第6章 期缴纯保费与毛保费12
第五章均衡净保费和毛保费
P1 x：n
A1 x：n
ax：n (M x M xn ) (Nx Nxn )
Px：n Ax：n ax：n (M x M xn Dxn ) (Nx Nxn )
h Px Ax ax：h M x (Nx Nxh )
h Px：n Ax：n ax：h (M x M xn Dxn ) (Nx Nxh )
l(T )
vt
P
(
Ax
)a t
(2)E(L)
0
Ax
P ( Ax )ax
0
P ( Ax )
Ax ax
(3)Var(L)
Var[vt
(1
P
)
P
]
(1
P
)2[2Ax
( Ax
)2
]
（ax ax
Ax
）2[2Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2
(ax )2
常见险种的完全连续净均衡保费总结
P(A 1) A 1
x:n
x:n
ax：n
P( m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
例5.1
已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
(1)P ( Ax ) (2)Var(L)
例5.1答案
根据例4.1，已知ax 10, Ax 0.4， 2 Ax ( Ax )2 0.09 所以
(1)P( Ax )
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax
,
m Ax ,
A1 x:n
,
m n Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付）
A1 x:n
保险精算-第6章1-期缴纯保费与营业保费
n
Ex
a
x:h|
x:h|
x:h|
ax
1 ax
n年期两全保险年缴均衡纯保费与n年期生存年金精算
现值之间的关系
P(A
A 1 a
) x:n|
x:n|
1
x:n|
ax:n|
ax:n|
ax:n|
h年限期缴费n年期定期寿险年缴均衡纯保费与生存年
金精算现值之间的关系
h
P
(
A1 x:n|
)
A1 x:n|
a
A x:n| a
A1 x:n|
1
a x:n|
)Y ]
Var[Z
P( Ax：n
)1 Z
]
Var[(1
P( Ax：n
) )Z
P( Ax：n
) ]
(1
P( Ax：n
) )2[ 2 Ax：n
( Ax：n
)2 ]
注：Var(L) (1
P
(
Ax：n
)
)2
[
2
Ax：n
( Ax：n )2 ]
A 2 x：n
( Ax：n
)2
( ax：n )2
完全连续型年缴纯保费（全期缴费）
生存年金给付的现值随机变量
Z
0,T n aT n| vn ,T
n
n年纯保费缴付的生存年金现值随机变量
Y
aT | , T an| , T
n n
E(Z )n
a
x
A1 x:n|
a xn,
E(Y )
a x:n|
延期n年终身生存年金的年缴均衡纯保费(n年限期缴费)
P(n ax )
E(Z) E(Y )
分期纯保费与毛保费.
1
vT
)
Var[vT .(1 p )]
Var(vT ).(1 p )2
(2Ax
Ax2 ).(1
p )2
Var(L)
2 Ax Ax2
( a x )2
例：已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求 (1)P( Ax )
解：
P(Ax )
解：1、每个保单的亏损为：
..
