直线的点斜式方程与斜截式方程
直线的点斜式方程和斜截式方程
直线的点斜式方程和斜截式方程1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊数学里的两个老朋友：直线的点斜式方程和斜截式方程。
这听起来有点高大上，但其实没那么复杂。
就像喝一杯清茶，慢慢品味，才会觉得其中的奥妙。
别担心，我们会把这些枯燥的公式变得有趣一点，谁说数学不能好玩呢？2. 点斜式方程2.1 什么是点斜式方程？点斜式方程，顾名思义，就是用一个点和一个斜率来定义一条直线。
想象一下，你正在一片草地上，发现了一条小路，这条小路的起点就是你脚下的那个点，而它的倾斜程度，就是那条路的斜率。
简单来说，点斜式方程的形式是 ( y y_1 = m(x x_1) )，这里的 ( (x_1, y_1) ) 就是你那颗脚下的心灵归宿，而 ( m ) 就是你走路时的步伐。
明白了吗？就像你跟朋友约好一起出门，你得告诉他从哪里出发，往哪个方向走。
2.2 点斜式的应用那么，点斜式有什么用呢？想象一下，你在一个小山坡上，旁边有一块石头，你想告诉朋友这个石头的确切位置，和你从石头走到小河的路径。
你可以用点斜式方程告诉他这条路的方向。
比如，你在 ( (2, 3) ) 这个点，斜率是 ( 2 )，那么就可以写成 ( y 3 = 2(x 2) )。
这就像给他发了个“定位”，让他也能找到你。
而且，这个公式在图纸上也特别好用，轻松画出一条直线，谁不喜欢画画呢？3. 斜截式方程3.1 斜截式方程的定义接下来，我们来聊聊斜截式方程。
斜截式听起来有点酷，对吧？它的形式是 ( y = mx + b )。
这里的 ( m ) 依旧是斜率，而 ( b ) 则是这条直线在 y 轴上的截距。
想象一下，你在公园里散步，看到一条直线从地面上“冒出来”，它和 y 轴的交点就是 ( b )。
就像是你看到的风筝线，风筝在空中飞舞，而这个点就是风筝的“起飞点”。
3.2 斜截式的用途斜截式方程的好处就是它特别容易看懂，尤其是对那些数学小白来说。
你只要知道斜率和 y 轴的交点，立马就能画出那条直线。
直线的点斜式方程与斜截式方程
亲爱的同学们，下节课见！
Байду номын сангаас
一、填空题 1.已知直线的点斜式方程是y＋1＝k（x－4），则直线经过的一个定点坐标是 （4，－1） . 2.直线2x＋y－7＝0的斜截式方程为 y＝－2x＋7 . 3.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k ＜ 0且b ＞ 0.
二、解答题 1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B（7，－1），C（－1，4）， 求AB边上的中线CD所在的直线方程.
3.斜率为3，且在y轴上的截距为－2的直线的斜截式方程（ C ）.
A. y＝－2x＋3 B. y＝－2x－3 C. y＝3x－2 D. y＝3x＋2
4.若直线l的斜截式方程为y＝－2x＋4，则直线l的斜率为（ A ）.
A. －2
B. 2
C. －4
D. 4
5.若直线l的斜截式方程为y＝3x－6，则直线l在y轴上的截距为（ C ）.
4.倾斜角60°，在y轴上的截距是2； k＝tan60°＝ 3，b＝2. ∴直线方程为y＝ 3x＋2 5.过点A（－2，－4），B（0，－3）； 解：k＝−03++24 ＝ 12，由点斜式可得y＋3＝12（x－0） ∴所求直线方程为x－2y－6＝0 6.斜率是2，在x轴上的截距是3， k＝2过点（3，0）. 直线方程为：y－0＝2（x－3）. 即y＝2x－6
A. －3
B. 3
C. －6
D. 6
二、填空题 1.直线l经过点P（－2，3），且斜率为12，则直线l的点斜式方程 y－3＝12（x ＋2 . 2.已知直线的点斜式方程是y－2＝3（x＋1），则直线的斜率k＝ 3 . 3.斜率为－12，且在y轴上的截距为1的直线的斜截式方程 y＝－12x＋1 . 4.直线y＝3x－2与y轴的交点坐标为 （0，－2） .
直线的点斜式方程与斜截式方程
直线的点斜式方程与斜截式方程大家好呀，今天咱们来聊聊直线方程，具体来说，就是点斜式方程和斜截式方程。
别担心，我会把这些听起来像天书的东西，讲得像讲故事一样简单易懂。
你坐下来，喝口茶，咱们慢慢说说。
1. 点斜式方程1.1 什么是点斜式方程？首先，咱们得搞明白点斜式方程是什么。
简单来说，点斜式方程就是用来描述一条直线的方程。
它的格式是这样的：[ y y_1 = m(x x_1) ]。
别怕，这看起来像数学语言的外星文，实际简单得很。
这里的 ( (x_1, y_1) ) 是你已经知道的一个点，( m ) 是直线的斜率。
这就像你在绘画时知道了一个点的位置和线的倾斜程度，接下来只要把这些信息放进去，直线就自动出来了。
1.2 点斜式方程的实际应用想象一下，你要在纸上画一条直线，你知道这条直线经过一个点，比如说小明家门口的那棵大树。
然后，你知道直线的倾斜程度，比如说它向上倾斜了 45 度。
用点斜式方程，你可以把这两种信息结合起来，直接画出这条直线。
是不是很方便？就像是你知道了烹饪的材料和步骤，最后能做出美味的菜肴一样。
2. 斜截式方程2.1 什么是斜截式方程？接着咱们说说斜截式方程，它的形式是这样的：[ y = mx + b ]。
这里的 ( m ) 还是直线的斜率，不过这次它告诉我们直线的倾斜程度；而 ( b ) 是直线在 y 轴上的截距，也就是直线穿过 y 轴的那个点的 y 坐标。
用斜截式方程，你可以很清楚地看到直线如何穿过坐标系。
2.2 斜截式方程的实际应用让我们举个简单的例子。
假设你在路上开车，车的行驶路线就是一条直线。
斜截式方程就像是你手上的导航仪，告诉你这条路的走向和你与起点的距离。
比如说，你的车是以每小时 60 公里的速度向前行驶，且起点在 y 轴上。
通过斜截式方程，你能快速算出你的车在任何时刻的位置。
3. 点斜式与斜截式的转换3.1 如何转换说到这儿，可能有的小伙伴会好奇，点斜式和斜截式之间的关系是什么，怎么转换呢？其实，这就像是两种不同的描述方式，虽然它们讲的是同一个故事。
2.点斜式、斜截式
y y1 k x x1
. .
