第6章 期缴纯保费与毛保费12
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第6章 期缴纯保费与营业保费
期缴纯保费和均衡纯保费 掌握期缴保费的计算原理及常见险种均 衡纯保费的计算 掌握营业保费（毛保费）的构成、确定 原理和计算方法
第0节 保费简介
一、保费的分类 按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费（一次性受益和生存年金） 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费 纯保费：保单受益的精算现值（预定利率和预定死亡率） 毛保费：纯保费＋附加费用（与保费相关费用的精算现值） 趸缴（纯/毛）保费：一次性缴纳 期缴（纯/毛）保费：按相等的时间间隔以被保人的生存为条 件的方式缴纳，如均衡纯保费
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系
E（均衡纯保费现值）=趸缴纯保费 在缴费期缴纳均衡纯保费的生存年金＝所购险各种的趸缴纯保费 连续缴费 期初缴费 死亡即刻给付 死亡年末给付
x 期缴保费收入精算现值 Px a
Px Px Px Px Px
K
K+1
(x) 0
Ax
1
2
T(x)
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结 （P102、103）
险种
终身人寿保险
n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
h
保费公式（换算基数公式）
x M x N x Px Ax a
1 x： Px1： A a (M x M xn ) ( N x N xn ) n x： n n
限内的生存期间受益的生存年金
均衡纯保费的种类
完全连续均衡纯保费
保险金死亡即刻给付 保费连续缴费 保险金死亡年末给付 保费离散缴费（期初缴付） 保险金死亡即刻给付 保费离散缴费（期初缴付）
完全离散均衡纯保费
半连续均衡纯保费
均衡纯保费的核心原理
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保 险期限内的生存期间受益的生存年金
1 1 x： Px： A a Dx n ( N x N x n ) x： n n n
n年生存保险
限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
1 P ( a ) A h x:m a x m a x:h Dx m N x m ( N x N x h ) m x
年付h次的生存年金
(h) x (h) x
x:n | a
ax:n |
(h) x:n | (h) x:n |
， m| a ，a a a ， m| a ，a
(h) x
(h) x
(h) a m| x:n | (h) a m| x:n |
两全保险趸缴纯保费（死亡受益、死亡即刻（年末）支付， 生存受益期末支付） A ( A )
Ax:n | Ax:n |
（2）生存年金：
1 1 m| Ax: n | 1
常见险种的趸缴纯保费
（2）生存年金（在保险期限内的生存期间受益） 连续型生存年金：
awk.baidu.com， m| ax，ax:n|
m|
ax:n |
m|
m|
离散型生存年金（期初支付和期末支付）
x， m| a x，a x:n| a ax， m| ax，ax:n|
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
h
P ( Ax ) Ax a x： h
h
P ( Ax： ) Ax： a x： n n h
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
k|
q 0.25，k 01 ， ， 2， 3 i 0.05
均衡纯保费的分类
期缴保费收入精算现值： 连续缴费 x a 离散缴费：期初缴 1 期末缴 (x) 保险金给付精算现值： Ax
死亡即刻给付 死亡年末给付
1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
T(x)
1
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保险期
保险人的潜在亏损均值为零，即E（L）=0。 L=给付金现值-纯保费现值 E（纯保费现值）=E（给付金现值）
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系 E（均衡纯保费现值） =E（给付金现值） = 趸缴纯保费
对保险人而言： 期缴保费收入精算现值 保费收入精算现值： 趸缴和期缴 (x) 保险金给付精算现值： 保险理赔支出精算现值
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x n ) n n n
