05 抽样误差 可信区间估计
概率与统计中的抽样误差与置信区间
概率与统计中的抽样误差与置信区间在概率与统计学中，抽样误差和置信区间是两个重要的概念。
抽样误差是指由于采样过程中的随机性所导致的估计值与真实值之间的差异。
而置信区间则是用于估计参数真值的一种统计区间。
一、抽样误差在统计学中，我们往往无法对总体所有个体进行观察和测量，而是通过从总体中抽取样本来进行研究。
抽样误差是由于所选样本的随机性而引起的估计误差。
当我们从总体中抽取不同的样本时，得到的样本统计量（如样本均值、样本比例）会有所不同，这种差异就是抽样误差。
抽样误差是概率性的，它会导致估计值偏离真实值。
为了评估估计值的精确性，我们需要考虑抽样误差的大小。
通常，抽样误差的大小与样本容量相关，样本容量越大，抽样误差越小，估计值越接近真实值。
二、置信区间抽样误差与置信区间密切相关。
在统计推断中，当我们根据样本统计量对总体参数（如总体均值、总体比例）进行估计时，往往需要给出一个估计值的范围，这个范围就是置信区间。
置信区间提供了一个估计值的范围，表示我们对真实参数值的信心程度。
一般来说，置信区间具有两个边界，下界和上界。
置信区间的计算需要考虑样本容量、抽样误差和置信水平等因素。
置信水平表示我们对估计值落在置信区间内的程度的信心。
常用的置信水平有95%和99%。
以估计总体均值为例，假设我们从总体中抽取了一个样本，计算得到样本均值为x，样本标准差为s，样本容量为n。
若假设总体服从正态分布或样本容量较大（满足中心极限定理），那么我们可以使用正态分布来计算置信区间。
根据置信水平和抽样误差，我们可以通过公式计算出置信区间的下界和上界。
三、示例假设我们想要估计某城市成年人的平均身高。
我们从该城市中随机抽取了100个成年人进行测量，得到样本均值为170cm，样本标准差为5cm。
我们希望以95%的置信水平估计该城市成年人的平均身高。
根据样本数据和公式，可以计算出置信区间的下界和上界：下界 = 样本均值 - 抽样误差上界 = 样本均值 + 抽样误差首先，计算抽样误差：抽样误差 = 1.96 * （样本标准差/ √样本容量）然后，代入样本数据计算下界和上界：下界 = 170 - 1.96 * （5 / √100）上界 = 170 + 1.96 * （5 / √100）计算结果为：下界≈ 168.04cm上界≈ 171.96cm因此，我们可以以95%的置信水平得出结论，该城市成年人的平均身高的置信区间为（168.04cm，171.96cm）。
抽样调查 区间估计
( x X )2 36 16 9 0.25 1 0 6.25 4 20.25 30.25 123
Xx
25
抽样平均误差
●计算抽样平均误差的间接计算公式
x N n n N 1
32 412 38 412 42 412 44 412 49 412
N N1 N 2 ....... N K n n1 n2 ...... nk
18
机械抽样（等距抽样）
（2）不等比例类型抽样
19
抽样与估计中的几个基本概念
★整群抽样
整群抽样在抽取调查单位时，不是从总体 中一个一个地抽选，而是整群整群地抽选，然 后，对选中的各群中的所有单位无一例外地全 部进行调查。
x X 43 41 2
该误差是实际误差
22
抽样平均误差
如果从总体中抽取另一个样本，其年龄分别为 （32，42），则平均年龄为37岁 实际误差 ： 37－41＝－4岁 实际误差是一个随机变量 ●抽样平均误差（标准误[S.E.mean]） 是把所有可能样本配合与总体指标的实际误 差，按照求标准差的方法求得平均值，称为抽 样平均误差。
5
抽样与估计中的几个基本概念
●全及总体和抽样总体（样本总体） ●全及指标和抽样指标 1、样本方差
s2
xi x 2
n 1
2、样本标准差
s
xi x 2
n 1
6
全及总体和抽样总体
●全及总体： 指所研究对象的全体。又 称为母体，简称为总体。例如：要了解 某种产品的质量，那么，全部该种产品 就构成了全及总体。 ●抽样总体：指从全及总体中，按照随机 原则抽取出的一部分单位所组成的总体。 如果样本单位数量 大于30个，称为大样 本，否则，称为小样本。
概率与统计中的抽样误差与置信区间
概率与统计中的抽样误差与置信区间概率与统计是一门研究数据分析和推断的学科，其中抽样误差和置信区间是两个重要的概念。
抽样误差是指由于从整体中选取样本而导致的估计值与真实值之间的差异，而置信区间则是用于表示估计值的不确定性范围。
本文将对概率与统计中的抽样误差和置信区间进行探讨。
一、抽样误差在概率与统计中，我们常常通过对样本进行研究来推断总体的特征。
然而，由于样本只代表了总体的一部分，因此样本统计量与总体参数之间存在差异。
这种差异即为抽样误差。
抽样误差是统计研究中不可避免的，但我们可以通过一些方法来控制和减小它。
1. 随机抽样：为了减小抽样误差，我们需要确保样本是随机选择的。
随机抽样可以使样本更好地代表总体，从而减小抽样误差。
2. 样本容量：样本容量是影响抽样误差的另一个重要因素。
通常情况下，样本容量越大，抽样误差越小。
因此，在实际研究中，我们应该尽可能选择较大的样本容量。
