Gj09材料力学-强度准则
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Px 将引起圆轴弯曲 A-A 截面弯矩
M z = Py a = Pa cos M y = Px a = Pa sin
M = M y2 M z2 = Pa
y
L=200
x P
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
故有 的最大允许值为： [ ] = [s ] 2
同理，根据第四强度理论，可得
[ ] = [s ]
3 = 0.577 [s ]
故对塑性材料，可取
[ ] = 0.5 0.577 [s ]
y
L=200
Px P x
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
B
a
例 求图示结构 A 截面危险点 的第三强度相当应力。 平移 P1 到 B， A 截面承受 弯扭组合荷载：
sN sM
危险点应力状态 平移 P2 到 B， A 截面 承受拉弯组合荷载：
T =P 1a
Mz = P 1L
危险点位置如图 扭转切应力
FN = P2
M y = P2 a
max
T 16 P 1a = = 24.45 MPa = 3 WP π d
A a =100
d = 60 A
x
M = Pa
T = PL cos
z
y
L=200
x P
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
A a =100
d = 60 A
x
M = Pa
T = PL cos
P1 P2 P2
P 1 = 2 kN P 2 = 3 kN d = 50 mm
L = 400 mm
a = 300 mm
A z
B
P2 a a
x
例 求图示结构 A 截面危险点 的第三强度相当应力。 平移 P1 到 B， A 截面承受 弯扭组合荷载：
sN sM
危险点应力状态 平移 P2 到 B， A 截面 承受拉弯组合荷载：
sN sM
危险点应力状态 拉伸正应力
sM =
M 32 2 2 = 3 (P L ) ( P a ) 1 2 W πd
= 98.12 MPa
FN 4 P2 sN = = = 1.53 MPa 2 A πd
弯曲正应力
s = s M s N = 99.65 MPa
s eq3 = s 2 4 2 = 111.0 MPa
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点 圆轴弯扭组合危险点
s2 = 0
s 2 s3 = 2 2 s
1 1 3 W = π d WP = π d 3 32 16
WP = 2W
s eq3 = s 2 4 2
2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 T 2 T T s = M M M s = M T s eq3 eq3= eq4= 4 s eq4 3 W W 4P W W WP W
第四强度准则
破坏的原因是形状改变比能超过许用值。
1 s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 6E 2 1 2 1 s s 1 D s = ss [s ]2 = 3E 3E n 3E 只改变体积不改变形状
A-A 截面危险点的 第三强度等效应力
z
s eq3
1 P 2 2 = M T = a 2 ( L cos ) 2 W W
32 P 2 P 2 a L = 105.4 MPa a 2 L2 = 3 πd W
故 取零或 时最为不利。相应地
s eq3 =
y
d
危险点
P1 P1a L
y
d
P1 P2 x L
P 1 = 2 kN P 2 = 3 kN d = 50 mm
L = 400 mm
FN = P2
a = 300 mm
Mz = P 1L
A z
M y = P2 a
B
a
= 24.45 MPa
2 2 M = M y2 M z2 = ( P L ) ( P a ) 1 2
s eq4 = s 2 3 2
注意
上两式只适合于圆轴弯扭组合。
D
d a P G a
G = 5 kN a = 400 mm D = 300 mm d = 60 mm [s ] = 120 MPa
