第五章 控制系统的频域分析方法(1)
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第五章 频域分析法
第五章 频域分析法时域分析法具有直观、准确的优点。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
5.1 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。
这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。
不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n =+=+++==∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。
自动控制原理第五章频域分析
T
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
第5章 控制系统的频域分析法 1(48)
频率特性如图5-3所示。 由图可看出，积分环节的相 频特性等于-900 ，与角频率 ω无关.
图5-3 积分环节的频率响应
14
表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用； 其幅频特性等于1/ω，是ω的函数，当ω由零变到无穷大 时，输出幅值则由无穷大衰减至零。 在[G(jω)]平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。
17
1
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时， 即G(jω)=k/(jTω+1)时，其频率特性是圆心 为:[k/2,0]，半径为k/2的实轴下方半个圆周。
(四）振荡环节
振荡环节的传递函数是:
(5-34)
其频率特性是:
(5-35)
图5-4 惯性环节的频率响应
幅频特性和相频特性分别为:
18
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关， 不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。 当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值Mr(Mr>1) 和谐振频率ωr由幅频特性的极值方程解出。
时，输出幅值衰减很快。
当阻尼比 时，此时振 荡环节可等效成两个不同时间 常数的惯性环节的串联，即:
T1,T2为一大一小两个不 同的时间常数，小时间常数对 应的负实极点离虚轴较远，对 瞬态响应的影响较小。
图5-6 振荡环节的频率响应
21
振荡环节为相位滞后环节，最大滞后相角是180 。 推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时， 即 ，其对应频率特性 的起点为
G( j ) G( j ) e jG ( j ) (5 - 15)
；
称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用 下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。
9
G ( j ) G ( j ) e jG ( j )
控制系统的频域分析法
频率特性又称频率响应，是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响 应特性。
若在如图5.1 所示的线性系统结构的输入端加上图5.2（a）的正弦信号，
设该正弦信号为
r(t) Asint
则其输出响应为
c(t) MAsin(t )
即振幅增加了M倍，相位超前（滞后）了 角。响应曲线如图5.2（b）所
示。
图5.1 系统的结构图
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.1 频率特性的基本概念
对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量的幅值
之比为幅频特性：定义输出量与输入量的相位差为相频特性。即
幅值频率特性：
A() | G( j) |
相位频率特性：
() G( j)
将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起，可得频率特性或
令s j ，则频率特性为
G(s) 1 Ts 1
G( j) 1 1 j T jT 1 1 (T )2 1 (T )2
幅值频率特性为
A() | G( j) | 1 1 (T )2
相位频率特性为
() G( j) arctanT
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.3 频率特性的性质
由此可以看出，振荡环节的频率特性，不仅与 有关，而且还与阻尼比
有关。同惯性环节一样，振荡环节的对数幅频特性也可采用近似的方法绘 制。同样，振荡环节的对数相频特性曲线也可采用近似的作图方法。
第五章 控制系统的频域分析法
5.2 典型环节的伯德图
5.2.6 振荡环节
不同参考值时振荡环节的伯德图如图5.16所示。
幅相频率特性为:
G( j) A()e j() | G( j) |ge jG( j)
控制系统频域分析
对于最小相位系统,幅频与相频有确定关系,可以 省略相频图；频域稳定判据可不要传递函数,否则劳斯 判据更简单。 2.两者关系：见最小相位环节和非最小相位环节的关系
5.3 奈 奎 斯 特 判 据
❖
在工程中，分析或设计系统时，首先必须保证系统是稳
定的，这一点是尤为重要的！
❖
在时域分析中我们讨论过系统的稳定性，可以从系统闭
包围原点N次．若令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；
P为包围于LS内的F(s))函数的极点数，则 N＝Z-P
❖ 若包围LS的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则，[F(s)]平 面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈．
❖ 根据式N=Z-P(幅角原理的数学表达式)可知：
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
其中:G(j) G(j) ej G(j) G(j) ej; G(j) G(j)
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
由欧拉公式:sin=ej
G (s)U c(s) 1 1 Ur(s) R 1C1s1 T s1
设ru AS ti,则 nU r(s)s2A ω ω 2
