张图像拼接成一张完整的图 像，便于全景图的生成和展
关键节点和最短路径等重要信息。
输入 交通标拥题堵优
化
利用图遍历算法，可以分析交通拥堵的原因，找到拥 堵瓶颈路段，为交通管理部门提供优化建议，提高路 网的通行效率和运输能力。
交通路网分 析
路径规划
在物流配送领域，图遍历算法可以帮助企业找到最优 的配送路径，降低运输成本和提高配送效率。
物流配送优 化
通过图遍历算法，可以找到两点之间的最短路径或最 少拥堵路径，为出行者提供路线建议，提高出行效率 和舒适度。
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
01
时间复杂度为O(V^3)，用于计算所有顶点对之间的最短路径。
Johnson算法
02
时间复杂度为O((V+E)logV)，适用于稀疏图，通过预处理计算
目录 CONTENTS
• 图的遍历 • 图的连通性 • 图的遍历和连通性之间的关系 • 图遍历和连通性的实际应用 • 图遍历和连通性的算法复杂度分析
01
图的遍历
深度优先遍历
深度优先遍历是一种用于遍历或搜索树或图的算法。这个算法会尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的 起始节点。
计算机视觉和图像处理
图像分割
目标检测
图像拼接
图像增强
在计算机视觉和图像处理领 域，图遍历算法被广泛应用 于图像分割。通过图遍历算 法，可以将图像划分为不同 的区域或对象，便于后续的
识别和分析。
利用图遍历算法，可以对图 像中的目标进行检测和定位 ，为后续的目标跟踪、行为
分析等提供基础数据。
通过图遍历算法，可以将多 张图像拼接成一张完整的图 像，便于全景图的生成和展
关键节点和最短路径等重要信息。
输入 交通标拥题堵优
化
利用图遍历算法，可以分析交通拥堵的原因，找到拥 堵瓶颈路段，为交通管理部门提供优化建议，提高路 网的通行效率和运输能力。
交通路网分 析
路径规划
在物流配送领域，图遍历算法可以帮助企业找到最优 的配送路径，降低运输成本和提高配送效率。
物流配送优 化
通过图遍历算法，可以找到两点之间的最短路径或最 少拥堵路径，为出行者提供路线建议，提高出行效率 和舒适度。
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
01
时间复杂度为O(V^3)，用于计算所有顶点对之间的最短路径。
Johnson算法
02
时间复杂度为O((V+E)logV)，适用于稀疏图，通过预处理计算
图的连通性_离散数学─图论初步
( κ(G)=k： k-连通图，且存在k个顶点，删除它们就不连
通。)
图的边连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的连通图，删除足够数量的 边使得图变成不连通。)
• 类似地，使非平凡连通图G变成不连通 需要删除的最 少边数称为图G的边连通度。记为 (G)。
连通图“连接的牢固度”不一样
• 图G1中删除任意一条边都不连通了。 • 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 • 图G3删除任意一个点依然连通。 • 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
通路的定义（有向图）
• 定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n
条边e1,…, en的序列，满足下列性质
– 存在vi V ，使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1 i n)。
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
• 同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
– B=U A U-1 相等？）
Bk=U Ak U-1（对角线元素之和
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
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u3
v5
u4
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u1 u5
u3 u4
v1 v5
v3 v4 v2
v3 v4
无向图的连通性
通。)
图的边连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的连通图，删除足够数量的 边使得图变成不连通。)
• 类似地，使非平凡连通图G变成不连通 需要删除的最 少边数称为图G的边连通度。记为 (G)。
连通图“连接的牢固度”不一样
• 图G1中删除任意一条边都不连通了。 • 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 • 图G3删除任意一个点依然连通。 • 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
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图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
通路的定义（有向图）
• 定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n
条边e1,…, en的序列，满足下列性质
– 存在vi V ，使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1 i n)。
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
• 同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