3. 抽样方法：不同的抽样方法对抽样误差的影响也不同。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
在选择抽样方法时，需要根据具体情况进行合理选择，以减小抽样误差。
二、置信区间置信区间是用于表示估计值的不确定性范围。
在统计推断中，我们往往使用样本统计量来估计总体参数。
而置信区间则告诉我们一个范围，我们相信总体参数在这个范围内的可能性较大。
置信区间的计算通常涉及到抽样误差和置信水平两个概念。
置信水平是指在多次重复抽样中，置信区间包含总体参数的比例。
常见的置信水平包括95%和99%。
置信区间的计算方法根据总体参数的分布情况和样本容量的大小而不同。
对于大样本（样本容量大于30）且总体参数服从正态分布的情况，我们可以使用正态分布的性质进行计算。
而对于小样本，我们通常使用t分布来计算置信区间。
总之，置信区间提供了一种衡量估计值不确定性的方式。
通过置信区间，我们可以更准确地评估估计值的可靠性。
结论概率与统计中的抽样误差和置信区间是数据分析和推断过程中的关键概念。
概率与统计中的抽样误差与置信区间
概率与统计中的抽样误差与置信区间概率与统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而在这一过程中，抽样误差与置信区间是非常重要的概念。
抽样误差是指通过抽取样本来估计总体参数时所引入的误差，而置信区间则是用于表示抽样误差的范围。
本文将深入探讨概率与统计中的抽样误差与置信区间的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、抽样误差的概念抽样误差是指由于样本的有限性所引起的估计误差。
在概率与统计中，我们通常无法对整个总体进行调查，而是通过从总体中抽取一部分样本来对总体进行推断。
由于样本的有限性，样本所估计的参数值往往会与总体真值存在一定的差距，这种差距就是抽样误差。
二、置信区间的概念置信区间是用于表示样本所估计的参数值的范围。
在概率与统计中，我们通常会计算出一个置信区间，该区间给出了参数是落在其中的概率。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的计算是基于抽样误差的大小和样本统计量的分布情况来进行的。
三、抽样误差的计算方法抽样误差的计算方法主要有两种：标准误差和大样本抽样误差公式。
1. 标准误差：标准误差是指样本统计量的标准差。
对于均值来说，标准误差的计算公式如下：标准误差 = 样本标准差/ √n其中，n为样本的容量。
而对于比例来说，标准误差的计算公式如下：标准误差= √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)2. 大样本抽样误差公式：当样本容量足够大时，我们可以使用大样本抽样误差公式来计算抽样误差。
对于均值来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差 = 1.96 * (标准误差)其中，1.96是95%置信水平对应的z值。
而对于比例来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差= 1.96 * √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)四、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：Z分数法和t分数法。
Z分数法适用于样本容量较大（大于30）且总体标准差已知的情况，而t分数法适用于样本容量小于30或总体标准差未知的情况。
可信区间的估计方法
可信区间的估计方法一、引言在统计学中，可信区间是用于估计未知参数的一种方法。
它提供了一个范围，该范围内有一定概率包含真实的参数值。
可信区间的估计方法是统计学中一个重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍可信区间的估计方法及其在实际问题中的应用。
二、点估计与区间估计在统计学中，点估计是一种估计未知参数的方法，它给出一个具体的数值作为估计值。
然而，点估计只能提供一个数值，无法反映估计值的不确定性。
为了解决这个问题，统计学引入了可信区间的估计方法。
可信区间是用于估计未知参数的一种区间估计方法。
它提供了一个范围，该范围内有一定概率包含真实的参数值。
可信区间的估计方法主要有频率派方法和贝叶斯方法。
三、频率派方法频率派方法是一种基于频率统计理论的可信区间估计方法。
它假设参数是固定的但未知的，并利用样本信息对参数进行估计。
常用的频率派方法有置信度法和最大似然估计。
1. 置信度法置信度法是一种常用的可信区间估计方法。
它通过构造置信区间来估计未知参数。
置信区间是一个区间，它有一定的概率包含真实的参数值。
置信度是指在重复抽样的情况下，置信区间包含真实参数的概率。
构造置信区间的方法主要有正态分布法和t分布法。
正态分布法适用于大样本情况，t分布法适用于小样本情况。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的可信区间估计方法。
