离散数学基础 第六章 图论

v6
1 (b)
每条边上所赋的非负实数称为这条边上的权，它可以理解为 该边上的流量或通过该边的时间，还可以理解为该边的长度。
14
二、 图中顶点的度数
1、无向图中顶点的度数
【定义】在图（无向图或有向图）中，若顶点a和
b是边e的两个端点，则称顶点a和b是邻接的，并 称边e关联于顶点a和b。
【定义】设图G是无向图，v是图G中的顶点，与v
（ 4） 2， 2， 2， 2， 2
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【例】 求解下列各题:
(1) 图G的度数列为2，2，3，5，6，则边数m为
多少?
解：由握手定理： 2m=∑deg(v)=2+2+3+5+6=18，知m=9。
20
(2) 图 G 有 12 条边，度数为 3 的顶点有 6 个，余者
度数均小于3，问G至少有几个顶点？ 解：由握手定理∑deg(v)=2m=24，度数为3的顶点 有6个占去18度，还有6度由其余顶点占有;
有向完全图各顶点的入度与出度是多少？
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四、 子图 【定义】在图G中删去一些边或顶点后所得的 图称为图G的子图。
删边：删去图中某一条边，但仍保留这条边的两个 端点。 删点：删去图中某一点以及与这个点关联的所有边。
28
29
【定义】由图G中删去一些边后所得到的子图称为 图G的生成子图。
【定义】在图G中仅删去一个顶点后所得的子图称 为图G的主子图。
定理
（u≠v）存在通路，则从u到v存在长度
小于等于n-1的基本通路。 在一个n阶图中，若从顶点u到自身存在 回路，则从u到自身存在长度小于等于n 的基本回路。
55
三、图的连通性
若从图的结点u到v存在一条路, 则称u到 v是可达的 (accessible) 。
定义5.1.8
由于结点v到v总存在一条长度为0的路, 因此规 定：任意结点v可达v自身。
{f，w，s，h}，{f，w，s}，{f，s，h}， {f，w，h}，{f，w}，{f，s}，{f，h}， {w，h}，{f}，{w}，{s}，{h}。
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渡河过程中所有可能的安全状态：
原岸 {f，w，s} 对岸 {h }
{f，w，s，h} { } {f ， s ， h }
{f，w，h}
结束 状态 初始 状态
41
【例】 下图中 G 是G相对于K5的补图。
42
对于补图,显然有以下结论
(1) G与G互为补图，即 GG
( 2) E (G ) E (G ) E ( K n ) E (G ) E (G )
(3) n阶完全图与n阶零图互为补图
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第2节 图的连通性
44
一、通路与回路
右图是中国铁路交 通图的一部分，旅客乘 火车旅行，相当于从一 个结点出发，沿着一些 边连续移动到另一个结 点，这就引出了通路的 概念。
定义
33
直观理解:
G1 G2是指其中一个图仅经过下列两种变
换可以变为另一个图: (a) 挪动结点的位置； (b) 伸缩边的长短。
两个图同构的必要条件:
（1）结点数目相同； （2）边数相同； （3）度数相同的结点数相同。
34
例：
35
例：
36
【示例】 下图中，G1G2，其中
f：V1→V2，f（vi）= ui（i=1，2，…，6）。
问题转化为：
n阶简单无向图G中必有两个顶点的度数相同。
22
（2）有向图中顶点的度数
【定义】设图G是有向图，v是G的顶点，以v为始点
的有向边的条数称为v的出度，称为deg+(v), 以v为终 点的有向边的条数称为v的入度，称为deg-(v)。
例： deg+(a)=2 deg+(b)=0 deg+(c)=1 deg+(d)=2 deg+(e)=2
39
在图的集合上定义二元关系R： 对于图G1、G2，G1RG2当且仅当G1和G2同构， 称R为图的同构关系。 容易证明，图的同构关系是等价关系。
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六、补图
【定义】 G为n阶简单图，由G的所有顶点和 能使 G 成为完全图的添加边所构成的图称为 G 的相 对于完全图的补图，简称G的补图，记作 G 。
2) 边序列
v1e7 v1e1v2e3v3 v1v1v2v3 e7 e1e3
v3v2v2v3v1 e3e2e3e4
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【例】一个人带着一只狼、一只羊和一捆草要渡
河，由于船太小，人做摆渡者一次只能运送一个
“乘客”，很显然，如果人不在，狼要吃羊，羊要
吃草，问人怎样才能把它们安全地渡过河去？
49
解：这是通路问题的一个典型实例。用f表示人， w表示狼，s表示羊，h表示草。 集合{f，w，s，h}中能安全在一起的子集有：
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二、回路
定义
1）起点与终点相同的通路(长度 1)称为 回路(circuit)。 2）边不重复的回路称为简单回路。 3）除起点重复一次外, 别的结点均不重 复的简单回路称为基本回路或环(cycle)。
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v0到v0的回路：
简单回路，也 是基本回路
v0
简单回路， 非基本回路
v0
54
在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v
8
1、图绘制的几点说明:
(a)结点或顶点，常用一个实心点或空心点表示，但在
实际应用中还可以用诸如方形、圆形、菱形等符号。
(b)边的表示：