例
在图示的结构中，
用第三强度理论求允许 起吊的最重的物体为多 少 kN。
P+G
圆轴承受弯扭组合荷载。
= 3
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
s2 = 0
s 2 s3 = 2 2 s
s = s M max
M max = W
= T max
T = WP
3. 强度准则的应用
P 6.69 kN
y d
q
例 已知材料许用应力为[s ]，根据
第四强度理论设计AB 段的轴径。
x
A
z
L
B
L
AB 段承受弯扭组合变形
2
最大弯矩
M = qL
扭矩
1 2 T = qL 2
2
1 3 2 32 2 s= M T = 3 πd W 4
故轴径 d 应满足
qL
2 2
31 2 8 19qL2 qL = [s ] 3 4 2 πd
P1
y
x
P1=15 kN P2=5 kN a = 300 b = 400
G=5 kN D=300 [s ] = 150 MPa
A
B
z
a G
P2
b P1 G a
P2
例 根据第四强度理论设计圆 轴 AB 段的直径。 xz 平面内的弯曲
y
m
P1+P2
A 4.2 B 1.8 RDz D x
C
=0
RCz z
纯剪应力状态
T
s 1 = , s 2 = 0 , s 3 =
s eq1 = s 1 =
s eq2 = s 1 (s 2 s 3 )
圆轴扭转危险点
= 1
s eq3 = s 1 s 3 = 2
横力弯曲中性层点
（该点可能不是危险点）
s eq4 = [()2 ()2 ()2 ] 2
y
L=200
Px P x
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
x
Py
A a =100
d = 60 A
将 P 分解
Py = P cos
Px = P sin
z
Py 将引起圆轴扭转和弯曲
T = Py L = PL cos
9.1
四个常用的强度准则
1. 强度准则 (strenth criterion) 的概念
考虑应力状态的可比性
10 3 12 10 5 10
如何比较这两个应力状态？
主应力
10 15 20
又如何比较这两个应力状态？
主应力的数性函数
9.1
四个常用的强度准则
1. 强度准则 (strenth criterion) 的概念
T =P 1a
Mz = P 1L
危险点位置如图 扭转切应力
FN = P2
M y = P2 a
max
T 16 P 1a = = 24.45 MPa = 3 WP π d
y
d
P1 P2 x L
P 1 = 2 kN P 2 = 3 kN d = 50 mm
L = 400 mm
a = 300 mm
A z
sb
sb
n
= [s ]
第一强度理论相当应力
Leabharlann Baidu
s eq1 = s 1 [s ]
第二强度准则
破坏的原因是第一主应变超过许用应变。
两者第一主应力相等，第一主应变不等 s s [s ] 1 1 = s 1 (s 2 s 3 ) b = b b = E E nE E
第二强度理论相当应力
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
T FN 拉扭组合危险点
s2 = 0
s3 = s
s 2 2 2
M max FN s= W A T = T max = WP
T
M FN 拉弯扭组合危险点
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
单向应力与纯剪应力的合成
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
T FN 拉扭组合危险点
s2 = 0
s3 = s
s 2 2 2
FN s= A
= T max
T = WP
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
s1 = s
考虑实验的可行性 实际工况
s1, s 2 , s 3 s eq = f (s 1 ,s 2 ,s 3 )
受同一规律支配
强度准则
实验室的单向拉伸试验 s 1 = s b s , s 2 = 0, s 3 = 0
seq：相当应力
2.