它通过寻找最大化似然函数的参数值来估计未知参数。
最大似然估计得到的估计值具有一定的不确定性，因此可以构造可信区间来表示估计值的不确定性。
四、贝叶斯方法贝叶斯方法是一种基于贝叶斯统计理论的可信区间估计方法。
它假设参数是随机的，并利用先验分布和样本信息来估计参数。
贝叶斯方法通过后验分布来表示参数的不确定性。
贝叶斯方法的核心是贝叶斯公式，它将先验分布和似然函数结合起来，得到后验分布。
通过后验分布可以得到参数的可信区间。
五、实际应用可信区间的估计方法在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在市场调查中，我们可以利用可信区间的估计方法来估计产品的市场份额。
抽样误差与区间估计
ν =10的t分布图
f ( t)
t 界值表
（P406，附表2）
举例：
t
1.812
-2.228
2.228
① 10，单 =0.05，t , t0.05,10 1.812 ，则有
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t
标准误(standard error, SE)
即样本均数的标准差，可用于衡量抽样误差的大 小。
总体标准误
X
总体标准差
因通常σ 未知，计算标准误采用下式： 样本标准差 抽样误差的 S 估计：（抽 S X 样误） 通过增加样本 n
样误差。
n
含量n来降低抽
表4-1计算了100个样本的标准差S，由此可 计算每一样本的抽样误差大小。
6190 3556
0.20
0.42 11.54
30 ① 26 ① 410 ①
466 ①
②
814 24764 ①
②
甲矿工人尘肺患病标准率=814/24764=3.29% 乙矿工人尘肺患病标准率=466/24764=1.88%
第四章 抽样误差与区间估计
第一节 均数的抽样误差与标准误
两个样本均数（或率）之间的差别有 两种可能： 一是由抽样误差引起的，即，两 个样本来自同一个总体，但是组成样本 的个体不同。由于个体差异引起样本均 数（或率）不同。 二是由处理因素引起的，即， 两个样本来自不同两个总体，由于处理 因素不同引起样本均数（或率）不同。
30 25 20
频数
15 10 5 0 4.2~ 4.3~ 4.4~ 4.5~ 4.6~ 4.7~ 4.8~ 4.9~ 5.0~ 5.1~ 5.2~ 红细胞数（×1012 /L）
数据统计中的抽样误差与置信区间
数据统计中的抽样误差与置信区间数据统计是一门研究通过收集、整理和分析数据来获取有关群体特征和趋势的学科。
在进行数据统计时，抽样是一个十分重要的步骤。
然而，由于取样过程的随机性和限制性，抽样误差是无法避免的。
为了对抽样误差做出准确的估计，统计学家们常常使用置信区间来量化结果的可靠性。
本文将详细探讨数据统计中的抽样误差与置信区间的概念和应用。
一、抽样误差的定义和影响因素抽样误差是指由于样本选取的随机性而导致的样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本并根据样本的统计量来推断总体的参数时，由于样本数量的限制以及样本抽取的随机性，样本统计量与总体参数之间的差异会产生抽样误差。
抽样误差的大小受到多种因素的影响。
首先，样本容量是影响抽样误差大小的重要因素。
样本容量越大，抽样误差越小，因为较大的样本容量能够更准确地代表总体的特征。
其次，总体的变异性也会影响抽样误差的大小。
当总体变异性较大时，即使样本容量很大，抽样误差仍可能较大。
另外，样本的抽取方式和样本的分布特征也会对抽样误差产生影响。
二、置信区间的定义和计算方法置信区间是用于估计总体参数的一种统计技术。
在数据统计中，我们通常无法获得整个总体的数据，因此需要通过样本推断总体参数的取值范围。
置信区间提供了一个参数估计的区间范围，表示我们对总体参数的估计值的不确定性。
置信区间由一个下限和一个上限组成，两个边界分别称为置信下限和置信上限。
在进行置信区间估计时，我们需要选择一个置信水平，通常常用的是95%或99%。
置信水平表示我们在重复抽样的情况下，有多大的可能性得到的置信区间包含了总体参数的真实值。
计算置信区间的方法根据不同的总体参数类型有所不同。
对于均值的置信区间估计，我们可以使用样本均值与样本标准差的组合来计算。
对于比例的置信区间估计，我们可以使用样本比例和二项分布的性质来计算。
三、置信区间的应用置信区间在数据统计中具有广泛的应用。
首先，置信区间可以用于估计总体参数的范围。
率的抽样误差及可信区间
二、两个独立样本率比较的u 检验
表5-1 两种疗法的心血管病病死率比较
疗法 盐酸苯乙双胍
安慰剂 合计
死亡
26 (X1) 2 (X2) 28
生存 178 62 240
合计 病死率(%)
204(n1) 64(n2) 268
12.75 (p1) 3.13 (p2) 10.45 (pc)
u 检验的条件：
n1p1 和n1(1- p1)与
1.正态近似法; (1)条件：a. n＞100(50) b. np与 n(1-p)＞5 (2)公式：1)总体率95%可信区间为：P±1.96SP.