1 A Uo(s)T s1s22
u 0(t)1 A 2 tT 2e t/T1 A 2 T 2S( itn ar T c)t
稳态分 A量 S(in tar cT t)g 12T2
❖
奈奎斯特判据：在频域中，利用系统的开环频率特性来
获得闭环系统稳定性的判别方法，不仅可以确定系统的绝对
稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息，即系统如果是
稳定的，那么动态性能是否好；或者如果系统是不稳定的，
5.3 奈 奎 斯 特 判 据
❖
在工程中，分析或设计系统时，首先必须保证系统是稳
定的，这一点是尤为重要的！
❖
在时域分析中我们讨论过系统的稳定性，可以从系统闭
包围原点N次．若令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；
P为包围于LS内的F(s))函数的极点数，则 N＝Z-P
❖ 若包围LS的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则，[F(s)]平 面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈．
❖ 根据式N=Z-P(幅角原理的数学表达式)可知：
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
其中:G(j) G(j) ej G(j) G(j) ej; G(j) G(j)
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
由欧拉公式:sin=ej
G (s)U c(s) 1 1 Ur(s) R 1C1s1 T s1
设ru AS ti,则 nU r(s)s2A ω ω 2
1 A Uo(s)T s1s22
u 0(t)1 A 2 tT 2e t/T1 A 2 T 2S( itn ar T c)t
稳态分 A量 S(in tar cT t)g 12T2
❖
奈奎斯特判据：在频域中，利用系统的开环频率特性来
获得闭环系统稳定性的判别方法，不仅可以确定系统的绝对
稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息，即系统如果是
稳定的，那么动态性能是否好；或者如果系统是不稳定的，
自动控制原理第五章频域分析法
L ( ) L a( ) L ( ,)
振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性
七、二阶微分环节
G(s)sn
2
2sn
1
G (j) j n 22 j n 1 1 n 2 2 j2 n
n0,01
2
G(j) (12)2422
n2
n2
G( j) arctg n 2
1
2 n
G(ju)
1
(1u2)242u2
G(j u)arc2tgu
1u2
若 u1 G (ju) arctg2u 90
1u2
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u0
0.9
0.8
0.6
u 1
0.4
振荡环节的幅频、相频特性曲线
0.05
0.2 0.5 0.7
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
G(
j)
1
j
e2
相频特性是一常值 2
积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G(j) 1 1 ejta1nT Tj1 (T)21
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
rn12 2 ( 1/ 20 .7)0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性
七、二阶微分环节
G(s)sn
2
2sn
1
G (j) j n 22 j n 1 1 n 2 2 j2 n
n0,01
2
G(j) (12)2422
n2
n2
G( j) arctg n 2
1
2 n
G(ju)
1
(1u2)242u2
G(j u)arc2tgu
1u2
若 u1 G (ju) arctg2u 90
1u2
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u0
0.9
0.8
0.6
u 1
0.4
振荡环节的幅频、相频特性曲线
0.05
0.2 0.5 0.7
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
G(
j)
1
j
e2
相频特性是一常值 2
积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G(j) 1 1 ejta1nT Tj1 (T)21
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
rn12 2 ( 1/ 20 .7)0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
第五章频域分析法
惯性环节的幅相特性曲线
j
M()
()
0 1 0
1
0 -90
O
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode) 对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数 幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ， 并按对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性 的函数值，线性均匀分度，单位是分贝， 记作dB。 对数幅频特性定义为 L( ) 20lg M ( )
G( j) A()e j ( )
幅频特性A( ) 系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减 （或放大）特性； 相频特性 ( ) 系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后 （或超前）特性。 理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系 统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在， 不稳定系统的频率特性观察不到。 频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法 从频率特性出发研究系统。
频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关!!