L(c ) 1000v K 1 c a K 1
[1000 c ]v K 1 c
d
d
2、期望值与方差为：
E[ L( c
)]
[1000
c d
]A25
c d
Var[ L( c
)]
[1000
c d
]2Var(v K 1 )
Nx
N xn
b e 0.1t dt
0
0.04
lim(
b
1 0.1
e 0.1t
)
|b0
ax
0
v
t
.t
p
x
dt
lim(
b
1 0.1
e 0.1t
)
|b0
10
0.4
Var(L)
2 Ax Ax2
( a x )2
2Ax
t
0
e
2t
.e
0
纯保费厘定原则——平衡原则：
保险精算教学大纲丶习题及答案
保险精算教学大纲本课程总课时：课程教学周，每周课时第一章：利息理论基础本章课时：学习的目的和要求要求了解利息的各种度量掌握常见利息问题的求解原理二、主要内容第一节：实际利率与实际贴现率利息的定义实际利率单利和复利实际贴现率第二节：名义利率和名义贴现率第三节：利息强度第二章年金本章课时：一、学习的目的和要求要求了解年金的定义、类别掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧二、主要内容第一节：期末付年金第二节：期初付年金第三节：任意时刻的年金值一、在首期付款前某时刻的年金值二、在最后一期付款后某时刻的年金积累值三、付款期间某时刻的年金当前值第四节：永续年金第五节：连续年金第三章生命表基础本章课时：一、学习的目的与要求理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法主要内容第一节生命函数一、分布函数二、生存函数三、剩余寿命四、取整余命五、死亡效力六、生存函数的解析表达式第二节生命表一、生命表的含义二、生命表的内容第四章人寿保险的精算现值本章课时：一、教学目的与要求掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算理解趸缴纯保费的现实意义主要内容第一节死亡即付的人寿保险一、精算现值的概念二、n年定期保险的精算现值（趸缴纯保费）三、终身寿险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费五、生存保险与两全保险的趸缴纯保费死亡年末给付的人寿保险一、定期寿险的趸缴纯保费二、终身寿险的趸缴纯保费三、两全保险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费死亡即刻赔付保险与死亡年末赔付保险的精算现值的关系递增型人寿保险与递减型人寿保险一、递增型寿险二、递减型寿险三、两类精算现值的换算第五章年金的精算现值本章课时：一、学习目的与要求理解生存年金的概念掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。
保险精算学-趸缴纯保费
保险精算学-趸缴纯保费一、介绍保险精算学是一门研究如何根据统计学和数学原理来评估和管理保险风险的学科。
其中，趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念。
本文将介绍趸缴纯保费的含义、计算方法以及在保险业中的应用。
二、趸缴纯保费的含义趸缴纯保费是指被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
这意味着保险公司承当了保险风险，并且不提供任何现金价值或投资回报。
趸缴纯保费通常应用于寿险和意外险等风险较高的保险产品。
三、趸缴纯保费的计算方法趸缴纯保费的计算方法主要基于统计模型和风险评估。
以下是常用的计算方法：1. 人寿保险中的趸缴纯保费计算方法在人寿保险中，趸缴纯保费的计算通常基于年龄、性别、保额和保险期限等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 预期死亡率 × 保额 × 保险期限其中，预期死亡率是根据历史数据和统计模型计算得出的，它表示了某一年龄段人群的平均死亡概率。
2. 意外险中的趸缴纯保费计算方法在意外险中，趸缴纯保费的计算通常基于被保险人的职业、年龄、性别和保险金额等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 根底保费 × 职业系数 × 年龄系数其中，根底保费是根据保险公司的费率表确定的，职业系数和年龄系数是根据不同职业和年龄段的保险风险进行评估得出的。
四、趸缴纯保费的应用趸缴纯保费在保险业中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 个人寿险在个人寿险中，趸缴纯保费常用于购置寿险保单。
被保险人一次性支付趸缴纯保费后，保险公司承当了与被保险人生命风险相关的保险责任。
2. 团体意外险在团体意外险中，趸缴纯保费通常用于覆盖公司员工的意外风险。
员工支付趸缴纯保费后，保险公司将提供相应的意外保障。
3. 旅行险在旅行险中，趸缴纯保费可用于购置旅行期间的保险保障。
旅客支付趸缴纯保费后，保险公司将承当与旅行相关的风险，例如医疗费用、航班延误等。
五、结论趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念，它是被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
寿险精算学课件-期缴保费
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
所以Z s与Z k 独立,则
Var(L) Var(Zs Zk )
E(Zs Zk )2 E(Zs Zk )2
E
(
Z
2 s
)E
(Z
2 k
)
E(Z
s
)2
(2)E(L)
0
Ax
Px ax
0
Px
Ax ax
(3)Var(L)
(1
Px d
)2
[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
例5.3
▪ 假设由某寿险公司的经验生命表可得 ： A60 0.4097 ，2 A60 0.2153 a60 10 ，i 0.025
▪求
（1）P60 （2）Var(L)
ax
Ax
(m)Px(m)
ax
Px
(m)Px(m)
ax
由Ax
Px ax
1
dax
Px ax
1 ax
=Px +d ,则
(m)
P(m) x
Px
(m)Px(m)
Px +d
P(m) x
=
(m)
Px (m)
Px
+d
例5.7
▪ 已知 i 0.05 ，ax 1.68 ，被保险人在每
一个分数年内死亡服从均匀分布
a
1 A
x:n
1 0.747
10.373
保险精算李秀芳1-5章习题答案
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）
（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人
(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（1-0.0055）≈1492
（2）4d36=l36×4q36=1500×（0.005+0.00213）≈11
29.
