05 抽样误差 可信区间估计

2019年6月18日4时58分
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2、中心极限定理 central limit theorem
①即使从非正态总体中抽取样本，所得均数分布仍近似呈正态。 ②随着样本量的增大, 样本均数的变异范围也逐渐变窄。
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t分布与可信区间
一、t分布
二、总体均数的估计 总体均数的点估计（point estimation）与区间 估计 总体均数的可信区间（confidence interval， CI） 大样本总体均数的可信区间
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标准差与标准误的区别与联系
标准差
标准误
1意义： 描述一组变量值之间的离散
区
程度（个体差异）
描述样本统计量间的离散 程度（抽样误差）
别
可用于估计某变量的正常值 估计总体参数所在的可信
2应用： 范围，n越大，标准差越趋于 区间，n越大，标准误越
稳定→σ
小→ 0
联 系
二者均是表示变异度大小的统计指标， n一定时，标准误与标准差成正比。
①一簇单峰分布曲线，在
t＝0 处最高，并以t＝0为
中心左右对称
②与正态分布相比，曲线 最高处较矮，两尾部翘得 高（见绿线）
③ 随自由度增大，曲线逐 渐接近正态分布；分布的 2 3 4 极限为标准正态分布。
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t分布曲线下面积（附表2）
2019年6月18日4时58分
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
均数
450 400 350 300 250 200 150 100 50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
均数
9
抽样实验小结
均数的均数围绕总体均数上下波动。
均数的标准差即标准误 X 与总体标准差 相差
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（三）σ未知且n较大时（n>100）
可信区间：
(X z 2
S ，X n
z 2
S) n
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参考值范 围（%）
80
90
95
99
常用u值表
α 0.20 0.10 0.05 0.01
单侧
0.842 1.282 1.645 2.326
双侧
1.282 1.645 1.960 2.576
包括：点估计与 区间估计
2. 假设检验（test of hypothesis)
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2
一、均数的抽样误差
抽取部分观察单位
总体
样本
参数
统计推断
如：总体均数
总体标准差
总体率
统计量 如：样本均数 X
样本标准差S 样本率 P
抽样误差 （sampling error) ：由于 抽样和变异引 起的样本统计 量与总体参数 间的差异或者 来自同一总体 的不同样本统 计量之间的差 异。
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例 1 某市120名7岁男童的身高均数为 123.62cm，标准差为4.75cm，计算该市7岁 男童总体均数90％的可信区间
X 123.62， S 4.75， Sx 0.4336
本例σ未知，但是n=120>100,大样本，可以用 正态近似法
90%可信区间为：
三、可信区间的解释
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一、t分布（t distribution）
随机变量X N（，2）
u X
u变换
均数
X
N (, 2 n)
u X n
t变换
t X X , v n 1
S n SX
实际：s , sx x 或n较小时
均数
n 30; S X 0.0920
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频数
频数
450
400 350 300
n 10; S X
0.1580
250
200
150
100
百度文库
50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
2019年6月18日4时58分
4
抽样试验（n=5）
2019年6月18日4时58分
5
抽样试验（n=10）
2019年6月18日4时58分
6
抽样试验（n=30）
2019年6月18日4时58分
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1000份样本抽样计算结果
总体的 总体标 均数的 均数 准差s 均数
n=5 5.00 0.50 4.99
n=10 5.00 0.50 5.00
0.025
t0.052( )
0 t分布曲线
t0.052( )
95%可信区间：(X
t0.052( )
S ，X n
t0.052( )
S) n
一
般
情
况
α/2
可信区间： (X
t 2( )
S ，X n
t 2( )
S) n
t 2( )
1-α
0 t分布曲线
α/2 t 2( )
宽
小（0.01）
30
区别点
总体均数可信区间
参考值范围
按预先给定的概率（可信度），确定的未知参数 的可能范围。 “正常人”的解剖，生理，
含 实际上一次抽样算得的可信区间要么包含了总体均数，要么 生化某项指标的波动范围。
不包含，二者必居其一，无概率可言；所谓 95%的可信度是
义 针对可信区间的构建方法而言。
2019年6月18日4时58分
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1、抽样试验
从正态分布总体N（5.00,0.502）中，每次随 机抽取样本含量n＝5，并计算其均数与标
准差；重复抽取1000次，获得1000份样本； 计算1000份样本的均数与标准差，并对1000 份样本的均数作直方图。
按上述方法再做样本含量n＝10、样本含量 n＝30的抽样实验；比较计算结果。
参数的估计
点估计：由样本统计量 X、S、p 直接估计 总体参数 、、
区间估计：按照预先给定的概率 （可信度），同时考虑抽样误差， 计算出一个区间，使它能够包含 未知的总体参数。
2019年6月18日4时58分
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Confidence interval
可信度:事先给定的概率1-α称为可信度 一般，α取0.05 or 0.01，则1-α为0.95 or 0.99 可信区间(confidence interval，CI):计算得到的区 间称为可信区间。 可信限(confidence limit，CL):界定可信区间的两 个数值，上限和下限 总体均数估计的95%可信区间：表示该区间包括 总体均数μ的概率（可能性）为95%，即若作100 次抽样算的100个可信区间，则平均有95个可信区 间包括μ（估计正确），只有5个可信区间不包括μ （估计错误）。
一个常数的倍数，即 / n X
实替，际得工到作标中准，误的未估知计时值，s可X用，样即本 标准差s代
s s/ n X
从正态总体N(μ,σ2)中抽取样本，获得均数的分 布仍近似呈正态分布N(μ,σ2/n) 。
2019年6月18日4时58分
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标准误的应用
表示抽样误差大小：同质的资料标准误越小，表 明样本均数越接近于总体均数，抽样误差越小， 说明由样本均数推断总体均数的可靠性越大。反 之，标准误越大，表明样本均数远离总体均数， 抽样误差大，说明由样本均数推断总体均数的可 靠性小。医学文献中常以 x sx 表示资料的均 数及可靠程度。 确定总体均数的可信区间：结合样本均数对总体 均数做区间估计。 进行均数的t检验。
某项指标的分布范围
2019年6月18日4时59分
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2019年6月18日4时58分
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标准差与标准误的联系与区别
2. 随着样本量不断增大，样本标准差随机波 动的幅度越来越小，并且稳定在总体标准 差附近；随着样本量不断增大，样本均数 的标准误越来越小，并且趋向于0；
3. 样本含量n相同时，标准差越大，标准误相 对越大；标准差越小，标准误也相对越小。
2019年6月18日4时58分
均数的抽样误差 和总体均数估计
2019年6月18日4时58分
1
统计推断 （statisticalinference）
统计推断内容：
抽取部分观察单位
总体
样本
参数 如：总体均数
统计推断
统计量
如：样本均数
X
总体标准差
样本标准差S
总体率
样本率 P
1. 参数估计 (estimation of parameters)
标准正态分布
N（0，1）
标准正态分布
N（0，1）
Student t分布 自由度：n-1
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t分布的概率密度函数
f (t) ( 1) 2 (1 t 2 / )( 1) 2
( 2)
式中 () 为伽玛函数； 圆周率（Excel函数为
PI( )）
为自由度（degree of freedom），是t分布
总体均数的波动范围
计算
未知：
X

