26.1 二次函数性质和有关符号的判断(2课时)

练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中下正确的是 （ ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0
D、4a-2b+c＜0
-1 o
1 2
x
5.已知：一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致 图象是图中的（ C ）
(1) y x 2 x 1 2 (2) y x 4 x 1 2
2
1 2 1 2 函数 能否由函数 例2 、 y x 4x 3 y x 2 2
的图象通过平移得到？若能,请说出平移的 过程。
解决二次函数平移问题口诀：
一提二套三平方 ；一般式化顶点式； 左加右减自变量；上加下减常数项。
分析:本例中自变量χ的取值范围不再是全体实数,因此画 出的图象是有限的一部分,先画出图象,由图象观察出最大 值和最小值.
y
1 O 2 3
解: y=χ2-2χ-3=(χ-1)2-4
∴顶点坐标为(1,-4).
χ
当2≤χ≤3时,由图象知
-4
当χ=2时, y最小值=-3;
当χ=-3时, y最大值=0.
二次函数的增减性应用
过关检测
求函数
y x 6 x 1 的图象可由怎样的
2
抛物线y=ax²（a≠0），经过怎样的平移后得到？
1.增减性
2.最值
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
根据函数图象填空： y 抛物线y= -2x2的顶点坐标是 (0,0) ,
0
x 对称轴是 直线x=0 ，在
y轴左 侧，
2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条件是 什么 变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c （a≠0）的值永远是负值的条件是什么？ 练一练：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c （a≠0）的值永远是非正数的条件是什么？
谈谈你的收获? 1 a、b、c、△等符号性质 2 a+b+c的符号 3 a-b+c的符号 4 解信息题技巧`
x 唯一交点:△=0
o
(3)
怎样求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点？
取y=0
（3）b的符号： 由对称轴与轴位置确定
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
对称轴是y轴
a、b同号 a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列结论中：①abc＞0；②2a-b=0；③a+b+c＜0；④ 2a+b ＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） y A、2个 B、3个
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定 （7）2a±b的符号：
4.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
则点M（
b ，a）在 c
（
） D y
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
o x
1、x=1时抛物线y=ax2+bx+c的函数值 ｙ＝ a+b+c 2、x=-1时抛物线y=ax2+bx+c的函数值 ｙ= a-b+c 3、分别在下列图像中确定a+b+c和a-b+c的 的符号： y y
2
(
)
(
)
、
) 关系是( A. y1 > y2 > y 3 . C. y3 > y1 > y2 .
B. y2 > y1 > y3 D. y3 > y2 > y1
（a、b、c、△等符号）
•
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线， 这条抛物线的形状（开口方向、开口大小） 是由二次项系数a决定的。
1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值： ⑵ y=－x2－6x＋1 ⑴ y=2x2－8x＋1； 解： ⑴ ∵y=2x2－8x＋1＝2(x－2)2－7
配方法
∴由a=2＞0 得x=2时,y最小值＝－7
公式法
二次函数的最值应用
最值在端点，代入可得解
3.已知函数y=χ2-2χ-3,且2≤χ≤3.求y的最大值 或最小值.
由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： 交点在x轴上方 c>0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c<0
c=0
观察一般式y=ax2+bx+c的图像,看一看对称轴位置 和系数a、b的符号关系: y=2x2+3x+2
y
y=x2-2x-1
y 轴右侧:a、b异号
y
(2)
o
(1)
x
y
o
x
y 轴左侧:a、b同号
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中下正确的是 （ ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0
D、4a-2b+c＜0
-1 o
1 2
x
两个函数图象共存问题
5.已知：一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致 图象是图中的（ C ）
顶点是抛物线上的最高点（或最低点）
(2)判别这个函数有最小值还是最大值. 这是由解析 式中的哪一系数决定的吗? (3)这个函数值的增减性是怎样变化的?
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
条件
图像
y
增减性
最大（小）值
a＞ 0
x1
o
x2
x
y
a＜ 0
o
x1
x2
x
二次函数的最值应用
最值在顶点，a值定大小
1.函数y=-2x2,当x1<x2<0时,相应的函数值
y1、y2之间的大小关系是:y1 ＜ y2
(选填“>”、“<”或“=”).
图解法
二次函数的增减性应用
2 .已知二次函数y 2(x 1) １的图象上有 ( ) ２ , y3 三点, 则y1 y 2、y 3的大小 A ３, y 1 , B 2, y 2 , C
1 o -1
x
-1
o
1
x
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列结论中：①abc＞0；②2a-b=0；③a+b+c＜0；④ 2a+b ＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） y A、2个 B、3个
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定 （7）2a±b的符号：
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b<0,
o
x
c>0,
△>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a<0,
b>0,
o
c<0,
x
△<0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
1：二次函数顶点式：y=a(x-h)2+k 对称轴是 直线X=h ； 顶点坐标是 (h , k) 。
y=ax² +bx+c （a≠0） 2.二次函数一般式：
对称轴是直线x=
b 2a
2 b 4ac b 顶点坐标是为（ 2a ， ） 4a
过关检测
1.确定下列二次函数图形的开口方向、 对称轴和顶点坐标：
二、典型例题分析
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c， 且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A ) A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤0 2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在 (D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
y y
o
y
x （A）
o y
x （B）
o
x （C）
o
x
（D）
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y (C ) y
o
A
-3
x
o B -3
x
o C -3
x
o D -3
x
复习知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是 由a和b联合决定的
• a与 b同号 对称轴在y轴的左侧 • a与 b异号 对称轴在y轴的右侧 • b=0 对称轴就是y轴。 左同右异
抛物线与x轴交点的个数由b2-4ac的 符号决定