第二章趸缴纯保费
1.设生存函数为 (0≤x≤100)，年利率 =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费 的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2.设利力 ， ， ，求 。
5. 设 , , , 试计算：（1） （2）
6.试证在UDD假设条件下：(1) (2)
=397.02
第三章年金精算现值
1.设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为 (t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。(1)计算精算现值 (2)基金 足够用于实际支付年金的概率
2．设 , , 。试求：（1） ；（2） 。
3.设 ， 。试求 ：1） ；2） 。
5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
13.设 ， ， ，…， ， ，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。
18.
19.
20.
24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。
27. 28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q[30]+3
解：定义X=1+Y,则X为x期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量
第5章 均衡净保费和毛保费课件
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
P
(
A1 x：n
)
A1 x：n
ax：n
P( Ax：n ) Ax：n ax：n
h P( Ax ) Ax ax：h
h P( Ax：n ) Ax：n ax：h
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax
,
m Ax ,
A1 x:n
,
m n Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付）
A1 x:n
, ax ,
m ax
,
a x:n
, m n ax
两全保险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付， 生存受益期末支付）
（1）P ( A ) 35:10
（2）P( A ) 35:10
（3）P 35:10
例5.3答案
（1）P ( A ) 35:10
M 35 M 45 D45 N35 N45
(i
)(M 35
M
45 )
D45
( N 35
N 45
)
1 2
( D35
D45 )
1.0297(1577.6833 1339.5427) 6657.69 (188663.76 93953.92) 1 (12256.76 6657.69)
P(A 1) A 1
x:n
x:n
ax：n
P( m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
例5.1
已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
保险精算课件(毛保费、准备金及非寿险)
5%
300.9146 1010.089 2113.979 3559.155 5241.886 6912.118 8277.164
6%
52.16807 656.3789 1658.925 3051.96 4761.409 6535.802 8039.333
7%
-99.6104 412.7306 1314.783 2639.422 4346.693 6195.168 7816.236
第1节 附加费用分类
1、理论上计算毛保费，等于纯保费加上附加费用，似 乎需要先计算费加费用。但实际当中的计算，通 常并不是上述这样算，而是运用收支平衡合理原 理，同意将毛保费纳入收支平衡表中考虑。 2、考虑毛保费时需要留有余地，考虑安全加成（即利 率、死亡率和费用率保守估计），同时还要考虑 利润及分红因素。
第2节 毛保费率
练习： 某40岁的人投保20年缴费的终身保险，保额为 5万元，其附加费用为首年100元加毛保费的50% 提取，续年按每单30元固定费用和3%的毛保费 提取，一旦死亡，按100元固定费用和保额的 0.2%提取，求毛保费。
第2节 毛保费率
1、毛保费率公式推导 2、毛保费率确定的三种方法 1、保单费法 2、带状法 3、警示费率法
第二节 准备金计算方法
7.2.1 准备金的未来法公式 练习：某20岁的人投保延期40年期的终身年 金保险，保额1万元，保费分20年每年年初 缴纳，保险金年初支付，试计算：（1）投 保人年缴纯保费是多少？ （2）投保第12 年末的责任准备金。（3）投保第25年末的 责任准备金。
第二节 准备金计算方法
图1 发行给0岁人-50年期 1000元定期保险的期末准备金
准备金 60 50 40 30 20 10 0
《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费
