第三章时域响应分析
瞬态响应及误差分析(时域分析法)
10K O 10K O K OG ( S ) 10K O 1 10K H ( s) 0.2s 1 0.2 1 K H G ( s) 1 10K H 0.2s 1 10K H s 1 0.2s 1 1 10K H 10K O 1 10K K * 10 K O 10 0.2 H T * 0.02 K H 0.9 1 10K H
12
3. 选取试验输入信号的原则：
选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况； 形式简单，便于用数学式表达及分析处理，实际中可 以实现或近似实现； 应选取那些能够使系统工作在最不利的情形下的输入 信号作为典型试验信号；
•如控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温 调节系统 。 •如控制系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号 作为实验信号 •如控制系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线 信号； 宇宙飞船控制系统 •如控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号
特征点： 1 A点 : xo (T ) 0.368 xo (0) ） 2）零时刻点： xo (t )
1 T
2e
t T t 0
1 2 ; x o ( 0) T T
24
1
一阶系统单位脉冲响应的特点： 1. 瞬态响应：(1/T )e –t/T；稳态响应0； 2. 瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的 系统，其响应速度慢于时间常数小的系统。 3. 输入试验信号仅是为了识别系统特性，系统特性只取 决于组成系统的参数，不取决于外作用的形式。 4. xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减。 5.
量从初始状态到稳定状态的响应过程。
稳态响应：当某一输入信号的作用下，系统的响应
第3章_时域瞬态响应分析_3.2一阶系统的瞬态响应
(t ≥ 0)
1 斜率 − 2 T
1 0.368 T
1 − t /T xo (t ) = e T
T
一阶系统三种典型输入信号及响应关系： 一阶系统三种典型输入信号及响应关系：
xi (t ) = t
输 入
xt (t ) = t − T + Te x1 (t ) = 1 − e 1 1 −T t xδ (t ) = e T
x0(t) 1
1/T
xo(t)=1-e-t/T
86.5%
0
63.2%
95.0%
98.2%
T
2T
3T
4T
t
特点 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 曲线上升到0.632的高度 。 反过来 ， 的高度。 （ 2 ） 经过时间 T ， 曲线上升到 的高度 反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间 ， 的时间， 如果用实验的方法测出响应曲线达到 的时间 即是惯性环节的时间常数。 即是惯性环节的时间常数。 经过时间3 响应曲线达稳定值的95 95％ （3）经过时间 3T～ 4T，响应曲线达稳定值的95％～ 98％ 可以认为其调整过程已经完成， 98 ％ ， 可以认为其调整过程已经完成 ， 故一般取调 整时间( 整时间(3～4)T。 响应曲线的切线斜率为1/T。 （4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 。
注意： 该性质只适用于线性定常系统， 注意 ： 该性质只适用于线性定常系统 ， 不适用于 线性时变系统和非线性系统。 线性时变系统和非线性系统。
1 T T = 2− + s s s+ 1 T
单位斜坡响应为 x0 (t ) = t − T + Te
第三章 时域瞬态响应
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
机械工程控制基础_第三章
将初始条件带入（2）（3）可解得：
F 1 C1 ，C2 y(0) n k 1-(/n )2
y(0)
整理：
自由响应（通解）
y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt
积 分 关 系
3.3 一阶系统的时间响应分析
一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的 控制系统称为一阶系统。 一般形式为：
Ty(t ) y(t ) u (t )
1 G(s) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数。
3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应。
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
注意：
1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y(t ) L1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2）由
响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0；
3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t )，则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )
Y ( s ) G ( s )U ( S ) 1 1 1 1 Ts Ts 1 T 1 T T 2 2 2 2 2 Ts 1 s s (Ts 1) s (Ts 1) s s (Ts 1) s s s 1 T
y(t ) L [Y (s)] t T Te
