线性代数第五章第二讲
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线性代数 第五章 第二节
作下面的乘法得
2 0 1 Aa1 a1 , Aa2 3a2 , Aa3 . 1 3 1
不是3的倍数
二、特征值与特征向量的概念
1. 定义 定义 6 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n
维非零列向量 x 使关系式 Ax = x （1）
第二节
方阵的特征值与特征向量
主要内容
引例 特征值与特征向量的概念
特征值与特征向量的求法
特征值与特征向量的性质
一、引例
引例
设
1 0 2 0 1 A , a1 , a2 , a3 . 2 3 1 1 1
1 1
1
由于A* | A | A1 ,由上面的结论以及(1)可得 | A| 为A* 对应于特征向量x的特征值.
所以
1
x
为A1对应于特征向量x的特征值.
例 3 已知 A的特征值为1，2，3. 求 |A2-2E| .
解 设是A的特征值，x是对应的特征向量，则 Ax x A( Ax) A( x)
-2 1 1 0 2 0 , 求A的特征值和特征向量. 例 1 设A= 4 1 3 -2- 1 1
解 A的特征多项式为 | A E |
0 4 2 1 0 ( 2)2 ( 1) 3
所以A的特征值为1 1, 2 3 2.
a n1 an 2 ann
= n (a11 a22 ann ) n1 (1)n | A |,
比较前的系数可得结论.
三、特征值与特征向量的求法
求矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤如下：
2 0 1 Aa1 a1 , Aa2 3a2 , Aa3 . 1 3 1
不是3的倍数
二、特征值与特征向量的概念
1. 定义 定义 6 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n
维非零列向量 x 使关系式 Ax = x （1）
第二节
方阵的特征值与特征向量
主要内容
引例 特征值与特征向量的概念
特征值与特征向量的求法
特征值与特征向量的性质
一、引例
引例
设
1 0 2 0 1 A , a1 , a2 , a3 . 2 3 1 1 1
1 1
1
由于A* | A | A1 ,由上面的结论以及(1)可得 | A| 为A* 对应于特征向量x的特征值.
所以
1
x
为A1对应于特征向量x的特征值.
例 3 已知 A的特征值为1，2，3. 求 |A2-2E| .
解 设是A的特征值，x是对应的特征向量，则 Ax x A( Ax) A( x)
-2 1 1 0 2 0 , 求A的特征值和特征向量. 例 1 设A= 4 1 3 -2- 1 1
解 A的特征多项式为 | A E |
0 4 2 1 0 ( 2)2 ( 1) 3
所以A的特征值为1 1, 2 3 2.
a n1 an 2 ann
= n (a11 a22 ann ) n1 (1)n | A |,
比较前的系数可得结论.
三、特征值与特征向量的求法
求矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤如下：
线性代数第二讲共59页
线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ代数第二讲
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
线性代数第五章
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第五章 二次型
§5.2 化二次型为标准形
例4. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 并求所用的变换矩阵. 解: 先配x1. 令x1 = y1 + y2, x2 = y1 – y2, x3 = y3. 则f =2y12 – 2y22 – 4y1y3+8y2y3. 配方得f = 2(y1 – y3)2 – 2y32 – 2y22 +8y2y3 = 2(y1 – y3)2 – 2(y2 – 2y3)2 +6y32. 令z1=y1–y3, z2=y2–2y3, z3=y3, 则f = 2z12 – 2z22 +6z32. 1 0 1 1 1 0 2 y=P2y. 可逆线性变换 x = 1 1 0 y=P1y, z = 0 1 0 0 1 0 0 1
实二次型 标准形 解决了实对称阵的正交相似对角化问题，其中 对角阵的主对角线元素是实对称阵的特征值;
三. 用配方法化实二次型为标准形 对应一般的可逆线性变换，可得到的实二次型 的标准形，但标准形也不唯一.
