应力状态分析
应力状态分析
x y tan 2 2 xy
0
max, min
x y 2 xy 2 max min 2
2
38
2013-7-24
结论：(1)当倾角α转到 对应有 max 二者大小相等，均为
0
和 90 面时
0
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
2
在二向应力状态下，三个主应力中有一个 为零，将这三个主应力按如下顺序排序：
σ1σ2 σ3
2013-7-24 36
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
1
Mz Wz
3
x
z
2 3
T
Mx 4 Wp
Mz x4 Wz
2
Mx 3 Wp
17
由 Fsy 产生的切 应力忽略。
2013-7-24
在单元体内的各个面上，切应力为零的平 面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 一般来说，通过受力构件的任意点皆可以找 到三个互相垂直的主平面，因此每个点都有三个 主应力，分别用 1 , 2 , 3 表示，并按其代数值 排序。
0 .6
3
60MPa
01 15.5
02 15.5 90 105.5
（3）主应力单元体：
01
1
2013-7-24
44
三、平面应力状态分析——图解法
图解法即用一个平面图形——应力圆将一点 的应力状态完整的图示。应力圆又称莫尔圆 （Mohr.O，1835-1918，德国）。 方法是将α 作为参数，建立σα与τα的函数关系。
应力状态分析
0 67.5o
HOHAI UNIVERSITY
思考题： 一个单元体中最大正应力所在面上的切应力是否 一定为零？最大切应力所在面上的正应力是否也一 定为零？ τ
D2 A2 C D1 2α0
O
A1
σ
HOHAI UNIVERSITY
§5-3
基本变形杆件的应力状态分析
一、拉压杆件应力状态分析
分析单向受拉杆件中任一点的应力状态
应力状态分类： 单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态： 两个主应力不为零的应力状态
平面应力 状态 空间应 力状态
三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态 复杂应力状态： 二向和三向应力状态的统称
纯切应力状态：只有切应力，没有正应力
HOHAI UNIVERSITY
弯曲时工字形截面各点应力状态：
0 67.5o
主应力单元体为
HOHAI UNIVERSITY 3MPa
2.应力圆求解
1 0 67.5o
6MPa
x 6MPa
y 0
3
τ
x 3MPa
1 1.24MPa
D2
A2 C D1 O A1
2 0
σ
2α0
3 7.24MPa
2 0 135o
HOHAI UNIVERSITY
二、应力圆 σα= τα= σx +σy
2 σx -σy
2 σα-
+
σx -σy
2
cos2α -τxsin2α
sin2α +τxcos2α
σx +σy
2 τα=
=
σx -σy 2 σx -σy
cos2α -τxsin2α
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
第八章应力应变状态分析ppt课件
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
应力状态分析
物体在受力时，其边界上的应力受到外部约 束条件的影响。通过边界条件可以确定物体 边界上的应力分布。
02
CATALOGUE
应力状态分析方法
解析法
解析法是一种基于数学解析的应力状 态分析方法，通过建立物体的平衡方 程和边界条件，求解出物体内部的应 力分布。
解析法适用于简单形状和规则边界条 件的物体，计算精度高，但适用范围 有限。
复合材料性能评估
复合材料在航空航天工程中广泛应用，其性能与应力状态 密切相关。通过应力状态分析，可以评估复合材料的性能 特点，为材料选择和设计提供依据。
土木工程
桥梁和建筑物的承载能力评估
在土木工程中，桥梁和建筑物需要承受各种载荷，包括静载和动载。通过应力状态分析， 可以评估其承载能力，确保结构安全。
人工智能在应力状态分析中的应用
人工智能算法
利用人工智能算法，如深度学习、神 经网络等，对大量数据进行训练和学 习，自动识别和预测应力状态。
数据驱动模型
基于数据驱动模型，通过采集实验数 据和模拟数据，建立应力状态分析的 预测模型，提高分析精度和效率。
多物理场耦合的应力状态分析
多物理场耦合
考虑多种物理场之间的相互作用，如流场、温度场、电磁场等，建立多物理场 耦合的应力状态分析模型。
应力状态分析
contents
目录
• 应力状态分析概述 • 应力状态分析方法 • 材料应力状态分析 • 结构应力状态分析 • 应力状态分析的工程应用 • 应力状态分析的未来发展
01
CATALOGUE
应力状态分析概述
定义与概念
定义
应力状态分析是指对物体在复杂受力 情况下各点的应力大小、方向及主应 力的确定。
三维应力状态分析
三维应力状态分析
三维应力状态分析是工程力学中十分重要的一部分，它主要用于研
究物体内部各点的应力状态，并进一步分析物体在外力作用下的变形
和破坏情况。
本文将从应力的定义、三维应力分量、三维应力状态、
应力变换等几个方面展开探讨。
一、应力的定义
应力是描述物体内部单位面积上的力的作用情况的物理量，通常用
