第七章度量空间和赋范线性空间

1
5.p次幂可和数列空间l p , d(x, y) ( yk xk p ) p .
k 1
§3 连续映射
回忆数学分析中连续函数的定义 : 0, 0,当x x0 时,有 f (x) f (x0) .
如同数学分析中的海涅(Heine)定理，可以证明如下结论。
：由T在x0 X连续, 对 0, 0,当d (x, x0 ) 时,有
证明：对 {x(k )} Rn为柯西点列 , x(k ) (x1(k ) , x2(k ) , , xn(k ) ),
n
则对 0, N ,当k, j N , 有d (x(k) , x( j) ) (
1
k) i
x( j) i
2
)2
.
i 1
即对每个i,当k, j N,有 xi(k) xi( j) . 故{xi(k)}是R1中柯西列 ,
xm (t)在[a,b]上收敛于一函数 x(t). 在(*)式中令n ,
当m
N时, 有 max at b
xm (t)
x(t)
,
即xm (t)在[a,b]上一致收敛于 x(t).
定理1.完备度量空间 X的子空间 M是完备空间的充要条件 为 M是X中的闭子空间 .
定理2.设( X , d )是度量空间 , Bn Bn (xn , rn ), (n 1,2, )是X中 一列闭球 ,则X是完备的度量空间的充 要条件是若 Bn Bn1,
d~(Tx,Tx0) 0.
取
1 n
,
则有xn
,
使d
(
xn
,
x0
)
1 n
,
但d~(Txn
,
Tx0
)
0.
这与已知矛盾.
T在x0连续 U (Tx0, ), 必有V (x0, ), 使得TV U.
§4 柯西点列和完备度量空间
回忆数学分析中柯西点列与收敛点列关系：
eg1.(Rn , d )是完备的度量空间 .
若{xn (t)}在[a,b]上一致收敛于 x(t), 则
对 0,N,当n N时,t [a,b],恒有xn(t) x(t) ，
从而max at b
xn (t)
x(t)
,即d(xn , x)
0, (n
).
3的证明
即证：d (xm , x)
i 1
1 2i
(m) i
i
1
(m) i
i
三、稠密子集与可分度量空间
注： E M , 称M在E中稠密
0,x E,z M , s.t.，d(x, z) .
x E, xn M , s.t.，xn x, (n ).
eg :连续函数空间 C[a,b]是可分的.
事实上，设P0[a,b]为系数是有理数多项式 全体，则 P0[a,b]为可数集.
因而{xi(k)}收敛, 设xi(k) xi (k ). 令x (x1, x2 , , xn ),
则x Rn , 进而d (x(k) , x) 0(k ). 所以(Rn , d )完备.
类似可证：(l , d )是完备的度量空间 ,其中d (x, y) supi i .
i
eg2.(C[a,b],d)是完备的度量空间,其中d(x, y) max x(t) y(t). at b
d( f , g) X 1
dt f (t) g(t)
若把 M(X)中的两个a.e.相等的函数视为同一个元，
则利用eg2中的不等式及积分性质，知d(f, g) 是度
量. 即 M(X) 按上述距离 d(f, g)成为度量空间.
例5 连续函数空间C[a, b]. 令C[a, b]表示闭区间 [a, b] 上连续实值
必有x0 X ,使得xn x0 (n ).在(*)式中令m ,
知d (x0 , xn ) rn (n 1,2, ).故x0 Bn. 若又有 X中点y0 Bn ,
0(m
)
(m) i
i
(m
)
若d
(
xm
,
x)
0,
(m
)，对每个
i,因为
1
(m) i
(m) i
i
i
2i d (xm , x)
于是，对 0( 1), N,当m N时，有
(m) i
i
.
1
(m) i
i
从而有i(m) i
1
.即i(m)
i , (m ).