δ函数的重要性质
结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于 传递函数的拉氏逆变换
第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案
第三章系统的时间响应分析机械⼯程控制基础教案Chp.3时间响应分析基本要求(1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统⾃由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。
(2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常⽤的典型输⼊信号及其特点。
(3) 掌握⼀阶系统的定义和基本参数，能够求解⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握⼀阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。
掌握线性系统中，存在微分关系的输⼊，其输出也存在微分关系的基本结论。
(4) 掌握⼆阶系统的定义和基本参数；掌握⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；掌握⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(5) 了解主导极点的定义及作⽤；(6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
(7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。
重点与难点重点(1) 系统稳定性与特征根实部的关系。
(2) ⼀阶系统的定义和基本参数，⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(3) ⼆阶系统的定义和基本参数；⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
难点(1) ⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(2) 系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
建⽴数学模型后进⼀步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。
第三章 时域响应
第三章线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法本章主要内容：时域分析的提法（概念，时域性能指标）一阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析）二阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析）控制系统的一般分析（稳定性分析稳态分析动态分析）3.1 时域分析的提法3.1.1 时域分析的基本思想时域分析法是控制系统常用的一种分析方法。
该方法直观，容易理解。
3.1.2 时域分析问题的提法时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。
稳定稳定性能系统的分析包括三个方面：稳态稳态性能动态动态性能线性控制系统稳定性的定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。
反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定。
在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指：时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称为系统的的稳态响应。
反映系统动态过程的性能称为系统的动态性能。
描述系统动态性能的指标称为动态指标。
3.1.3 系统的时域响应∙系统的数学模型是微分方程描述时∙系统的数学模型是传递函数描∙当系统的数学模型是别的形式是，可转化为上面两种形式求解。
上面的两种形式是时域分析中常用的形式。
3.1.4性能指标的时域描述（性能指标，性能指标的定量化）3.1.4.1 稳定性描述控制系统的稳定性，是控制系统能正常工作的必要条件控制系统在实际工况中，总会受到内部和外界一部分因素的扰动。
例如负载或能源的波动、系统参数的的变化、环境条件的改变等。
对于不稳定的系统，当其受到这些扰动，即使这些扰动很弱，持续时间很短，照样会使系统中的各物理量偏离其原来的平衡点，并随时间的增加而发散，以至在扰动消失后，系统也不会再恢复到原来的工作点，显然不稳定系统是无法工作的。
为了使控制系统受到扰动后仍能稳定工作，需要分析并找出保证系统稳定工作的条件。
第三章系统时域响应分析
s1 s2
[s平面]
系统可视为两个一阶系统的串或并联
图1）
2） 1,有两个相等负实根，
s ,
1,2
n
系统称为临界阻尼系统。
s1，2
2020/8/17
jω
图2）
3）0 1,有两共轭复根，
s 2
j 1
,
1,2
n
n
系统称为欠阻尼系统。
4） 0,有两个共轭虚根，
s j ,
1,2
)
p
(
2
1
)sin(
n
d tp )
t
n
p
e
cos(
2
d tp )
1
0
d
2020/8/17
t t sin ) (co s ) 0 ( .
n dp
d
dp
t 当cos( )0 (1) dp
2
2
1
1
t 有tg(
) d n
dp
tg
n
n
t k， dp
t t 由定义取 。
,
n
(s)1 s2 n
Xo s s s
s s 1
2
1
1
s 2 21
21 21
ss1
ss2
xo
e e (t)1
xo
s s 2
st 1
st 2
n （ ）1
2
1 1
2
2020/8/17
0
t
s 2)1,系统为临界阻 尼系 统 。，