符号σ表示。
在三维坐标系下，应力可以分为三个方向上的分量：x方
向的应力σx，y方向的应力σy，z方向的应力σz。
其中，正应力代表
拉伸，负应力代表压缩。
二、三维应力分量
在三维空间中，一个点的应力状态可以用一个三维应力向量来表示，即：
σ = [σx, σy, σz]
三、三维应力状态
3D 应力分析会把其看到的那个body中的应力性质视的非常细致，
大部分的情况都会是标准状态非常好，而且力学方面的注意要细致而
恰当，所有的这些都是房屋抗震的基础；另一方面，首要条件是钢筋
混凝土类造体抗的震能。
四、应力变换
应力在不同坐标系之间的转换是三维应力分析中一个重要的内容。
在工程实践中，通常会遇到需要将应力从一个坐标系转换到另一个坐标系的情况，这时候就需要应力变换的知识来进行分析。
五、结论
通过对三维应力状态分析的讨论，我们可以更好地理解物体内部各点的应力情况，有助于设计和工程实践中的应力分析和结构设计。
希望本文的内容能为相关领域的研究和实践提供一定的参考，同时也欢迎各界同仁对三维应力状态分析进行更深入的研究和探讨。
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
应力分析
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
材料力学：第九章 应力状态分析
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
应力状态分析实验报告
一、实验目的1. 了解并掌握应力状态的基本概念。
2. 学习如何通过实验方法测定应力状态。
3. 掌握应力状态分析的基本原理和方法。
4. 培养实验操作技能和数据分析能力。
二、实验原理应力状态是指物体内部在受力作用下，各个点上的应力分布情况。
应力状态分析是研究物体内部应力分布规律的重要方法。
本实验主要研究平面应力状态和空间应力状态。
三、实验设备1. 载荷试验机2. 应变片3. 数据采集系统4. 比较材料5. 标准试验件四、实验步骤1. 实验准备（1）将试验件放置在试验机上，确保试验机水平。
（2）将应变片粘贴在试验件表面，确保应变片粘贴牢固。
（3）连接数据采集系统，检查系统是否正常工作。
2. 加载过程（1）按照实验要求对试验件进行加载。
（2）在加载过程中，实时采集应变数据。
（3）记录加载过程中的应力、应变数据。
3. 数据处理（1）将采集到的应变数据输入计算机，进行数据处理。
（2）根据应力-应变关系，计算应力状态。
（3）分析应力状态的变化规律。
4. 结果分析（1）根据实验数据，绘制应力-应变曲线。
（2）分析应力状态的变化规律，得出结论。
五、实验结果与分析1. 平面应力状态（1）在平面应力状态下，试验件表面出现正应力和剪应力。
（2）通过实验数据，可以计算出应力状态的变化规律。
（3）结果表明，随着加载力的增大，正应力和剪应力逐渐增大。
2. 空间应力状态（1）在空间应力状态下，试验件表面出现正应力和剪应力。
（2）通过实验数据，可以计算出应力状态的变化规律。
（3）结果表明，在空间应力状态下，应力状态的变化规律与平面应力状态相似。
六、实验结论1. 本实验成功地测定了应力状态，并分析了应力状态的变化规律。
2. 通过实验，掌握了应力状态分析的基本原理和方法。
3. 本实验为后续的应力分析、结构设计等提供了实验依据。
七、实验注意事项1. 实验过程中，确保试验机水平，避免试验误差。
2. 在粘贴应变片时，注意粘贴牢固，避免脱落。
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
弹性力学_第二章__应力状态分析
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
应力状态分析
应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆. 重点1.应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3.⾯⼒边界条件；4.应⼒分量的转轴公式；5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。
⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。
只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。
⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。
当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。
⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。
学习要点：1. ⾯⼒边界条件。
物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。
在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
01-应力分析
第一章应力分析§1－1 应力状态§1－ 2 应力张量及分解§1－3 等斜截面上的应力、应力状态参数§1－4 平衡微分方程1§1－1 应力状态❑点的应力状态的概念❑应力状态分析2一、点的应力状态的概念面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压力等。