《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费第一节保费简介一、保费的构成二、保费的分类1、按保费缴纳的方式分：一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费2、按保险的种类分：只覆盖死亡的保险：纯寿险保费只覆盖生存的保险：生存险保费既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费在前两章中，我们已经学过各险种场合趸缴纯保费的确定：（1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）终身寿险趸缴纯保费：年延期终身寿险趸缴纯保费：年定期寿险趸缴纯保费：年延期年定期寿险趸缴纯保费：（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）年定期生存险趸缴纯保费：终身生存年金趸缴纯保费：年延期终身生存年金趸缴纯保费：年定期生存年金趸缴纯保费：年延期年定期生存年金趸缴纯保费：（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）年定期两全险趸缴纯保费：第二节净均衡保费一、净均衡保费与趸缴纯保费的关系1、纯保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。
L=给付金现值-纯保费现值E（L）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）二、各险种净均衡保费的厘定1、完全连续净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全连续净均衡年保费总结完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险2、完全离散净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险3、半连续纯年保费的厘定（1）终身寿险半连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式）Ø厘定过程：完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定Ø 终身寿险年缴 次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年缴费 次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）Ø 厘定过程：二、毛保费的确定1、毛保费的定义：保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为：G2、毛保费厘定原则基本原则：精算等价原则毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用的精算现值=各种给付精算现值+各种费用支出精算现值三、单位保单费用1、保单费用：在保险费用中，有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。
第6章 期缴纯保费与毛保费12
第2节 完全离散纯均衡纯保费厘定
一、终身寿险
1、全期缴费终身寿险 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人
从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 记均衡纯保费为Px 精算等价原理的图示过程：
Px ax 期缴保费收入精算现值
(x)Px Px Px 01 2
Px Px
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结 （P102、10年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
保费公式（换算基数公式）
P xA x a xM x N x P x 1 ： n A 1 x ： na x ： n (M x M x n )(N x N x n )
保险金死亡即刻给付 保费离散缴费（期初缴付）
均衡纯保费的核心原理
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保
险期限内的生存期间受益的生存年金
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系
E（均衡纯保费现值）=趸缴纯保费 在缴费期缴纳均衡纯保费的生存年金＝所购险各种的趸缴纯保费
0 Ax
Pxax
0 Px
Ax ax
dAx 1 Ax
Mx Nx
(3)Var(L)
(1
Px d
)2[2Ax
(Ax)2]
2Ax (Ax)2 (dax)2
例6.2.1：P100
设 k|qx c(0.9)6k1,k0,1,2,。 其中 c0.04 /0.9， 6i6% ，试 Px和 求 Va(Lr)。
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保险期
寿险精算学(第3版)课件：期缴保费
40.5+205+78%178.47=279.71