P1
O
x
由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直 线的点斜式方程。
应用：
例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这 y 条直线的方程，并画出图形。
解：这条直线经过点P1（-2，3）， 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y－3 = x + 2， 即x－y + 5 = 0 P1 ° 5 ° ° -5 O
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) ,即
2x + y －1 = 0
2015年8月19日星期三
即
y = kx + b。
(2)
ห้องสมุดไป่ตู้
例3：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
解：由已知得k =5， b= 4，代入斜截式方程 y= 5x + 4 即5 x - y + 4 = 0
例6：已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求 直线l的方程。
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
kL 5 5 2 23
直线的方程
点斜式和斜截式
2015年8月19日星期三
新课：
1、直线的点斜式方程：
已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是k 求直线l的方程。 设点P（x，y）是直线l上 不同于P1的任意一点。 l 根据经过两点的直线斜率 y P 公式，得
可化为 y y1 k x x1
x
例2：一条直线经过点A（0，5），倾斜角为00，求这直线 方程。 y
解：这条直线经过点A（0，5） 斜率是k=tan00=0 代入点斜式，得
直线的点斜式方程与斜截式方程
直线的点斜式方程与斜截式方程1. 直线方程的基础1.1 说到直线方程，咱们其实是在聊数学中的一件老生常谈的事儿。
直线方程的世界里，有两位大明星，分别是点斜式方程和斜截式方程。
这两个方程就像是一对老搭档，每次出现都让人既熟悉又亲切。
它们帮我们确定直线的方位，简直就像是给直线上了个GPS定位。
1.2 如果你有点儿对数学有点抵触情绪，也别急，咱们一步步来，保证让你不再觉得它是个“黑洞”。
点斜式和斜截式方程其实就像是直线的“身份证”，每条直线都有它的独特标识。
听上去有点儿正式，其实用起来简单得很。
赶紧放下你的担忧，跟着我一块儿解锁这两个“数学小秘密”。
2. 点斜式方程2.1 首先，我们得聊聊点斜式方程。
顾名思义，这种方程是由一个点和一条斜率构成的。
如果把直线想象成一条蜿蜒的河流，那么点斜式就像是告诉你河流在某个特定位置的倾斜角度和它的“出发点”。
点斜式方程的基本形式是 `y y₁ = m(x x₁)`。
这个方程里，`(x₁, y₁)` 就是你已经知道的那个点的位置，而 `m` 是直线的斜率。
2.2 咱们拿个例子来讲讲。
如果你知道一个直线经过点 (2, 3)，斜率是 4，那么你就可以写出这个直线的点斜式方程了。
代入这些数值，方程就变成了 `y 3 = 4(x 2)`。
看起来是不是有点儿像开了一道神秘的数学大门？其实，只要把这些数值代进去就行了。
你会发现，原本看起来很复杂的东西，其实也可以简单得像在家里做饭一样轻松。
3. 斜截式方程3.1 说到斜截式方程，这可是直线方程中的另一种常见形式。
它的形式是 `y = mx + b`。
其中的 `m` 是斜率，`b` 是 y 截距。
可以说，斜截式方程就像是直线的“速写”，它直接告诉你直线的斜率和它与 y 轴的交点在哪里。
3.2 举个例子来说明。
如果一条直线的斜率是 3，y 截距是 2，那么这个直线的斜截式方程就是 `y = 3x 2`。
这就是它的“身份证号码”。
用这个方程，你可以轻松找到直线上的任何点。
6.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程
(2).是直线的斜率;
(3). 是直线在轴上的截距.
练习：写出下列直线的斜率和在轴上的截距.
（） = −
（） =
（） = −
读一读： 截距不是距离，它是直线与轴（轴）交点的纵坐
标（横坐标），它的值可正、可负、可为零.
新授
一般地，把直线与轴交点（, )的纵坐标称为直线在轴上
的截距，与轴交点（, ）的横坐标称为直线在轴上的截距.
（，)
（，)
新授
若直线的斜率为，且与轴的交点为(, )，
则直线的斜截式方程为 = + .
斜截式方程 = + ,它的形式具有什么特点？
第六章 直线与圆
6 . 2 . 2 直 线 的 点 斜 式 方
程 与 斜 截 式 方 程
复习
设点 (，) 和 (，)为直线上任意两点，且 ≠ ，
则直线的斜率为 =
−
−
情境与问题
我们知道，根据平面内直线上的一点及直
线的倾斜角能画出一条直线.