用F x ，F y ，F z 表示。
单位：N/m 2。
体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯性力等。
用f x ，f y ，f z 表示。
单位：N/m 3。
集中力：当面积趋于零时，面力的合力。
用P 、F表示。
单位：N 。
应力状态☐外力：构件外物体作用在构件上的力。
3☐内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的相互作用力。
内力的特点：1. 随外力的变化而变化。
2. 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。
内力的求法：截面法。
应力状态截面法的基本步骤：①截开；②代替；③平衡。
4F 1F RF 3MF 1F nF 3F 2F 1F nF 3F 2应力状态5①平均应力：②全应力：ΔA ΔFp =ΔAΔFp ΔA lim 0→=☐应力：内力的分布集度。
全应力分解为：垂直于截面的应力称为“正应力”：位于截面内的应力称为“切应力”：应力状态xyzOD FD AM τσxyzOpMnτaaσcos p =aτsin p =6应力状态的表示——单元体：一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point ）。
xyzσxσzσyτxyτyx ②单元体的性质a 、任一面上，应力均布；b 、平行面上，性质相同。
①单元体：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
应力状态7xyzσxτxy τyxσz σyτxzτzx τzy τyzτyzσyτyx单元体上的应力分量：应力状态σx σy σz正应力：切应力：τxy τyx τyz τzy τzx τxz8切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress ):zy yz ττ=应力状态yxxy ττ=zxxz ττ=xyzτxyτyxσxσz σyτxz τzx τzyτyz过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。
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50MPa
36
例4：求图示应力状态的主应力和 最大切应力(应力单位为Mpa)。
40 30
解：
120
30
1 120 40
2
2
120 40 2 2
302
130 MPa
30
3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
37
§8.5 空间应力状态分析
1. 三向应力圆 工程中还会遇到三向应力状态问题，本节只对三向应力 状态作简单分析。 如图所示的以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂 直的平面分别作应力圆，将三个平面的应力圆绘在同一平面 上就是三向应力圆。
应力圆
莫尔(Mohr)圆 25
下面根据已知单元体上的应力 σx、 σy 、τxy画应力圆
y
y
xy
yx
x
x
xy
x
yx
y
( x , xy )
( y , yx )
26
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力
y
y
n
xy
yx
x
xy
x
x
yx
y
( , )
2 ( x , xy )
( y , yx )
27
18
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos2
xy
sin
2
sin 2 xy cos2
d d
2 x
y
2
sin 2 xy cos2
若
0时，能使
d d
0
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
19
tan
2 0
2 xy x
y
0、 0 90 , 它们确定两个互相垂直
的平面，其中一个是最大正应力所在
xy Asin cos yx Asin cos 0
0 A x Asin cos y Asin cos
xy Acos2 yx Asin 2 0
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2 xy cos 2
sin
2
和 都是的函数。利用上式便可确
定正应力和切应力的极值
(1139
.2
0.33 159
.2) 10 6
88.3Mpa
2
E
1 2
( 2
1 )
72 .4 10 9 1 0.332
(159 .2
0.33 1139
.2) 10 6
17.6 Mpa
(2) 求平面内最大切应变
max
1
3
2
88.3 17.6 2
35.35 MPa
max
max
G
2(1 E
) max
力表达式；2.计算容器所受的内压力。
1 m
p p
p
x
D
y
xp
AO
B
l 51 图a
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
m D pD2 4
m
m
pD
4
p
x
D
m
图b
52
y
2、环向应力：(hoop stress)