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n
正交变换
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
一. 惯性定理
二. 二次型的正定性
共同的性质：自反性、对称性、传递性
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第五章 二次型
§5.2 化二次型为标准形
§5.2 化二次型为标准形
一. 用正交变换化二次型为标准形 二. 用配方法化二次型为标准形
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第五章 二次型
§5.2 化二次型为标准形
一. 用正交变换化实二次型为标准形
第五章 二次型
§5.2 化二次型为标准形
例4. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 并求所用的变换矩阵. 解: 先配x1. 令x1 = y1 + y2, x2 = y1 – y2, x3 = y3. 则f =2y12 – 2y22 – 4y1y3+8y2y3. 配方得f = 2(y1 – y3)2 – 2y32 – 2y22 +8y2y3 = 2(y1 – y3)2 – 2(y2 – 2y3)2 +6y32. 令z1=y1–y3, z2=y2–2y3, z3=y3, 则f = 2z12 – 2z22 +6z32. 1 0 1 1 1 0 2 y=P2y. 可逆线性变换 x = 1 1 0 y=P1y, z = 0 1 0 0 1 0 0 1
实二次型 标准形 解决了实对称阵的正交相似对角化问题，其中 对角阵的主对角线元素是实对称阵的特征值;
三. 用配方法化实二次型为标准形 对应一般的可逆线性变换，可得到的实二次型 的标准形，但标准形也不唯一.
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正交变换
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
一. 惯性定理
二. 二次型的正定性
共同的性质：自反性、对称性、传递性
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第五章 二次型
§5.2 化二次型为标准形
§5.2 化二次型为标准形
一. 用正交变换化二次型为标准形 二. 用配方法化二次型为标准形
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第五章 二次型
§5.2 化二次型为标准形
一. 用正交变换化实二次型为标准形
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(x12 4x1x2 2x1x3) 2x22 3x32 8x2x3
(x1 2x2 x3)2 2(x22 2x2x3) 2x32
(x1 2x2 x3)2 2(x2 x3)2 4x32
令
y1
x1
2x2
x3
y2
x2 x3
y3
x3
即
y1 1 2 1 x1
1 1 0 1 0 1 z1
1
1
0
0
1
1
z2
0 0 1 0 0 1 z3
1 1 0 z1
1
1
2
z2
0 0 1 z3
方法总结
（1）如果二次型 f 中含有变量 xi 的平方项，则 先把含有 xi 的项集中，按 xi 配方，然后按 此法对其他变量逐步配方，直至将 f 配成 平方和形式
例2 用正交变换法将二次型
f x1, x2, x3 x12 2x12 2x32 4x1x3
化为标准型，并写出所用的正交变换. 解 二次型矩阵为
1 0 2
A
0
2
0
2 0 2
求A的特征值：
1 0 2
AE 0 2 0 22 6
2 0 2
22 3
则A的特征值为 1 2 2, 3 3
求A属于 1 2 2 的特征向量,求解齐次线性方程组
A 2E x 0
其一个基础解系
0
1
1
,
0
2
2
0
1
显然 a1, a2 正交，再单位化得
0
1
1
,
0
2 5
5
2 0
5 5
求 3 3的单位特征向量，即求解其次方程组
(x1 2x2 x3)2 2(x22 2x2x3) 2x32
(x1 2x2 x3)2 2(x2 x3)2 4x32
令
y1
x1
2x2
x3
y2
x2 x3
y3
x3
即
y1 1 2 1 x1
1 1 0 1 0 1 z1
1
1
0
0
1
1
z2
0 0 1 0 0 1 z3
1 1 0 z1
1
1
2
z2
0 0 1 z3
方法总结
（1）如果二次型 f 中含有变量 xi 的平方项，则 先把含有 xi 的项集中，按 xi 配方，然后按 此法对其他变量逐步配方，直至将 f 配成 平方和形式
例2 用正交变换法将二次型
f x1, x2, x3 x12 2x12 2x32 4x1x3
化为标准型，并写出所用的正交变换. 解 二次型矩阵为
1 0 2
A
0
2
0
2 0 2
求A的特征值：
1 0 2
AE 0 2 0 22 6
2 0 2
22 3
则A的特征值为 1 2 2, 3 3
求A属于 1 2 2 的特征向量,求解齐次线性方程组
A 2E x 0
其一个基础解系
0
1
1
,
0
2
2
0
1
显然 a1, a2 正交，再单位化得
0
1
1
,
0
2 5
5
2 0
5 5
求 3 3的单位特征向量，即求解其次方程组
线性代数第五章
１．内积 ２．向量旳范数 ３．许瓦兹不等式
x x1 , x2 , , xn T , y y1 , y2 , , yn T
称 xT y x1 y1 x2 y2 xn yn
为向量 x与 y 旳内积，记为 x , y．
2
内积满足下列运算规律：
⑴ x, y y, x
⑵ kx , y kx ,y
15
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵
1.正交矩阵 2.正交变换
定义５．２ 假如 n阶方阵 A 满足AT A I
则称 A 为正交矩阵．
定理５．３ 假如 A , B均为 n 阶正交矩阵，
