10组合变形幻灯片
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项目十 组合变形2
D2 2
TC和TD使轴产生扭转，P1y、P2y 和P1z、P2z则分别使轴在平面 Oxy和Oxz内发生弯曲
TC
TD
9550
Nk n
9550 10 265
361 N m
TC
P1z
D1 2
P1z
2TC D1
2 361 0.396
1823 N
TD
P2 y
( 0.2Q )2 ( 0.18Q )2
0.033
80106
32
Q 790N
即最大安全载荷为 790N。
工程力学
项目十 组合变形
圆轴双向弯曲的弯矩问题
Py
Mz PyL PLsin
My Pz L PLcos
M
Mz2
M
2 y
PL
x
1 公式仅对圆轴复合弯 曲适用。
D2 2
P2 y
2TD D2
2361 4300N 0.168
工程力学
项目十 组合变形
P1 y P1ztg20 1823 0.364 664N
P2z P2 ytg20 4300 0.364 1565N （2）内力分析：
在平面Oxz内，无
缝钢管由平衡条件可
求得轴承A、B处的支
座反力为：
Z A 1750N
Zห้องสมุดไป่ตู้ 1638N
画出平面Oxz内 的弯矩 My 图，如图 d
中的水平图形。
工程力学
项目十 组合变形
小结
组合变形时的构件强度计算，是材料力学中具有广泛实用意义的问题。 它的计算是以力作用的叠加原理为基本前提， 即构件在全部荷载作用下所发生的应力和变形，等于构件在每一个荷载 单独作用时所发生的应力或变形的总和。但在不符合力的独立性作用这 个前提时，叠加原理是不能适用的，必须加以注意。 分析组合变形杆件强度问题的方法和步骤可归纳如下： (1)分析作用在杆件上的外力，将外力分解成几种使杆件只产生单一的基 本变形时受力情况。 (2)作出杆件在各种基本变形情况下的内力图，并确定危险截面及其上的内力值。 (3)通过对危险截面上的应力分布规律的分析，确定危险点的位置，并明确危险 点的应力状态。 (4)若危险点为单向应力状态，则可按基本变形时的情况建立强度条件；若为复 杂应力状态，则应由相应的强度理论进行强度计算。
材料力学10组合变形PPT课件
0McIozsy0sIiynz0
中性轴方程
cos
Iz y0
sIiynz0
0
（ y0，z0 ）
z
α φ
（1）中性轴是一条过截面形心 F 的直线；
y 中性轴
斜率 tany0 Iz tan
29
z0 Iy
10.1 斜弯曲
tan Iz tan
Iy
（2） 当Iz≠Iy，α ≠ φ，中性
轴与荷载线不垂直。
z
F
17
三、组合变形下的计算
分析方法：叠加法 前提条件：小变形
基本解法：
①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种 基本变形； ②分别计算各基本变形下的内力及应力；
④对危险点进行应力分析； ⑤用强度理论进行强度计算。
18
思考题
1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？ 2.叠加原理的适用条件是什么？ 能否应用于 大变形情况？
F
Fy
Fx B P
压弯组合变形
10
压弯组合变形
11
12
偏心压缩
拉弯组合变形
13
q
弯扭组合变形
14
F
弯扭组合变形
15
双向弯曲与扭转组合变形
16
组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉伸（压缩）与弯曲组合； 3. 弯曲与扭转组合； 4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般 组合变形的计算原理和方法。
A
B
C
22
10.1 斜弯曲
二、斜弯曲的研究方法
1.分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正 交的平面弯曲。
综合篇 单元十一 组合变形 PPT
由弯曲引起的弯曲正应力的最大值为：
w
M Wz
6000000 0.1125 3
MPa
30.72MPa
应力叠加后，截面上的最大拉应力为：
b max 1.22 30.72MPa 31.94MPa [ b ]
截面上的最大压应力为：
c max | 1.22 30.72 | MPa 29.5MPa [ c ]
单元十一 组合变形
课题一 组合变形的概念
4
单元十一 组合变形
课题一 组合变形的概念
在工程实际中，有些杆件在外力作用下，往往同时发生 两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。
例如，塔器（左下图），除了受到自重作用，产生轴向 压缩变形外，同时还受到水平方向风力的作用，产生弯 曲变形；机器中的转轴，在齿轮啮合力的作用下（右下 图），将同时产生扭转与弯曲的组合变形。
立柱的强度足够。
16
单元十一 组合变形
