应力状态分析

三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值 大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
9
应力状态的分类： 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等
于零 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应
力不等于零 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应
力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
α：逆时针转动为正
n 0
A x Acos2 y Asin 2
xy Asin cos yx Asin cos 0
0 A x Asin cos y Asin cos
xy Acos2 yx Asin 2 0
17
n 0
A x Acos2 y Asin 2
τmax
=
+σ1 -σ3 2
其作用面绘于单元体图中。
40
§8.6 广义胡克定律
纵向应变：
横向应变：
E
1引起的应变为
wk.baidu.com
1
1
E
E
2 、 3引起的应变为
1
2
E
1
3
E
当三个主应力同时作用时：
1
1 E
1 （ 2 3）
2 1
3
41
广义胡克定律：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
dq
p(lDdq ) 2 用纵截面将容器截开，受力如图c所示
z
O
p
t
D
38
从三向应力圆中，由1和 3 所作的应力圆是最大应力圆。 工程中最感兴趣的就是最大应力圆。
对应三个应力圆可找到三对主切应力，它们是：
1,2
1
2
2
, 2,3
2
3
2
, 1,3
1
3
2
39
1,3 的作用平面与 2 的方向平行，与 1 和 3 作用平面
夹角为 45 。 1,3是最大剪应力。
3P2 2A
两式化简后可得：
2EAa (1 )P1 3(1 )P2 ① 2EAb (1 )P1 3(1 )P2 ②
联立两式可解得：
P1
P2
Ebh(b a ) (1 )
Ebh(b a ) 3(1 )
48
例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别
tan
21
x 2 xy
y
max min
x
2
y
2
2 xy
22
tan
20
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan 2 1
1
tan 2 0
ctg 2 0
2 1 2 0 90 即 1 0 45
23
§8.4 二向应力状态的应力圆（图解法）
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
12
E
(
1
2
3
)
12
E
(
x
y
z
)
43
例5:从某受力构件表面一点测出该点处的主应变为
ε1=1139.2×10-6， ε2 = -159.2 ×10-6 。构件的弹性模量 E=72.4GPa，泊松比μ =0.33，试求该点的主应力及平面内最大
切应变。
解：(1) 求该点的主应力
1
E
1
2
(1
2)
72.4 109 1 0.332
为：1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松 比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。
解: 自由面上 30
所以，该点处的平面应力状态
2
11E 2 12
1
210109 10.32
(2400.3160)106
44.3MPa
2
E
1
2
2
1
210109 (1600.3240)10620.3MPa
应力不同； 2、同一点上不同方位的
应力不同；
7
二、应力单元体
y
y
yz
yx
z
x
xz
xy
z
zx
zy
zx
zy
yx yz
xz
xy
y
x x
x
y
z
x
z
y
z
yx xy yz zy zx xz
8
主平面 ：切应力为零的平面 主应力 ：主平面上的正应力 主方向 ：主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点， 一定存在三个互相垂直的主平面。
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
(1)
x
y
2
sin 2
xy cos 2
(2)
(1)2 (2)2 , 得
(x x0 )2 (y y0 )2 R2
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
24
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
圆心坐标为
σ
x
2
σ
y
，0
半径为
x
2
y
2
2 xy
力表达式；2.计算容器所受的内压力。
1 m
p p
p
x
D
y
xp
AO
B
l 51 图a
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
m D pD2 4
m
m
pD
4
p
x
D
m
图b
52
y
2、环向应力：(hoop stress)
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
102MPa
x
2
y
sin 2
x
cos 2
22.0MPa
29
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
105 MPa
65
1 105MPa, 2 0, 3 65MPa
tan 2 0
2 x x y
1
0 22.5 或112.5
32
例2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低 碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
解：
低碳钢
铸铁
33
max
min
(0, )
max , min , 0 45 (0, )
1 , 2 0, 3
max
34
例3：求图示应力状态的主应力和 最大切应力(应力单位为MPa）。
2 (1 0.33) 72.4 109
35.35106
1.3010443
例6 图示矩形截面杆一端自由一端固定，在中性层 A
点处沿与杆轴成 45 贴二片应变片，当杆受轴向力 P1和横
向力
P2
作用时，测出
45
a
和 45
b 。试求此时
P1
和 P2 的表达式。（ E, ,l,b,h 均为已知）
例3图
45
解（一）A 点的应力
轴力 P1 引起的正应力 N
N
P1 A
P1 bh
横向力 P2 引起的剪应力
3P2 3P2
2A 2bh
A 点的应力状态如左图
46
（二）求 P1和 P2
可先将单元体分解成 N 和 单独作用（见分解图）
沿 45 方向的应力表示在
单元体上，45 方向的应力 表达式为：
(1139
.2
0.33 159
.2) 10 6