频率特性的定义: 稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下 三种数学模型的关系如图 输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同; 振幅与输入信号振幅之比为幅频特性 A( )； 相位与输入信号相位差为相频特性 ( ) 。 输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
0
-78.7 -90
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅频和相频特性曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 1 2T 2 1
自动控制原理--第5章 频域分析法
例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
自动控制理论第五章频率分析法1.详解
5.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线
的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯
性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的 加减。 6.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/ 十倍频程。 7.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需对L()进 行修正。
④
G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20lg( 2T 2 ) 40lg(T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10Tω 40 40lgTω
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 1 ω ωn T
L( ) 40lg T 40lg1 0(dB)
1 2
振荡环节再分析
L(ω)dB
20lg
1 2 1 2
2 k n G (s ) 2 S 2 S 2 n n (0＜ ＜0.707) 0＜ ＜0.5
20 lg 1 2
= 0.5
0.5＜ ＜1 ω
20lgk
0dB
ωr ωn
[-40]
2 1 2 ωr= n
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
自动控制原理第五章频域分析法
一 由传递函数求系统的频率响应
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
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5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
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5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自动控制原理第五章线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析例5-1 已知一控制系统结构图如图5-1所示，当输入r (t ) = 2sin t 时，测得输出c (t )=4sin(t -45︒)，试确定系统的参数ξ ，ωn 。
图5-1 系统结构图解：系统闭环传递函数为222()2nn ns s s ωΦξωω=++ 系统幅频特性为2()j Φω相频特性为222arctan)(ωωωξωωϕ--=nn由题设条件知c (t ) = 4sin( t -45︒) =2 A (1) sin(t + ϕ(1)) 即122222224)()1(=+-=ωωωξωωωnnnA 24)1(22222=+-=nnnωξωω1222arctan)1(=--=ωωωωξωϕn n ︒-=--=4512arctan2n nωξω整理得]4)1[(422224n n n ωξωω+-= 122-=n n ωξω解得 1.244n ω=，0.22ζ=例5-2 已知系统传递函数为)5.0)(2()52(10)(2-++-=s s s s s G ，试绘制系统的概略幅相特性曲线。
解：（1）传递函数按典型环节分解)15.0)(12()1)5(51251(50)(2+-++--=s s s s s G（2）计算起点和终点50)(lim 0-=→ωωj G ，10)(lim =∞→ωωj G相角变化范围：不稳定比例环节-50：-180︒ ~ -180︒；惯性环节1/(0.2s +1)：0︒~ -90︒；不稳定惯性环节1/(-2s +1)：0︒~ +90︒；不稳定二阶微分环节0.2s 2-0.4s +1：0︒~ -180︒（3）计算与实轴的交点22222)5.1()1()5.11)(25(10)(ωωωωωωω++-----=j j j G2222222)5.1()1()]5.35.5(3)1)(5([10ωωωωωωω+++-+++--=j（4） 确定变化趋势 根据G (j ω)的表达式，当ω <ωx 时，I m [G (j ω)] < 0；当ω >ωx 时，I m [G (j ω)] > 0。
第五章 控制系统计算机辅助分析——根轨迹与频域分析
rlocus：求系统根轨迹。
rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。 sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻 尼系数和自然频率栅格。
1、零极点图绘制 MATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点图， 其用法如下：
[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量和 零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。 [p,z]=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量 和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。