课题三 圆轴弯曲与扭转组合变形 的强度计算
17
单元十一 组合变形 课题二 弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算 设有一圆轴AB，如下图a所示，右端固定，左端自由且受有 力F作用。
18
单元十一 组合变形 课题三 圆轴弯曲与扭转组合变形的强度计算
一、外力分析 将AB轴简化为悬臂梁，将力F向AB轴线平移，可得一横向力F和 一附加力偶，如上图b所示。力F使杆件产生弯曲变形，而力偶 则使杆件产生扭转变形，故AB轴为弯曲与扭转的组合变形。 二、内力分析 为了确定杆件的危险截面，作出轴AB的扭矩图和弯矩图，如上 图d、c所示。从内力图可知固定端左侧截面上的内力最大，故 该截面为危险截面。
（2）内力分析。画出立柱的轴力图及弯矩图。轴力为FN=F=15kN
弯矩为： M F • e 6kN • m
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《组合变形》PPT课件
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
项目十组合变形2
•课题10.1 组合变形的概念
•一、组合变形的概念：
• 在外力的作用下，构件同时发生两种或两种以上的基本变形，
且每一种基本变形所产生的变形参量属同一数量级的变形，称为组
合变形。
• 在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合
变形问题。
•
所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形参量等于各个力
单独作用下变形参量的总和（叠加）。
中的水平图形。
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项目十组合变形2
• 同样，可求得在平面
Oxy内轴承A、B处的支座
反力为：
• 在平面Oxy内的弯矩
Mz图，如图d中的铅垂图 形。画出轴的扭矩图如图c
所示。
•这是双向弯曲，求出合弯矩 M 为
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项目十组合变形2
• 由比较知，在截面D上的合成
弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时 存在的扭矩为：
=80cm，[]=80MPa.按第三强度理论 计算最大起重量Q.
•（1）外力分析
• 将载荷Q向轮心平移，得到作用于 轮心的横向力Q和一个附加的力偶，其矩 为TC=QD/2 。轴的计算简图如图b所示。
•（2）内力分析 • 绞车轴的弯矩图和扭矩图
如图c、d所示。
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项目十组合变形2
• 由图可见危险截面在轴的中点
项目十组合变形2
•课题10.2 斜弯曲
•梁变形后的挠曲线将与外力不在同一纵向平面内，将这种弯曲称为斜弯曲。
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项目十组合变形2
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项目十组合变形2
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项目十组合变形2
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项目十组合变形2
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2.内力分析，画弯矩图
M 图画在受压一侧
•18
二、组合变形
同时发生两种或两种以上的简单变形。 组合变形的形式有无穷多种，本章学习三种典型 形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉（压）弯组合（偏心拉压）； 3. 弯扭组合。 通过这三种典型组合变形的学习，学会计算一 般组合变形强度的原理和方法。
•19
计算组合变形强度要求熟练掌握以下内容： （1）绘制简单变形内力图； （2）简单变形横截面的应力分布规律； （3）应力状态理论； （4）强度理论。
•25
x z Pz
zP y
D1
z
D2
y My
P
Py
y
3 应力分析
M z y M y cos
Iz
Iz
M y z M z sin
Iy
Iy
m ax
M Wz
cos
max
M Wy
sin
x zP y
M cos M sin
•28
对于圆截面，因为过形 心的任意轴均为截面的对称 轴，所以当横截面上同时作 用有两个弯矩时，可以将弯 矩用矢量表示，然后求二者 的矢量和，这一合矢量仍然 沿着横截面的对称轴方向， 合弯矩的作用面仍然与对称 面一致，所以平面弯曲的公 式依然适用。
