工程力学12S培训讲学

研究目的： ①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补 充方程）。
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第十二章 弯曲变形
§ 12–2 挠曲线（线）的近似微分方程式
挠曲线的曲率与内力弯矩间的关系为：
1 M (x)
EI z
曲率与挠度间的关系为：
1
f (1
(x) f 2)32
小变形
f(x)
f (x) M(x) EIz
上式就是挠曲线近似微分方程。
d2w M (x) dx 2 EI z
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第十二章 弯曲变形
§12–3 计算梁位移的积分 法
对挠曲线微分方程的两边作一次不定积分得：
EIEd d Iw xM (x)d xC
对上式两边再作一次不定积分得：
E I( w M (x )x d )d x C D x
式中的 C、D 为积分常数。 积分常数由边界条件和连续性条件确定。
边界条件： 梁在支座处确定的挠度和转角。
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第十二章 弯曲变形
简支梁或外伸梁的边界条件条：
A
P
C
B
P
D
C
E
A
B
wA 0 wB 0
固定端的边界条件：
wA 0 wB 0
A
P
wA 0 A 0
连续性条件： 挠曲线上作一点处的挠度和转角是唯一的。
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工程力学
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
第十二章 弯曲变形
§12–1 引言 §12–2 挠曲轴（线）近似微分方程
§12–3 计算梁位移的积分法
§12–4 §12–5 §12–6
计算梁位移的叠加法 简单静不定梁 梁的刚度条件和合理刚度设计
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第十二章 弯曲变形
பைடு நூலகம்
§12-1 引言
Pa A
l
P
P (x a ) ( 0xa )
M(x) 0 (axl)
写出梁的微分方程并积分
P (x a ) ( 0xa )
EI
0 (axl)
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第十二章 弯曲变形
EI 1 2P(xa)2C1 (0 xa)
C 2
(ax l)
EI 1 6P (xa)3C 1xD 1 (0 xa)
3
4aE 8[1 I P 61a(al)3P 2l2]
C 2 x D 2
(a x l)
由连续性条件可知，当 x a时 , , w w
C 1C 2, D 1D 2
再由固定端的边界条件 x0时 , 0 , w 0
C1
1Pa2 2
D1
1 6
Pa3
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第十二章 弯曲变形
最后得到梁的转角方程和挠曲线方程：
Px (x2a)
2EI 1P2a
wCP
Pa3 6EI
B
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qP
A
C
a
a
=
+
P A
q A
第十二章 弯曲变形
B
q A
qa3 3EI
P A
Pa 2 4 EI
wCq
5qa4
24EI
wCP
Pa3 6EI
叠加求最终变形
A A q A P
B
a2 (3P4qa)
12EI
wC
5qa4 Pa3 24EI 6EI
B
a3 (5qa4P)
24
写出挠曲线方程和转角方程
q(6lx24x3l3)
24
w qx(2lx2x3l3) 2E 4 I
最大挠度及最大转角
fmaxwx1 2
5ql4 384EI
ma
x AB
q3l 24EI
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第十二章 弯曲变形
x
例：求图示等截面悬臂梁的弹
y
性曲线、最大挠度及最大转角。
a
P
B
解：写出弯矩方程
2EI
P2x (x2a)
w
6EI P2a(a3x)
6EI
(0 xa) (axl)
(0 xa) (axl)
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第十二章 弯曲变形
§12–4 计算梁位移的叠加 法
在小变形且梁内的应力小于其比例极限应力的情况下，梁的挠曲线的微分方
程是关于力的线性方程。
载荷叠加：多个载荷同时作用于梁而引起的变形等于每个载荷单独作用于结 构而引起的变形的代数和。
q P m f fq fP fm
结构形式叠加（逐段刚化法）：
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qP
A
C
a
a
=
+
P A
q A
第十二章 弯曲变形
例：用叠加原理求图示简支梁A端的
B 转角和中点C的挠度。
解、载荷分解如图 查表求由每一种简单载荷产生的变形。
B
q A
qa3 3EI
P A
Pa 2 4EI
wCq
5qa4 24EI
wC wC
C
C
或wC左wC右
或 C左
C右
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第十二章 弯曲变形
x
例：求图示等截面悬臂梁的弹 性曲线、 y
最大挠度及最大转角。
l
P
解： 建立坐标系并写出弯矩
A x
B
方程
M (x ) P ( l x ) P (x l)
写出梁的挠曲线微分方程
E w IM (x ) P (x l)
P1
B C 等价 A
MP1a
D
BC
l/2
l/2
P2
a P1
l/2
l/2
a
P2
P1
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第十二章 弯曲变形
wC 2
P1a3 3EI
B4l8 E(I16 P1a3P2l)
wC1 Ba
4l8E aI(16P1a3P2l)
A l/2
wCwC1wC2
4l8E aI(16P1a3P2l)3P
1a EI
对微分方程两边作不定积分得：
EIEw I1P(xl)2C
2 EIw1P(xl)3C xD
6
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第十二章 弯曲变形
利用边界条件确定积分常数
x0, 0, w0
1P2lC0, C1P2l
2
2
Pl3D0, DPl3
6
6
y
l
P
x
A
B
EIEw I1P(xl)2C
EI w1P(x 2l)3C xD 6
y
Ew I1qlx1qx2 22
A
EI1ql2x 1q3 xC
4
6
EIw 1q3 l x1q4xC xD 12 24
q B
x
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第十二章 弯曲变形
应用边界条件求积分常数
x0, w0;
EI1ql2x 1q3 xC
4
6
D0
EIw 1q3 l x1q4x C xD
xl, w0 C1q3l
12 24
写出具体的转角方程和找挠度方程
P[x (l)2l2]P(x x2 l)
2EI
2EI
w Px2 (x3l) 6EI
maxB
PL2
2EI
wmaxwB
PL3 3EI
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第十二章 弯曲变形
例：求图示长为 l 的简支梁的弯曲变形。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M(x)1qlx1qx2 22
写出微分方程并积分
24EI
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第十二章 弯曲变形
例: 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
A l/2
A l/2
A
+
=
D l/2
P2
D l/2
P2 D
BC a P1
(B)P2
P2l2 16EI
(B )M
P1al 3EI
B4l8 E(I16 P1a3P2l)
B C 等价 a P1
BC a
wC 2
P1a3 3EI