2、根轨迹图绘制 rlocus()
(2) 返回参数，不直接绘图
r=rlocus(num,den,k) [r,k]=rlocus(num,den) ： 不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益 变化矢量k ， 返回闭环系统特征方程1＋k*num(s)/den(s)=0的根r， 它有length(k)行，length(den)-1列，每行对应某个k值时 的所有闭环极点。或者同时返回k与r。
4、sgrid()函数
sgrid：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制 出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。 sgrid(‘new’)：是先清屏，再画格线。 sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量 z、自然振荡频率wn的格线。
五. 实例
已知某单位反馈系统的开环传递函数为：
三. 绘制根轨迹的基本规则
1. 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续的并且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数、起点和终点 n阶系统有n支根轨迹。 n支根轨迹分别起始于n个开环极点，其中m支终止于有 限的开环零点，另外n-m支将趋向于无穷远处。
三. 绘制根轨迹的基本规则
自动控制原理第五章 线性系统的频域分析法-5-1
如同声音、图像一样，任一信号都可以表示为不同频率正弦信号的合成
如同收音机、电视机一样，任一系统的频率响应反映系统的频率特性，体现系统的控制性能。
系统频率特性物理意义明确。应用频率特性分析研究系统性能的方法称为频域分析法。
控制系统的频域分析法兼顾动态响应和噪声抑制的要求，可以拓展应用于非线性系统。
频率特性定义
分别称为系统的幅频特性和相频特性。
系统数学模型间的关系
控 制 系 统
傅氏变换
拉氏变换
g(t)
数学建模
例5.1-1
图示系统，设输入为r(t)=sin(5t)，计算系统的频率响应和稳态误差。
当
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.301
0.477
0.602
0.699
0.788
0.845
0.903
0.954
1
十倍频程
两倍频程
0.1
0.2
200
十倍频程
十倍频程
对数坐标的单位长度
⑶ 对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 纵坐标： ，线性刻度，单位为分贝(dB) 横坐标：ω ，对数刻度，单位为弧度/秒(rad/s)
绘制一阶系统幅相频率特性曲线
解：系统频率特性为
且有
即
复平面上位于第Ⅳ象限圆心为(1/2,j0)，半径为1的半圆。
箭头表示随ω增加,曲线的运动方向
2. 对数频率特性曲线（对数坐标图、伯德(Bode)图）
⑴ 频率特性的常用对数函数
如同收音机、电视机一样，任一系统的频率响应反映系统的频率特性，体现系统的控制性能。
系统频率特性物理意义明确。应用频率特性分析研究系统性能的方法称为频域分析法。
控制系统的频域分析法兼顾动态响应和噪声抑制的要求，可以拓展应用于非线性系统。
频率特性定义
分别称为系统的幅频特性和相频特性。
系统数学模型间的关系
控 制 系 统
傅氏变换
拉氏变换
g(t)
数学建模
例5.1-1
图示系统，设输入为r(t)=sin(5t)，计算系统的频率响应和稳态误差。
当
1
2
3
4
5
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7
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100
1
2
3
4
5
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0
0.301
0.477
0.602
0.699
0.788
0.845
0.903
0.954
1
十倍频程
两倍频程
0.1
0.2
200
十倍频程
十倍频程
对数坐标的单位长度
⑶ 对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 纵坐标： ，线性刻度，单位为分贝(dB) 横坐标：ω ，对数刻度，单位为弧度/秒(rad/s)
绘制一阶系统幅相频率特性曲线
解：系统频率特性为
且有
即
复平面上位于第Ⅳ象限圆心为(1/2,j0)，半径为1的半圆。
箭头表示随ω增加,曲线的运动方向
2. 对数频率特性曲线（对数坐标图、伯德(Bode)图）
⑴ 频率特性的常用对数函数
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自
第五章1 控制系统的频域分析(频率特性与BODE图)
ϕ(ω) = −arctg (ωT )
自动控制原理
幅相频率特性画法举例
画出二阶系统 G ( s ) = 112
的幅相频率特性
s (1 + 0 .02 s )
自动控制原理
2. 伯德图(Bode图)
如将系统频率特性G(jω ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐
标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数
自动控制原理
极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，幅相曲线 当ω在0～∞变化时,相量G(jω) 的幅值和相角随ω而变化,与 此对应的相量G(jω) 的端点在复平面 G(jω) 上的运动轨迹 就称为幅相频率特性曲线或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲 线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。（ ω在0～－∞变化 对称于实轴） 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统 稳定性
这些幅频特性曲线将通过点
自动控制原理
0dB,ω = 1
L(ω ) = 20 lg 1 = −20 lg ω (dB ) jω
ϕ (ω ) = −90°
Magnitude (dB)
Phas e (deg)
20 10
0 -10 -20 -30 -40 -89
-89.5
-90
-90.5