四个常用的强度准则
第一强度准则
破坏的原因是第一主应力超过许用应力。
s1
D =
第四强度理论相当应力
1 s eq4 = (s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] 2 既改变体积又改变形状
第三、第四强度准则属于塑性屈服强度准则。
3. 强度准则的应用
单向应力状态
s
s1 = s , s 2 = 0 , s 3 = 0
第九章 强度准则
Chapter Nine
Strength Criterions
本章基本要求
9.1 9.2 四个常用的强度准则 薄壁容器的强度分析
本章内容小结
第九章
pp. 557 ~ 571
本 章 基 本 要 求
了解强度准则的意义，掌握几种主要的强 度准则的定义，熟悉相当应力的表达式。 熟练掌握杆件组合变形的相当应力的计算 方法。 掌握承受内压的薄壁圆筒的应力计算方法。
13
8 19qL d π[s ]
2
例 试分别根据第三、第四强度理论，确定塑性材料在纯剪
切中的许用切应力与许用正应力之间的关系。 根据第三强度理论，对于如图应力状态，有
s eq3 = s 2 4 2 [s ]
纯剪切是这一状态的特例： s = 0
故有：
s
2 [s ]
斜弯曲与拉压的组合危险点
s eq1 = s 1 = s
s eq2 = s 1 (s 2 s 3 ) = s
拉压杆各点 弯曲梁危险点
s eq3 = s 1 s 3 = s
s eq4 = [()2 ()2 ()2 ] 2
=s
拉弯组合危险点
斜弯曲危险点
s [s ]
3. 强度准则的应用
危险截面在轮盘处。
最大弯矩
a
a
M max
1 = ( P G )a 2
扭矩
1 T = PD 2 π 3 W= d 32
s eq3
1 1 2 2 = M T = ( P G )2 a 2 P 2 D 2 s W 2W
2
P 2 ( a 2 D 2 ) 2 PGa 2 (Ga )2 2W s 0
s eq2 = s 1 (s 2 s 3 ) [s ]
第一、第二强度准则属于脆性断裂强度准则。
第三强度准则
破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。
1 max = (s 1 s 3 ) 2
s s [s ] 1 s = ss = 2 2n 2
第三强度理论相当应力
s eq3 = s 1 s 3 [s ]
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
T FN 拉扭组合危险点
s2 = 0
s3 = s
s 2 2 2
s eq3 = s 2 4 2
T
M FN 拉弯扭组合危险点
s eq4 = s 3
2
2
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
x
Py
A a =100
d = 60 A
将 P 分解
Py = P cos
Px = P sin
z
Py 将引起圆轴扭转和弯曲
T = Py L = PL cos
Px 将引起圆轴弯曲 A-A 截面弯矩
M z = Py a = Pa cos M y = Px a = Pa sin
M = M y2 M z2 = Pa
C
(P 1 P 2 )a RDz = = 6 kN 2a b mD = 0 (P 1 P 2 )( a b ) RCz = = 14 kN 2a b M Ay = RCz a = 4.2 kN m
M z = Py a = Pa cos M y = Px a = Pa sin
M = M y2 M z2 = Pa
y
L=200
x P
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
故有 的最大允许值为： [ ] = [s ] 2
同理，根据第四强度理论，可得
[ ] = [s ]
3 = 0.577 [s ]
故对塑性材料，可取
[ ] = 0.5 0.577 [s ]
y
L=200
Px P x
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
B
a
例 求图示结构 A 截面危险点 的第三强度相当应力。 平移 P1 到 B， A 截面承受 弯扭组合荷载：
sN sM
危险点应力状态 平移 P2 到 B， A 截面 承受拉弯组合荷载：
T =P 1a
Mz = P 1L
危险点位置如图 扭转切应力
FN = P2
M y = P2 a
max
T 16 P 1a = = 24.45 MPa = 3 WP π d
A a =100
d = 60 A
x
M = Pa
T = PL cos
z
y
L=200
x P
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
A a =100
d = 60 A
x
M = Pa
T = PL cos
P1 P2 P2
P 1 = 2 kN P 2 = 3 kN d = 50 mm
L = 400 mm
a = 300 mm
A z
B
P2 a a
x
例 求图示结构 A 截面危险点 的第三强度相当应力。 平移 P1 到 B， A 截面承受 弯扭组合荷载：
sN sM
危险点应力状态 平移 P2 到 B， A 截面 承受拉弯组合荷载：
sN sM
危险点应力状态 拉伸正应力
sM =
M 32 2 2 = 3 (P L ) ( P a ) 1 2 W πd
= 98.12 MPa
FN 4 P2 sN = = = 1.53 MPa 2 A πd
弯曲正应力
s = s M s N = 99.65 MPa
s eq3 = s 2 4 2 = 111.0 MPa
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点 圆轴弯扭组合危险点
s2 = 0
s 2 s3 = 2 2 s
1 1 3 W = π d WP = π d 3 32 16