• 第一年收取的费用45.4元是完全不够支付第一年的真实费 用的。费用不够的部分是由保险公司现行垫付。这就产生 了寿险产品的新业务压力（new business strain）。也就 是说寿险公司只要新卖出一份保险产品，第一年就要承担 初年费用不够的资金压力。
毛保费的构成图示
经营费用
• 所谓经营费用是指保险公司支出的除了风险赔付之外, 其他维持 保险公司正常运作的所有费用支出的统称。
• 经营费用包括管理费用和佣金两大部分, 其中, 管理费用通常由 投资费用和保险费用两部分构成。
– 投资费用包括与投资相关的分析、 购买、 销售及服务成本。 由 于这些费用直接与投资收入的产生有关, 所以投资费用通常从总投 资收入中扣除, 在传统寿险产品保费计算时通常不单独考虑。
缴费频率与赔付频率不一致时， 期缴净保费的厘定
• 实务中, 有时保费的缴纳频率会和赔付的给付频率不一致
– 比如有可能保费每年期初缴纳, 但死亡即刻给付; – 再比如保费每年缴纳m 次, 而死亡年末赔付或死亡即刻赔付。
• 这时，期缴净保费的厘定, 通常需要借助不同频率之间精 算函数的变换来实现。
例5.6
未来损失变量
• 未来损失变量（Future Loss），t时刻的未来损失变量记作Lt
Lt =未来支出贴现到t 时刻的现值 - 未来收入贴现到t 时刻的现值
– 如果Lt >0, 意味着对保险人而言未来收不抵支, 将会产生亏损 (loss) – 如果Lt <0, 意味着对保险人而言未来收入会大于支出, 将会产生利润
最新保险精算-第6章1-期缴纯保费与营业保费ppt课件
完全连续型终身寿险的年缴均衡纯保费 完全连续型寿险年缴均衡纯保费的一般公式 h年限期缴费n年期两全保险年缴均衡纯保费 延期n年终身生存年金的年缴均衡纯保费 年缴均衡纯保费与趸缴纯保费之间的关系 年缴均衡纯保费与生存年金精算现值之间的关系
6.1.2 各种寿险的年缴纯保费
按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
A x ,
mA x ,
A 1 x:n
,
m nA x
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付，生
存年金受益期初支付）
A x :1 n ,a x, m a x,a x :n ,m na x
一、病因的涵义：
病因是指能影响和破坏人体阴阳相对 平衡协调状态，导致疾病发生的各种原 因。 “凡人之所苦谓之病；所以致此病者， 谓之因”。
x:n|
a
x:n| 1A
x:h|
x:h|
x:h|
年缴均衡纯保费与生存年金精算现值 之间的关系
终身寿险年缴均衡纯保费与终身生存年金精算现值之
间的关系
P(Ax)a Axx 1axax
1
ax
n年期两全保险年缴均衡纯保费与n年期生存年金精算
现值之间的关系
P(A
A ) x:n|
1a
x:n|
1
a x:n|
a
a
x:n|
x:n|
x:n|
h年限期缴费n年期定期寿险年缴均衡纯保费与生存年
金精算现值之间的关系
hP(A x 1:n|)a A x 1:n| A x:na |A x:1 n| 1a ax:n|nEx
《均衡净保费和毛保》课件
提高产品竞争力：通过均衡净保费和毛保费的实施，提高产品的市场竞争力 降低成本：通过均衡净保费和毛保费的实施，降低企业的运营成本 提高客户满意度：通过均衡净保费和毛保费的实施，提高客户的满意度和忠诚度
提高企业形象：通过均衡净保费和毛保费的实施，提高企业的品牌形象和市场地位
均衡净保费和毛保费的实施，使得客户能够更加清晰地了解保险产品的价 格和保障范围，提高了客户的满意度。
职业类别： 职业类别 不同，净 保费和毛 保费也不 同
市场竞争程度：竞争越激烈，净保费和毛保费可能越低 竞争对手数量：竞争对手越多，竞争越激烈，净保费和毛保费可能越低 竞争对手实力：竞争对手实力越强，竞争越激烈，净保费和毛保费可能越低 市场需求变化：市场需求变化越快，净保费和毛保费可能越不稳定
市场定位：明确 目标市场，制定 相应的产品策略 和价格策略
保险标的的风险程度
保险期限的长短
保险责任的范围
保险金额的大小
保险费率的高低
保险市场的竞争程度
保障范围： 保障范围 越广，净 保费和毛 保费越高
保障期限： 保障期限 越长，净 保费和毛 保费越高
பைடு நூலகம்
投保年龄： 投保年龄 越大，净 保费和毛 保费越高
健康状况： 健康状况 越好，净 保费和毛 保费越低
性别：性 别不同， 净保费和 毛保费也 不同
创新产品设计：引入新技术、 新理念，提高产品的创新性
和独特性
提供个性化服务：根据客户需求提供定制化服务 提高服务效率：优化服务流程，缩短服务时间 加强员工培训：提高员工专业素质和服务水平 建立客户反馈机制：及时了解客户需求，改进服务质量
提高产品竞争力：通过提高产品质量、降低成本等方式提高产品竞争力 扩大市场份额：通过扩大销售渠道、增加广告投放等方式扩大市场份额 提高客户满意度：通过提高服务质量、提供个性化服务等方式提高客户满意度 优化产品结构：通过调整产品结构、推出新产品等方式优化产品结构
ch6均衡净保费与毛保费
净保费(Net Premium) 附加保费(Loading) 毛保费(Gross Premium)
精算平衡原理： 保费收入现金流 保险给付支出现金流
L-签单时保险人损失现值随机变量。
L=签单时未来保险给付现值变量- 签单时净保费收入现值随机变量