-91
-1
10
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw )
(a) 幅频特性
自动控制原理
ϕ(ω) = −arctgTω
自动控制原理
输出与输入的相位之差
(b)相频特性
Uo (s) = G(s) = 1
Uo ( jω) = G( jω) = 1 = 1
自动控制原理
幅相频率特性画法举例
画出二阶系统 G ( s ) = 112
的幅相频率特性
s (1 + 0 .02 s )
自动控制原理
2. 伯德图(Bode图)
如将系统频率特性G(jω ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐
标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数
自动控制原理
极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，幅相曲线 当ω在0～∞变化时,相量G(jω) 的幅值和相角随ω而变化,与 此对应的相量G(jω) 的端点在复平面 G(jω) 上的运动轨迹 就称为幅相频率特性曲线或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲 线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。（ ω在0～－∞变化 对称于实轴） 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统 稳定性
这些幅频特性曲线将通过点
自动控制原理
0dB,ω = 1
L(ω ) = 20 lg 1 = −20 lg ω (dB ) jω
ϕ (ω ) = −90°
Magnitude (dB)
Phas e (deg)
20 10
0 -10 -20 -30 -40 -89
-89.5
-90
-90.5
-91
-1
10
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw )
(a) 幅频特性
自动控制原理
ϕ(ω) = −arctgTω
自动控制原理
输出与输入的相位之差
(b)相频特性
Uo (s) = G(s) = 1
Uo ( jω) = G( jω) = 1 = 1
第五章 频域分析方法
( )
1
10
40 60 80
L(dB) 20lg G( j) 。
对数相频特性曲线的纵 坐标也是均匀分度， 单位 是度（ ） 。
0.1
1
10
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s ) k ， G ( j ) k ， A( ) k ， ( ) 0 。幅频特性曲 线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图） 、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）左、 （d）右所示。
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的， 只是幅值和相位与输入不同。
ur A sin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
U c ( s ) G ( s )U r ( s )
拉氏反变换得到
1 1 A U r ( s) 2 RCs 1 Ts 1 s 2
d ( s j )G ( s ) d ( s j )G ( s )
故
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
css (t Leabharlann umG ( j ) jt umG ( j ) jt e e 2j 2j e
处。对数相频特性曲线
L( ) 20lg A( ) 20lg
1
() tg 1T
如下图中（d）下所示，对数相频特性曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB ，如（e）给出的误差曲线所示， （f）是一阶惯性环节的极点矢量 图。
1
10
40 60 80
L(dB) 20lg G( j) 。
对数相频特性曲线的纵 坐标也是均匀分度， 单位 是度（ ） 。
0.1
1
10
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s ) k ， G ( j ) k ， A( ) k ， ( ) 0 。幅频特性曲 线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图） 、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）左、 （d）右所示。
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的， 只是幅值和相位与输入不同。
ur A sin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
U c ( s ) G ( s )U r ( s )
拉氏反变换得到
1 1 A U r ( s) 2 RCs 1 Ts 1 s 2
d ( s j )G ( s ) d ( s j )G ( s )
故
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
css (t Leabharlann umG ( j ) jt umG ( j ) jt e e 2j 2j e
处。对数相频特性曲线
L( ) 20lg A( ) 20lg
1
() tg 1T
如下图中（d）下所示，对数相频特性曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB ，如（e）给出的误差曲线所示， （f）是一阶惯性环节的极点矢量 图。
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自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
第五章 控制系统的频域分析方法
5-1 频率特性的概念 5-2 典型环节的频率特性 5-3 幅相频率特性曲线的绘制 5-4 对数频率特性曲线的绘制 5-5 奈奎斯特稳定性判据 5-6 开环频率特性的稳定裕度指标 5-7 系统频域指标与时域指标的关系 5-8系统开环频率特性与系统性能的关系
0
1 T
