初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题02 乘法公式_答案[精品]

专题02 乘法公式

例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．

例2 （1）B －y ＝（2a ＋4a ＋a ）＋（2b －8b ＋16）＝()22a +＋()2

4b -≥0，≥y ． （2）B 3个等式相加得：()23a -＋()21b +＋()21c -＝0，a ＝3，b ＝－1，c ＝1．a ＋b ＋c ＝3－1＋1＝3．

例3 （1）167 （2）4 （3）－5050

例4

718 提示：由a ＋b ＝1，2a ＋2b ＝2得ab ＝－12，利用1n a +＋1n b +＝（n a ＋n b ）（a ＋b )－ab (1n a -＋1n b -)可分别求得3a ＋3b ＝52，4a ＋4b ＝72，5a ＋5b ＝194，6a ＋6b ＝264，7a ＋7b ＝718． 例5 （1）设n 为自然数，则n （n ＋1)(n ＋2)(n ＋3）＋1＝()2

231n n ++

（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝24006001． 例6（1）设⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++=++③②①.3,2,1333222c b a c b a c b a

2①－②，得ab ＋b c ＋a c ＝2

1-， ∵333c b a ++－3ab c ＝（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ），

∴ab c ＝31（333c b a ++）－31（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）＝31×3－31×1×（2＋21）＝6

1． （2）将②式两边平方，得,4222222222444=+++++a c c b b a c b a

∴()2222224442224a c c b b a c b a ++-=++

＝4－2()[]

)(22c b a abc ac bc ab ++-++ ＝4－2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612212＝625．

A 级

1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C

10.原有136或904名学生．设⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②

①.1208,120822m x m x m ，n 均为正整数，且m ＞n ，

①－②得（m ＋n ）（m －n ）＝240＝5324

⨯⨯． 2m ，2

n 都是8的倍数，则m ，n 能被4整除，m ＋n ，m －n 均能被4整除．得⎩⎨⎧=-=+460n m n m 或⎩⎨⎧=-=+1220n m n m ， ∴⎩⎨⎧==2812n m 或⎩

⎨⎧==416n m 8＝2m －120＝904或8＝2m －120＝136．

11.因为a ＝910＋338－2＝（910－1）＋（338－1）＝999 999 999＋37×（238＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．

所以37|999 999 999，且37|37×（238＋38＋1），因此a 是37的倍数．

12.第2003行式子为：()2222004200420032003+⨯+＝()2

120042003+⨯． 第n 行式子为：()()222211++++n n n n ＝()2

21++n n ．证明略

B 级

1．1．094

2．76 提示：由13＋a ＝9＋b ＝3＋c 得a －b ＝－4，b －c ＝－6，c －a ＝10

3．13 4．156 5．D

6.C 提示：（＋y ）（－y ）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：

⎩

⎨⎧------=-------=+.1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;2009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1y x y x 故（，y ）共有12组不同的表示．

7．B 8．C

9．提示：不存在符合条件的整数对（m ，n ），因为1954不能被4整除．

10．设所求两位数为AB ，由已知得2

2BA AB -＝2k （ 为整数），得2119.k A B A B =⨯+⨯-而88,0,A B A B -≤-≤+≥得111A B A B +=⎧⎨-=⎩

或111A B A B +=⎧⎨-=-⎩ 解得65A B =⎧⎨=⎩或56A B =⎧⎨=⎩

，即所求两位数为65，56

11. 设2222x y a b x y a b +=+⎧⎨+=+⎩①②, 则由2,-①②得22xy ab = ③

②-③, 得22()()x y a b -=-, 即x y a b -=- x y a b ∴-=-或x y b a -=-

分别与x y a b +=+联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x b y a =⎧⎨=⎩ 2003200320032003x y a b ∴+=+

12. (1)22284786,=⨯=- 2220124503504502=⨯=-, 故28和2012都是神秘数

（2）22(22)(2)4(21),k k k +-=+为4的倍数

（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. 22(21)(21)8n n n +--=,故两个连续奇数的平方差不 是神秘数