连续复利公式

连续复利公式

一、名义利率、实际利率、连续复利

当计息周期不是年，如何将其转化为年利率？在普通复利计算以及技术经济分析中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率。

由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等。这样，一年内计算利息的次数不止一次了，在复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。

假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次”。这个年利率12%称为“名义利率”。也就是说,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积。若按单利计算，名义利率与实际利率是一致的，但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应比12%略大些。为12.68%。

例如，本金1000元，年利率为12％，若每年计息一次，一年后本利和为：F＝1000＊（1＋0.12／12）12＝1126.8（元）

实际年利率i为：i=(1126.8-1000)/1000*100%=12.68%

这个12.68%就是实际利率。

在上例中，若按连续复利计算，实际利率为：i=e0.12-1=1.1257-1=12.75%

设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率应为r／m，求一年后本利和、年利率？

分析：单利方法：一年后本利和F=P(1+i期×m) 利息P×i期×m

年利率：P×i期×m / P = i期×m = r

复利方法：一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息P(1+i期) m - P

年利率：i = [ P(1+i期) m—P]/ P = (1+i期) m -1

所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期) m–1= (1+r/m) m–1

当m＝l时，名义利率等于实际利率；

当m＞1时，实际利率大于名义利率。

当m →∞时，即按连续复利计算时，i与r的关系为：

名义利率：非有效利率，是指按单利方法计算的年利息与本金之比。

实际利率：有效利率，是指按复利方法计算的年利息与本金之比。

不同计息周期情况下的实际利率的计算比较

计息周期一年内计息周期数(m) 年名义利率(r)% 期利率

(r/m)% 年实际利率(i)%

年 1 12.00 (已知) 12.00 12.000

半年 2 12.00 (已知) 6.00 12.360

季度 4 12.00 (已知) 3.00 12.551

月12 12.00 (已知) 1.00 12.683

周52 12.00 (已知) 0.2308 12.736

日365 12.00 (已知) 0.03288 12.748

连续计息∞12.00 (已知) → 0 12.750

从表中可知，复利计息周期越短，年名义利率与年实际利率差别越大，年实际利率越高。

例3-7：某项工程四年建成，每年初向银行贷款100万元，年名义利率8%，每月计息一次，工程建成后应向银行偿还的本利和是多少。

提示：(P)

m=12r=8%

i=(1+r/m)m–1

=(1+8%/12)12–1=8.3%

F=A{[(1+i)n–1]/i}(1+i)

=100×[(1.0834-1)/0.083]×1.083

=490.18(万元)

例3-8：某个项目需投资10万元，若每年能回收投资2.4万元，按折现率10%计算，大约多少年能全部收回投资?

提示：(P)

•P=10，A=2.4，i=10%

且P=A[(1+i)n-1]/[i(1+i)n]

P i(1+i)n=A(1+i)n-A(1+i)n(A-P i)=A(1+i)n

=A/(A-P i)

∴n=[㏒A-㏒(A-P i)]/㏒(1+i)

=[㏒2.4-㏒(2.4-10×10%)]/㏒(1+10%)

=5.7(年)

∴大约六年可以全部收回投资。

连续复利

连续复利(Continuous compounding)

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什么是连续复利

复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后，就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。

而连续复利则是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。

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连续复利的计算公式

设本金为p

0，年利率为i，当每年含有m个复利结算周期（若一个月为一个复利结算周期，则m=12，若以一季度为一个复利结算周期，则m=4）时，则n年后的本利和为：

当复利结算的周期数（这意味着资金运用率最大限度的提高）时：

(1)

即：p

n = p0e ni

公式（1）称为连续复利公式