幅频特性曲线
( )
1 T
1 1 (U )2 V 2 ( )2 2 2
j
A() 0
[G (j )]
1 2
() 90
0
G ( j 0) 1
0
45 90
G( j 1 T ) (0.5 j 0.5)
相频特性曲线
幅相频率特性曲线（极坐标图）
5 0
L(dB)
5
10 15 20 0.1
1
高频段（ 20dB / 十倍频程）
低频段
低通滤波特性
准确值-估计值
0
10
0
20
T
1
L(dB) 2
3
( )
40
60 80
0.1
T
1
10
0.1
T
1
10
13
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
4、纯微分环节：
§5-1 频率特性的概念
对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳 态响应也是正弦的，频率与输入相同，只是幅值和相 位与输入不同。
ur A sin t
R
C
0.8 0.6 0.4
uc
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
0.2 0 -0.2 -0.4
-0.6 -0.8 -1 0 5 10 15 20 -0.6 -0.8 0
9
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s) k G( j ) k A() k ( ) 0
A( )
k
( )
L(dB) 20 lg k
0
0
0
0.01
0.1
1
10
幅频特性曲线
j相频特性曲线来自 ( )[G ( j )]
频率特性有明确的物理意义，系统或元器件的频率 特性容易用实验方法确定，可以直接利用系统的开环 测量数据进行系统的分析与综合，而不必推导出系统 的参数化数学模型，这具有很大的实际意义。 时域分析方法和频域分析方法是控制系统分析和设 计中互补的两种重要方法。
3
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
15
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
j [s] j
n jd
6、二阶振荡环节:传递函数为
2 n 1 G( s) 2 2 2 2 T s 2 Ts 1 s 2n s n
1
( s n jd )( s n jd )
5
10
15
20
4
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
设初始状态为零
1
A 1 uc (t ) L 2 2 Ts 1 s AT e 2 2 1 T
t T
ur A sin t
R
C
uc
A 1 T
2 2
sin(t arctan T )
1
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
2
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
时域分析方法依赖于参数化的数学模型，即传递函 数，一般需通过机理建模。
由奈奎斯特（Nyquist）和伯德（Bode）等人建立起 来的频率特性方法，也称为频域法是控制系统分析与 综合有效的方法之一，频域法在实际中得到广泛应用 的原因，是因为它有以下一些特点：
0.1
1
20
20dB 十倍频程
10
0
（d） 微分环节的频率特性
（e）
14
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
5、一阶微分环节：
G(s) 1 s ， G( j ) 1 j ， A( ) 1 2 2 ， ( ) tg 1 ( ) 。
t AT T 1 1 e A sin(t ) 2 2 1 T 1 jT 1 jT 系统响应的瞬态部分 系统响应的稳态部分
上述关系对一般线性定常系统都成立，即设系统传递函数为 G ( s )，它是稳定的，在正弦输入 A sin t 下系统的稳态输出为
() G( j)
它们都是频率 的函数。 G ( j ) 是频率 的复函数，幅频特性和相频特性放在一起称为幅相 频率特性，记作
G( j) G( j) e jG( j ) A()e j ( ) 对于一般的线性定常系统 G ( s ) ，它稳定或者不稳定，频率特性也按
上述定义。
6
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
频率特性与传递函数的关系: G（jω)=G(s)|s=jω
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传 递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反 映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递 函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此， 系统动态过程的规律性也全寓于其中。 应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制 系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的 傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据 控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出 它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
A() 0 () 180 0
j
2 n
n jd
2
0
2 式中 0 1 ， n 1 T ， d n 1 。
二阶振荡环节的频率特性为
[G ( j )] G ( j 0) 1
1 1 T 2 2 j 2 T G ( j ) 2 2 1 T j 2 T (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2 1 (1 T 2 2 )2 (2 T ) 2 e
12
自动控制原理
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 T 2 2 1
第五章 控制系统的频域分析方法
() tg 1T
当 1 T 时 ， L( ) 20lg1 0 ， 为低 频 段的 渐近 线；当 1 T 时 ，