2)总体率99%可信区间为：P±2.58SP 2.查表法：
适用于n≤50; P很接近0或100%时,可查百分率的可信 限表，求得百分率可信限
第二节 率的统计学推断
第三节 卡方检验
χ2检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人 之一，英国人K . Pearson（1857-1936）于1900年提 出的一种具有广泛用途的统计方法，可用于两个或 多个率间的比较，计数资料的关联度分析，拟合优 度检验等等。
本章仅限于介绍两个和多个率或构成比比较的χ2 检验。
小结
1．样本率也有抽样误差，率的抽样误差的
大小用σp或Sp来衡量。
2．率的分布服从二项分布。
当n足够大，π和1-π均不太小， 有nπ≥5和n（1-π）≥5时，
近似正态分布。
3．总体率的可信区间是用样本率估计总体
率的可能范围。当p 分布近似正态分布
时，可用正态近似法估计率的可信区间
4．根据正态近似原理，可进行样本率与总
一、样本率与总体率比较u检验 二、两个样本率的比较u检验
u 检验的条件： n p 和n（1- p）均大于5时
医学统计学：04 抽样误差与区间估计
若 X ~ N(μ,σ2) , 则
X ~ N (0,1)。
因 X ~ N(, X 2 ),
则
u X ~ N (0,1)
。
X
19 魏永越
t 分布的概念
实际工作中，总体方差未知。所以，用样本
方差代替总体方差， 且当样本含量较小时
X 的分布如何？
s X
20 魏永越
t分布起源
魏永越
http://www.economics.soton.ac. uk/staff/aldrich/fisherguide/raffra21 me.htm
x = 118.4cm
S =4.41cm
3
魏永越
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.18cm s=4.90cm
X 117.78cm s=3.98cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 119.87m s=5.15cm
4
导致总体均数与样本均数、样本均数之间有 差别的可能原因是？
27 魏永越
从连续性变量X中反复随机抽样，随样本含量n增
大，x 将趋于（ ）
s x
A X的原始分布
B 正态分布
C 均数的抽样分布
D 标准正态分布
28 魏永越
下面关于标准误的四种说法中，哪一种最不 正确（ ）
A 标准误是样本统计量的标准差 B 标准误反映了样本统计量的变异 C 标准误反映了总体参数的变异 D 标准误反映了抽样误差的大小
Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution
of sample means 14
抽样误差区间估计PPT课件
standard
标准误(standard error)
样本统计量的标准差称为标准误。样本均数的标准 差称为均数的标准误。
均数的标准误表示样本均数的变异度。
104 105 90 106 101.2 6.4
90
106 1.2
104 92 103 83 95.6 8.6
83
104 -4.4
99 107 94 97 99.4 4.9
94
107 -0.6
100 103 96 92 97.9 4.1
92
103 -2.1
92 97 94 94 94.3 1.9
92
2.82 10 1
9
结论 1
各样本均数未必等于总体均数； 样本均数间存在差异；
10
由抽样实验所得的1000个样本作出其均数 分布直方图。曲线是对抽样得到的1000个X 数 据拟合的分布曲线。
11
.15
样本均数服从正态分布
.1
.05
0
正态总体分布
80.0
90.0
Samp1l0e0.M0ean
Case 2:
从非正态(nonnormal)分布总体(均数为，方差 为2)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得 无限多个样本，每个样本计算样本均数，则只要 样本含量足够大(n>50),样本均数也近似服从正 态分布。
■样本均数的均数为 μ;
■样本均数的标准差为 x
n
。
21
3.标准误
error
15
2.中心极限定理
theorem
central limit
抽样误差 中心极限定理 标准误 抽样分布 参数估计
数据的抽样误差与置信区间估计
数据的抽样误差与置信区间估计在统计学中，数据的抽样误差是指由于从总体中抽取样本，而使得样本估计值与总体真实值之间存在差异的问题。
为了解决这个问题，统计学家们引入了置信区间估计的概念，用于对总体参数进行估计，并给出一个具有一定置信水平的区间。
一、抽样误差的产生原因抽样误差是由于从总体中随机抽取样本导致的。
在理想情况下，如果我们能够对总体中每一个个体进行测量，那么得到的结果将是总体参数的准确值。
然而，由于时间、成本和其他限制因素的存在，我们通常只能从总体中选取一部分样本进行研究。
这样一来，样本的结果就可能与总体的真实情况存在差异，这就是抽样误差的产生原因。
二、置信区间估计的概念为了解决数据的抽样误差问题，统计学家们引入了置信区间估计的方法。
置信区间是对总体参数进行估计的一种方法，其中包含了总体参数的真实值可能位于其内的一定区间。
这个区间称为置信区间。
置信区间估计的核心思想是通过对样本数据的分析，构建一个区间，该区间有一定的置信水平包含了总体参数的真实值。
例如，我们可以说我们对于总体平均值有95%的置信水平，它位于构建的置信区间内。
置信水平通常使用95%或者99%。
三、置信区间估计的计算方法置信区间估计的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