WP = 2W
s eq3 = s 2 4 2
2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 T 2 T T s = M M M s = M T s eq3 eq3= eq4= 4 s eq4 3 W W 4P W W WP W
第四强度准则
破坏的原因是形状改变比能超过许用值。
1 s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 6E 2 1 2 1 s s 1 D s = ss [s ]2 = 3E 3E n 3E 只改变体积不改变形状
A-A 截面危险点的 第三强度等效应力
z
s eq3
1 P 2 2 = M T = a 2 ( L cos ) 2 W W
32 P 2 P 2 a L = 105.4 MPa a 2 L2 = 3 πd W
故 取零或 时最为不利。相应地
s eq3 =
y
d
危险点
P1 P1a L
y
d
P1 P2 x L
P 1 = 2 kN P 2 = 3 kN d = 50 mm
L = 400 mm
FN = P2
a = 300 mm
Mz = P 1L
A z
M y = P2 a
B
a
= 24.45 MPa
2 2 M = M y2 M z2 = ( P L ) ( P a ) 1 2
s eq4 = s 2 3 2
注意
上两式只适合于圆轴弯扭组合。
D
d a P G a
G = 5 kN a = 400 mm D = 300 mm d = 60 mm [s ] = 120 MPa
例
在图示的结构中，
用第三强度理论求允许 起吊的最重的物体为多 少 kN。
P+G
圆轴承受弯扭组合荷载。
= 3
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
s2 = 0
s 2 s3 = 2 2 s
s = s M max
M max = W
= T max
T = WP
3. 强度准则的应用
P 6.69 kN
y d
q
例 已知材料许用应力为[s ]，根据
第四强度理论设计AB 段的轴径。
x
A
z
L
B
L
AB 段承受弯扭组合变形
2
最大弯矩
M = qL
扭矩
1 2 T = qL 2
2
1 3 2 32 2 s= M T = 3 πd W 4
故轴径 d 应满足
qL
2 2
31 2 8 19qL2 qL = [s ] 3 4 2 πd
P1
y
x
P1=15 kN P2=5 kN a = 300 b = 400
G=5 kN D=300 [s ] = 150 MPa
A
B
z
a G
P2
b P1 G a
P2
例 根据第四强度理论设计圆 轴 AB 段的直径。 xz 平面内的弯曲
y
m
P1+P2
A 4.2 B 1.8 RDz D x
C
=0
RCz z
纯剪应力状态
T
s 1 = , s 2 = 0 , s 3 =
s eq1 = s 1 =
s eq2 = s 1 (s 2 s 3 )
圆轴扭转危险点
= 1
s eq3 = s 1 s 3 = 2
横力弯曲中性层点
（该点可能不是危险点）
s eq4 = [()2 ()2 ()2 ] 2
y
L=200
Px P x
例
图中曲柄上的作用力保持 10 kN
不变，但角度 可变。试求 为何值 时对 A-A 截面最为不利，并求相应的 第三强度等效应力。
x
Py
A a =100
d = 60 A
将 P 分解
Py = P cos
Px = P sin
z
Py 将引起圆轴扭转和弯曲
T = Py L = PL cos
9.1
四个常用的强度准则
1. 强度准则 (strenth criterion) 的概念
考虑应力状态的可比性
10 3 12 10 5 10
如何比较这两个应力状态？
主应力
10 15 20
又如何比较这两个应力状态？
主应力的数性函数
9.1
四个常用的强度准则
1. 强度准则 (strenth criterion) 的概念
T =P 1a
Mz = P 1L
危险点位置如图 扭转切应力
FN = P2
M y = P2 a
max
T 16 P 1a = = 24.45 MPa = 3 WP π d
y
d
P1 P2 x L
P 1 = 2 kN P 2 = 3 kN d = 50 mm
L = 400 mm
a = 300 mm
A z
sb
sb
n
= [s ]
第一强度理论相当应力
Leabharlann Baidu
s eq1 = s 1 [s ]
第二强度准则
破坏的原因是第一主应变超过许用应变。
两者第一主应力相等，第一主应变不等 s s [s ] 1 1 = s 1 (s 2 s 3 ) b = b b = E E nE E
第二强度理论相当应力
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
T FN 拉扭组合危险点
s2 = 0
s3 = s
s 2 2 2
M max FN s= W A T = T max = WP
T
M FN 拉弯扭组合危险点
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
单向应力与纯剪应力的合成
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
T FN 拉扭组合危险点
s2 = 0
s3 = s
s 2 2 2
FN s= A
= T max
T = WP
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
s1 = s
考虑实验的可行性 实际工况
s1, s 2 , s 3 s eq = f (s 1 ,s 2 ,s 3 )
受同一规律支配
强度准则
实验室的单向拉伸试验 s 1 = s b s , s 2 = 0, s 3 = 0
seq：相当应力
2.