那么：⑴ A1 AT
⑵ AT 即 A1 为正交矩阵
⑶
1 2
A A
A A
为
2n
阶正交矩阵
⑷ AB，BA 都是正交矩阵
8
定理5．２ 若 1 , 2 , , r为 n 维正交向
量组，且 r n ，则必有非零 n 维向量 x ， 使 x 与 1 , 2 , , r 两两正交．
推论：对 rr n个两两正交旳 n 维非零向量，总
能够添上 n r个 n 维非零向量，使 n 个向
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空
第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵旳特征值与特征向量 第三讲 相同矩阵与实对称矩阵旳对角化 第四讲 二次型及其原则形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课
1
第一讲 正交向量组与正交矩阵
一．向量旳内积与许瓦兹
（Schwarz）不等式
１．内积
内积定义：对 n维列向量
19
第二讲 方阵旳特征值和特征向量
1.定义
线性代数第2讲
线性变换
y1 y2
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 , a23 x3 ,
也可写成矩阵形式
Ax=y
(1.7)
(1.7')
14
设另有由变量y1,y2到变量z1,z2,z3旳 线性变换
z1 z2
b11 y1 b21 y1
b12 y2 , b22 y2 ,
z3 b31 y1 b31 y2 ,
160
,
即一年后, 农村人口240万, 城市人口160万.
30
x1 y1
0.7 0.3
0.2 0.8
320 80
240 160
,
记矩阵
A
0.7 0.3
0.2 0.8
,
则
x1 y1
A
320
80
于是
x2 y2
A
x1 y1
A2
320
y1 y2
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 , a23 x3 ,
(1.7)
其中aij为常数(i=1,2;j=1,2,3), 它们构成矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
,
称为线性变换(1.7)旳矩阵.
(1.8)
13
线性变换与此线性变换旳矩阵相互 唯一拟定.
b
a
d
c
图1.1
44
解 继续考虑图1.1旳邻接矩阵A.
0 1 1 0
A
1
0
1
0
.
1 0 0 1
0
1
1
0
45
第5章_线性代数PPT课件
9/16
2、符号矩阵的其他运算 (1)转置运算：transpose >> B=sym('[a,b;c,d]'); >> B' [ conj(a), conj(c)] [ conj(b), conj(d)]
>> transpose(B) [ a, c] [ b, d]
10/16
(2)行列式运算：det(A) (3)求逆运算：inv(A)或A^(-1) (4)求秩运算：rank(A) (5)求特征值运算：[V,D]=eig(A) >> A=sym('[1,2;3,4]') >> eig(A)
(7)约当标准型运算：[B,C]=jordan(A)
12/16
3、符号代数线性方程(组)的求解 例：求解方程ax2 bx c 0。
>> f='a*x^2+b*x+c'; >> solve(f) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
8/16
四、符号矩阵运算
1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：
+、－、*、.*、/、./、\、.\、^、.^实现。
>> B=sym('[a,b;c,d]'); >> C=sym('[x,y;z,w]'); >> B*C ans = [ a*x+b*z, a*y+b*w] [ c*x+d*z, c*y+d*w]
7 10 A * A 15 22
2、符号矩阵的其他运算 (1)转置运算：transpose >> B=sym('[a,b;c,d]'); >> B' [ conj(a), conj(c)] [ conj(b), conj(d)]
>> transpose(B) [ a, c] [ b, d]
10/16
(2)行列式运算：det(A) (3)求逆运算：inv(A)或A^(-1) (4)求秩运算：rank(A) (5)求特征值运算：[V,D]=eig(A) >> A=sym('[1,2;3,4]') >> eig(A)
(7)约当标准型运算：[B,C]=jordan(A)
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3、符号代数线性方程(组)的求解 例：求解方程ax2 bx c 0。
>> f='a*x^2+b*x+c'; >> solve(f) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
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四、符号矩阵运算
1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：
+、－、*、.*、/、./、\、.\、^、.^实现。
>> B=sym('[a,b;c,d]'); >> C=sym('[x,y;z,w]'); >> B*C ans = [ a*x+b*z, a*y+b*w] [ c*x+d*z, c*y+d*w]
7 10 A * A 15 22
线性代数第五章
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
3、向量空间与基
向量空间的定义 :设V为n维向量的集合, 且V非空, 若集合V对 于向量的加法和数乘封闭： a, b V , k R,有
a b V , ka V , 则称集合V为向量空间. 向量空间中的一个最大无关组称为该向量空间的一个基. 如：
Rn : n 维实向量空间.
