模糊数学2008-8(等价关系与相似关系)

没有了传递性的要求
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为何研究模糊相似关系？

实际应用中，通常只能得到自反和 对称矩阵（相似矩阵），模糊等价 矩阵较为少见 Questions.



对具有相似关系的元素如何分类？ 相似矩阵可否改造为等价矩阵？
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全新概念——传递闭包
例如，要对一些环境单元进行分类，判 断它们的污染程度 每个环境单元包括四个要素：空气、水 分、土壤、作物 环境单元的污染状况由污染物在四个要 素中含量的超限度来描述 《北京市东南郊环境污染治理》，获北 京市科技成果一等奖
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五个环境单元
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步骤1：建立模糊相似关系

请给出传递闭包t(R)
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3-9 聚类分析
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聚类分析

所谓聚类分析，就是用数学方法对 事物进行分类



应用十分广泛 模糊数学产生之前，聚类分析是数理 统计多元分析的一个分支 现实分类问题具有模糊性，例如“环 境污染分类”、“岩石分类”等 用到模糊聚类分析
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习题3-7
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习题3-7答案
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内容回顾

模糊等价关系（矩阵）



自反性 R (u,u)=1或I⊆R 对称性 R(u,v)=R(v,u); 传递性 R2 ⊆R
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模糊等价矩阵的性质


若相似矩阵的维数较大，需要多次自 乘，工作量大
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直接聚类法

无需求相似矩阵的传递闭包 直接用相似矩阵进行聚类

有很多种直接聚类法

我们只讲其中一种
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直接聚类法

取λ=1(最大值)，对每个ui,确定其相似类 取λ=0.8(次大值)，对每个ui,确定其相似 类 取λ=0.6(第三大值)，对每个ui,确定其相 似类
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分类问题

设U ={u1, u2, …, un }为待分类的全体 对象，其中每个待分类对象由一组数 据表征如下：
ui {xi1 , xi 2 ,..., xim}

问题转化为：如何建立对象ui与uj之 间的相似关系
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Fra Baidu bibliotek35
何谓数据表征


传递闭包


模糊相似矩阵传递闭包模糊等 价矩阵
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改造有理！

定理. 相似矩阵R∈μn×n 的传递闭包是 等价矩阵，且t(R)=Rn R自反⇒ I ⊆ R⊆R2 ⊆ … ⊆Rn
证明：只需证明自反性和对称性

⇒t(R)=∪k=1n Rk= Rn是自反的
对称性。R= RT⇒(Rn)T= (RT)n = (Rn)
j 1
j 1
k 1 j 1

m2
Am
Am
m1
(2) Ak A
k 1

(3)对Q A, 有k(自然数)Q k Ak Q Q k Ak , 所以，Q
k 1
Ak
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传递闭包的定理2
定理2. 设模糊矩阵 A ∈ μn×n ，则

如何建立对象ui与uj之间的相似关系？ 有许多方法，应用时根据实际情况， 选择一种方法来求ui与uj的相似关系 R(ui, uj)=rij

在“环境污染”的例子中，如何给 出模糊相似矩阵？
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建立相似矩阵
建立模糊相似矩阵的注意事项：

rij∈[0,1]


自反
对称
k k
2k
k 1
n
log 2 n k (log 2 n) 1 k至多为[log 2 n] 1
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课堂作业
设
1 0.1 0.2 R 0.1 1 0.3 0.2 0.3 1 请问至多几次平方可以到达传递闭 包？
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动态聚类图
λ由1变到0的过程，是Rλ的分类由细到 粗的过程，从而形成了一个动态的聚 类图。
λ =1 λ =0.8 λ =0.6 λ =0.5 λ =0.4
x1 x2 x3 x4 x5
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3-8 模糊相似关系
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模糊相似关系的定义

设R∈F(U×U)，若R具有自反性和 对称性，则称R为U上的一个模糊相 似关系 例如：模糊关系“熟悉”、“朋 友”、“同学”等 模糊相似关系vs.模糊等价关系
求当λ ＝1，0.8，0.5，0.4时的聚类结果。
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直接聚类法

对于一个固定的λ，

等价矩阵聚类得到的等价类没有公共 元素！ 相似矩阵聚类得到的相似类则有公共 元素，这是因为不具有“传递性” 直接聚类法——把有公共元素的相似 类归并为一类
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1, i j m rij 1 c xik x jk , i j k 1

“环境”例中，采用“绝对值减数法” 问：得到的相似矩阵的维数是多少？
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模糊相似矩阵
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步骤2：相似关系等价关系