88.3Mpa
2
E
1 2
( 2
1 )
72 .4 10 9 1 0.332
(159 .2
0.33 1139
.2) 10 6
17.6 Mpa
(2) 求平面内最大切应变
max
1
3
2
88.3 17.6 2
35.35 MPa
max
max
G
2(1 E
) max
应力圆
莫尔(Mohr)圆 25
下面根据已知单元体上的应力 σx、 σy 、τxy画应力圆
y
y
xy
yx
x
x
xy
x
yx
y
( x , xy )
( y , yx )
26
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力
y
y
n
xy
yx
x
xy
x
x
yx
y
( , )
2 ( x , xy )
( y , yx )
27
N P1 3P2
45
2
2A 2A
+
N P1 3P2
45
2
2A 2A
A 点的应力状态分解图
47
将应力代入广义虎克定律中，得
a
45
1 E
45
45
1 E
P1 2A
3P2 2A
P1 2A
3P2 2A
b
45
1 E
45
45
1 E
P1 2A
3P2 2A
P1 2A
xy Asin cos yx Asin cos 0
0 A x Asin cos y Asin cos
xy Acos2 yx Asin 2 0
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2 xy cos 2
sin
2
和 都是的函数。利用上式便可确
定正应力和切应力的极值
1 （ 2 3） 2 （ 3 1） 3 （1 2）
对于二向应力状态：
1
1 E
( 1 2 )
2
1 E
( 2
1 )
3
E
( 1
2)
2 1
42
体积应变与应力分量间的关系
V a1a2a3
V1a1(11)a2 (1 2 )a3 (13 )
体积应变：
V1V V
1
2
3
体积应变与应力分量间的关系:
一、一点应力状态的概念
k
n
P
P
k
k
k
P
P
NP
AA
A
A
cos
p
P A
k
p
P cos
A
cos
max
2
k
cos2
max
2
sin 2
3
P
A
P
A
一点的应力状态
就是指通过一点各个不同 方向的应力情况，也叫一点的 应力全貌。
A
4
m
m
5
P
A B C D E
A
B
C
D
E
6
结论： 1、同一截面上不同点的
平面，另一个是最小正应力所在平面
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
20
用完全相似的方法可以确定切应力的极值
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos
2
xy
sin 2 xy cos 2
sin 2
d
d
x y
cos 2 2 xy sin 2
若
1
时，能使
d d
0
x y cos 21 2 xy sin 21 0 21
10.32
49
144.3MPa; 20; 320.3MPa;
2
E
3
1
0.3 210109
(22.344.3)106
34.3106
2 34 .3
50
例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压
力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×l06，若 已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应
2
50MPa
36
例4：求图示应力状态的主应力和 最大切应力(应力单位为Mpa)。
40 30
解：
120
30
1 120 40
2
2
120 40 2 2
302
130 MPa
30
3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
37
§8.5 空间应力状态分析
1. 三向应力圆 工程中还会遇到三向应力状态问题，本节只对三向应力 状态作简单分析。 如图所示的以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂 直的平面分别作应力圆，将三个平面的应力圆绘在同一平面 上就是三向应力圆。
20 40
解：
50
30
1 30 20
3
2
30 20 2 2
402
52.2
MPa
42.2
2 50MPa
max
1 3
2
47.2MPa
35
例3：求图示应力状态的主应力和 最大切应力(应力单位为Mpa)。
解：
1 50MPa
50
50
2 50MPa
3 50MPa
max
1 3
CHAPTER 8 应力状态分析 和广义胡克定律
1 目录
基本要求
1.明确一点应力状态、主应力和主平面、单元体等基本 概念，掌握单元体的截取方法及其各微面上应力分量 的计算方法。
2.掌握解析法和图解法。 3.掌握广义胡克定律及其图解法计算平面应力状态下任
意斜截面的应力、主应力和主平面的方法。
2
§8.1 应力状态概述
例1：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大全切应力值。
单位：MPa
28
解：(一)使用解析法求解
x x 80M80PMa,Pa, y y40MP4a0MPa xyx 60M60PMa,Pa, 30= 30
max 105 0 22.5
min 65 30
max min
x
y
2
2
2 xy
85 MPa
31
(二)使用图解法求解
作应力圆，从应力圆上可量出：
102 MPa
22 MPa
max 105 MPa
min 65 MPa
0 22.5
max 85 MPa
18
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos2
xy
sin
2
sin 2 xy cos2
d d
2 x
y
2
sin 2 xy cos2
若
0时，能使
d d
0
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
19
tan
2 0
2 xy x
y
0、 0 90 , 它们确定两个互相垂直
的平面，其中一个是最大正应力所在
10
§8.2 二向和三向应力状态的实例
圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用
p
p
pD 2t
1
pD 2t
pD 4t
2
pD 4t
3 0
11
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，
承受内压p作用。
p
D2 N p 4
A Dt
pD
4t
1 2
pD 4t
3 0
12
圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P
P
m
N A
4P
d2
T 16m
Wt
d3 13
P
2
3
1
1
3
2
三向应力状态
14
§8.3 平面应力状态分析
y y
yx xy x
x
y
y
yx xy
x x
15
y
y
yx
n
xy
x
xy x x
yx
y
16
n
x xy
Acos
A
yx
A sin
σ：拉应力为正 y
τ：顺时针转动为正