参数估计法是在假设总体分布形式已知或者对其做出某种特定假设的前提下，通过对样本数据进行参数估计，建立置信区间。
常见的参数估计法有Z检验和T检验。
非参数估计法则是在对总体分布形式不做任何假设的情况下，通过样本数据的排序、秩次和分布特征等进行推断，建立置信区间。
四、置信区间估计的应用置信区间估计在实际应用中非常广泛。
它可以用于估计总体参数的范围，帮助我们对样本结果进行合理解释，并提供决策依据。
在市场调研中，我们可以利用置信区间估计来估计消费者对某个产品的满意度范围，并据此调整和改进产品。
在医学研究中，置信区间估计可以帮助我们估计某种药物的有效性，并进行相应的临床试验和改良。
抽样误差与可信区间
可信限
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例：血红蛋白浓度
• 为了解某地 1 岁婴儿旳血红蛋白浓度，从该 地域随机抽取 25 名 1 岁婴儿，测得其血红 蛋白，试估计该地域1岁婴儿旳平均血红蛋白 浓度。 均 数 = 123.7(g/L) 原则差 = 11.9(g/L) 原则误=11.9/sqrt(25)=2.38
Xi ~ N (0,1) ni
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t分布旳演化
• 因为总体原则差往往是未知旳，此时往往用样本原则差替
代总体原则差，
t
X s
n
~
t
这里，ν为自由度，取值为n-1
• 由W.S. Gosset提出
Page 15
t分布旳图形
自由度分别为1、5、 ∞时旳 t 分布
f(t) =∞(原则正态曲线)
X Population B
n=25
Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution of sample means0
Population A
X
X
Population D
X
X X
X
Sampling Distribution of sample means
S= 4.7245
x1,x2,x3…x10
区间估计
• 可信区间旳定义 • 总体均数之可信区间旳求解 • 均数之差旳可信区间 • 可信区间旳要素 • 正确了解可信区间旳含义
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区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年男子， 测得该样本旳脉搏均数为73.6次/分，原则差 为6.5次/分，估计正常成年男子脉搏总体均数。
数据的抽样误差与置信区间估计的实际问题
数据的抽样误差与置信区间估计的实际问题数据的抽样误差与置信区间估计是统计学中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解数据收集和分析中的不确定性。
在实际问题中，正确地理解和应用这些概念对于数据分析的准确性和可靠性至关重要。
一、数据的抽样误差抽样误差是指在得到一个样本之后，样本的特征与总体特征之间的差异。
由于我们无法对整个总体进行调查，所以只能通过抽取样本进行研究。
然而，由于样本的随机性质，抽取到的样本可能无法完全代表总体。
因此，抽样误差是不可避免的。
为了减小抽样误差，我们可以采用随机抽样的方法来选择样本。
随机抽样可以确保每个个体都有相同的机会被选入样本。
此外，大样本量能够降低抽样误差的影响，因为它能更好地代表总体的特征。
二、置信区间估计置信区间估计是一种统计方法，用于估计总体参数的范围。
它能够用一个区间给出总体参数的估计结果，同时还给出了这个估计结果的可信程度。
置信区间由一个下限和上限组成。
置信区间估计的步骤通常如下：1. 选择一个适当的置信水平，比如95%。
2. 计算样本得到的统计量，比如均值或比例。
3. 根据样本大小和抽样分布的特征，确定标准误差。
4. 根据置信水平和样本的特征，计算置信区间。
置信区间估计告诉我们，如果我们再次从总体中抽取样本，有95%的可能性，样本均值会落在置信区间内。
三、实际问题中的应用抽样误差和置信区间估计在许多实际问题中都有着重要的应用。
例如，在市场调查中，我们可能通过问卷调查的方式来了解消费者对某个产品的满意度。
由于调查样本是从总体中选取的，所以抽样误差是存在的。
通过计算置信区间，我们可以对所有消费者的满意度做出估计，并给出这个估计结果的置信程度。
在医学研究中，抽样误差和置信区间估计也十分重要。
例如，在临床试验中，我们可能需要比较两种不同药物对某种疾病的治疗效果。
通过对两个样本的均值进行置信区间估计，我们可以确定这两种药物的效果是否有显著差异，并根据置信区间的范围来做出决策。
第四章抽样误差与区间估计
数理统计推出： 1.从正态总体N（ ， 2）中，随机抽取例数为n的样 本，样本均数X也服从正态分布；即使从偏态总体随机 抽样，当n足够大时，X也近似正态分布；
2.从均数为，标准差为的正态或偏态总体，抽取例数 为n的样本，样本均数X的总体均数也为，标准差用X 表示，则X可按下式计算：
X = n
X~ N（ ， 2）
总体均数可信区间(confidence interval)的计算： 1. 未知：按t分布。
由于P（-t /2， t t /2， ）= 1- ，
-t /2， X- t /2， S/ n
S X- t /2， n
X + t /2， S n
2. 已知或未知但n足够大时：按u分布
双侧可信区间为：
（X u/2
n
）或 （X u/2
s n
）
均数的可信区间与参考值范围的区别：
1.意义不同
均数的可信区间的统计意义：
（1）按预先给定的概率，确定的包含总体均数的可能范围， 因此它用于估计总体均数。
（2）可信度要高，但精度不能下降。
参考值范围的统计意义：