无向边，例： e3 = （v3,v4） = （v4,v3） e3 v3 v4 有向边(弧)，例： e8 = <v2,v3> e8 v2 v3
起点 终点
9

2、图的基本术语
出严格的证明(Euler图)。
1736年，欧拉对七桥问题的抽象和论证思想，
开创了图论的研究，这一年可以看成是图论的元年。
5
二、Hamilton环球旅行游戏
1895年，Hamilton设计一个“环球旅行”游戏：
在一个正12面体的20个顶点上各标志一个城市，
如果从一城市出发，沿正12面体的棱行走，每个城 市恰好经过一次，再回到出发点，则算旅行成功。
有向图：图中各边都是有向边
无向图：图中各边都是无向边
混合图：图中既有有向边又有无向边
无向图
有向图
10
顶点与边的关联：若从结点u到结点v有边l，则称边l 与结点u和v相关联(incident) 。
顶点与顶点的邻接：若从结点u到结点v有边，则结 点u和v互为邻接顶点。
u
l
无向图
v
u
l
有向图
v
无向图边与边的邻接：有公共端点的边互为邻接边
北京 沈阳
兰州 成都
天津 西安 武汉 重庆 长沙 厦门 台北 广州 郑州 上海
昆明
高雄
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一、通路
定义
在任意一个图G = (V, E) 中，称G中结点
与边交替出现的序列L：
L : v0e1v1e2v2 ...vi 1ei vi ...envn
通路的起点 为从v0到vn的一条通路或路径。 通路的终点 ei的起点 ei的终点
25
三、特殊图
【定义】在n阶无向简单图中，如果任意两个不同的顶 点之间都有一条边关联，则称此无向简单图为无向 完全图，记作Kn。
【定理】在 n阶无向完全图 Kn中，共有n(n-1)/2条边。 无向完全图 K 的边数是多少？
n
26
三、特殊图
【定义】在n阶有向图中，如果任意两个不同的顶点 之间都有两条方向相反的有向边关联，且每一个 顶点都有自回路，则称此有向图为有向完全图。
第六章 图
《离散数学基础》——谢胜利
1
图论问题
煤气管道的铺设问题。现为城市的各小区之间铺设煤气 管道(如下图所示)，对 n 个小区只需铺设 n-1 条管线，由于地 理环境不同等因素使各条管线所需投资不同，如何使投资成 本最低？
1 B 5 2 4 D 10
A
1
A 3 3 F
7 3 6
3 F 8 E
B 2 D
30
子图示例:
31
五、图的同构
由于在画图的图形时，顶点的位置和边的几何 形状是无关紧要的，因此表面上完全不同的图形可 能表示的是同一个图。
32
为了判断不同的图形是否反映同一个图形的性质，
我们给出图的同构的概念。
设有两个图G1=(V1, E1)，G2=(V2, E2)， 如果存在着双射：V1→V2，使得 (u,v)∈E1当且仅当 ( (u), (v))∈E2 且边的重数相同，则称图G1与G2同构， 记作 G1 G2。
46
v3
e5
e4
v1
e7
v4
e3 v2
e4
e6 v1
e5 e2
v3
e3
e1
v1e7 v1e1v2e3v3
v2
e2 v3e3v2e2v2e3v3e4v1
e1
通路的长度： 一条路中所包含的边数。对于权重图， 通路的长度为通路中各边的权重之和。
47
路的简记：
v3e3v2e2v2e3v3e4v1
1) 结点序列
E
2
第1节 图的基本概念
3
6.1 图的基本概念
6.1 图的起源 一、哥尼斯堡七桥问题 18 世纪的东普鲁士有个哥尼斯堡城，在横贯全城 的普雷格尔河两岸和两个岛之间架设了7座桥，它们 把河的两岸和两个岛连接起来。从河岸或小岛出发， 七座桥每座桥恰好通过一次，再回到原地，是否可 能？
4
数学大师欧拉对七桥问题给出否定回答，并给
而由题意，其余顶点的度数可为0，1，2; 当均为 2 时所用顶点数最少，所以应有 3 个顶点 占有此6度，即G中至少有9个顶点。