试验数据的误差分析
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（2）检验步骤 ①计算统计量
设有两组试验数据：
x (1) 1
,
x (1) 2
,
,
x (1) n1
和
x (2) 1
,
x (2) 2
,
都服从正态分布，样本方差分别为 s12 和 s12 ，则
, xn2 (2)
F
s12 s22
服从F分布，第一自由度为 df1 n1 1
第二自由度为 df2 n2 1
1比2显著增大
例1-6
用分光光度法（新）和滴定（旧）法测量某培养液中葡 萄糖的含量(%)，结果如下： 新：3.28，3.22，3.31，3.24，3.25，3.19，3.33，3.21 旧：3.26，3.37，3.34，3.22，3.19，3.31，3.17，3.32 试问：（1）两种方法是否有差异？（2）新方法是否比 旧方法的精密度有显著提高？（α＝0.05）
（2）随机误差
（1）定义： 以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小。
（2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律
小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的
（3）过失误差
（1）定义： 一种显然与事实不符的误差
（2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成
（3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律
误差的描述
正确度（correctness）
反映系统误差的大小程度
精密度（precision）
反映随机误差的大小程度
准确度（accuracy）
反映系统误差和随机误差的综合度量
正确度好，精密度不好 正确度不好，精密度好
在试验数据的总体方差 2 已知的情况下，
对试验数据的随机误差或精密度进行检验。
（2）检验步骤：
①计算统计量 2
若试验数据 x1, x2 , , xn 服从正态分布，则
2 (n 1)s2 2
服从自由度为 df n 1 的 2 分布
②查临界值 2 (df )
—— 显著性水平
第一章 实验数据的误 差分析
一、真值与平均值
真值（ture value）
在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。
测量值（measurement）
通过某种手段方法或检测工具对某量进行测定获得的 数据。
平均值（mean）
平均值
算术平均值
x x1 x2
n
xn
1 n
n i 1
（2）系统误差的检验
t检验法(t-test)
（1）平均值与给定值比较
(I)目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给 定值有显著差异
(II)检验步骤：
①计算统计量：
t
x
0
n
s
服从自由度 df n 1 的t分布(t-distribution)
0 ——给定值（可以是真值、期望值或标准值）
x1 xt x1 x2 xt x2
xi xt xi
xn xt xn
n
n
xi nxt xi
i 1
i 1
n
xi nxt
i 1
n
xi
xt
i 1
n
x
二、误差的基本概念
相对误差
相对误差＝绝对误差/真值
ER
x xt
x xt xt
解： m m V
V mV
V m 0.02% 0.10% 0.08% V m
五、误差的检验
随机误差的检验 系统误差的检验 过失误差的检验
（1）随机误差的假设检验
2 检验（ 2 -test）：
2
(n 1)s2
2
（1）目的：
xx x
例1-1
某技术员在测量细胞干重的测量值为（31.6±0. 8）g， 试求相对误差。
解：
ER
x x
0.8 31.6
0.0253或2.53%
二、误差的基本概念
算术平均误差
n
n
xi x di
i1
i1
n
n
式中di 称为偏差。
二、误差的基本概念
标准误差（标准差，standard deviation）
②查 t 临界值 ③检验
t t 或t t
2
2
有显著差异
t t
显著减小
t t
显著增大
2
2
例1-7
母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别为 116、 115、113、 112、 114、 117、 115、 116、 114、 113（天），试检验所得样本的平均数与总体平均数114天 有无显著差异？(α =0.05)
解：（1） s12 0.02427, s22 0.05421
F
s12 s22
0.02427 0.05421
0.4476
根据F0.975（7,7）＝0.20， F0.025（7,7）＝4.99，F值介于两 者之间，故两种方法没有显著性差异。