在平面直角坐标系中，已知直线上的一点的坐标 ( ， )
∴点不在直线上；
+ 上.
3. 分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.
（1）经过点A(1,3),斜率为；
（2）经过点B(2,-5),D(3,0)；
（3）经过点C(− , ),倾斜角为 ；
解：（） − = ( − )
− （ − ）
（） =
−
=5
∴ + = ( − )
典型例题
例4 设直线的斜率是 ，在轴上的截距是-2，写出直线的斜截式方程.
点斜式与斜截式课件
05
习题与答案
点斜式习题及答案
题目
已知直线方程为$y - 2 = k(x 1)$，求当$k$为何值时，此直 线与坐标轴围成的三角形面积
为$frac{1}{2}$。
答案
$k = pm frac{4}{3}$
题目
过点$(2,3)$且与直线$2x + y 5 = 0$平行的直线方程是____ 。
答案
$2x + y - 9 = 0$
斜截式习题及答案
01
02
03
题目
已知直线$y = kx + b$经过 点$(2, -1)$和$(4,3)$，求该
直线的斜率和截距。
答案
斜率$k = frac{4}{3}$，截距 $b = - frac{5}{3}$
题目
已知直线$y = kx + b$经过 点$(0,2)$和$(3,0)$，求该直
线的方程。
详细描述
斜截式方程为 (y = mx + b)，其中(m) 为直线的斜率，(b)为(y)轴截距。将其 转换为点斜式方程，即 (y - y_0 = m(x - x_0))，其中((x_0, y_0))为直线上的一 个点，其坐标为((x_0, mx_0 + b))。
04
实例解析
点斜式实例解析
总结词
点斜式方程是直线方程的一种形式，它表示直线在某一点上的斜率。
THANKS
感谢观看
斜截式的几何意义
斜率（Slope）
斜率表示直线在x轴上单位长度内对应的y轴的变化量，即直线的倾斜程度。
截距（Intercept）
截距表示直线与y轴交点的y坐标。当x=0时，y=b。
斜截式的应用场景
直线的点斜式和斜截式方程
直线的点斜式和斜截式方程直线的点斜式和斜截式方程是描述直线的重要方式，以下是关于这两种方程的详细解释。
一、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是描述直线的一种便捷方式。
在这种形式下，直线通过某一确定的点（x1, y1），并且该直线的斜率为k。
点斜式方程的形式为：y - y1 = k(x - x1)。
其中，(x1, y1) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
通过这个方程，我们可以确定一条直线的唯一位置，知道其通过的点和斜率。
例如，如果直线通过点(3, 4)并且斜率为2，那么这条直线的点斜式方程就是y - 4 = 2(x - 3)。
二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程是另一种描述直线的方式。
在这种形式下，直线与y轴的交点为b，直线的斜率为k。
斜截式方程的形式为：y = kx + b。
其中，b 是直线与y轴的交点，k 是直线的斜率。
通过这个方程，我们可以知道一条直线的总体趋势（由斜率k决定）以及它与y轴的交点位置。
例如，如果一条直线与y轴的交点为(0, -3)，斜率为2，那么这条直线的斜截式方程就是 y = 2x - 3。
三、两者之间的关系这两种方程都描述了直线的特性，但形式和适用场景有所不同。
当知道直线通过某一确定的点和斜率时，我们使用点斜式方程；当我们知道直线与y轴的交点和斜率时，我们使用斜截式方程。
然而，这两种形式可以相互转化。
给定点斜式方程 y - y1 = k(x - x1)，我们可以转化为斜截式方程 y = kx + (y1 - kx1)。
同样地，给定斜截式方程 y = kx + b，我们可以转化为点斜式方程 y - (kx + b) = k(x - 1)。
四、应用场景这两种方程在几何、代数学、物理学以及工程学中都有广泛的应用。
例如，在解析几何中，我们常常使用点斜式和斜截式来研究直线的性质和特点；在物理学中，这两种方程可以用来描述物体的运动轨迹（如抛物线）；在工程学中，我们可以用这两种方程来研究和分析各种实际问题的解决方案。
直线的点斜式方程与斜截式方程
倾斜角
x轴正方向与直线向上方向之间所成的最小正角α
y
倾斜角
a x
倾斜角的范围： 0 180
斜率小结
1.表示直线倾斜程度的量 0 180 ①倾斜角 ②斜率 2.斜率的计算方法
k tan
y2 y1 k x2 y0 ) ,斜率为k的直线l 上每个点的坐标都 满足方程 y y0 k ( x x0 ) ； （2）坐标满足这个方程的每一点都在过点 P0 ( x0 , y0 ),斜 率为k的直线 l 上.
点斜式方程
y
a
设直线任意一点（P0除外） 的坐标为P(x,y)。
3 (2)已知直线的点斜式方程是 y 2 ( x 1) 那么，直 3
3 30 线的斜率为___________, 倾斜角为_______. 3
3.写出斜率为
3 2
,在y轴上的截距是-2的直线方程.
3 y x2 2
作业： 课 本：P53 练习8.2.2 1-4
l
数学之美：
y
y x2
y 2x 4
y
y 2x
y2
y 2x 4
o
y 3x 2
x y x 2
y 3x 2
y 2x 1
o
x
y 2x 1
直线 y kx 2 是过定点
（0，2）的直线束；
直线 y 2 x b 表示斜率为2的 一系列平行直线.