“正常人”的解剖、生理、生化某项指标的波动范围，可 以用于判断观察对象的某项指标正常与否。
2.两者的计算公式有差别：可信区间用了标准误，参考值 范围用了标准差。
补充题 152例麻疹患儿病后血清抗体滴度倒数的分布如下，试 作总体几何均数的点值估计和95%区间估计。
152例麻疹患儿病后血清抗体滴度倒数的分布
滴度倒数 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 合计
人 数 0 0 1 7 10 31 33 42 24 3
标准误（standard error, SE）：样本统计量的标准差。 均数的标准误（SEM ， X ） ： 即样本均数的标准差。
05区间估计
0.05 0.10 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.660 1.653 1.648 1.646 1.6449
例4.2
• n=120>100，标准正态分布代替t分布，u0.10=1.64 ，标准正态分布代替 分布 分布，
X − u 0.10 × s X = 142.67 − 1.64 × 0.5477 = 141.77(cm) X + u 0.10 × s X = 142.67 + 1.64 × 0.5477 = 143.57(cm)
附表2 附表 t 界值表
自由度
-t
0
t
ν
1 2 3 4 5 11 12 13 14 15
单侧 双侧
概 率，P 0.25 0.20 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 0.50 0.40 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 1.000 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.321 318.309 636.619 0.816 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.599 0.765 0.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.215 12.924 0.741 0.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 0.727 0.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 0.697 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 0.695 0.873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 0.694 0.870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 0.692 0.868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 0.691 0.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 7.173 5.893 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 8.610 6.869 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073
统计学中的可信区间估计
统计学中的可信区间估计在统计学中，可信区间估计是一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
它通过利用样本数据来构建一个区间，该区间内有一定的置信水平，可包含总体参数的真实值。
本文将介绍可信区间估计的概念、计算方法以及实际应用的案例。
一、概念可信区间估计是通过利用样本数据来估计总体参数的一种统计推断方法。
它基于样本统计量的分布特性，结合置信水平来构建一个区间，该区间内有一定的把握可以包含总体参数的真实值。
具体而言，可信区间估计可以帮助我们确定一个范围，该范围内可能包含总体参数的真实值，从而对总体进行推断。
二、计算方法可信区间估计的计算方法依赖于所估计的参数类型以及样本量的大小。
常见的参数类型包括总体均值、总体比例、总体方差等。
1. 总体均值的可信区间估计当总体的分布已知且方差已知时，我们可以使用正态分布来进行均值的可信区间估计。
假设样本均值为x，总体标准差为σ，样本容量为n，置信水平为1-α。
根据正态分布的性质，可以得到总体均值的可信区间估计公式为：x ± Z(α/2) * (σ/√n)其中，Z(α/2)为标准正态分布的上分位数，可以根据给定的置信水平查表得到。
这个公式表达了样本均值周围的一个区间，该区间具有1-α的置信水平。
当总体的分布未知且样本容量较大时，我们可以使用样本均值的抽样分布近似于正态分布的性质，进行均值的可信区间估计。
此时，我们可以利用t分布来计算区间估计。
公式与上述类似，只是将Z(α/2)换成t(α/2, n-1)，其中t(α/2, n-1)为自由度为n-1的t分布的上分位数。
2. 总体比例的可信区间估计对于总体比例的可信区间估计，我们需要满足一些条件。
其中最常见的是大样本条件，即样本容量较大时，二项分布可以近似为正态分布。
在这种情况下，总体比例的可信区间估计可以使用以下的公式：p ± Z(α/2) * √(p(1-p)/n)其中，p为样本比例，Z(α/2)为标准正态分布的上分位数。
自然科学实验数据解读中的误差估计与可信区间