Rn中任意n个线性无关的向量组均可作为 Rn 的一组基.
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
可求得向量在标准正交基下的坐标. 因此，在给向量空间取 基时常常取标准正交基.
问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
4、求标准正交基的方法 基 正交基 标准正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程
, ,
ar b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 , ar ] [br1 , br1 ]
br
1
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即
线性代数 第5章方程组52PPT课件
100,
, 100.
分别代入上述方程组依次得:
x x x1 2 r b b b 12 r111, b b b 1 r2222, b b b1 2 r,,,n n n rrr.
从而求得原方程组的 n–r个解向量:
1
b
b b
11 21
r1
,
1
0
0
2
b
b b
12 224 30 0来自0031 ~ 0001
0 1 0 0
2 1
0 0
1 3 0 0
0021
得xx21
2x3 4x4 2x5 x3 3x4 x5
,令
x x
3 4
x5
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
.
所以原方程组的一个基础解系为:
1
1 1 0
2
,
2
0 1
A
~
10 00
0 1
0 0
b11 br1
0 0
b1,nr
br ,nr
0 0
则Ax = 0 x1 b11x r1 b1,n rxn. xr br1xr1br,nrxn
现对( xr+1, ···, xn )T 取下列 n–r 组数(向量):
xxxrrn12100,
1 3
,
3
2 1 0 0
.
0
0
1
故原方程组的通解为:
x = k11 + k22 + k33 , 其中k1, k2, k3 R.
例3: 设AmnBnl = Oml , 证明R(A)+R(B) n. 证明: 设B =(b1, b2, ···, bl ), 则
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
线性代数第5章
（1）λ0 是 A 的一个特征值 ⇔ λ0 是 A 的特征方程 λ I − A =0 的一个根，
（2）ξ 是 A 的属于特征值 λ0 的特征向量 ⇔ ξ 是 齐次线性方程组 (λ0I − A)X = 0 的一个非零解.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
如何求矩阵 A 属于特征值 λi 的全部特征向量？ (λi E − A)X = 0
先求出齐次线性方程组 (λi E − A)X = 0 的一个基础 解系，不妨设为η1,η2 ,,ηn−ri，其= 中 ri r(λi E − A). 所以 A的属于特征值 λi 的全部特征向量可表示为
X = k1η1 + k2η2 + + η k ， n−ri n−ri
其中 k1, k2 ,, kn−ri 为任意一组不全为零的常数. 特征子空间Vλ（i 包含零向量）---解空间
所以 A 的特征值为 λ1 = −7，λ2 = λ3 = 2 (二重根).
(2) 对于每个不同的特征值，求特征向量.
对于 λ1 =−7，解齐次线性方程组 (−7E − A)X =0
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
−8 2 −2 −2 −4 −5
(−7E − A=)
A
λi
2
−
λi
−
1 即为
( A* )2
−
A
−
E
的特征值，
即 − 2，2，4.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
例 若n阶矩阵A满足A2 = 4A,证明：矩阵A的 特征值只能是0或者4.
第二节 相似矩阵
线性代数
第五章 相似矩阵和矩阵的对角化
（2）ξ 是 A 的属于特征值 λ0 的特征向量 ⇔ ξ 是 齐次线性方程组 (λ0I − A)X = 0 的一个非零解.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
如何求矩阵 A 属于特征值 λi 的全部特征向量？ (λi E − A)X = 0
先求出齐次线性方程组 (λi E − A)X = 0 的一个基础 解系，不妨设为η1,η2 ,,ηn−ri，其= 中 ri r(λi E − A). 所以 A的属于特征值 λi 的全部特征向量可表示为
X = k1η1 + k2η2 + + η k ， n−ri n−ri
其中 k1, k2 ,, kn−ri 为任意一组不全为零的常数. 特征子空间Vλ（i 包含零向量）---解空间
所以 A 的特征值为 λ1 = −7，λ2 = λ3 = 2 (二重根).