数学运用：
（3）一直线过点 A1,3 ，其倾斜角等于
建构数学
问题2：若直线 l 经过点P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 的方程是？
直线的点斜式、斜截式方程
直线的点斜式、斜截式方程一、点斜式方程直线是几何中基本的图形之一，它由无穷多个点组成，并且这些点在同一条直线上。
在代数中，我们可以通过方程来描述直线的性质和特征。
其中，点斜式方程是一种常用的表示直线的方式。
点斜式方程的形式为：y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，m为直线的斜率。
这个方程的推导过程比较简单，可以通过直线上两点的坐标来求解。
首先，我们要知道直线的斜率，可以通过两点的纵坐标之差除以横坐标之差来得到。
然后，我们选择直线上的一个点(x1, y1)，带入点斜式方程即可得到该直线的方程。
举个例子来说明点斜式方程的应用。
假设直线上有一点A(2, 3)，且直线的斜率为2。
我们可以通过点斜式方程求解该直线的方程。
将点A的坐标代入点斜式方程中，得到方程为y - 3 = 2(x - 2)。
将方程进行展开和整理，最终得到y = 2x - 1，这就是该直线的点斜式方程。
点斜式方程的优点是可以直接得到直线的斜率和一个点的坐标，从而确定直线的方程。
但是，它的缺点是方程的形式较为复杂，不够简洁明了。
二、斜截式方程斜截式方程也是一种常见的直线方程表示方式。
与点斜式方程相比，斜截式方程的形式更加简洁，易于理解和应用。
斜截式方程的形式为：y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。
与点斜式方程类似，我们也可以通过斜截式方程得到直线的方程。
同样以一个例子来说明斜截式方程的应用。
假设直线的斜率为1/2，与y轴的交点为3。
我们可以通过斜截式方程求解该直线的方程。
将斜率和交点代入斜截式方程中，得到方程为y = 1/2x + 3。
这就是该直线的斜截式方程。
斜截式方程的优点是方程形式简洁明了，直观易懂。
但是，它的缺点是不能直接得到直线上的某个点的坐标，需要通过其他方式来确定。
三、点斜式和斜截式方程的应用点斜式方程和斜截式方程是描述直线的两种常用方式，它们在不同的情况下有着各自的优势和适用性。
点斜式与斜截式课件
点斜式的局限性
总结词
点斜式直线方程只适用于描述通过特定点和斜率的直线，对于其他类型的直线则 无法准确描述。
详细描述
点斜式直线方程只能表示一条通过特定点和斜率的直线，不能描述其他类型的直 线，如平行线、垂直线等。此外，对于斜率为0的直线也无法用点斜式直线方程 来表示。因此，在使用点斜式直线方程时需要注意其局限性。
03
斜截式直线方程
斜截式的定义
01
斜截式是一种直线方程的表达方 式，形式为y = kx + b，其中k为 斜率，b为截距。
02
斜截式与点斜式不同，点斜式需 要知道直线上的一点和斜率来定 义直线，而斜截式只需要知道斜 率和截距就可以定义直线。
斜截式的应用
斜截式在解决实际问题中有很多应用，比如速度与时间的关系、价格与数量的关系 等。
直线方程在几何中的应用
直线与圆的位置关系
利用直线方程判断直线与圆的位置关系，如相交、相切或相离。
等角定理
利用直线方程证明角度相等或互补。
三角形内角和定理
利用直线方程证明三角形内角和为180度。
直线方程在物理中的应用
运动学
利用直线方程描述物体的运动状态，如速度、加 速度和位移。
静力学
利用直线方程解决物体受力平衡问题，如力的合 成与分解。
数学学习的拓展
通过深入学习直线方程，可以进一步探索数学学习的奥秘，提高数学思维能力 ，为未来的学习和职业发展打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
详细描述
点斜式直线方程通常表示为 y y1 = m(x - x1)，其中 m 表示直 线的斜率，(x1, y1) 表示直线上的 一个点。这个公式可以用来描述 通过给定点和斜率的直线。
直线的点斜式方程与斜截式方程
l1 // l2 l1 l2
例3
1.直线y=-2x-1的斜率与纵截距分别为( ) A A.-2，-1 B.2，-1 3 ， C.-2，1 D.2，1 3 2.倾斜角为30°，且过点(0,2)的直线的斜截式方程为 3 ______.
y 3 x2
3.直线l′的方程是y= 3 x+1，直线l的倾斜角比直线l′的 倾斜角小30°，且直线l过点(3,4)，求直线l的点斜式 方程．
例1
(1).过点(1,0),斜率为2的直线的点斜式方程 为 . y-0=2(x-1) (2).直线l过点P(-2,3)且与x轴,y轴分别交于A,B两 点,若P恰为线段AB的中点,求直线l的点斜式方程.
y-3=
3 (x+2). 2
答案：
1、写出下列直线的Point-slope form： （1）经过点A(3,-1),斜率是 2 ； （2）经过点B（ 2 ，2），倾斜角是30
如何求出直线的方程？
y P2（x2，y2）
设P( x, y )是直线PP 1 2上任意的一点， 由于P，P 1，P 2三点共线，所以PP 1与PP 2 的斜率相等， 所以kPP kP P
1
P1(x1，y1) O x
y y1 y2 y1 = x x1 x2 x1
1 2
y y1 x x1 即 = y2 y1 x2 x1
----------------两点式
三、直线的两点式方程(two-point form)
如果已知直线上两点 P1 ( x1 , y1 )和P2 ( x2 , y2 )( x1 x2 )
直线的方程可以用两点式表示
y y1 x x1 = （x1 x2，y2 y1） y2 y1 x2 x1
中职数学基础模块下册第6章《直线的点斜式方程与斜截式方程》课件
1
，斜率为 ；
2
6
(2)直线经过点 2,3 ，倾斜角为 ；
(3)直线经过点M(2,3), (−1, −3).