自然科学实验数据解读中的误差估计与可信区间在自然科学研究中，实验数据的解读是非常重要的一环。
科学家们通过实验来验证假设、推断结果，并为理论建立提供依据。
然而，由于实验过程中的各种因素，数据往往会存在一定的误差。
因此，在解读实验数据时，我们需要进行误差估计与可信区间的计算，以确保结果的准确性和可靠性。
误差估计是指通过对实验数据进行统计分析，对实验结果的误差进行估计和描述的过程。
误差估计的目的是确定实验结果的可靠程度，并提供一种量化的方法来衡量实验数据的准确性。
在实验中，误差可以来自多个方面，如仪器的测量误差、操作人员的技术误差、环境因素的影响等。
因此，我们需要对这些误差进行合理的估计和处理。
误差估计常用的方法有参数估计和区间估计。
参数估计是通过对样本数据进行统计分析，来估计总体参数的值。
例如，在测量某个物理量时，我们可以通过对多次测量结果的统计分析，来估计该物理量的真实值。
区间估计是指通过对样本数据进行统计分析，来构建一个包含总体参数的区间，该区间称为可信区间。
可信区间提供了一个范围，我们可以以一定的置信度认为总体参数在这个范围内。
误差估计和可信区间的计算需要依赖于统计学的方法和理论。
其中，置信度是一个重要的概念。
置信度是指在重复抽样的情况下，总体参数落在可信区间内的概率。
常见的置信度有95%和99%。
例如，如果我们计算出某个物理量的可信区间为（10，20），置信度为95%，那么我们可以以95%的置信度认为该物理量的真实值在10到20之间。
误差估计和可信区间的计算需要考虑到样本容量、样本分布、样本方差等因素。
对于样本容量较小的情况，我们可以使用t分布来进行计算。
t分布是一种在样本容量较小的情况下更准确的分布。
对于样本容量较大的情况，我们可以使用正态分布来进行计算。
正态分布是一种在样本容量较大的情况下近似成立的分布。
误差估计和可信区间的计算还需要考虑到误差的来源和性质。
例如，在实验中，仪器的测量误差可以通过多次测量来减小，而操作人员的技术误差则需要通过培训和规范操作来控制。
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2019年6月18日4时58分
14
2、中心极限定理 central limit theorem
①即使从非正态总体中抽取样本，所得均数分布仍近似呈正态。 ②随着样本量的增大, 样本均数的变异范围也逐渐变窄。
2019年6月18日4时58分
15
t分布与可信区间
一、t分布
二、总体均数的估计 总体均数的点估计（point estimation）与区间 估计 总体均数的可信区间（confidence interval， CI） 大样本总体均数的可信区间
均数
450 400 350 300 250 200 150 100 50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
均数
9
抽样实验小结
均数的均数围绕总体均数上下波动。
均数的标准差即标准误 X 与总体标准差 相差
宽
小（0.01）
30
区别点
总体均数可信区间
参考值范围
按预先给定的概率（可信度），确定的未知参数 的可能范围。 “正常人”的解剖，生理，
含 实际上一次抽样算得的可信区间要么包含了总体均数，要么 生化某项指标的波动范围。
不包含，二者必居其一，无概率可言；所谓 95%的可信度是
义 针对可信区间的构建方法而言。
标准正态分布
N（0，1）
标准正态分布
N（0，1）
Student t分布 自由度：n-1
17
t分布的概率密度函数
f (t) ( 1) 2 (1 t 2 / )( 1) 2
( 2)
式中 () 为伽玛函数； 圆周率（Excel函数为
PI( )）
为自由度（degree of freedom），是t分布
参数的估计
点估计：由样本统计量 X、S、p 直接估计 总体参数 、、
区间估计：按照预先给定的概率 （可信度），同时考虑抽样误差， 计算出一个区间，使它能够包含 未知的总体参数。
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Confidence interval
可信度:事先给定的概率1-α称为可信度 一般，α取0.05 or 0.01，则1-α为0.95 or 0.99 可信区间(confidence interval，CI):计算得到的区 间称为可信区间。 可信限(confidence limit，CL):界定可信区间的两 个数值，上限和下限 总体均数估计的95%可信区间：表示该区间包括 总体均数μ的概率（可能性）为95%，即若作100 次抽样算的100个可信区间，则平均有95个可信区 间包括μ（估计正确），只有5个可信区间不包括μ （估计错误）。
通常未知，这时可以用其估计量S 代替，但 已不再服从标准正态分布，而是服从著
名的t 分布。
William Gosset
图6-1 不同自由度的 t 分布图
（二）σ未知且n较小时
t
X SX
X S
n
P(X
t0.052( )
S n
X
t0.052( )
S) n
0.95 0.025
①一簇单峰分布曲线，在
t＝0 处最高，并以t＝0为
中心左右对称
②与正态分布相比，曲线 最高处较矮，两尾部翘得 高（见绿线）
③ 随自由度增大，曲线逐 渐接近正态分布；分布的 2 3 4 极限为标准正态分布。
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t分布曲线下面积（附表2）
2019年6月18日4时58分
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
三、可信区间的解释
2019年6月18日4时58分