h
x： Px Ax a M x ( N x N x h ) h
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x h ) n n h
二、期缴纯保费与均衡纯保费
趸缴纯保费 期缴纯保费 若保费的缴付以被保人的生存为条件，在 约定的缴费期内，从投保时刻起每期缴付一 定的金额，直至被保人死亡或约定的缴费期 界满为止。 均衡纯保费：在生存的缴费期内，若期缴纯 保费每时点缴付金额相等。
期缴（均衡）纯保费厘定原则
纯保费厘定原则——收（纯保费缴纳）支（理赔给付）平衡：
h x
限期缴费终身寿险均衡纯保费的厘定
h
x:h | Px a
Px h Px (x) 0 1
h
h
Ax
Px 0 h-1 h
0
K
K+1
T(x)
T(x)=t K(x)=k
1
厘定过程：
Ax h Px x:h | a
二、全期缴费定期寿险
条件：（x）死亡年末给付1单位的n年定期人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 此时均衡纯保费记为 1 Px:n | 厘定过程：
x:n | Px1:n | a
A
Px1:n | Px1:n Px1:n | | (x) 0 1 2
1 x:n |
Px1:n |
K
K+1 T(x)=t K(x)=k
n T(x)
1
例6.2.2（P103）
记全离散n年期两全保险的保险人损失随机变 量L ： （1）写出L的表达式； （2）求全离散n年期两全保险的均衡纯保费； （3）写出L的方差表达式。
例6.1.3（P97）
对完全连续n年期两全保险的保险金额为 1单位，试导出其年缴均衡纯保费，并用 其趸缴纯保费符号表示其损失随机变量L 的方差表达式。 练习：当利息力为=0.05，死亡力为 =0.04，求解上述问题。
第2节 完全离散纯均衡纯保费厘定
一、终身寿险 1、全期缴费终身寿险 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人 从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 记均衡纯保费为Px 精算等价原理的图示过程： 期缴保费收入精算现值 Px ax (x) 0
例6.2.1：P100
设k | q x c(0.96)
k 1
, k 0,1,2, 。其中，
c 0.04 / 0.96 ，i 6%，试求Px和Var ( L)。
2、限期缴费终身寿险
限期缴费终身寿险，指在规定的年限内， 按年缴费直至被保险人死亡或缴费期限届 满时停止。 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿 保险，保费限期h年缴清，按年期初缴费。 此时，均衡纯保费记为： P
例6.2.3：P104
表示25的人投保保额为10000元的完全离散终身 寿险的年缴均衡纯保费，L()表示保单签发时保 险人亏损随机变量，若：
A25 0.19, A25 0.64, d 0.057
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人 寿保险，被保险人从保单生效起按年连续 交付保费，限期缴费期限为h年。（给付连 续，缴费也连续） 厘定过程：
h
P ( Ax ) Ax a x： h
常见险种的完全连续均衡纯保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期m年缴费延期m年的终身 生存年金
按保费的构成分：
按保费缴纳的方式分：
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费 连续型寿险（死亡受益、死亡即刻支付）
1 Ax，m| Ax，Ax :n |
1 A m| x:n|
离散型寿险（死亡受益、死亡年末支付）
Ax，m| Ax，A
1 x:n |
1 A m| x:n|
生存险趸缴纯保费
（1）生存保险（一次性生存受益，期末支付）
1
第1节
完全连续年缴均衡纯保费的厘定
一、全期缴费终身人寿保险
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单 生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 记 P 表示以被保人生存为条件的年缴均衡纯保费，则有 厘定过程：
P ( Ax ) ax
(x) 0 1 2
P ( Ax )
x:n x:n
年金和寿险关系
•以死亡年末给付的终身寿险和期初给付的 终身生存年金为例
x a
(x)
Ax 1 1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
K 1
T(x)
1
1 v x E[a K 1 ] E 1) a d
1 E (v 1) A1 x Ax k] d E[ zd d d