L( ) 20lg T 20lg T 20lg ，是一条过 1 T 斜率每十倍频程降 20dB 的斜线，为高频段的渐近线，两条渐近线交于 1 T 处。对数相频特性 曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB
L( ) 20 lg
1
T 2 2 在半对数坐标下是一条斜率为 40dB /10 倍频程的斜线，交横轴于 1 T 处， 为高频段的渐近线。两条渐近线交于 1 T 处。 不同时形状不同， 相同 T 不同时，曲线只作平移。
10 0
L(dB)
10 20 30
40
低频段
2T 2 (
20
15
高频段（20dB / 十倍频程）
j [s] j
L(dB)
10 5 0
低频段
1 T 0
5 0.1
Im
1
10
[G (j )]
80 60
( )
40 20
0
1
0 0.1
Re
1
10
幅相频率特性曲线（极坐标图）
对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线
！高频放大 ！抑制噪声能力的下降
G( s) s
A( )
A( )
90
( )
2
G( j) j e j 2
L() 20lg A() 20lg
( )
j
[G (j )]
1
0
0
0
1
（a）
L(dB)
（b）
( )
90
0
（c）
0.01
0.1
1
10
0
j [s] j
0.01
7
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
频率特性常用有三种图示方法： 1、幅频特性曲线，相频特性曲线， 如右上图所示。 2、幅相频率特性曲线（极坐标图） ， 如右下图所示。 3、 对数频率特性曲线 （半对数坐标， bode 图） ，如左下图所示，bode 图 是应用最广的频率特性曲线。
5 0
L(dB)
8
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
ω =0不可能在横坐标上表示出来； 在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频 程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都 是相等的。 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横 坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数 的变化量。 幅值相乘变为相加，简化作图 拓宽图形所能表示的频率范围
G( j) Asin(t G( j))
5
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，设它的传递函数为 G ( s ) 幅频特性定义为在正弦输入下， 系统稳态输出正弦量的幅值和输入正 弦量的幅值之比，记作 A( )
第五章 控制系统的频域分析方法
第五章 控制系统的频域分析方法
5-1 频率特性的概念 5-2 典型环节的频率特性 5-3 幅相频率特性曲线的绘制 5-4 对数频率特性曲线的绘制 5-5 奈奎斯特稳定性判据 5-6 开环频率特性的稳定裕度指标 5-7 系统频域指标与时域指标的关系 5-8系统开环频率特性与系统性能的关系
0
1 T
幅频特性曲线
( )
1 T
1 1 (U )2 V 2 ( )2 2 2
j
A() 0
[G (j )]
1 2
() 90
0
G ( j 0) 1
0
45 90
G( j 1 T ) (0.5 j 0.5)
相频特性曲线
幅相频率特性曲线（极坐标图）
5 0
L(dB)
5
10 15 20 0.1
1
高频段（ 20dB / 十倍频程）
低频段
低通滤波特性
准确值-估计值
0
10
0
20
T
1
L(dB) 2
3
( )
40
60 80
0.1
T
1
10
0.1
T
1
10
13
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
4、纯微分环节：
§5-1 频率特性的概念
对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳 态响应也是正弦的，频率与输入相同，只是幅值和相 位与输入不同。
ur A sin t
R
C
0.8 0.6 0.4
uc
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
0.2 0 -0.2 -0.4
-0.6 -0.8 -1 0 5 10 15 20 -0.6 -0.8 0
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第五章 控制系统的频域分析方法
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s) k G( j ) k A() k ( ) 0
A( )
k
( )
L(dB) 20 lg k
0
0
0
0.01
0.1
1
10
幅频特性曲线
j相频特性曲线来自 ( )[G ( j )]
频率特性有明确的物理意义，系统或元器件的频率 特性容易用实验方法确定，可以直接利用系统的开环 测量数据进行系统的分析与综合，而不必推导出系统 的参数化数学模型，这具有很大的实际意义。 时域分析方法和频域分析方法是控制系统分析和设 计中互补的两种重要方法。
3
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
15
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
j [s] j
n jd
6、二阶振荡环节:传递函数为
2 n 1 G( s) 2 2 2 2 T s 2 Ts 1 s 2n s n
1
( s n jd )( s n jd )
5
10
15
20
4
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
设初始状态为零
1
A 1 uc (t ) L 2 2 Ts 1 s AT e 2 2 1 T
t T
ur A sin t
R
C
uc
A 1 T
2 2
sin(t arctan T )
1
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
2
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
时域分析方法依赖于参数化的数学模型，即传递函 数，一般需通过机理建模。