(2) 对于每个不同的特征值，求特征向量.
对于 λ1 =−7，解齐次线性方程组 (−7E − A)X =0
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
−8 2 −2 −2 −4 −5
(−7E − A=)
A
λi
2
−
λi
−
1 即为
( A* )2
−
A
−
E
的特征值，
即 − 2，2，4.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
例 若n阶矩阵A满足A2 = 4A,证明：矩阵A的 特征值只能是0或者4.
第二节 相似矩阵
线性代数
第五章 相似矩阵和矩阵的对角化
线性代数第5章课件资料
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
(2) [x, y] = (-2) 3 1(-6) 0 8 3 4 = 0
若x, y, z为n维实向量, 为实数,内积的性质为：
(i) [ x, y] = [ y, x],
(ii) [ x, y] = [ x, y],
(iii) [ x y, z] = [x, z] [ y, z]. (iiii) [ x, x] 0,当且仅当x = 0时, [ x, x] = 0.
(1)式也可写成 (A- E) x = 0 (2)
a11 - a12
a1n
行列式 f ( ) = A - E = a21 a22 -
a2n
an1
an2
称为方阵 A 的特征多项式.
ann -
方程 f ( ) = A - E = 0是以为未知数的一元
n次方程,称为n 阶矩阵A的特征方程。
显然, A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复 数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算), 因此,n 阶方阵有 n 个特征值.
1
1
正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2 , a3两两正交。
解记
A=
α1' a2'
=
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
(2) [x, y] = (-2) 3 1(-6) 0 8 3 4 = 0
若x, y, z为n维实向量, 为实数,内积的性质为：
(i) [ x, y] = [ y, x],
(ii) [ x, y] = [ x, y],
(iii) [ x y, z] = [x, z] [ y, z]. (iiii) [ x, x] 0,当且仅当x = 0时, [ x, x] = 0.
(1)式也可写成 (A- E) x = 0 (2)
a11 - a12
a1n
行列式 f ( ) = A - E = a21 a22 -
a2n
an1
an2
称为方阵 A 的特征多项式.
ann -
方程 f ( ) = A - E = 0是以为未知数的一元
n次方程,称为n 阶矩阵A的特征方程。
显然, A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复 数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算), 因此,n 阶方阵有 n 个特征值.
1
1
正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2 , a3两两正交。
解记
A=
α1' a2'
=
线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量
解得x 4.
故应填 4
14
有关特征值的性质
性质5.2 矩阵A与AT 有相同的特征值.
证 AT E ( A E)T A E
性质5.3 设A 是n 阶可逆矩阵， 为其特征值，则(1) 0;
(2) 1 是A1 的特征值.
证 (1) 假设 0，则由定义知A 0 0.
而矩阵A可逆，故上式两端同时左乘A1 得 A10 0.
(1) 12 n A ; (2) 1 2 n a11 a22 ann.
定义5.2 设矩阵A aij nn ，称a11 a22 ann为矩阵A 的迹.
7 4 1
例1
已知三阶矩阵A
4
7 1 有特征值1 2 3，
4 4 x
3 =12，则x ______ .
解 1 2 3 a11 a22 a33， 即3 3 12 7 7 x，
这与特征向量 0矛盾，故 0.
(2) 由条件知有非零向量 满足A ，两边左乘以A1 得 A1
因 0，于是有 A1 1 ①
所以 1 为A1的特征值.
15
有关特征值的性质
性质5.4 若是A 的特征值，则f ()是f ( A) 的特征值.
代数多项式 f (x) am xm am1xm1 a1x a，0 矩阵多项式 f ( A) am Am am1Am1 a1A a0E. 例2 已知三阶矩阵A 的特征值 1，1，2，求 A3 5A2 .
7
特征值与特征向量的定义
2 1 1
求矩阵的特征值与特征向量：A
0
2 0.