T(x)=t T(x)
Ax
1
完全连续年缴均衡纯保费的厘定（终身寿险）
P ( Ax ) ax
(x) 0 1
P ( Ax ) at |
2
P ( Ax )
T(x)=t
at |
T(x)
1v t
Ax
1 v t
Ax ax
1
P
P （ 1 ）L l (T ) v T P aT | l (t ) v t P ( Ax )at (1 )v t
K 1
x Ax 1 da ia x (1 i ) Ax a x Ax
(h) (h) x d (h) a Ax
x Ax 由 1 ）变形得： 1 da 2 1 v K 1 1 Ax Ax2 K 1 ] Var 2) Var[a 2 Var[ Z ] 2 d d d
T(x)=t K(x)=k
1
dAx Mx Ax x 0 Px (2) E ( L) 0 Ax Px a x 1 Ax a Nx
2 2 Px 2 2 A ( A ) x (3)Var ( L) (1 ) [ Ax ( Ax ) 2 ] x x )2 d (da
例6.1.2（P94）
已知利息力为=0.05，死亡力为=0.04， 求
(1) P ( Ax )
(2)Var ( L)
核心原理
潜在损失随机变量
L l (T ) bT vT P Y Z P Y
期缴保费使得期望损失为零，由此即可 求得各种均衡纯保费。
二、限期缴费终身人寿保险
(2) E ( L) 0 Ax P ( Ax )a x 0 P ( Ax ) (3)Var ( L) Var[v t (1 P
)
P
] (1
P
) 2 [ 2 Ax ( Ax ) 2 ]
2 a x Ax 2 2 Ax ( Ax ) 2 2 （ ）[ Ax ( Ax ) ] ax ( a x ) 2
死亡保险和生存保险
K
K+1 T(x)=t
1
T(x)
例6.1.1：P91
某保险公司计划发行一种人寿保单，该保单在死亡 年末支付1单位保险金，保费在被保人活着的每年初 缴付。已知： 试根据以下原则确定年缴纯保费P： 原则1：P使得保单签单时的亏损现值期望为0 原则2：P使得保单签单时的亏损为正的概率不超过 0.25的最低额。
Ax
Px Px Px Px
Px
K K+1 T(x)
1
2
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
1
全期缴费的终身寿险均衡纯保费厘定过程
x Px a
(x) x 0
Ax
P
Px
Px
Px
Px
K
K+1
1
2
T(x)
厘定过程：
K 1 (1) L v K 1 Px a K 0,1,2,
期缴纯保费和均衡纯保费 掌握期缴保费的计算原理及常见险种均 衡纯保费的计算 掌握营业保费（毛保费）的构成、确定 原理和计算方法
第0节 保费简介
一、保费的分类 按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费（一次性受益和生存年金） 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费 纯保费：保单受益的精算现值（预定利率和预定死亡率） 毛保费：纯保费＋附加费用（与保费相关费用的精算现值） 趸缴（纯/毛）保费：一次性缴纳 期缴（纯/毛）保费：按相等的时间间隔以被保人的生存为条 件的方式缴纳，如均衡纯保费
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系
E（均衡纯保费现值）=趸缴纯保费 在缴费期缴纳均衡纯保费的生存年金＝所购险各种的趸缴纯保费 连续缴费 期初缴费 死亡即刻给付 死亡年末给付
x 期缴保费收入精算现值 Px a
Px Px Px Px Px
K
K+1
(x) 0
Ax
1
2
T(x)
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结 （P102、103）
险种
终身人寿保险
n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
h
保费公式（换算基数公式）
x M x N x Px Ax a
1 x： Px1： A a (M x M xn ) ( N x N xn ) n x： n n
限内的生存期间受益的生存年金
均衡纯保费的种类
完全连续均衡纯保费
保险金死亡即刻给付 保费连续缴费 保险金死亡年末给付 保费离散缴费（期初缴付） 保险金死亡即刻给付 保费离散缴费（期初缴付）
完全离散均衡纯保费
半连续均衡纯保费
均衡纯保费的核心原理
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保 险期限内的生存期间受益的生存年金
1 1 x： Px： A a Dx n ( N x N x n ) x： n n n
n年生存保险
限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
