最新运筹学复习题及-答案

运筹学复习题及答案

一、一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A、B、C混纺毛料，生产1单位A、B、C

分别需要羊毛和涤纶3、2；1、1；4、4单位，三种产品的单位利润分别为4、1、5。每月购进的原料限额羊毛为8000单位，涤纶为3000单位，问此毛纺厂如何安排生产能获得最大利润？（要求：建立该问题的数学模型）解：设生产混纺毛料ABC各x1、x2、x3单位

max z＝x1+x2+5x3

3x1+x2+4x3≤8000

2x1+x2+4x3≤3000

x1,x2,x3≥0

二、写出下述线性规划问题的对偶问题

max s=2x1+3x2-5x3+x4

x1+x2-3x3+x4≥5

2x1 +2x3-x4≤4

x2 +x3+x4=6

x1,x2,x3≥0；x4无约束

解：先将原问题标准化为：

max s=2x1+3x2-5x3+x4

-x1-x2+3x3-x4≤-5

2x1 +2x3-x4≤4

x2 +x3+x4=6

x1,x2,x3≥0；x4无约束

则对偶问题为：

min z=-5y1+4y2+6y3

-y1+2y2≥2

-y1+ y2≥3

3y1+ 2y2+y3≥-5

-y1-y2+y3=1

y1,y2≥0,y3无约束

三、求下述线性规划问题

min S =2x1＋3x2－5x3

x 1＋x 2－3x 3 ≥5 2x 1 ＋2x 3 ≤4

x 1，x 2，x 3≥0

解：引入松弛变量x4，x5，原问题化为标准型：

max Z=-S =-2x 1-3x 2+5x 3

x 1＋x 2－3x 3 －x 4=5 2x 1 ＋2x 3 +x 5=4

x 1，x 2，x 3, x 4,x 5≥0 对应基B 0＝（P2,P5T(B 0)=

x1的检验数为正，x1进基，由min ｛5/1,4/2｝=4/2知，x5出基，迭代得新基B1=(P2,P1),对应的单纯形表为

T(B 1)=

至此，检验数全为非正，已为最优单纯形表。对应的最优解为： x1=2,x2=3,x3=x4=x5=0,max z=-13,故原问题的最优解为： x1=2,x2=3,x3 =0,min s=13。

四、利用大M 法求解下面线性规划问题:

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥=+-≥--++-=0,,6242.

.2max 3212

1321321x x x x x x x x t s x x x s 解：引入松弛变量x 4和人工变量x 5，构造如下规划：

⎪⎩⎪

⎨

⎧≥=++=+++--++-=0,,,,6242.

.2max 5

432152143215321x x x x x x x x x x x x t s Mx x x x s

对应基B 0＝（P 4,P 5）的单纯形表为

x 1的检验数为-1+ M>0，x 1进基，由min ｛6/1｝=6/1知，x 5出基，迭代得新基B 1=(P 4,P 1),对应的单纯形表为

T(B 1)=

x 3的检验数为1>0，x3进基，由min ｛16/1｝=16/1知，x 4出基，迭代得新基B2=(P3,P1),对应的单纯形表为

T(B 2)

=

至此，检验数全为非正，已为最优单纯形表。对应的最优解为： x 1=6,x 2=0,x 3=16,x 4=x 5=0,最优值max z=10。

五、已知线性规划问题(L):

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥++≥++++=0,,8236

22.

.32min 321321321321x x x x x x x x x t s x x x s (1)写出该问题的对偶表,从而给出其对偶问题(D).

(2)用对偶单纯形法求解问题. 解：(1)

其对偶问题(D)为 max Z=6y1+8y2

2y1+ y2≤1 y1+3y2≤2 2y1+2y2≤3

y1,y2≥0

(2)x4、x5，构造如下规划：

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-=+----=+------=-=0x ,x ,x ,x ,x 8x 2x 3x x 6x 2x x 2x s.t.

3x 2x x S maxZ 5432153214321321

对应基B 0＝（P 4,P 5）的单纯形表为

T(B 0检验数全为非正，基变量x 4＝－6，x4出基,利用偶单纯形法，由min ｛－1/－2，－

2/-1,-3/-2｝=－1/－2知，x1进基，迭代得新基B1=(P1,P5),对应的单纯形表为

T(B1

基变量x5＝－5，x5出基,利用偶单纯形法知，x2进基，迭代得新基B2=(P1,P2),对应的单纯形表为Array

T(B2

至此,得到最优解:x1=x2345原问题的最优解为: x1=x2=2,x3=0, 最优值minS=6.

总运费S=0×10＋1×10＋6×7＋2×2＋5×1=61

经计算λ11＝（6＋0）－（2＋1）＝3>0,

调整量Δ=min（7,10）＝7，

总运费S=61－3×7＝40

至此，所有检验数均以非正，该运输方案已为最优。即：

A1运到B1 7个单位；A2运到B1 3个单位；A2运到B3 9个单位A3运到B2 10个单位；A3运到B3 1个单位；总运费S＝40个单位七、某极大化整数规划对应的线性规划的最优单纯形表如下：

试建立割平面方程并求原整数规划的最优解。

解：由x2=5/2为非整数，对应方程为：5/2=x2+1/2x3-1/2x4

即：x2－x4-2=1/2-(1/2x3+1/2x4),得Gomery割平面：1/2-(1/2x3+1/2x4)<0 引入松弛变量x5,

由7/2=x1+x4-1/2x5,得Gomery割平面：1/2-1/2x5+<0

引入松弛变量x6,添加约束：-1/2x5＋x6=－1/2,由表

利用对偶单纯形法迭代得到新单纯形表：

1 0 1 0 -1 0 -2

4 1 0 0 1 0 -1