（2）F0.95（7,7）＝0.264，F> F0.95 （7,7），故新法 的精密度没有比旧法有显著提高。
（2）Y
m
AB C
,
Y Y
A A
B B
C C
（3）Y mAn , Y n A
Y
A
（4）Y mlg A,
Y
0.434m
A A
上式中，k，m 均为常数。
例1-3
解：
绝对误差 相对误差
V VmS Km S
dV d ( VmS ) Vm (Km S ) VmS dS VmKm dS
（a）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的 规律起作用而形成的误差
（b）产生的原因：多方面 （c）特点：
系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值 而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正， 或设法消除。
②查临界值 给定的显著水平α
df1 n1 1 df2 n2 1
查F分布表 临界值
③检验
F F(1 ) (df1, df2 )或F F (df1, df2 )
1
2
2
2
2
1、2有显著差异
1
F
F (1 )
(df1, df2)
1比2显著减小
F F (df1, df2 )
几何平均值
1
xG n x1x2 xn (x1x2 xn )n
调和平均值
H
n
11
x1 x2
1
n n1
xn x i1 i
二、误差的基本概念
绝对误差
绝对误差＝测量值－真值
x x xt
则有
xt x x
真值不知道怎么办？
x x xt x xt x
四、误差的传递
例1-3
某蛋白酶的催化反应速率符合米氏方程，某学生测量 底物浓度[S]的值为（2.32±0. 1mmol/L），试求此时
的反应速率的绝对误差和相对误差。已知Vm＝0.467 mmol/（L·min），Km＝8.54mmol/L。
V VmS Km S
四、误差的传递
设 y f (x1, x2, , xn )
解： s2 0.00647
2 (n 1)s2 (6 1) 0.0647 0.6115
2
0.232
依题有，
2 0.95
(5)
1.145,
2 0.05
(5)
11.070
2
2 0.95
(5),
表明性能变好了。
（1）随机误差的假设检验
F检验（F-test）：
（1）目的： 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较
一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率
③检验
1 2
2
2 2 或 2 2 有显著差异
(1 )
2
2
2 2 (1 )
1
显著减小
2 2
显著增大
例1-5
用某电子天平称量某标品，平时的测定方差σ2＝0.232，经 过5年的使用后，对其一关键原件进行了更换，并测定同一 标品，结果为：5.37，5.27，5.19，5.33，5.41，5.26。 试问，这台天平性能是否发生变化？若发生了变化，是变 好还是变坏？（α ＝0.05）
解： x 114.5, s 1.581
t x u0 114.5 114 1.000 Sx 1.581 10
t0.025 (9) 2.262, t t0.025(9)
所以检验所得样本的平均数与总体平均数无显著差异
例1-8
按饲料配方规定，每1000kg某种饲料中维生素C不得少于 248g，现从工厂的产品中随机抽测12个样品，测得1000kg 维生素C含量如下（g）：255 、 260、 262、 248、244、 245、 250、 238、 246、 248、 258、270，问此产品是 否符合规定要求？
xi
加权平均值
xw
w1x1 w2 x2 w1 w2
n
wn xn wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
加权平均值
学生
甲 乙 丙
德育 （30％）
80 70 90
智育 （50％）
70 90 80
体育 （20％）
算术平均 总平均分
90
80
77
80
Biblioteka Baidu
80
82
70
80
81
平均值
49.56
49.94
n
s12
(xi x1)2
i 1
n 1
= (50.33 50.33)2 (51.46 50.33)2 5
n
s22
(xi x2 )2
i 1
n 1
= (49.13 49.94)2
(50.67 49.94)2 5
(51.16 50.33)2 =0.982 (49.56 49.94)2 =1.298
式中 y——间接测量值 xi ——直接测量值
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
n i 1
f ( xi
xi )
( 式1-1)
根据式1-1有：
（1）Y k ka A kbB kcC， Y kaA kbB kcC