步骤1得到的矩阵一般满足自反性和 对称性
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平方法求传递闭包
从模糊相似矩阵R出发，依次求平 方：
R R R ... R ...
2 4
2i
当第一次出现Rk ◦Rk =Rk时， Rk就是
所求的传递闭包t(R)
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时间复杂度
假设t ( R) R ， 2 最大的情况是2 n且2


依此类推直到U归并到一类终止
得到聚类图
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问题

相似矩阵直接聚类vs.等价矩阵聚类


看上去没有区别 有区别！

对于一个固定的λ，等价矩阵聚类得 到的等价类没有公共元素！
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回忆——等价矩阵聚类
设U={u1, u2, u3 ,u4, u5 }
定理1. 设模糊矩阵 A ∈ μn×n ，则

t ( A) A A ... A ... A
2 n k 1
k
其中，t(A)是传递闭包。
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传递闭包定理1证明
k
(1) A
k 1
A
j

(A
k 1
k

A )
j

( Ak A j )
设U={u1, u2, u3 ,u4, u5 }
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 00 1 00 1 1 1 0 1 0 1 0 00 1 0 0 0 R 1 1 1 1 1 11 1 0.4 R0.5 1 0 R 1 0 1 0 0 0.8 R1 0 0 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
求当λ ＝1，0.8，0.5，0.4时的聚类结果。
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模糊等价矩阵的定理2

定理2. R ∈ μn×n是模糊等价矩阵， 则对于任何λ,μ ∈[0,1]，且λ<μ，Rμ 所决定的分类中的每个类都是Rλ所 决定的分类中的某个类的子类。 说明什么？


λ越大，分类越细
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模糊数学 8
孙舒杨 Email. sysun@jlu.edu.cn
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作业答案
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5
习题3-3
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习题3-6
A 自反 Aii 1 Aii Bii 1 ( A B)ii 1 A B 自反

将模糊相似矩阵改造成模糊等价矩 阵


平方法 求传递闭包
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至多计算多少次？

模糊相似矩阵5×5 k=[log25]+1=2+1=3

最坏情况下，RR2R4R8，计 算到R8
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模糊等价矩阵
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其他建立相似矩阵的方法

非常多！主要分为3类



相似系数法 距离法（绝对值减数法就是距离法之 一） 主观法

在后面的附录中给出
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聚类分析的步骤

建立初始矩阵 利用某个建立相似矩阵的方法，建 立相似矩阵 利用平方法，相似矩阵等价矩阵

对称性、自反性显然 传递性的证明见3.6节定理1
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定理1的意义

模糊等价矩阵普通等价矩阵 普通等价矩阵⇔普通等价关系


普通等价关系可以分类
当λ在[0,1]上变动时，得到不同的Rλ, 从而得到不同的分类
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模糊等价矩阵分类——例
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模糊相似矩阵模糊等价矩阵

将相似矩阵改造成等价矩阵 只需求相似矩阵的传递闭包
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可否更简单？t(R)=Rn
定理. 设R∈μn×n 是模糊相似矩阵，则 存在一个最小自然数k (k≤n)，使得 传递闭包t(R)=Rk，对于任何自然数 b≥k，都有Rb=Rk，此时，t(R)是模 糊等价矩阵。
t ( A) A
k 1
n
k
其中，t(A)是传递闭包。
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定理2的意义

定理2说明，当R是n阶方阵时，至 多用n次并运算，就可以得到R的传 递闭包 定理2极大地简化了传递闭包的计算

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内容回顾

模糊相似矩阵

自反性 对称性 传递性
设A, Â, B∈F(U×U)，若

Â为包含A的传递关系

即A⊆Â且Â2⊆ Â

对于任何包含A的传递关系B，都有 Â⊆B
则称Â为A的传递闭包，记为t(A)= Â
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传递闭包是什么？

R的传递闭包t(R) 是包含R的最小的传递关系
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传递闭包的定理1

若R为模糊等价矩阵，则 R= R2 = R3 = … = Rn-1 = Rn
证明：
自反性： R⊆R2 ⊆…⊆ Rn-1 ⊆Rn 传递性: R⊇R2⊇…⊇Rn-1⊇Rn
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模糊等价矩阵的定理1
定理1. R是模糊等价矩阵⇔ 对于任何λ∈[0,1]，Rλ是等价布尔矩阵。
证明：
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 00 1 00 1 1 1 0 1 0 1 0 00 1 0 0 0 R 1 1 1 1 1 11 1 0.4 R0.5 1 0 R 1 0 1 0 0 0.8 R1 0 0 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1