1
且斜率为 ，由直线的点斜式方程
2
解 (1)直线经过点 1,2
得 − 2 =
1
2
− 1 ，即 − 2 + 3 = 0
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
高教版数学基础模块（下册）
第六章 直线与圆的方程
6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
根据平面内直线上的一点以及
直线的倾斜角能画出一条直线.在平
面直角坐标系中，已知一个点的坐
标(0 , 0 )和直线的斜率，如何写
出一条直线的方程？
为便于解决问题，在这里我们引入直线的方程．
时直线平行于轴(或与轴重合),或称直线与
轴垂直.如图(2)所示.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
【例题】根据下列条件求直线的方程:
（1）直线 :平行于 轴，且过点 （ 3，4）；
（2）直线 :垂直于 轴，且过点 （ 3，4）.
解：(1) 因为直线平行于轴，斜率 = 0，由点斜式方程得 − 4 = 0( − 3)，
即
− 0 = ( − 0 ).
方程是由直线上一点0 (0 , 0 )及斜率确定的,
这个方程叫做这条直线的方程，
这条直线就是这个方程的图形，
而这个方程的图形是一条直线．
因此称为直线的点斜式方程.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
【例3】分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.
直线方程的几种形式
3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程 直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得 代入点斜式 得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点 且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个 点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的 解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点 的坐标不满足方程(1) 显然 点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此， 不在方程(1)表示的 而满足方程 ，因此，点P1不在方程 表示的 图形上而在方程(2)表示的图形上 方程(1)不能 表示的图形上， 图形上而在方程 表示的图形上，方程 不能 称作直线的方程． 称作直线的方程．
直线的点斜式、斜截式方程
直线的点斜式、斜截式方程直线是平面几何中的基本概念，它是由无数个点连结而成的一条无宽度的线段。
在代数中，我们可以通过点斜式和斜截式方程来表示直线。
本文将详细介绍这两种表示直线的方法。
一、点斜式方程点斜式方程是一种表示直线的方法，它使用直线上一点的坐标和直线的斜率来确定直线的方程。
点斜式方程的一般形式为：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一点，k是直线的斜率。
举个例子，假设直线上有一点A(2, 3)，斜率为2。
那么根据点斜式方程，直线的方程可以表示为：y - 3 = 2(x - 2)。
我们可以根据这个方程来确定直线上其他点的坐标。
点斜式方程的优点是可以直接获得直线的斜率，从而能够快速了解直线的性质。
但是它的缺点是不够直观，需要通过计算来确定直线的方程。
二、斜截式方程斜截式方程是另一种表示直线的方法，它使用直线在y轴上的截距和直线的斜率来确定直线的方程。
斜截式方程的一般形式为：y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
举个例子，假设直线的斜率为1，截距为2。
那么根据斜截式方程，直线的方程可以表示为：y = x + 2。
我们可以根据这个方程来确定直线上其他点的坐标。
斜截式方程的优点是直观易懂，通过y轴截距可以直接了解直线在y轴上与x轴的交点。
但是它的缺点是无法直接获得直线的斜率，需要通过计算来确定。
三、点斜式和斜截式的关系点斜式方程和斜截式方程是两种等价的表示直线的方法，它们之间存在着一一对应的关系。
我们可以通过转换来将一个方程转换成另一个方程。
对于点斜式方程 y - y1 = k(x - x1)，我们可以将其转换成斜截式方程。
首先，将方程展开得到 y - y1 = kx - kx1，然后移项得到y = kx + (y1 - kx1)。
可以看出，(y1 - kx1)就是直线在y轴上的截距b，因此点斜式方程可以转换成斜截式方程。
对于斜截式方程 y = kx + b，我们可以将其转换成点斜式方程。
所有直线都有点斜式和斜截式方程
所有直线都有点斜式和斜截式方程1. 直线的魅力你有没有想过，直线其实就是生活中的一根神奇的绳子，把一切连接起来？就像我们常说的“人脉”，直线把点和点连接得稳稳当当，简直是数学界的超级英雄！无论是在学校的黑板上，还是在生活的各个角落，直线总是默默无闻地扮演着重要角色。
今天，我们就来聊聊直线的两种方程：点斜式和斜截式。
这可不是枯燥的数学公式，而是通往理解直线的钥匙哦。
2. 点斜式方程2.1 什么是点斜式？首先，点斜式方程，听起来是不是有点高深莫测？其实，它的意思超级简单！点斜式方程的形式是 (y y_1 = m(x x_1))。
这里的 (m) 就是斜率，(x_1, y_1) 是直线上的一个点。
想象一下，你在画一条线，选择了一个点，然后告诉别人你要向上或向下倾斜多少，简直像是在给你的直线下指令！就像你告诉朋友：“嘿，咱们去那家咖啡店，走的时候要往右转一点！”2.2 应用场景比如说，假设你正在计划一个活动，地点在 ((2, 3))，而你想让大家知道活动的斜率是 2。
那你就可以用点斜式来表示这条活动线，方便又直观！在生活中，点斜式就像是你告诉朋友怎么走一样清晰。
无论是画图，还是解题，点斜式方程总能让你的思路变得一目了然。
3. 斜截式方程3.1 斜截式的定义说完了点斜式，那我们就得来聊聊斜截式方程。
它的形式是 (y = mx + b)。
这里的(m) 还是斜率，(b) 是y轴的截距。
直观点说，斜截式就像是你在写一封信，直接告诉收信人你要去哪里，在哪儿见面，而不需要过多的解释。
它把所有信息都浓缩在了一行里，简单明了，就像一杯清茶，喝一口就懂。
3.2 直观理解想象一下，你在一个大广场上，斜截式方程就好比是在告诉你：“我在这儿，往那边走就能看到我！”这个方程把直线和y轴的交点联系起来，就像我们跟朋友约定的见面地点，一点都不会搞混。
其实，生活中的许多事情都可以用斜截式来解释，比如你说：“我每天都要上班，路上需要 30 分钟。
第02讲 直线的点斜式、斜截式方程(三大题型归纳+分层练)(学生版)
第02讲直线的点斜式、斜截式方程一、直线的点斜式方程我们把方程________________称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的________________．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.二、直线的斜截式方程1．直线l与y轴的交点(0，b)的____________称为直线l在y轴上的截距．2．方程____________叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．题型01直线的点斜式方程【解题策略】求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外【典例分析】【例1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（ ）A ．7y x =-+B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()52y x -=--【变式演练】【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（ ）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知()3,4A ，()1,0B -，则过AB 的中点且倾斜角为120，直线的点斜式方程是 ．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点()2,3A -，斜率为3；(2)经过点()3,0B ，倾斜角是π6； (3)经过点()4,2C --，倾斜角是2π3． 题型02 直线的斜截式方程【解题策略】 求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【典例分析】【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）与直线2y x =-+垂直，且在x 轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =-+D ．4y x =-+【变式演练】【变式1】（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点()2,3A ，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =- C ．=1y x -- D ．1y x =-+【变式2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是3-的直线的斜截式方程为 .【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的斜率为2-，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的斜截式方程．题型03 点斜式直线方程的应用【解题策略】 (1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的直线必过定点(x 0，y 0)．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．