– B=U A U-1 相等？）
Bk=U Ak U-1（对角线元素之和
通路与同构
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u6
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无向图的连通性
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图论及其应用
应用数学学院
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第三章 图的连通性
主要内容
图的连通性刻画 一、割边、割点和块 二、图的连通度与敏格尔定理 三、图的宽直径简介
网络可靠性，是指网络运作的好坏程度，即指如计算 机网络、通信网络等对某个组成部分崩溃的容忍程度。
网络可靠性， 是用可靠性参数来描述的。参数主要 分确定性参数与概率性参数。
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确定性参数主要考虑网络在最坏情况下的可靠性度
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图G
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解: S1不是；S2与S3是。
定义4 在G中，与顶点v关联的边的集合，称为v的关 联集，记为：S (v)。
例3 关联集是割集吗？ห้องสมุดไป่ตู้什么？
答：不一定！如在下图中，关联集｛a,c,e｝是割集， 但是，关联集｛d,e,f｝不是割集。
教学时数
安排6学时讲授本章内容
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本次课主要内容
割边、割点和块
(一)、割边及其性质 (二)、割点及其性质 (三)、块及其性质
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研究图的连通性的意义
研究图的连通性，主要研究图的连通程度的刻画， 其意义是：
图论意义：图的连通程度的高低，是图结构性质的重 要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任 意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。
实际意义：图的连通程度的高低，在与之对应的通信 网络中，对应于网络“可靠性程度”的高低。
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但这与e是G的割边矛盾！
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“充分性”
如果e不是G的割边，则G-e连通，于是在G-e中存在 一条u --- v 路，显然：该路并上边e得到G中一个包含边 e的圈，矛盾。
推论1 e为连通图G的一条边，如果e含于G的某圈中， 则G-e连通。
注：该题可以直接证明G中任何一条边均在某一圈中， 由定理1得出结论。
边割集简介
边割集跟回路、树等概念一样，是图论中重要概念。 在应用上，它是电路网络图论的基本概念之一。所以， 下面作简单介绍。
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量，常称为网络拓扑的“容错性度量”，通常用图论概
念给出，其中，本章将介绍的图的连通度就是网路确定
性参数之一。近年来，人们又提出了“坚韧度”、“核
度”、“整度”等描述网络容错性的参数。
概率性参数主要考虑网络中处理器与信关以随机的、 彼此独立的按某种确定性概率损坏的情况下，网络的可 靠性度量，常称为网络拓扑的“可靠性度量”。
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定义5 在G中，如果V=V1∪V2,V1∩V2=Φ,E1是G中端 点分属于V1与V2的G的边子集，称E1是G的一个断集。
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图G
在上图G中：｛d, e｝, ｛f｝, ｛e, d, f｝等都是G的断 集。一个图若按断集S来画，形式为：
(一)、割边及其性质
定义1 边e为图G的一条割边，如果 (Ge)(G )。
红色边为该图的割边
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注：割边又称为图的“桥”。
图的割边有如下性质：
定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。
证明：若不然，G-e不连通，于是e是割边。由定理1， e不在G的任意圈中，矛盾！
例1 求证: (1) 若G的每个顶点的度数均为偶数，则G 没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，则G无割边。
证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则G-e的含有顶 点u的那个分支中点u的度数为奇，而其余点的度数为偶 数，与握手定理推论相矛盾！
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(2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其中一个分 支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数是k-1,其余点的度 数为k。并且G1仍然为偶图。
假若G1的两个顶点子集包含的顶点数分别为m与n， 并且包含m个顶点的顶点子集包含度为k-1的那个点，那 么有：k m-1= k n。但是因k≧2，所以等式不能成立！
证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v.