2 (1 0.33) 72.4 109
35.35106
1.3010443
例6 图示矩形截面杆一端自由一端固定，在中性层 A
点处沿与杆轴成 45 贴二片应变片，当杆受轴向力 P1和横
向力
P2
作用时，测出
45
a
和 45
b 。试求此时
P1
和 P2 的表达式。（ E, ,l,b,h 均为已知）
max 105 0 22.5
min 65 30
max min
x
y
2
2
2 xy
85 MPa
31
(二)使用图解法求解
作应力圆，从应力圆上可量出：
102 MPa
22 MPa
max 105 MPa
min 65 MPa
0 22.5
max 85 MPa
N P1 3P2
45
2
2A 2A
+
N P1 3P2
45
2
2A 2A
A 点的应力状态分解图
47
将应力代入广义虎克定律中，得
a
45
1 E
45
45
1 E
P1 2A
3P2 2A
P1 2A
3P2 2A
b
45
1 E
45
45
1 E
P1 2A
3P2 2A
P1 2A
10.32
49
144.3MPa; 20; 320.3MPa;
2
E
3
1
0.3 210109
(22.344.3)106
34.3106
2 34 .3
50
例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压
力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×l06，若 已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应
1 （ 2 3） 2 （ 3 1） 3 （1 2）
对于二向应力状态：
1
1 E
( 1 2 )
2
1 E
( 2
1 )
3
E
( 1
2)
2 1
42
体积应变与应力分量间的关系
V a1a2a3
V1a1(11)a2 (1 2 )a3 (13 )
体积应变：
V1V V
1
2
3
体积应变与应力分量间的关系:
32
例2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低 碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
解：
低碳钢
铸铁
33
max
min
(0, )
max , min , 0 45 (0, )
1 , 2 0, 3
max
34
例3：求图示应力状态的主应力和 最大切应力(应力单位为MPa）。
38
从三向应力圆中，由1和 3 所作的应力圆是最大应力圆。 工程中最感兴趣的就是最大应力圆。
对应三个应力圆可找到三对主切应力，它们是：
1,2
1
2
2
, 2,3
2
3
2
, 1,3
1
3
2
39
1,3 的作用平面与 2 的方向平行，与 1 和 3 作用平面
夹角为 45 。 1,3是最大剪应力。
一、一点应力状态的概念
k
n
P
P
k
k
k
P
P
NP
AA
A
A
cos
p
P A
k
p
P cos
A
cos
max
2
k
cos2
max
2
sin 2
3
P
A
P
A
一点的应力状态
就是指通过一点各个不同 方向的应力情况，也叫一点的 应力全貌。
A
4
m
m
5
P
A B C D E
A
B
C
D
E
6
结论： 1、同一截面上不同点的
三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值 大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
9
应力状态的分类： 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等
于零 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应
力不等于零 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应
力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
102MPa
x
2
y
sin 2
x
cos 2
22.0MPa
29
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
105 MPa
65
1 105MPa, 2 0, 3 65MPa
tan 2 0
2 x x y
1
0 22.5 或112.5
10
§8.2 二向和三向应力状态的实例
圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用
p
p
pD 2t
1
pD 2t
pD 4t
2
pD 4t
3 0
11
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，
承受内压p作用。
p
D2 N p 4
A Dt
pD
4t
1 2
pD 4t
3 0
12
圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P
P
m
N A
4P
d2
T 16m
Wt
d3 13
P
2
3
1
1
3
2
三向应力状态
14
§8.3 平面应力状态分析
y y
yx xy x
x
y
y
yx xy
x x
15
y
y
yx
n
xy
x
xy x x