由奈奎斯特（Nyquist）和伯德（Bode）等人建立起 来的频率特性方法，也称为频域法是控制系统分析与 综合有效的方法之一，频域法在实际中得到广泛应用 的原因，是因为它有以下一些特点：
0.1
1
20
20dB 十倍频程
10
0
（d） 微分环节的频率特性
（e）
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第五章 控制系统的频域分析方法
5、一阶微分环节：
G(s) 1 s ， G( j ) 1 j ， A( ) 1 2 2 ， ( ) tg 1 ( ) 。
t AT T 1 1 e A sin(t ) 2 2 1 T 1 jT 1 jT 系统响应的瞬态部分 系统响应的稳态部分
上述关系对一般线性定常系统都成立，即设系统传递函数为 G ( s )，它是稳定的，在正弦输入 A sin t 下系统的稳态输出为
() G( j)
它们都是频率 的函数。 G ( j ) 是频率 的复函数，幅频特性和相频特性放在一起称为幅相 频率特性，记作
G( j) G( j) e jG( j ) A()e j ( ) 对于一般的线性定常系统 G ( s ) ，它稳定或者不稳定，频率特性也按
上述定义。
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第五章 控制系统的频域分析方法
频率特性与传递函数的关系: G（jω)=G(s)|s=jω
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传 递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反 映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递 函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此， 系统动态过程的规律性也全寓于其中。 应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制 系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的 傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据 控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出 它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
A() 0 () 180 0
j
2 n
n jd
2
0
2 式中 0 1 ， n 1 T ， d n 1 。
二阶振荡环节的频率特性为
[G ( j )] G ( j 0) 1
1 1 T 2 2 j 2 T G ( j ) 2 2 1 T j 2 T (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2 1 (1 T 2 2 )2 (2 T ) 2 e
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L( ) 20lg A( ) 20lg 1 T 2 2 1
第五章 控制系统的频域分析方法
() tg 1T
当 1 T 时 ， L( ) 20lg1 0 ， 为低 频 段的 渐近 线；当 1 T 时 ，
L( ) 20lg T 20lg T 20lg ，是一条过 1 T 斜率每十倍频程降 20dB 的斜线，为高频段的渐近线，两条渐近线交于 1 T 处。对数相频特性 曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB
L( ) 20 lg
1
T 2 2 在半对数坐标下是一条斜率为 40dB /10 倍频程的斜线，交横轴于 1 T 处， 为高频段的渐近线。两条渐近线交于 1 T 处。 不同时形状不同， 相同 T 不同时，曲线只作平移。
10 0
L(dB)
10 20 30
40
低频段
2T 2 (
20
15
高频段（20dB / 十倍频程）
j [s] j
L(dB)
10 5 0
低频段
1 T 0
5 0.1
Im
1
10
[G (j )]
80 60
( )
40 20
0
1
0 0.1
Re
1
10
幅相频率特性曲线（极坐标图）
对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线
！高频放大 ！抑制噪声能力的下降
G( s) s
A( )
A( )
90
( )
2
G( j) j e j 2
L() 20lg A() 20lg
( )
j
[G (j )]
1
0
0
0
1
（a）
L(dB)
（b）
( )
90
0
（c）
0.01
0.1
1
10
0
j [s] j
0.01
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自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
频率特性常用有三种图示方法： 1、幅频特性曲线，相频特性曲线， 如右上图所示。 2、幅相频率特性曲线（极坐标图） ， 如右下图所示。 3、 对数频率特性曲线 （半对数坐标， bode 图） ，如左下图所示，bode 图 是应用最广的频率特性曲线。
5 0
L(dB)
8
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
ω =0不可能在横坐标上表示出来； 在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频 程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都 是相等的。 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横 坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数 的变化量。 幅值相乘变为相加，简化作图 拓宽图形所能表示的频率范围
G( j) Asin(t G( j))
5
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第五章 控制系统的频域分析方法
频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，设它的传递函数为 G ( s ) 幅频特性定义为在正弦输入下， 系统稳态输出正弦量的幅值和输入正 弦量的幅值之比，记作 A( )