4 1 3
对2 3 2，解方程组( A 2E) X 0，
4 1 1 4 1 1
A
2E
0
0
0
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解
+ a 1λ + a 0 ,
f AT ( λ) = λE - A (E A)
T
T
E A f A ( ),
A与 AT 有相同的特征多项式 .
例5 设A是 3 阶矩阵, 它的 3 个特征值为 λ1 = 1,
3 2 = -1, = 2, 设 B = 5 λ2 λ3 A A , 求 B ; A - 5E .
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似． 注： 如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n 个 但如果能找到 n个线性无关的特征向量， 线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，
A
还是能对角化．
6 0 4 例1 设 A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.
则有 2 1 P AP 0 0
0 0 1 0 . 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．
定理5
对称矩阵的特征值为实数.
意义 由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次
令
2 0 1 P 1 , 2 , 3 1 0 1 0 1 1
1 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2
则有
注意
1 2 0 若令P 3 , 1 , 2 1 1 0 , 1 0 1
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把 A变成
P
1
，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的相似变换矩阵． AP
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方 法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再 对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为 比较简单的对角矩阵的运算．
4. 对称矩阵的性质：
1 , 2 , , t ，则 x k11 k2 2 kt t k1, k2 , , kt不全为0
求出其基础解系 为该特征值所对应的全部特征向量．
关于特征值的其他问题
例4 设A是n阶方阵, 其特征多项式为 f A( λ) = λE - A = λ n + a n-1 λ n-1 + 求 : 求 AT 的特征多项式;
特别地, 若可逆矩阵P使 P 1 AP 为对角矩阵, 则 A P P ,
k k 1
( A) P ( ) P 1 .
k 1 k 2 k , k n
对于对角矩阵 , 有
( 1) ( 1) ( ) , ( 1)
( 2) 12 n A .
特征值的性质:
特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式 A λE ； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 或 将第一步与第二步合并，即直接求解
特征方程
A λE 0
i
第三步 将每一个特征值 λ 代入
A λi E x 0，
解
4 A E 3 3
6
0
2
5 0 1 2 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
A的多项式 ( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P 1 a1 P Bn1 P 1 a n1 PB P 1 a n PE P 1
P (a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E ) P 1 P ( B ) P 1 .
利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 ( A . )
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶 方 阵 A ,若 可 找 到 可 逆 矩 阵 P ,使 P 1 AP Λ为 对 角 阵这 , 就称为把方阵 A对 角 化.
定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即 A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 .
分析 利用行列式与特征值的关系来计算
( 2) 12 n A .
令f ( x ) x3 5 x2 , 因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值 ,
所以 f ( λi )(1 i 3)是 f ( A) = A3 - 5 A2 = B 的全 部特征值.故
B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 )
解之得基础解系
2 1 1 , 0
0 2 0 . 1
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1 .
T
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 所以 A 可对角化.
1 2 n 若 阶方阵A与对角阵 n
相似, 则λ1 , λ2 , , λn即是A的n个特征值.
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PB P 1 , 则
A PB P 1 PB P 1
k
k个
PB P 1 P Bk P 1 .
(1) A与B相似, 则det( A) det( B); 1 ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 与
B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数; (4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式, 则f ( A)与
f ( B )相似.
3．相似变换与相似变换矩阵
推论 设A为n阶对称矩阵, λ 是A的特征方程的 r 重根,则矩阵 A λE 的秩 R(A λE) n r ,从而 对应特征值 λ 恰有 r 个线性无关的特征向量 .
小结与作业
1. 求矩阵特征值与特征向量 2．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性 质，除了课堂内介绍的以外，还有：
( 4)( 6)( 12) 288.
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P ,使 P -1 AP B, 则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P -1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
二、相似矩阵的性质 定理3 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 推论
复习: 特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵, 如果数λ和n维非零列向量 x 使关系式 Ax λx 成立,那末,这样的数λ称为方阵A的特征值, 非零向 量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
. A λE 0 为A的特征方程
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
定理6 设λ1 , λ2 是对称矩阵 A 的两个特征值 ,p1 , p2 是对应的特征向量, 若λ1 λ2 ,则p1与p2 正交.