【典例分析】【例3】（23-24高二上·广东东莞·期中）直线l 经过点()1,1A -，在x 轴上的截距的取值范围是()2,1-，则其斜率的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭ 【变式演练】【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）倾斜角为135°的直线l 经过坐标原点O 和点()4,A y ，则y 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．4- D ．5-【变式2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段AB 的端点()1,3A -，()5,2B ，直线l ：230kx y k ---=与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l 的方程是31y x =+.(1)求直线l 的斜率和倾斜角；(2)求过点(3,1)-且与直线l 平行的直线的方程.【夯实基础】一、单选题1．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；①倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；①方程12y k x +=-与方程1(2)y k x +=-可表示同一直线；①直线l 过点()00,P x y ，倾斜角为90︒，则其方程为0x x =．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①2．（21-22高二上·四川南充·开学考试）与直线210x y --=垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）A ．142y x =-+B ．142y x =-+或142y x =--C ．142y x =+D ．142y x =+或1y x 42=-3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点(2,3)P ，且倾斜角为90︒的直线方程为（ ） A ．2x = B ．3x = C ．2y = D ．3y =4．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．3y x =-+ D ．=1y x --二、多选题5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l ：31y x =-，则（ ）A ．直线l 过点)3,2-B ．直线l 3C ．直线l 的倾斜角为60D ．直线l 在y 轴上的截距为16．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的倾斜角为45，且过点(1,2)，则在直线上的点是（ ） A ．(0,1) B ．(2,1)--C ．(3,3)D ．(3,2)三、填空题7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点()1,4，斜率为3的直线方程为 ． 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是 . 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是 .四、解答题10．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.11．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形OABC 中，点()()1,3,3,0C A ．(1)求AB 所在直线方程；(2)过点C 作CD AB ⊥于点D ，求CD 所在直线的方程．。
直线的方程(1)——点斜式、斜截式最新版
§7.2 直线的方程(1)
小结： 1) 直线方程的两种形式：
点斜式：y-y1=k (x-x1) 斜截式：y=kx+b 2) 点斜式和斜截式都是在斜率存在时 方可用。
作业：《数学之友》第37页。
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
第二章 2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
2.2.2直线的方程第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程学习目标 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．知识点一直线的方程与方程的直线如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0.知识点二直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在思考经过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线是否都能用点斜式方程来表示？如果不能表示，该直线的方程是什么？答案垂直于x轴的直线斜率不存在．斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线方程为x＝x0.知识点三直线的斜截式方程1．直线的截距当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．2．直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b 图示方程式y＝kx＋b适用条件斜率存在1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝y－y0x－x0.(×)2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(√)3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)4．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．(×)一、直线的点斜式方程例1(1)若直线l满足下列条件，求其直线方程．①过点(－1,2)且斜率为3；②过点(－1,2)且与x轴平行；③过点(－1,2)且与x轴垂直；④已知点A(3,3)，B(－1,5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°.⑤过点(－1,2)且直线的方向向量为a＝(2，－1)．解①y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5.②y＝2.③x＝－1.④斜率k＝tan 60°＝3，AB的中点为(1,4)，则该直线的点斜式方程为y－4＝3(x－1)，即y＝3x－3＋4.⑤直线的方向向量为a＝(2，－1)，∴k ＝－12＝－12，故直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x ＋32.(2)已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则( ) A ．该直线过点(－1,2)，斜率为－1 B ．该直线过点(－1,2)，斜率为1 C ．该直线过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．该直线过点(－1，－2)，斜率为1 答案 C解析 原方程可化为y －(－2)＝(－1)[x －(－1)]， 即该直线斜率为－1，且过点(－1，－2)， 故选C.反思感悟 (1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．(2)当倾斜角为0°，即k ＝0时，这时直线l 与x 轴平行或重合，直线l 的方程是y ＝y 0. (3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，直线l 的方程是x ＝x 0. 跟踪训练1 (1)求满足下列条件的直线的点斜式方程： ①过点P (4，－2)，倾斜角为150°； ②过两点A (1,3)，B (2,5)．解 ①∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33， ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－33(x －4)． ②∵k ＝5－32－1＝2，∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1)． (2)直线方程y －y 0＝k (x －x 0)( ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线答案 D解析该直线方程为点斜式方程，斜率为k且一定存在，故不能表示垂直于x轴的直线，故选D.二、直线的斜截式方程例2(1)(多选)下列四个选项中，正确的是()A．任何一条直线在y轴上都有截距B．直线在y轴的截距一定是正数C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1答案CD解析平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确．直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确．直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确．(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程．①斜率为2，在y轴上的截距是5；②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解①由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.②∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得直线方程为y＝－33x－2.