1,2
n
n
X(s)1s2
o
s s
2020/8/17
2、描述欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特性， 常用的性能指标：
第三章 时域瞬态响应分析
特征方程的根为：
2 s1,2 ξωn jωn 1 -ξ
上式中，令： σ＝ξωn , 衰减系数
2 ωd ωn 1 ξ , 阻尼振荡频率
三、二阶系统的时域分析
31
1、定义（续）
二阶振荡环节为：
2 n 2 ωn G s 2 2 s ξωn jωd s ξωn jωd s 2 n s n
注意：
–系统的时域性能指标往往选择阶跃函数作为输入来定义。 –分析系统的频率特性一般用正弦函数作为典型输入信号。
一、时域响应及性能指标
6
（二）、典型输入信号
• 单位阶跃函数 1(t)
• 单位脉冲函数 δ(t)
• 单位加速度函数 (½)t2
• 单位斜坡函数 t
• 正弦函数 A sin(wt+ø)
一、时域响应及性能指标
二、一阶系统的时域分析 20
3、一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入x i t δt的象函数为X i s 1，则
1 X o s Gs Xi s 1 Gs 1 Ts 1 s T 1 1 Tt 进行拉氏反变换：x o t e 1t T 1 T
特征方程的特征根为：
2 s1,2 jωd ξωn jωn 1 -ξ
分类讨论： 1） ξ 0，负阻尼，两个正实 部的特征根，系统发散 。 2） ξ＝0 ，零阻尼，一对纯虚根 ，瞬态响应为等幅振荡 。 3） 0 ξ 1，欠阻尼，一对共轭 复根，位于左半s平面 。 4） ξ＝1 ，临界阻尼，两个相等 的负实根。 5） ξ 1，过阻尼，两个不等 的负实根。
三、二阶系统的时域分析 32
2、二阶系统单位阶跃响应
1 单位阶跃输入x i t 1t的象函数为X i s ，则 s 2 ωn 1 X o s Gs Xi s 2 2 s 2ξωns ωn s ωn 1 ＝ s ξωn jωd s ξωn jωd s
第三章实验 典型系统的时域响应和稳定性分析
典型系统的时域响应和稳定性分析一、 实验目的1．研究二阶系统的特征参量（ξ、ωn ）对过渡过程的影响。
2．研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。
3．熟悉Routh 判据，用Routh 判据对三阶系统进行稳定性分析。
4. 学习用电路系统研究一般控制系统的仿真实验方法二、 实验设备PC 机一台，Matlab ，Multisim (或PSpice)。
三、 实验原理及内容1．典型的二阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：见图2－1图2－1(2) 对应的模拟电路图图2－2(3) 理论分析系统开环传递函数为：)1S T (S T K )1S T (S T K )S (G 101101+=+=；开环增益01T K K =。
(4) 实验内容先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电阻R 的理论值，再将理论值应用于模拟电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性，应与理论分析基本吻合。
在此实验中(图2－2)，s 1T 0=， s T 2.01=，R 200K 1= R 200K =⇒系统闭环传递函数为：KS S KS S S W n n n 5552)(2222++=++=ωζωω 其中自然振荡角频率：R1010T K 1n ==ω；阻尼比：40R1025n =ω=ζ。
2．典型的三阶系统稳定性分析 (1) 结构框图图2－3(2) 模拟电路图图2－4(3) 理论分析系统的开环传函为:)1S 5.0)(1S 1.0(S R 500)S (H )S (G ++=(其中R 500K =)，系统的特征方程为:0K 20S 20S 12S 0)S (H )S (G 123=+++⇒=+。
(4) 实验内容实验前由Routh 判断得Routh 行列式为：S 3 1 20 S 2 12 20K S 1 (-5K/3)+20 0S 0 20K 0为了保证系统稳定，第一列各值应为正数，所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧>>+-0K 20020K 35得： 0 < K < 12 ⇒ R > 41.7KΩ 系统稳定K = 12 ⇒ R = 41.7KΩ 系统临界稳定 K > 12 ⇒ R < 41.7KΩ 系统不稳定四、 实验步骤1. 实验中阶跃信号幅值为1V 左右。
《自动控制理论》第三章 重点与难点
42第3章 线性系统的时域分析法重点与难点一、基本概念1. 稳定性（1）定义：系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能够恢复到原来的平衡状态，则称系统稳定，反之称系统不稳定。
（2）系统稳定的充要条件：系统特征根全部具有负的实部。
（3）代数稳定判据：①必要条件：特征多项式各项系数均大于零。
②古尔维茨判据：由系统特征方程各项系数所构成的各阶古尔维茨行列式全部为正。
③劳斯判据：由系统特征方程各项系统列出劳斯表，如果劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定；如果表中第一列中出现小于零的数，则系统不稳定；第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。
（4）系统的稳定性只与系统自身结构参数有关，而与初始条件、外作用大小无关；系统稳定性只取决于系统特征根（极点），而与系统零点无关。
（5）结构不稳定概念：并非由于系统参数设置不当，而是由于系统结构原因导致的不稳定。
2. 误差及稳态误差（1）误差的两种定义及其相互关系：从系统输入端定义的误差)(s E 如图3.1（a ）所示，从系统输出端定义的误差)(s E '是系统输出量的希望值)(s R '与实际值)(s C 之差。