3的证明
即证：d (xm , x)
i 1
1 2i
(m) i
i
1
(m) i
i
0(m
)
(m) i
i (m
)
若
(m) i
n1
i , (m ). 由d (xm, x) ( i 1
in
)
1 2i
(m) i
i
1
(m) i
i
级数
1 收敛，故对 0, n,使得
1 .
2i
i 1
2i
in
2
又对每个 i 1,2, , n 1,
k 1
则 d 是 l2 上的距离。
-完-
§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
非空集合 X 引入距离（度量）后，就 可以在其上定义极限概念。
一、收敛点列
定义1 设 (X, d) 为度量空间，d 是距离，定义
U( x0, ) x X d( x, x0 )
为x0的 邻域.
定义2 设 (X, d) 为度量空间，{xn} 是 X 中 的点列，如果存在 x∈X, 使得
(或复值)函数全体，对 C[a, b] 中的任意两点 x, y, 定义
d(x, y) max x(t) y(t) at b
则d(x, y)是C[a, b]上的度量.(同例3.B(A))
例6 平方可和数列空间 l2.
记
l2
x
xk
xk2
.
设
x xkl2, y ykl2，
k 1
定义
1
d (x, y) ( yk xk 2 ) 2
二、收敛点列在具体空间中的意义
2的证明
由d(xn,
x)
max
at b
xn (t)
x(t)
0, (n
)，
则
对
0, N,当n
N时，有max at b
xn (t)
x(t)
.
即对t [a,b],当n N时, xn (t) x(t) .所以{xn (t)}
在[a, b]上一致收敛于x(t ).
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子 §2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §3 连续映射 §4 柯西点列和完备度量空间 §5 度量空间的完备化 §6 压缩映射原理及其应用 §7 线性空间 §8 赋范线性空间和巴拿赫空间
§1 度量空间的进一步例子
一、度量空间 ( X , d )
证明：由于 C[a,b]中按度量收敛等价于函 数列一致收敛， 因此,只需证明C[a,b]中的柯西点列是一致收 敛的.
设xm (t), m 1,2, ,是C[a,b]中的柯西点列，于是
对
0,N,当n, m
N , 有 max at b
xm (t)
xn (t)
d ( xm ,
xn )
.(*)
故对一切t [a,b],有 xm(t) xn(t) . 有数列的柯西收敛准则，
定义：设 X 为一非空集合，d : X×X→R+∪{0}为一
映射，且满足
(1) d(x, y) ≥ 0，d(x, y) = 0 当且仅当 x = y
(2) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
则称 d(x, y) 为x, y之间的距离，称 (X, d ) 为度量空间.
注：度量空间把距离抽象化，对某些一般的集合引进点 和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极 限过程的一个有效步骤.
且rn 0(n ), 有唯一点 x Bn.
n1
即证：( X , d )完备 若Bn Bn1, 且rn 0(n ), 有唯一点 x Bn.
n1
： 对n, m N ,由xnm Bn知, d (xnm , xn ) rn. (*)
由于rn 0(n ),因此{xn}是X中的柯西点列 , 又X是完备的，
lim
n
d
(
xn
,
x)
0,
称点列 {xn}是(X,d) 中的收敛点列， x叫作
点列{xn}的极限，记作
lim
n
xn
x
或
xn
x
(n ).
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同 之处。例如：
1. 在度量空间中收敛点列的极限是唯一的 2. 度量空间中的收敛点列是有界集. 3. M为度量空间(X, d)中的闭集当且仅当M中的任 意收敛点列{xn}的极限均在M 中.
二、常见的度量空间
n
1
eg:n维欧式空间 (Rn , d )，其中d (x, y) ( i i 2 ) 2 .
i 1
例1 离散度量空间
设 X 是任意非空集合，对 X 中任意两点x,y∈X,
令
d
(x,
y)
1, 0,
x y xy
称(X , d)为离散的度量空间 .
注：它只能区分 X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度. 此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.
Ni , 使得m Ni时，有i(m)
i
,
2
取N
max{
N1, N2 ,
N n 1}
则当m
n1
N时，