③∵直线的倾斜角为60°，∴斜率k＝tan 60°＝ 3.∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.反思感悟(1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．跟踪训练2(1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为________________，在y轴上的截距为________．答案y＝－2x＋4 4解析y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________________．答案y＝－2x＋6解析l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，所以直线l的方程为y＝－2x＋6.1．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案 C解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为3，则此直线方程为()A．y＝3x＋ 3 B．y＝－3x＋ 3C．y＝－3x－ 3 D．y＝3x－ 3答案 A解析直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析如图，∵直线经过第一、三、四象限，∴k >0，b <0.4．直线y ＝－2x ＋3的斜率为________，在y 轴上的截距为________，在x 轴上的截距为________． 答案 －2 3 32解析 直线的斜率为k ＝－2，在y 轴上的截距为3，令y ＝0，解得x ＝32，故在x 轴上的截距为32. 5．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的点斜式方程为____________． 答案 y －1＝12(x －2)解析 由x －4y ＋3＝0， 得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的点斜式方程为y －1＝12(x －2)．1．知识清单：(1)直线的方程与方程的直线． (2)直线的点斜式方程． (3)直线的斜截式方程． 2．方法归纳：公式法．3．常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线．1．下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是( ) A ．x ＝3B ．y ＝3x －5C ．y －2＝3(x －1)D ．x ＝4y －1答案 B2．与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )A ．y －3＝－32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)答案 C3．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点为( ) A ．(3,1) B ．(2,3) C ．(2，－3) D ．(－2,3) 答案 B解析 直线方程为y ＝k (x －2)＋3， 可化为y －3＝k (x －2)，所以过定点(2,3)． 4．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2斜率的2倍的直线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1) 答案 C解析 由方程知已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式，可得直线方程为y －1＝2(x ＋1)．5．(多选)在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝3x －6 B ．y ＝63x －6 C ．y ＝－3x －6 D ．y ＝－33x －6 答案 AC解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.6．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝x －1 C ．y ＝－x ＋3 D ．y ＝－x －1答案 BC解析 由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y －1＝x －2，化简得y ＝x －1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y －1＝－(x －2)，化简得y ＝－x ＋3. 7．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 答案 4解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4.8．设直线l 的倾斜角是直线y ＝3x ＋1的倾斜角的12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的斜率为________，直线l 的方程是____________________． 答案33 y ＝33x ±3 解析 y ＝3x ＋1的倾斜角为60°，则l 的倾斜角为30°，故斜率为tan 30°＝33. 由题意知，l 在y 轴上的截距为±3， ∴直线l 的方程为y ＝33x ±3. 9．求倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(－4,1)； (2)在y 轴上的截距为－10.解 由直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k ＝ 3.(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)，即y ＝3x ＋43＋1.(2)因为直线在y 轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y ＝3x －10.10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程． (1)过定点A (－2,0)； (2)斜率为16.解 依题意直线l 的斜率存在且不为0. (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2) 令x ＝0，y ＝2k ， 令y ＝0，x ＝－2， ∴S ＝12|－2|·|2k |＝3，解得k ＝±32.∴直线l 的方程为y ＝32(x ＋2)或y ＝－32(x ＋2)．(2)设直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－6b ， ∴S ＝12|－6b |·|b |＝3，解得b ＝±1.∴直线l 的方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.11．一条直线过点(－2,3)且直线的一个法向量为v ＝(2,3)，则该直线的方程为( ) A ．y ＝23x ＋133B ．y ＝32x ＋6C ．y ＝－32xD ．y ＝－23x ＋53答案 D解析 直线的一个法向量v ＝(2,3)，则该直线的一个方向向量为a ＝(3，－2)，故k ＝－23，又直线过点(－2,3)，所以直线方程为y－3＝－23(x＋2)，即y＝－23x＋53，故选D.12．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()答案 C解析①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．13．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么() A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0答案 B解析直线l不经过第三象限，则k≤0且b>0，即kb≤0.14．将直线y＝x＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________．答案y－3＝3(x－1)解析由y＝x＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程可得y－3＝3(x－1)．15．已知等边三角形ABC的两个顶点A(0,0)，B(3，3)，则AC边所在的直线方程为_____．答案 x ＝0或y ＝－33x 解析 k AB ＝3－03－0＝33， ∴直线AB 的倾斜角为30°，故直线AC 的倾斜角为90°或150°.当AC 的倾斜角为90°时，直线为y 轴，方程为x ＝0， 当AC 的倾斜角为150°时，k AC ＝－33，方程为y ＝－33x . 16．直线l 的方程为y ＝ax ＋3－a 5， (1)证明：直线l 恒经过第一象限；(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明 直线l ：y ＝ax ＋3－a 5， 可化为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 所以直线l 过定点P ⎝⎛⎭⎫15，35，又点P ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故直线l 恒经过第一象限．(2)解 因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫15，35且点P 在第一象限，故只需l 在y 轴上的截距大于0即可，即3－a 5>0得a <3. 故a 的取值范围是(－∞，3)．。
3.28直线的点斜式方程与斜截式方程
(4) 斜率 k
（5）经过点M0（-3，4）,且平行于 y 轴； （6）经过点M0（1，-2），且平行于 轴； 2 、已知三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)， 求这个三角形三边所在直线的方程.