例1-2
解： （1）极差法：
R1 51.46 48.86 2.60 R2 51.64 48.45 3.19
（2）方差法：
x1
50.33
51.46
49.51 6
48.86
50.66
51.16
50.33
x2
49.13 50.67
50.16
6
48.45 51.64
解： s2 0.00647
2 (n 1)s2 (6 1) 0.0647 0.6115
2
0.232
依题有，
2 0.975
(5)
0.831,
2 0.025
(5)
12.833
2
落在（0.831，12.833）之外，所以性能发生了改变。
例1-5
用某电子天平称量某标品，平时的测定方差σ2＝0.232，经 过5年的使用后，对其一关键原件进行了更换，并测定同一 标品，结果为：5.37，5.27，5.19，5.33，5.41，5.26。 试问，这台天平性能是否发生变化？若发生了变化，是变 好还是变坏？（α ＝0.05）
Km S
(Km S)2
(Km S)2
V
Vm Km (Km S)2
S
0.467 8.54 (8.54 2.32)2
0.1
0.00338
mmol/（L·min）
V VmS 0.467 2.32 0.0998 mmol/（L·min） Km S 8.54 2.32
正确度好，精密度好
精密度判断
极差法： R xmax xmin
方差法：（数据服从正态分布）
n
(xi x )2
2 i1
n
n
(xi x )2
或 s2 i1 n 1
例1-2
两组同学对某微生物的碳含量测定中，测得的数据分 别如下（％）： （1）50.33，51.46，49.51，48.86，50.66，51.16。 （2）49.13，50.67，50.16，48.45，51.64，49.56。 试问哪组同学测得更精确？
ER
V V
0.00338 0.0998
0.0339 3.39%
S的相对误差：
ER
S S
0.1 2.32
0.0431
4.31%
例1-4
在测定某溶液的密度实验中，需要测量液体的体积和 质量，已知质量测量的相对误差≤0.02%，欲使测定结果 的相对误差≤0.10%，测量液体体积所允许的最大相对误 差为多少？
总体标准误差 样本标准误差
n
(xi x )2
i1
n
n
(xi x )2
s i1 n 1
二、误差的基本概念
样本平均数标准误差（标准误，standard error of mean）
sx (1/ n)s
三、误差的分类
（1）系统误差 （2）随机误差 （3）过失误差
（1）系统误差
设有两组试验数据：
x (1) 1
,
x (1) 2
,
,
x (1) n1
和
x (2) 1
,
x (2) 2
,
都服从正态分布，样本方差分别为 s12 和 s12 ，则
, xn2 (2)
F
s12 s22
服从F分布，第一自由度为 df1 n1 1
第二自由度为 df2 n2 1
1比2显著增大
例1-6
用分光光度法（新）和滴定（旧）法测量某培养液中葡 萄糖的含量(%)，结果如下： 新：3.28，3.22，3.31，3.24，3.25，3.19，3.33，3.21 旧：3.26，3.37，3.34，3.22，3.19，3.31，3.17，3.32 试问：（1）两种方法是否有差异？（2）新方法是否比 旧方法的精密度有显著提高？（α＝0.05）
（2）随机误差
（1）定义： 以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小。
（2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律
小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的
（3）过失误差
（1）定义： 一种显然与事实不符的误差
（2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成
（3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律
误差的描述
正确度（correctness）
反映系统误差的大小程度
精密度（precision）
反映随机误差的大小程度
准确度（accuracy）
反映系统误差和随机误差的综合度量
正确度好，精密度不好 正确度不好，精密度好
在试验数据的总体方差 2 已知的情况下，
对试验数据的随机误差或精密度进行检验。
（2）检验步骤：
①计算统计量 2
若试验数据 x1, x2 , , xn 服从正态分布，则
2 (n 1)s2 2
服从自由度为 df n 1 的 2 分布
②查临界值 2 (df )
—— 显著性水平
第一章 实验数据的误 差分析
一、真值与平均值
真值（ture value）
在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。