考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。
对任意 x, y V(G-e) 由于G连通，所以存在x ---y路
Q.若Q不含e，则x与y在G-e里连通；若Q含有e，则可选 择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以,若 边e在G的某圈中，则G-e连通。
定义2 一个具有n个顶点的连通图G,定义n-1为该连通 图的秩；具有p个分支的图的秩定义为n-p。记为R(G)。
定义3 设S是连通图G的一个边子集，如果： (1) R (G-S) = n-2;
(2) 对S的任一真子集S1,有R(G-S1)=n-2。
称S为G的一个边割集，简称G的一个边割。
例2 边子集：S1=｛a, c, e｝, S2=｛a, b, ｝,S3=｛f｝是否 是下图G的边割？
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图论及其应用
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第三章 图的连通性
主要内容
图的连通性刻画 一、割边、割点和块 二、图的连通度与敏格尔定理 三、图的宽直径简介
网络可靠性，是指网络运作的好坏程度，即指如计算 机网络、通信网络等对某个组成部分崩溃的容忍程度。
网络可靠性， 是用可靠性参数来描述的。参数主要 分确定性参数与概率性参数。
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确定性参数主要考虑网络在最坏情况下的可靠性度
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解: S1不是；S2与S3是。
定义4 在G中，与顶点v关联的边的集合，称为v的关 联集，记为：S (v)。
例3 关联集是割集吗？ห้องสมุดไป่ตู้什么？
答：不一定！如在下图中，关联集｛a,c,e｝是割集， 但是，关联集｛d,e,f｝不是割集。
教学时数
安排6学时讲授本章内容
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本次课主要内容
割边、割点和块
(一)、割边及其性质 (二)、割点及其性质 (三)、块及其性质
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研究图的连通性的意义
研究图的连通性，主要研究图的连通程度的刻画， 其意义是：
图论意义：图的连通程度的高低，是图结构性质的重 要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任 意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。
实际意义：图的连通程度的高低，在与之对应的通信 网络中，对应于网络“可靠性程度”的高低。
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但这与e是G的割边矛盾！
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“充分性”
如果e不是G的割边，则G-e连通，于是在G-e中存在 一条u --- v 路，显然：该路并上边e得到G中一个包含边 e的圈，矛盾。
推论1 e为连通图G的一条边，如果e含于G的某圈中， 则G-e连通。
注：该题可以直接证明G中任何一条边均在某一圈中， 由定理1得出结论。
边割集简介
边割集跟回路、树等概念一样，是图论中重要概念。 在应用上，它是电路网络图论的基本概念之一。所以， 下面作简单介绍。
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1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
量，常称为网络拓扑的“容错性度量”，通常用图论概
念给出，其中，本章将介绍的图的连通度就是网路确定
性参数之一。近年来，人们又提出了“坚韧度”、“核
度”、“整度”等描述网络容错性的参数。
概率性参数主要考虑网络中处理器与信关以随机的、 彼此独立的按某种确定性概率损坏的情况下，网络的可 靠性度量，常称为网络拓扑的“可靠性度量”。
e
a c
fg
i
b
d
h
图G
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0 .5 n 0
0 .5
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1 0 .8
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定义5 在G中，如果V=V1∪V2,V1∩V2=Φ,E1是G中端 点分属于V1与V2的G的边子集，称E1是G的一个断集。
e
a c
fg
i
b
d
h
图G
在上图G中：｛d, e｝, ｛f｝, ｛e, d, f｝等都是G的断 集。一个图若按断集S来画，形式为：
(一)、割边及其性质
定义1 边e为图G的一条割边，如果 (Ge)(G )。
红色边为该图的割边
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0 .5
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1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
注：割边又称为图的“桥”。
图的割边有如下性质：
定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。
证明：若不然，G-e不连通，于是e是割边。由定理1， e不在G的任意圈中，矛盾！
例1 求证: (1) 若G的每个顶点的度数均为偶数，则G 没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，则G无割边。
证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则G-e的含有顶 点u的那个分支中点u的度数为奇，而其余点的度数为偶 数，与握手定理推论相矛盾！
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(2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其中一个分 支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数是k-1,其余点的度 数为k。并且G1仍然为偶图。
假若G1的两个顶点子集包含的顶点数分别为m与n， 并且包含m个顶点的顶点子集包含度为k-1的那个点，那 么有：k m-1= k n。但是因k≧2，所以等式不能成立！
证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v.
考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。
对任意 x, y V(G-e) 由于G连通，所以存在x ---y路
Q.若Q不含e，则x与y在G-e里连通；若Q含有e，则可选 择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以,若 边e在G的某圈中，则G-e连通。
定义2 一个具有n个顶点的连通图G,定义n-1为该连通 图的秩；具有p个分支的图的秩定义为n-p。记为R(G)。
定义3 设S是连通图G的一个边子集，如果： (1) R (G-S) = n-2;
(2) 对S的任一真子集S1,有R(G-S1)=n-2。
称S为G的一个边割集，简称G的一个边割。
例2 边子集：S1=｛a, c, e｝, S2=｛a, b, ｝,S3=｛f｝是否 是下图G的边割？