1 P ( a ) A h x:m a x m a x:h Dx m N x m ( N x N x h ) m x
年付h次的生存年金
(h) x (h) x
x:n | a
ax:n |
(h) x:n | (h) x:n |
， m| a ，a a a ， m| a ，a
(h) x
(h) x
(h) a m| x:n | (h) a m| x:n |
两全保险趸缴纯保费（死亡受益、死亡即刻（年末）支付， 生存受益期末支付） A ( A )
Ax:n | Ax:n |
（2）生存年金：
1 1 m| Ax: n | 1
常见险种的趸缴纯保费
（2）生存年金（在保险期限内的生存期间受益） 连续型生存年金：
awk.baidu.com， m| ax，ax:n|
m|
ax:n |
m|
m|
离散型生存年金（期初支付和期末支付）
x， m| a x，a x:n| a ax， m| ax，ax:n|
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
h
P ( Ax ) Ax a x： h
h
P ( Ax： ) Ax： a x： n n h
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
k|
q 0.25，k 01 ， ， 2， 3 i 0.05
均衡纯保费的分类
期缴保费收入精算现值： 连续缴费 x a 离散缴费：期初缴 1 期末缴 (x) 保险金给付精算现值： Ax
死亡即刻给付 死亡年末给付
1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
T(x)
1
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保险期
保险人的潜在亏损均值为零，即E（L）=0。 L=给付金现值-纯保费现值 E（纯保费现值）=E（给付金现值）
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系 E（均衡纯保费现值） =E（给付金现值） = 趸缴纯保费
对保险人而言： 期缴保费收入精算现值 保费收入精算现值： 趸缴和期缴 (x) 保险金给付精算现值： 保险理赔支出精算现值
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x n ) n n n
h
x： Px Ax a M x ( N x N x h ) h
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x h ) n n h
二、期缴纯保费与均衡纯保费
趸缴纯保费 期缴纯保费 若保费的缴付以被保人的生存为条件，在 约定的缴费期内，从投保时刻起每期缴付一 定的金额，直至被保人死亡或约定的缴费期 界满为止。 均衡纯保费：在生存的缴费期内，若期缴纯 保费每时点缴付金额相等。
期缴（均衡）纯保费厘定原则
纯保费厘定原则——收（纯保费缴纳）支（理赔给付）平衡：
h x
限期缴费终身寿险均衡纯保费的厘定
h
x:h | Px a
Px h Px (x) 0 1
h
h
Ax
Px 0 h-1 h
0
K
K+1
T(x)
T(x)=t K(x)=k
1
厘定过程：
Ax h Px x:h | a
二、全期缴费定期寿险
条件：（x）死亡年末给付1单位的n年定期人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 此时均衡纯保费记为 1 Px:n | 厘定过程：
x:n | Px1:n | a
A
Px1:n | Px1:n Px1:n | | (x) 0 1 2
1 x:n |
Px1:n |
K
K+1 T(x)=t K(x)=k
n T(x)
1
例6.2.2（P103）
记全离散n年期两全保险的保险人损失随机变 量L ： （1）写出L的表达式； （2）求全离散n年期两全保险的均衡纯保费； （3）写出L的方差表达式。
例6.1.3（P97）
对完全连续n年期两全保险的保险金额为 1单位，试导出其年缴均衡纯保费，并用 其趸缴纯保费符号表示其损失随机变量L 的方差表达式。 练习：当利息力为=0.05，死亡力为 =0.04，求解上述问题。
第2节 完全离散纯均衡纯保费厘定
一、终身寿险 1、全期缴费终身寿险 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人 从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 记均衡纯保费为Px 精算等价原理的图示过程： 期缴保费收入精算现值 Px ax (x) 0
例6.2.1：P100
设k | q x c(0.96)
k 1
, k 0,1,2, 。其中，
c 0.04 / 0.96 ，i 6%，试求Px和Var ( L)。
2、限期缴费终身寿险
