复变函数PPT第三章

1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2

1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
(0 t 1),
(2) 积分路径的参数方程为
z ( t ) t it 2
于是 Re z t , dz (1 2ti )dt ,
C Re zdz 0 t (1 2it )dt
t 2i 3 1 2 t i; 2 3 0 2 3
1 2 2 1
C
C
xdx ydy i ydx xdy
C C
这两个积分都与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点到点 4i 的曲线, 都有 3 1 zdz ( 3 4i )2 . C 2
例2 计算 Re zdz , 其中 C 为 :
C
(1)从原点到点1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 2 上从原点到点1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1 i 的折线.
z z0 re i (0 2π ), 解 C的参数方程为 i 2 π ire 1 i 2 π i ( n1) d C ( z z0 )n dz 0 r ne in d r n1 0 e 2 i 2π 2 i , n 1, n1 cos(n 1)d i sin(n 1) d 0 0, 0 r n 1.
1 2i , 所以 r ( z z0 )n dz 0, z z0
n 1, n 1.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
例4
设 C 为从原点到点 3 4i 的直线段,
1 试求积分 dz 绝对值的一个上界. C z i 解 C 的参数方程为 z ( 3 4i )t , (0 t 1) 1 1 ds dz 根据估值不等式知 C C zi zi 1 1 因为在 C 上, z i 3t (4t 1)i 1 1 5 , 2 ( 3t )2 (4t 1)2 4 9 3 25 t 25 25 1 25 1 5 25 故 dz . 从而 dz ds C zi C zi 3 3 C 3 5
小结与思考
本课学习了复积分的定义、存在条件以及计
算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中
的线积分完全相似的性质.
本课中重点掌握复积分计算的一般方法.
思考题
复函数 f ( z ) 的积分定义式 与一元函数定积分是否 一致?
f ( z )dz C
思考题答案
若 C 是实轴上区间[ , ], 则 f ( z )dz f ( x )dx ,
2
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
e dz. 2 z 5z 6
z

z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
o
1
x
C
0 2i 2i 0 4i .
柯西积 分定理 重要 公式 重要 公式 柯西积 分定理
思考题答案
1. 应用柯西–古萨定理应注意什么? (1) 注意定理的条件“单连通域”.
1 1 3 反例 : f ( z ) 在多连通区域 z 内解析，单位圆 1 z z 2 2 1 是该区域内一条闭曲线 ，但 2 i 0 . z 1 z
i 0
0
i 0
i
zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
e 1 1.
使用:“分 部积分法”
i i sin i cos z 0 i sini cos i 1
课堂练习
求
1i
1
ze z dz 的值.
答案
ie(cos1 i sin1).
2 例8．求 C ( 2 z 8 z 1)dz 的值. 其中 C 是连接
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
解 直线段方程为 z ( 3 4i )t , 0 t 1.
dz ( 3 4i )dt ,
1 ( 3 4 i ) td t ( 3 4 i ) 2 . C zdz 0 (3 4i ) tdt 0 2 又因为 zdz ( x iy )(dx idy )
例3 计算积分 (2z 2 e z cos z )dz . z 5 解
函数 2 z 2 e z cos z 在闭区域 z 5 上解析,
根据柯西－古萨定理，有

z 5
(2z 2 e z cos z )dz 0.
例4 计算积分

z i 1
ez 解 函数 2 的奇点为z 2,3, 都在曲线 z 5z 6 ez z i 1外部, 即 2 在 闭区域 z i 1上解析 . z 5z 6 z 根据柯西－古萨定理得 e
(2) 注意定理的不能反过来用.
即不能由 f ( z )dz 0, 而说 f ( z ) 在 C 内处处解析 .
C
反例 : f ( z ) z 在单位圆 z 1内处处不解析，但

z 1
z dz

2
0
1 ie d i (cos i sin )d 0.
1
C
a
C1
2i , n 1 1 故 dz n (z a) n 1. 0, C
重要 积分 公式
2z 1 例11 计算积分 2 dz , C 为包含圆周 z 1 C z z y 在内的任何正向简单闭曲线.
2z 1 因为被积函数 2 在复 z z 平面内有两个奇点 0 和 z 1, z
0
i
2
2. 解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公 式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同? 两者的提法和结果是类似的.
但在复积分中要求 f ( z ) 为单连域中的解析函数, 且积分路线是曲线C , 因而 z0 , z都是复数;
在实积分中要求 f ( x ) 为区间[a , b] 上的连续实函 数, a , x都是实数.
两者对函数的要求差异很大.
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式 二、最大模原理
例1
计算下列积分
1 sin z ez (1) 4 z dz； 2 z4 z 3 z 1 dz . z
解 由柯西积分公式 sin z (1) dz 2i sin z 0; z 0 z z 4 z z 1 e 1 e dz dz ( 2) z 3 z 1 dz z3 z 1 z 4 z 4 z 4


2i 1 2i e
1
2i (1 e ).
1
例2 计算下列积分 1 z (1) 1 dz ; ( 2 ) dz . 2 2 z i z ( z 1) z 2 ( 9 z )( z i ) 2
1 f (z ) 1 1 z( z i ) 解 (1) 2 z ( z 1) z ( z i )( z i ) z0 i , zi
0 到 2π a 的摆线 : x a( sin ), y a(1 cos ).
解 因为函数 2 z 2 8 z 1 在复平面内处处解析,
所以积分与路线无关, 根据N-L公式:
C ( 2 z
2
8 z 1)dz
2 a
2 a
0
( 2 z 8 z 1)dz
C

如果 f ( x ) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.
一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分 记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分, 要受积分路

线的限制, 必须记作 f ( z )dz .
C
§3.2 柯西积分定理
一、基本定理 二、原函数
三、复合闭路定理
例6 解
求 z cos z 2dz 的值.
0
i
1 i z cos z dz cos z 2dz 2 2 0
2
1 sin z 2 1 sin( 2 ) 1 sin 2 . 2 2 0 2
i
例7 解
求 z cos zdz 的值.
0
i
0
i
z cos zdz
于是 Re z 1, dz idt ,
y
i
1 i
y x2
C Re zdz tdt 1 idt i .
1 1 0 0
1 2
注： 此例说明积分 C Re zdz 与路线有关．
o
1
x
1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 例3 求 n C (z z ) 0 径的正向圆周 n 为整数. ,
解（方法一）
o

1
x
C
依题意知, C也包含这两个奇点， 由上例的结论，
2z 1 z 2 z dz C
1 1 1 1 z z 1 dz z dz z 1 dz C C C 2 i 2 i 4i .
Байду номын сангаас
（方法二）
分割包围!
2
2 3 16 3a 3 16 2a 2 2a . 2 z 4z z 3 3 0
ez 例9 计算积分 dz , 为正向圆周 z 2 和负 z y C1 向圆周 z 1 所组成.
C2 解 C1 和 C 2 围成一个圆环域, 1 o z e 函数 在此圆环域和其边界 z 上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路, ez 根据闭路复合定理， z dz 0.
2 1
i
1
y
1 i
y x2
o
1
x

C
Re zdz ,
(3)从原点沿x轴到1，再从1到1+i的折线. (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z( t ) t (0 t 1),
于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为 z( t ) 1 it (0 t 1),
解 (1) 积分路径的参数方程为
z( t ) t it (0 t 1),
i
y
于是 Re z t , dz (1 i )dt ,
1 i
1 C Re zdz 0 t (1 i )dt 2 (1 i );
1
o
1
x

C
Re zdz ,
(2)
抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；