3 ，在x轴上的截距为–2; 4
x
直线方程
说明
点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 ) (斜率 k 存在 )
与x轴垂直的直线不能
y kx b
(斜率 k 存在 )
注意： 先判断各题用什么形式的直线方程较好， 再分别解答。
特殊位置的直线方程
直线的名称 直线的方程 图象
y
垂直于 y 轴的直线 (平行于 x 轴的直线)
8．2 .2 直线的点斜式方程与斜截式方程
回顾：
直线的倾斜角 直线斜率 k
定义
直线斜率的公式
直线向上的方向 与x轴的正方向 k 所成的最小正角
tan
1: k tan
y2 y1 2:k x2 x1
取值范围
0 ,180
0
0
90
0
90 , x2 x1.
y b
y3
o y
y0
y 3
x
垂直于 x 轴的直线 (平行于 y 轴的直线)
xa
x0
o
x 3
x3
x
课外作业
1、由下列条件，求出直线的方程，
（1）经过点M0(1,-3), 斜率为-2 ；
（2）经过两点M1（-1，0），M2（3，2）；
2 （3）倾角是 3
，在 y 轴上的截距是-2；
0
•平面内确定一条直线,需要几个条件？. 两个条件：点，方向 即斜率
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直线的点斜式方程与斜截式方程
班 组 姓名 组评
学习目标：
1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
重点：正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
难点：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围。
学法指导：
1、小组长带领组员回顾有关知识，精读教材第50页内容完成导学案，将不能独立完成的问题提交组上，有本组成员共同讨论完成，若本组共同无法完成，将问题提交老师，全班共同完成.
2、课堂上注意用“红笔”做好改正和记录.
3、课后组长带领大家对本节中出现的错误，共同讨论进行纠错，各组成员将纠错内容记录在“纠错本”上.
一、【检查预习、引入新课】——教师检查问题导读评价单完成情况，并对问题导读评价单中出现的问题进行规范指导.
（一）、课前准备
1、（预习教材第55—56页，完成以下内容并找出疑惑之处）。
2、问题：我们知道，方程10x y -+=的图像是一条直线，那么方程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？
（二）、知识梳理、双基再现
1、一般地，如果直线（或曲线）L 与方程(,)0F x y =满足下列关系：
⑴ ；
⑵ 。
那么，直线（或曲线）L 叫做二元方程(,)0F x y =的直线（或曲线），方程(,)0F x y =叫做直线（或曲线）L 的方程。
记作曲线L :(,)0F x y =或者曲线(,)0F x y =。
2、方程___________________叫做直线的点斜式方程．．．．．，简称点斜式．．．。
其中点 为直线上的点， k 为直线的 。
特殊情况：当直线经过点000(,)P x y 且斜率 时，直线的倾角为90°，此时直线与x 轴 ，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其方程为 。
3、方程___________________叫做直线的斜截式．．．方程．．，简称斜截式．．．。
其中k 为直线的 ，b 为直线在_________________。
4、如图所示，设直线l 与x 轴交于点(,0)A a ，与y 轴交于点(0,)B b 。
则a 叫做直线l _______________（或_________）；
b 叫做直线l _______________（或__________）．
【想一想】直线在x 轴及y 轴上的截距有可能是负数吗？
【我的疑惑】
二、【基础训练、锋芒初显】——自主学习，合作探究——教师发放问题生成评价单；学生分组讨论，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题生成评价单完成情况；教师对问题
生成评价单完成情况进行点评.
1、在下列各条件下，分别求出直线的方程：
（1）直线经过点0(1,2)P ，倾角为45 ； （2）直线经过点1(3,2)P ，2(1
,1)P --。
2、设直线l 的倾角为60°，并且经过点P （2，3）。
（1）写出直线l 的方程； （2）求直线l 在x 轴及y 轴上的截距。
【我的疑惑】
三、【举一反三、能力拓展】——强化训练，形成能力——教师发放问题训练拓展评价单；学生分组讨论完成问题训练拓展评价单上的练习题，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题训练拓展评价单完成情况；教师对问题训练拓展评价单完成情况进行点评.
1、作出12
y x =
的图像，并判断点(2,3)P -、(4,2)Q 是否为图像中的点。
2、设点(,1)P a 在直线350x y +-=上，求a 的值。
3、根据下列各直线满足的条件，写出直线的方程：
（1）过点(5,2)，斜率为3； （2）在y 轴上的截距为5，斜率为4。
4、分别求出直线85(1)y x -=-在x 轴及y 轴上的截距。
【我的疑惑】
四、【畅谈收获、提升意义】
1、教师提问：（1）咱们今天学习的是什么内容？（2）你们今天学会了什么内容？
2、学生自我小结:（1）今天学习了什么内容？（2）今天学会了什么内容?（3）我有什么疑惑？
五、【布置作业、知识巩固】习题8.2 A 组 1、(3)，（4），2、（2），3。