限期缴费终身寿险，指在规定的年限内， 按年缴费直至被保险人死亡或缴费期限届 满时停止。 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿 保险，保费限期h年缴清，按年期初缴费。 此时，均衡纯保费记为： P
例6.2.3：P104
表示25的人投保保额为10000元的完全离散终身 寿险的年缴均衡纯保费，L()表示保单签发时保 险人亏损随机变量，若：
A25 0.19, A25 0.64, d 0.057
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人 寿保险，被保险人从保单生效起按年连续 交付保费，限期缴费期限为h年。（给付连 续，缴费也连续） 厘定过程：
h
P ( Ax ) Ax a x： h
常见险种的完全连续均衡纯保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期m年缴费延期m年的终身 生存年金
按保费的构成分：
按保费缴纳的方式分：
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费 连续型寿险（死亡受益、死亡即刻支付）
1 Ax，m| Ax，Ax :n |
1 A m| x:n|
离散型寿险（死亡受益、死亡年末支付）
Ax，m| Ax，A
1 x:n |
1 A m| x:n|
生存险趸缴纯保费
（1）生存保险（一次性生存受益，期末支付）
1
第1节
完全连续年缴均衡纯保费的厘定
一、全期缴费终身人寿保险
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单 生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 记 P 表示以被保人生存为条件的年缴均衡纯保费，则有 厘定过程：
P ( Ax ) ax
(x) 0 1 2
P ( Ax )
x:n x:n
年金和寿险关系
•以死亡年末给付的终身寿险和期初给付的 终身生存年金为例
x a
(x)
Ax 1 1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
K 1
T(x)
1
1 v x E[a K 1 ] E 1) a d
1 E (v 1) A1 x Ax k] d E[ zd d d
T(x)=t T(x)
Ax
1
完全连续年缴均衡纯保费的厘定（终身寿险）
P ( Ax ) ax
(x) 0 1
P ( Ax ) at |
2
P ( Ax )
T(x)=t
at |
T(x)
1v t
Ax
1 v t
Ax ax
1
P
P （ 1 ）L l (T ) v T P aT | l (t ) v t P ( Ax )at (1 )v t
K 1
x Ax 1 da ia x (1 i ) Ax a x Ax
(h) (h) x d (h) a Ax
x Ax 由 1 ）变形得： 1 da 2 1 v K 1 1 Ax Ax2 K 1 ] Var 2) Var[a 2 Var[ Z ] 2 d d d
T(x)=t K(x)=k
1
dAx Mx Ax x 0 Px (2) E ( L) 0 Ax Px a x 1 Ax a Nx
2 2 Px 2 2 A ( A ) x (3)Var ( L) (1 ) [ Ax ( Ax ) 2 ] x x )2 d (da
例6.1.2（P94）
已知利息力为=0.05，死亡力为=0.04， 求
(1) P ( Ax )
(2)Var ( L)
核心原理
潜在损失随机变量
L l (T ) bT vT P Y Z P Y
期缴保费使得期望损失为零，由此即可 求得各种均衡纯保费。
二、限期缴费终身人寿保险
(2) E ( L) 0 Ax P ( Ax )a x 0 P ( Ax ) (3)Var ( L) Var[v t (1 P
)
P
] (1
P
) 2 [ 2 Ax ( Ax ) 2 ]
2 a x Ax 2 2 Ax ( Ax ) 2 2 （ ）[ Ax ( Ax ) ] ax ( a x ) 2
死亡保险和生存保险
K
K+1 T(x)=t
1
T(x)
例6.1.1：P91
某保险公司计划发行一种人寿保单，该保单在死亡 年末支付1单位保险金，保费在被保人活着的每年初 缴付。已知： 试根据以下原则确定年缴纯保费P： 原则1：P使得保单签单时的亏损现值期望为0 原则2：P使得保单签单时的亏损为正的概率不超过 0.25的最低额。
Ax
Px Px Px Px
Px
K K+1 T(x)
1
2
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
1
全期缴费的终身寿险均衡纯保费厘定过程
x Px a
(x) x 0
Ax
P
Px
Px
Px
Px
K
K+1
1
2
T(x)
厘定过程：
K 1 (1) L v K 1 Px a K 0,1,2,