EL=0
模型形式： 全连续型 全离散型 半连续型
保费为：
损失现值 原则1 原则2 0.5805 0.4878 0.1809 0.0000 -0.2019 -0.4646 -0.5620 -0.9071 0.3719 0.4646
§6.2 全离散型寿险的净保费
1 用精算等价原理确定年缴净保费
模型：（x）死亡年末给付1单位终身寿险，被保险人从保单 生效起按年期初缴费。（给付离散，缴费也离散）
且
Var[L(a)](10000)2
2A25(A25)2 (1A25)2
4252400.5
(2) pb满足下式
Pr(L(b)0)0.5,即
Pr(10000vK1baK1 0)0.5
查生命表，知
53p25ll7 2 8 50.5314 , 54p25ll7 2 9 50.4989
Var(L)2Ax(Ax)2
(ax)2
2( ()2 )2
0.2857
2 一般形式的全连续型模型
LbTvT PY
E(L) 0
P E (bT vT ) E (Y )
保险给付的精算现值
年缴净保费=
净保费收入的精算现值
例1 bTvT vvTn,,TTnn,
bTvT v vT n,,T T n n,
Y a aT n,,T T n n
LbTvTP(Ax： n)Y
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K
K+1 T(x)=t
1
T(x)
例6.1.1：P91
某保险公司计划发行一种人寿保单，该保单在死亡 年末支付1单位保险金，保费在被保人活着的每年初 缴付。已知： 试根据以下原则确定年缴纯保费P： 原则1：P使得保单签单时的亏损现值期望为0 原则2：P使得保单签单时的亏损为正的概率不超过 0.25的最低额。
例6.1.3（P97）
对完全连续n年期两全保险的保险金额为 1单位，试导出其年缴均衡纯保费，并用 其趸缴纯保费符号表示其损失随机变量L 的方差表达式。 练习：当利息力为=0.05，死亡力为 =0.04，求解上述问题。
第2节 完全离散纯均衡纯保费厘定
一、终身寿险 1、全期缴费终身寿险 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人 从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 记均衡纯保费为Px 精算等价原理的图示过程： 期缴保费收入精算现值 Px ax (x) 0
T(x)=t T(x)
Ax
1
完全连续年缴均衡纯保费的厘定（终身寿险）
P ( Ax ) ax
(x) 0 1
P ( Ax ) at |
2
P ( Ax )
T(x)=t
at |
T(x)
1v t
Ax
1 v t
Ax ax
1
P
P （ 1 ）L l (T ) v T P aT | l (t ) v t P ( Ax )at (1 )v t
1 1 x： Px： A a Dx n ( N x N x n ) x： n n n
n年生存保险
限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
1 P ( a ) A h x:m a x m a x:h Dx m N x m ( N x N x h ) m x
x:n | Px1:n | a
A
Px1:n | Px1:n Px1:n | | (x) 0 1 2
1 x:n |
Px1:n |
K
K+1 T(x)=t K(x)=k
n T(x)
1
例6.2.2（P103）
记全离散n年期两全保险的保险人损失随机变 量L ： （1）写出L的表达式； （2）求全离散n年期两全保险的均衡纯保费； （3）写出L的方差表达式。
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结 （P102、103）
险种
终身人寿保险
n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
h
保费公式（换算基数公式）
x M x N x Px Ax a
1 x： Px1： A a (M x M xn ) ( N x N xn ) n x： n n
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x n ) n n n
h
x： Px Ax a M x ( N x N x h ) h
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x h ) n n h
例6.2.1：P100
设k | q x c(0.96)
k 1
, k 0,1,2, 。其中，
c 0.04 / 0.96 ，i 6%，试求Px和Var ( L)。
2、限期缴费终身寿险
限期缴费终身寿险，指在规定的年限内， 按年缴费直至被保险人死亡或缴费期限届 满时停止。 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿 保险，保费限期h年缴清，按年期初缴费。 此时，均衡纯保费记为： P
1
第1节
完全连续年缴均衡纯保费的厘定
一、全期缴费终身人寿保险
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单 生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 记 P 表示以被保人生存为条件的年缴均衡纯保费，则有 厘定过程：