t ,
S X
*
公式 已知或未知但 n>100： X u X 或 X u SX **
用途 总体均数的区间估计
个体值的波动范围
正态分布： X u S **
偏态分布：PX~P100X
绝大多数(如 95%)观察对象
* t, 也可用 t /2, (对应于双尾概率时) ** u, 也可用 u /2, (对应于双尾概率时)
通常未知，这时可以用其估计量S 代替，但 已不再服从标准正态分布，而是服从著
名的t 分布。
William Gosset
图6-1 不同自由度的 t 分布图
（二）σ未知且n较小时
t

X SX

X S
n
P(X
t0.052( )
S n
X
t0.052( )
S) n
0.95 0.025
单侧t0.05，9＝1.833 双侧t0.01/2，9＝3.250
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
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二、总体均数的估计
1. 总体均数的点估计（point estimation）与 区间估计（interval estimation）
2019年6月18日4时58分
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标准差与标准误的联系与区别
1. 标准差s是描述个体资料分布的离散程度指 标。S越小，个体资料的离散程度就越小； 标准误是描述统计量的平均抽样误差大小 的指标，标准误越小，统计量的平均抽样 误差就越小，即从同一总体中抽样所得的 各个样本均数间的差异以及和总体均数间 的差异就越小。
n=30 5.00 0.50 5.00
均数标准差
Sn
0.2212
0.1580
0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
2019年6月18日4时58分
8
3个抽样实验结果图示
频数
450
400 350
n 5; S X 0.2212
300
250
200
150
100
50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
的唯一参数；t为随机变量。 以t为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布曲线。
2019年6月18日4时58分
18
t分布曲线
0.4 f( t) 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.0 -4 -3 -2 -1 0 1
t
t 分布有如下性质：
自由度为1的t分布 自由度为9的t分布 标准正态分布
2019年6月18日4时58分
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三、总体均数的区间估计
（一）σ已知
68.27%
z X X
n
X
95.00%
-2.58 -1.96 -1
99.00% 0
z
1 1.96 2.58
95%可信区间：
一般情况
其中 为标准正态分布的双侧界值。
Confidence interval （二）σ未知且n较小时
括μ(估计正确)，只有5个可信区间不包括 μ(估计错误)。
95％可信区间
公式 X

t 0.05 / 2,
S X
,
X t S 0.05 / 2, X
区间范围
窄
估计错误的概率 大（0.05）
2019年6月18日4时59分
99％可信区间
X

t0.01 / 2,
S X
,
X t S 0.01/ 2, X
(123.62 1.645 0.4336, 123.62 1.645 0.4336) (122.91,124.33)
2019年6月18日4时59分
t分布法
2019年6月18日4时59分
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可信区间的解释
95％可信区间：从总体中作随机抽样，作 100次抽样，每个样本可算得一个可信区间， 得100个可信区间，平均有95个可信区间包