全国初中数学竞赛决赛(初三)试题及参考答案

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题：（每题7分，共35分）

1. 2222302340a b c ab bc ca a b c

a b c a b c ++=++⎧⎨++=++⎩

，设非零实数、、满足：则：的值为， 【 】 11()()0()()1.22

A B C D -；；； 2222222(234)(23)0.

1()0().21.().2

a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca A a b c ++=++-++=++=++=-++++=-++由已知可得，因此，，则：故，选 2. 2120a b c x ax bx c x x ++=已知、、为实数，关于的二次方程有两个非零实根、，

2212

11x x x 则：下列关于的一元二次方程中以、为根的是 【 】 2222222222222222()(2)0()(2)0()(2)0()(2)0.

A c x b ac x a

B c x b ac x a

C c x b ac x a

D c x b ac x a +-+=--+=+--=---=；

；； 12121212222

121222222222121212222222122222000.11()22111120.(2)0.().

x x x b c a x x x x x x c a a

x x x x b ac a x x x x c x x c

b a

c a x x x x c c

c x b ac x a B ≠+=-=≠≠+--+==⋅=--+=--+=由于关于的二次方程有两个非零实根、，则：

，且，；且，从而又，因此，以、为实根的一元二次方程为：即，故，选 3. Rt ABC O AB CD AB AB D DE OC ∆⊥⊥如图，在中，为斜边中点，交于点，交 .OC E AD DB CD OD OE DE AC 于点若、和的长度为有理数，则：线段、、和 的长度中，不一定为有理数的是 【 】

()()()().A OD B OE C DE D AC ；；；

2 21

(). 2

.

.

.().

AD DB CD OA OB OC AD DB

OD OA DA

OD OD DC

OE DE

OC OC

AC AD AB AC AD AB D

===+

=-

⋅

==

=⋅=⋅

由于、和为有理数，则：为有理数

也是有理数

又也是有理数；也是有理数

而，则：不一定是有理数故，选

4.24

ABC D AC F BC

∆

如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段延长线上，4

BC CF DCEF

=

且，四边形为平行四边形，则：图中阴影部分面积为【】()3()4()6()8.

A B C D

；；；

1212

121212

1

()2()2()424.

2

6.().

ADE BDE

ABC

S S S ADE BDE DE

h h DE AB h h ABC BC

S BC h h CF h h DE h h S

S C

∆∆

∆

=+∆∆

+∆

=⋅+=⋅+=⋅+==

=

P

图中阴影部分面积，设、中，底边上的高分别为、；由于，因此，为底边上的高.

又

因此，阴影部分的面积故，选

5.

()()

3223

33

3345

*

1160

x y x y xy

x y z x y

x y

+++

*=

+++-对于任意实数、、定义运算“”：；

**(*)*2013*2012**3*2

x y z x y z

=L

且，则：的值为【】

6071821546316389 ()()()().

967967967967

A B C D

；；；

()

()

32

32

3223

33

201320124

33392745

201320124339

3316460

39239292455463 201320123292.

10360967

m

m m m

m

m m m

***=

⨯+⨯+⨯+

****=*==

++++-

⨯⨯+⨯⨯+⨯+

****=*==

+-

L

L

L

设，则：

，

因此，

二、填空题：（每题7分，共35分）

6.323

3(2)_________.

a b a b

=+=

设，是的小数部分，则：

223

33

293229(2)9.

a b a b b

<=<=-⇒+=+=由于，因此，，因此，

7.3

FCD

D E ABC AC AB BD CE F S

∆

∆=如图，、分别是的边、上的点，、交于点，若，

45________.

FBE FBC

S S AEFD

∆∆

==

，，则：四边形的面积为