测量值（measurement）
通过某种手段方法或检测工具对某量进行测定获得的 数据。
平均值（mean）
平均值
算术平均值
x x1 x2
n
xn
1 n
n i 1
（2）系统误差的检验
t检验法(t-test)
（1）平均值与给定值比较
(I)目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给 定值有显著差异
(II)检验步骤：
①计算统计量：
t
x
0
n
s
服从自由度 df n 1 的t分布(t-distribution)
0 ——给定值（可以是真值、期望值或标准值）
x1 xt x1 x2 xt x2
xi xt xi
xn xt xn
n
n
xi nxt xi
i 1
i 1
n
xi nxt
i 1
n
xi
xt
i 1
n
x
二、误差的基本概念
相对误差
相对误差＝绝对误差/真值
ER
x xt
x xt xt
解： m m V
V mV
V m 0.02% 0.10% 0.08% V m
五、误差的检验
随机误差的检验 系统误差的检验 过失误差的检验
（1）随机误差的假设检验
2 检验（ 2 -test）：
2
(n 1)s2
2
（1）目的：
xx x
例1-1
某技术员在测量细胞干重的测量值为（31.6±0. 8）g， 试求相对误差。
解：
ER
x x
0.8 31.6
0.0253或2.53%
二、误差的基本概念
算术平均误差
n
n
xi x di
i1
i1
n
n
式中di 称为偏差。
二、误差的基本概念
标准误差（标准差，standard deviation）
②查 t 临界值 ③检验
t t 或t t
2
2
有显著差异
t t
显著减小
t t
显著增大
2
2
例1-7
母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别为 116、 115、113、 112、 114、 117、 115、 116、 114、 113（天），试检验所得样本的平均数与总体平均数114天 有无显著差异？(α =0.05)
解：（1） s12 0.02427, s22 0.05421
F
s12 s22
0.02427 0.05421
0.4476
根据F0.975（7,7）＝0.20， F0.025（7,7）＝4.99，F值介于两 者之间，故两种方法没有显著性差异。
（2）F0.95（7,7）＝0.264，F> F0.95 （7,7），故新法 的精密度没有比旧法有显著提高。
（2）Y
m
AB C
,
Y Y
A A
B B
C C
（3）Y mAn , Y n A
Y
A
（4）Y mlg A,
Y
0.434m
A A
上式中，k，m 均为常数。
例1-3
解：
绝对误差 相对误差
V VmS Km S
dV d ( VmS ) Vm (Km S ) VmS dS VmKm dS
（a）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的 规律起作用而形成的误差
（b）产生的原因：多方面 （c）特点：
系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值 而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正， 或设法消除。
②查临界值 给定的显著水平α
df1 n1 1 df2 n2 1
查F分布表 临界值
③检验
F F(1 ) (df1, df2 )或F F (df1, df2 )
1
2
2
2
2
1、2有显著差异
1
F
F (1 )
(df1, df2)
1比2显著减小
F F (df1, df2 )
几何平均值
1
xG n x1x2 xn (x1x2 xn )n
调和平均值
H
n
11
x1 x2
1
n n1
xn x i1 i
二、误差的基本概念
绝对误差
绝对误差＝测量值－真值
x x xt
则有
xt x x
真值不知道怎么办？
x x xt x xt x
四、误差的传递
例1-3
某蛋白酶的催化反应速率符合米氏方程，某学生测量 底物浓度[S]的值为（2.32±0. 1mmol/L），试求此时
的反应速率的绝对误差和相对误差。已知Vm＝0.467 mmol/（L·min），Km＝8.54mmol/L。
V VmS Km S
四、误差的传递
设 y f (x1, x2, , xn )
解： s2 0.00647
2 (n 1)s2 (6 1) 0.0647 0.6115
2
0.232
依题有，
2 0.95
(5)
1.145,
2 0.05
(5)
11.070
2
2 0.95
(5),
表明性能变好了。
（1）随机误差的假设检验
F检验（F-test）：
（1）目的： 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较