定理7 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P ,使 P 1 AP Λ,其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
(1) 特征值为实数；
(2) 属于不同特征值的特征向量正交； (3) 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的 个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵 对角元素即为特征值．
+ a 1λ + a 0 ,
f AT ( λ) = λE - A (E A)
T
T
E A f A ( ),
A与 AT 有相同的特征多项式 .
例5 设A是 3 阶矩阵, 它的 3 个特征值为 λ1 = 1,
3 2 = -1, = 2, 设 B = 5 λ2 λ3 A A , 求 B ; A - 5E .
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似． 注： 如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n 个 但如果能找到 n个线性无关的特征向量， 线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，
A
还是能对角化．
6 0 4 例1 设 A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.
则有 2 1 P AP 0 0
0 0 1 0 . 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．
定理5
对称矩阵的特征值为实数.
意义 由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次
令
2 0 1 P 1 , 2 , 3 1 0 1 0 1 1
1 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2
则有
注意
1 2 0 若令P 3 , 1 , 2 1 1 0 , 1 0 1
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把 A变成
P
1
，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的相似变换矩阵． AP
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方 法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再 对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为 比较简单的对角矩阵的运算．
4. 对称矩阵的性质：
1 , 2 , , t ，则 x k11 k2 2 kt t k1, k2 , , kt不全为0
求出其基础解系 为该特征值所对应的全部特征向量．
关于特征值的其他问题
例4 设A是n阶方阵, 其特征多项式为 f A( λ) = λE - A = λ n + a n-1 λ n-1 + 求 : 求 AT 的特征多项式;
特别地, 若可逆矩阵P使 P 1 AP 为对角矩阵, 则 A P P ,
k k 1
( A) P ( ) P 1 .
k 1 k 2 k , k n
对于对角矩阵 , 有
( 1) ( 1) ( ) , ( 1)
( 2) 12 n A .
特征值的性质:
特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式 A λE ； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 或 将第一步与第二步合并，即直接求解
特征方程
A λE 0
i
第三步 将每一个特征值 λ 代入
A λi E x 0，
解
4 A E 3 3
6
0
2
5 0 1 2 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
A的多项式 ( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P 1 a1 P Bn1 P 1 a n1 PB P 1 a n PE P 1
P (a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E ) P 1 P ( B ) P 1 .
利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 ( A . )
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶 方 阵 A ,若 可 找 到 可 逆 矩 阵 P ,使 P 1 AP Λ为 对 角 阵这 , 就称为把方阵 A对 角 化.
定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即 A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 .
分析 利用行列式与特征值的关系来计算
( 2) 12 n A .
令f ( x ) x3 5 x2 , 因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值 ,
所以 f ( λi )(1 i 3)是 f ( A) = A3 - 5 A2 = B 的全 部特征值.故
B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 )
解之得基础解系
2 1 1 , 0
0 2 0 . 1
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1 .
T
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 所以 A 可对角化.
1 2 n 若 阶方阵A与对角阵 n
相似, 则λ1 , λ2 , , λn即是A的n个特征值.
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PB P 1 , 则
A PB P 1 PB P 1
k
k个
PB P 1 P Bk P 1 .
(1) A与B相似, 则det( A) det( B); 1 ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 与
B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数; (4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式, 则f ( A)与
f ( B )相似.
3．相似变换与相似变换矩阵
推论 设A为n阶对称矩阵, λ 是A的特征方程的 r 重根,则矩阵 A λE 的秩 R(A λE) n r ,从而 对应特征值 λ 恰有 r 个线性无关的特征向量 .
小结与作业
1. 求矩阵特征值与特征向量 2．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性 质，除了课堂内介绍的以外，还有：
( 4)( 6)( 12) 288.
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P ,使 P -1 AP B, 则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P -1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
二、相似矩阵的性质 定理3 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 推论
复习: 特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵, 如果数λ和n维非零列向量 x 使关系式 Ax λx 成立,那末,这样的数λ称为方阵A的特征值, 非零向 量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
. A λE 0 为A的特征方程
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
定理6 设λ1 , λ2 是对称矩阵 A 的两个特征值 ,p1 , p2 是对应的特征向量, 若λ1 λ2 ,则p1与p2 正交.
定理7 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P ,使 P 1 AP Λ,其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
(1) 特征值为实数；
(2) 属于不同特征值的特征向量正交； (3) 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的 个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵 对角元素即为特征值．