于是，圆截面上的最大 拉应力和最大压应力计算公 式为
Iz
Iy
斜弯曲的正应力分布为一平面
•26
D1
m ax max
x
D1
D2
z P
y
D2
max
M y max Wy
M z max Wz
4、强度条件：危险点处于单向应力状态，因此
m ax max
•27
max
M y max Wy
M z max Wz
max
3
横截面应力为
FN
4
d2p
pd
A dt 4t
4
由平衡方程得
l( p d d) sin pl d sind 2 tl
0
2
02
环向应力（Hoop stress）
pd
2t
5
pd pd
4t
2t
p x , y
•29
tmax
z
Mz
cmax
M
My
y
＝M W tmax
＝
M
2 y
M
2 z
W
＝
cmax
M W
＝
M
2 y
M
2 z
W
例9-1 已知：矩形截面悬臂梁，截面宽度b=90mm、高度
h=180mm、长度l=1m，外载荷P1=800N和P2=1650N。
试求：梁内最大正应力及其作用位置。
解：1.外力分析
例3：图示单向与纯剪切组合应力状态，是一种常见的 应力状态，在梁的弯曲、在圆轴的扭转与弯曲组合变形、 扭转与拉伸组合变形中经常会遇到，试分别根据第三与 第四强度理论建立相应的强度条件。
1
解： x , y 0, x
根据平面应力状态公式，极值正应力为：
max
min
Pz P sin
•22
•23
Mz
PyL My
PzL
•24
L
zP
x z Pz
y
P
Py
zy
x 2 内力分析，画弯矩图
M图画在受压一侧
M y PZ L PL sin M sin x
M z Py L PL cos M cos
D1
D2
D1
z
Mz
D2 y
1 2
(
2 4 2 )
主应力为
1
3
1 2
(
2 0
2 4 2 )
根据第三强度理论 r3 2 4 2 [ ]
根据第四强度理论 r4 2 3 2 [ ]
2
例4：已知一圆柱形薄壁容器的内径d＝1m，内部的蒸 汽压强 p=3.6MPa，材料的许用应力[] = 160MPa，试 分别按第三和第四强度理论设计容器的壁厚t。
t 11.25mm
由第四强度理论： r4
1 2
pd 2t
2
pd 4t
2
pd 4t
2
[
]
r4
3.6 1000 t
3 160 4
t 9.75mm
7
8
9
主要内容
§9-1 概述 §9-2 斜弯曲 §9-3 拉压与弯曲变形组合 §9-4 弯曲与扭转组合变形
M y max Wy
பைடு நூலகம்
M z max Wz
上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面工字形
截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的
？ 弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。 对于圆截面，上述公式是否正确
对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为， 两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力，最大压应力 不发生在同一点。
•10
§9-1 概述
一、简单变形（基本变形） 二、组合变形
同时发生两种或两种以上简单变形的变形构件。 组合变形的形式典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉（压）弯组合（偏心拉压）； 3. 弯扭组合。
•11
压弯组合
拉扭组合
•12
拉弯组合
•13
偏心压缩
•14
P
压弯组合
q
h
•15
水坝
弯扭组合
•16
•20
§9-2 斜弯曲
x
zP y 一、概念
外力：作用线与形心主惯性轴不重合； 内力：弯矩矢不与形心主惯性轴重合 变形：挠曲线不与荷载线共面。
•21
x zP y 二、斜弯曲的研究方法
z Pz
P
Py
y
1.外力分析： 将外载沿横截面的形心主轴分解 平面弯曲（绕 z 轴）+ 平面弯曲（绕 y 轴）
Py P cos
弯扭拉组合
•17
三、组合变形强度研究方法
方 法：叠加法 前提条件：1. 受力后材料变形服从虎克定律；
2. 小变形。
四、组合变形的研究步骤
1、外力分析：分析构件由几种基本变形组成 2、内力分析：分析各基本变形的内力，确定危险截面 3、应力分析：分析危险截面的应力，确定危险点 4、应力状态分析：求出危险点的三个主应力。 5、强度分析：选择适当的强度理论，进行强度计算。
故对于薄壁圆筒可作为二向应力状态处理，
1
pd , 2t
2
pd 4t
,
3
0
6
单元体在内壁侧面受内压p作用，因p值比x、y小得多，可略 去。三个主应力是：
1
pd 2t
,
2
pd 4t
,
3
0
由第三强度理论：
r3
pd 0 [ ],
2t
3.61000 160 2t