四个常用的强度准则
第一强度准则
破坏的原因是第一主应力超过许用应力。
s1
D =
第四强度理论相当应力
1 s eq4 = (s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] 2 既改变体积又改变形状
第三、第四强度准则属于塑性屈服强度准则。
3. 强度准则的应用
单向应力状态
s
s1 = s , s 2 = 0 , s 3 = 0
第九章 强度准则
Chapter Nine
Strength Criterions
本章基本要求
9.1 9.2 四个常用的强度准则 薄壁容器的强度分析
本章内容小结
第九章
pp. 557 ~ 571
本 章 基 本 要 求
了解强度准则的意义，掌握几种主要的强 度准则的定义，熟悉相当应力的表达式。 熟练掌握杆件组合变形的相当应力的计算 方法。 掌握承受内压的薄壁圆筒的应力计算方法。
13
8 19qL d π[s ]
2
例 试分别根据第三、第四强度理论，确定塑性材料在纯剪
切中的许用切应力与许用正应力之间的关系。 根据第三强度理论，对于如图应力状态，有
s eq3 = s 2 4 2 [s ]
纯剪切是这一状态的特例： s = 0
故有：
s
2 [s ]
斜弯曲与拉压的组合危险点
s eq1 = s 1 = s
s eq2 = s 1 (s 2 s 3 ) = s
拉压杆各点 弯曲梁危险点
s eq3 = s 1 s 3 = s
s eq4 = [()2 ()2 ()2 ] 2
=s
拉弯组合危险点
斜弯曲危险点
s [s ]
3. 强度准则的应用
危险截面在轮盘处。
最大弯矩
a
a
M max
1 = ( P G )a 2
扭矩
1 T = PD 2 π 3 W= d 32
s eq3
1 1 2 2 = M T = ( P G )2 a 2 P 2 D 2 s W 2W
2
P 2 ( a 2 D 2 ) 2 PGa 2 (Ga )2 2W s 0
s eq2 = s 1 (s 2 s 3 ) [s ]
第一、第二强度准则属于脆性断裂强度准则。
第三强度准则
破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。
1 max = (s 1 s 3 ) 2
s s [s ] 1 s = ss = 2 2n 2
第三强度理论相当应力
s eq3 = s 1 s 3 [s ]
s1 = s
2 2
2
s
T M
s
2 2
弯扭组合危险点
T FN 拉扭组合危险点
s2 = 0
s3 = s
s 2 2 2
s eq3 = s 2 4 2
T
M FN 拉弯扭组合危险点
s eq4 = s 3
2
2
3. 强度准则的应用
单向应力与纯剪应力的合成
x
Py
A a =100
d = 60 A
将 P 分解
Py = P cos
Px = P sin
z
Py 将引起圆轴扭转和弯曲
T = Py L = PL cos
Px 将引起圆轴弯曲 A-A 截面弯矩
M z = Py a = Pa cos M y = Px a = Pa sin
M = M y2 M z2 = Pa
C
(P 1 P 2 )a RDz = = 6 kN 2a b mD = 0 (P 1 P 2 )( a b ) RCz = = 14 kN 2a b M Ay = RCz a = 4.2 kN m