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一、t分布（t distribution）
随机变量X N（，2）
u X
u变换
均数
X
N (, 2 n)
u X n
t变换
t X X , v n 1
S n SX
实际：s , sx x 或n较小时
的唯一参数；t为随机变量。 以t为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布曲线。
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18
t分布曲线
0.4 f( t) 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.0 -4 -3 -2 -1 0 1
t
t 分布有如下性质：
自由度为1的t分布 自由度为9的t分布 标准正态分布
包括：点估计与 区间估计
2. 假设检验（test of hypothesis)
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2
一、均数的抽样误差
抽取部分观察单位
总体
样本
参数
统计推断
如：总体均数
总体标准差
总体率
统计量 如：样本均数 X
样本标准差S 样本率 P
抽样误差 （sampling error) ：由于 抽样和变异引 起的样本统计 量与总体参数 间的差异或者 来自同一总体 的不同样本统 计量之间的差 异。
单侧t0.05，9＝1.833 双侧t0.01/2，9＝3.250
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
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二、总体均数的估计
1. 总体均数的点估计（point estimation）与 区间估计（interval estimation）
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12
标准差与标准误的联系与区别
2. 随着样本量不断增大，样本标准差随机波 动的幅度越来越小，并且稳定在总体标准 差附近；随着样本量不断增大，样本均数 的标准误越来越小，并且趋向于0；
3. 样本含量n相同时，标准差越大，标准误相 对越大；标准差越小，标准误也相对越小。
2019年6月18日4时58分
0.025
Байду номын сангаас
t0.052( )
0 t分布曲线
t0.052( )
95%可信区间：(X
t0.052( )
S ，X n
t0.052( )
S) n
一
般
情
况
α/2
可信区间： (X
t 2( )
S ，X n
t 2( )
S) n
t 2( )
1-α
0 t分布曲线
α/2 t 2( )
括μ(估计正确)，只有5个可信区间不包括 μ(估计错误)。
95％可信区间
公式 X
t 0.05 / 2,
S X
,
X t S 0.05 / 2, X
区间范围
窄
估计错误的概率 大（0.05）
2019年6月18日4时59分
99％可信区间
X
t0.01 / 2,
S X
,
X t S 0.01/ 2, X
13
标准差与标准误的区别与联系
标准差
标准误
1意义： 描述一组变量值之间的离散
区
程度（个体差异）
描述样本统计量间的离散 程度（抽样误差）
别
可用于估计某变量的正常值 估计总体参数所在的可信
2应用： 范围，n越大，标准差越趋于 区间，n越大，标准误越
稳定→σ
小→ 0
联 系
二者均是表示变异度大小的统计指标， n一定时，标准误与标准差成正比。
n=30 5.00 0.50 5.00
均数标准差
Sn
0.2212
0.1580
0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
2019年6月18日4时58分
8
3个抽样实验结果图示
频数
450
400 350
n 5; S X 0.2212
300
250
200
150
100
50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
总体均数的波动范围
计算
未知：
X
t ,
S X
*
公式 已知或未知但 n>100： X u X 或 X u SX **
用途 总体均数的区间估计
个体值的波动范围
正态分布： X u S **
偏态分布：PX~P100X
绝大多数(如 95%)观察对象
* t, 也可用 t /2, (对应于双尾概率时) ** u, 也可用 u /2, (对应于双尾概率时)
一个常数的倍数，即 / n X
实替，际得工到作标中准，误的未估知计时值，s可X用，样即本 标准差s代
s s/ n X
从正态总体N(μ,σ2)中抽取样本，获得均数的分 布仍近似呈正态分布N(μ,σ2/n) 。
2019年6月18日4时58分
10
标准误的应用
表示抽样误差大小：同质的资料标准误越小，表 明样本均数越接近于总体均数，抽样误差越小， 说明由样本均数推断总体均数的可靠性越大。反 之，标准误越大，表明样本均数远离总体均数， 抽样误差大，说明由样本均数推断总体均数的可 靠性小。医学文献中常以 x sx 表示资料的均 数及可靠程度。 确定总体均数的可信区间：结合样本均数对总体 均数做区间估计。 进行均数的t检验。
2019年6月18日4时59分
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例 1 某市120名7岁男童的身高均数为 123.62cm，标准差为4.75cm，计算该市7岁 男童总体均数90％的可信区间
X 123.62， S 4.75， Sx 0.4336