一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率
③检验
1 2
2
2 2 或 2 2 有显著差异
(1 )
2
2
2 2 (1 )
1
显著减小
2 2
显著增大
例1-5
用某电子天平称量某标品，平时的测定方差σ2＝0.232，经 过5年的使用后，对其一关键原件进行了更换，并测定同一 标品，结果为：5.37，5.27，5.19，5.33，5.41，5.26。 试问，这台天平性能是否发生变化？若发生了变化，是变 好还是变坏？（α ＝0.05）
解： x 114.5, s 1.581
t x u0 114.5 114 1.000 Sx 1.581 10
t0.025 (9) 2.262, t t0.025(9)
所以检验所得样本的平均数与总体平均数无显著差异
例1-8
按饲料配方规定，每1000kg某种饲料中维生素C不得少于 248g，现从工厂的产品中随机抽测12个样品，测得1000kg 维生素C含量如下（g）：255 、 260、 262、 248、244、 245、 250、 238、 246、 248、 258、270，问此产品是 否符合规定要求？
xi
加权平均值
xw
w1x1 w2 x2 w1 w2
n
wn xn wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
加权平均值
学生
甲 乙 丙
德育 （30％）
80 70 90
智育 （50％）
70 90 80
体育 （20％）
算术平均 总平均分
90
80
77
80
Biblioteka Baidu
80
82
70
80
81
平均值
49.56
49.94
n
s12
(xi x1)2
i 1
n 1
= (50.33 50.33)2 (51.46 50.33)2 5
n
s22
(xi x2 )2
i 1
n 1
= (49.13 49.94)2
(50.67 49.94)2 5
(51.16 50.33)2 =0.982 (49.56 49.94)2 =1.298
式中 y——间接测量值 xi ——直接测量值
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
n i 1
f ( xi
xi )
( 式1-1)
根据式1-1有：
（1）Y k ka A kbB kcC， Y kaA kbB kcC
例1-2
解： （1）极差法：
R1 51.46 48.86 2.60 R2 51.64 48.45 3.19
（2）方差法：
x1
50.33
51.46
49.51 6
48.86
50.66
51.16
50.33
x2
49.13 50.67
50.16
6
48.45 51.64
解： s2 0.00647
2 (n 1)s2 (6 1) 0.0647 0.6115
2
0.232
依题有，
2 0.975
(5)
0.831,
2 0.025
(5)
12.833
2
落在（0.831，12.833）之外，所以性能发生了改变。
例1-5
用某电子天平称量某标品，平时的测定方差σ2＝0.232，经 过5年的使用后，对其一关键原件进行了更换，并测定同一 标品，结果为：5.37，5.27，5.19，5.33，5.41，5.26。 试问，这台天平性能是否发生变化？若发生了变化，是变 好还是变坏？（α ＝0.05）
Km S
(Km S)2
(Km S)2
V
Vm Km (Km S)2
S
0.467 8.54 (8.54 2.32)2
0.1
0.00338
mmol/（L·min）
V VmS 0.467 2.32 0.0998 mmol/（L·min） Km S 8.54 2.32
正确度好，精密度好
精密度判断
极差法： R xmax xmin
方差法：（数据服从正态分布）
n
(xi x )2
2 i1
n
n
(xi x )2
或 s2 i1 n 1
例1-2
两组同学对某微生物的碳含量测定中，测得的数据分 别如下（％）： （1）50.33，51.46，49.51，48.86，50.66，51.16。 （2）49.13，50.67，50.16，48.45，51.64，49.56。 试问哪组同学测得更精确？
ER
V V
0.00338 0.0998
0.0339 3.39%
S的相对误差：
ER
S S
0.1 2.32
0.0431
4.31%
例1-4
在测定某溶液的密度实验中，需要测量液体的体积和 质量，已知质量测量的相对误差≤0.02%，欲使测定结果 的相对误差≤0.10%，测量液体体积所允许的最大相对误 差为多少？
总体标准误差 样本标准误差
n
(xi x )2
i1
n
n
(xi x )2
s i1 n 1
二、误差的基本概念
样本平均数标准误差（标准误，standard error of mean）
sx (1/ n)s
三、误差的分类
（1）系统误差 （2）随机误差 （3）过失误差
（1）系统误差