P ( Ax ) ax
(x) 0 1 2
P ( Ax )
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
h
P ( Ax ) Ax a x： h
h
P ( Ax： ) Ax： a x： n n h
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
h x
限期缴费终身寿险均衡纯保费的厘定
h
x:h | Px a
Px h Px (x) 0 1
h
h
Ax
Px 0 h-1 h
0
K
K+1
T(x)
T(x)=t K(x)=k
1
厘定过程：
Ax h Px x:h | a
二、全期缴费定期寿险
条件：（x）死亡年末给付1单位的n年定期人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 此时均衡纯保费记为 1 Px:n | 厘定过程：
第6章 期缴纯保费与营业保费
期缴纯保费和均衡纯保费 掌握期缴保费的计算原理及常见险种均 衡纯保费的计算 掌握营业保费（毛保费）的构成、确定 原理和计算方法
第0节 保费简介
一、保费的分类 按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费（一次性受益和生存年金） 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费 纯保费：保单受益的精算现值（预定利率和预定死亡率） 毛保费：纯保费＋附加费用（与保费相关费用的精算现值） 趸缴（纯/毛）保费：一次性缴纳 期缴（纯/毛）保费：按相等的时间间隔以被保人的生存为条 件的方式缴纳，如均衡纯保费
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系
E（均衡纯保费现值）=趸缴纯保费 在缴费期缴纳均衡纯保费的生存年金＝所购险各种的趸缴纯保费 连续缴费 期初缴费 死亡即刻给付 死亡年末给付
x 期缴保费收入精算现值 Px a
Px Px Px Px Px
K
K+1
(x) 0
Ax
1
2
T(x)
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
例6.2.3：P104
表示25的人投保保额为10000元的完全离散终身 寿险的年缴均衡纯保费，L()表示保单签发时保 险人亏损随机变量，若：
A25 0.19, A25 0.64, d 0.057
按保费的构成分：
按保费缴纳的方式分：
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费 连续型寿险（死亡受益、死亡即刻支付）
1 Ax，m| Ax，Ax :n |
1 A m| x:n|
离散型寿险（死亡受益、死亡年末支付）
Ax，m| Ax，A
1 x:n |
1 A m| x:n|
生存险趸缴纯保费
（1）生存保险（一次性生存受益，期末支付）
k|
q 0.25，k 01 ， ， 2， 3 i 0.05
均衡纯保费的分类
期缴保费收入精算现值： 连续缴费 x a 离散缴费：期初缴 1 期末缴 (x) 保险金给付精算现值： Ax
死亡即刻给付 死亡年末给付
1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
T(x)
1
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保险期
x:n x:n
年金和寿险关系
•以死亡年末给付的终身寿险和期初给付的 终身生存年金为例
x a
(x)
Ax 1 1 1 1 1
K1 v x E[a K 1 ] E 1) a d
1 E (v 1) A1 x Ax k] d E[ zd d d
年付h次的生存年金
(h) x (h) x
x:n | a
ax:n |
(h) x:n | (h) x:n |
， m| a ，a a a ， m| a ，a
(h) x
(h) x
(h) a m| x:n | (h) a m| x:n |
两全保险趸缴纯保费（死亡受益、死亡即刻（年末）支付， 生存受益期末支付） A ( A )
二、期缴纯保费与均衡纯保费
趸缴纯保费 期缴纯保费 若保费的缴付以被保人的生存为条件，在 约定的缴费期内，从投保时刻起每期缴付一 定的金额，直至被保人死亡或约定的缴费期 界满为止。 均衡纯保费：在生存的缴费期内，若期缴纯 保费每时点缴付金额相等。
期缴（均衡）纯保费厘定原则
纯保费厘定原则——收（纯保费缴纳）支（理赔给付）平衡：
(2) E ( L) 0 Ax P ( Ax )a x 0 P ( Ax ) (3)Var ( L) Var[v t (1 P
)
P
] (1
P
) 2 [ 2 Ax ( Ax ) 2 ]
2 a x Ax 2 2 Ax ( Ax ) 2 2 （ ）[ Ax ( Ax ) ] ax ( a x ) 2
例6.1.2（P94）
已知利息力为=0.05，死亡力为=0.04， 求
(1) P ( Ax )
(2)Var ( L)
核心原理
潜在损失随机变量
L l (T ) bT vT P Y Z P Y
期缴保费使得期望损失为零，由此即可 求得各种均衡纯保费。