前者在实际系统中是可量测的，具有一定的物理意义；而后者一般只有数学意义。
将图3.1（a ）等效变换为图 3.1（b ），可以看出)(s E 与)(s E '之间有对应关系：)(/)()(s H s E s E ='。
对于单位反馈系统来说，这两种定义是等价的。
（2）稳态误差ss e 是系统的误差响应达到稳态时的值，是对系统稳态控制精度的度量，是系统的稳态指标。
（3）计算稳态误差的方法：1）一般方法：i.判定系统稳定性（对于稳定系统求ss e 才有意义）；ii.按误差定义求出系统误差传递函数)(s e Φ或)(s en Φ；iii.利用终值定理计算稳态误差：)]()()()([lim 0s N s s R s s e en e s ss Φ+Φ⋅=→。
第三章 时域瞬态响应分析
第三章时域瞬态响应分析3.1 典型输入信号和性能指标3.2 一阶系统的瞬态响应3.3 二阶系统的瞬态响应3.4 高阶系统的瞬态响应时域分析法：根据系统在一定的输入信号作用下其输出随时间变化的关系，分析系统稳定性、瞬态性能和稳态性能的方法。
一、瞬态响应和稳态响应1.瞬态响应：系统在输入信号作用下，输出量从初始状态过渡到稳定状态的响应过程。
决定于：①系统结构参数；②输入信号的形式；③初始状态。
2. 稳态响应：信号输入后，时间趋向于无穷大时系统的输出状态。
x o(ωn t)x i(ωn t)=1(t)ωn t3. 时域响应分析中，往往选择典型输入信号①数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析和综合系统。
②典型输入下的响应往往作为分析复杂输入时系统性能的基础；③便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。
任一时间函数信号输入时系统的响应①任一时间函数信号x i (t )可分解为一系列脉冲信号【x i (τk )Δτ】的叠加。
②线性系统对x i (t )输入的响应x o (t )等于这一系列脉冲信号各个单独作用下系统响应【x i (τk )Δτ g (t -τk )】的叠加。
()()()()()()()1o i i i 0lim d *n tk k n k x t x g t x g t x t g t ττττττ-→∞==∆⋅-=-=∑⎰结论：任一时间函数信号输入下，系统的输出响应x o (t )为输入信号x i (t )与脉冲响应函数g (t )的卷积，即：x o (t ) =x i (t ) *g (t )。
()i x t ()o x t ()()i k k x g t τττ∆⋅-()()()1o i 0n k k k x t x g t τττ-==∆⋅-∑()i k x τx i (t )x o (t )=x i (t ) *g (t )5. 正弦信号()i sin 000a t t x t t ω>⎧=⎨<⎩ 系统分析时，典型输入信号的选择：视系统具体工作状况而定。
第三章 控制系统的时域分析—1引言及一阶系统时域分析
稳定性指标（收敛、发散）
稳定是控制系统能够工作的首要条件，只有动态过程收 敛 (响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过 程中，振荡逐渐减弱并稳定在某一状态。反之则称为发散。
T
量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都
不会超过其稳态值。由于该响应曲线具有非振荡
特征，故也称为非周期响应。
1 斜率 1
T 0.632
C(t) 0.95
T
3T
图中响应曲线的初始斜率（t=0时）为 1/T。如果系统保 持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达 到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经
过T时间后，输出量c(t)从0上升到稳态值的63.2%。经过 3T-4T时， c(t)将分别达到稳态值的95%-98%。可见，时 间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升 越快，响应过程的快速性也越好。
c(t) 1 exp( t ) T
由上式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬 态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到 稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间 （即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差 为5%或2%。
t
c(t)
c(t) 1 e T
ess
lim
t
e(t)
0
1
1 T
0.632
动态性能指标：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
td 0.69T tr 2.20T
t
三章时域瞬态响应
则
Xo s
Xo Xi
s s
Xi
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
xo
(t)
1 T
1t
eT
1t
xo(t)
1 T
1t
eT
1t
3.2节小结
一阶系统的瞬态响应：
1. 单位斜坡响应 xot(t)tTTeT 1t 1t 2. 单位阶跃响应 xo1(t)1eT1t 1t
1
1
1 2( 2
2 11) 2( 2
2 11)
s s n n 2 1 s n n 2 1
进行拉氏反变换，得
x o (t) 1 2212 1 1e 2 1 n t 2212 1 1e 2 1 n t 1t
n
1 2
3. 求取最大超调量
Mp
将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得
Mp xo (tp ) 1
=
1-
-n
e
n
1- 2
sin
arctan
1- 2
=e =e
-n
n
1- 2
xo
(t)
1t 1e T
1t
常数
故 T1lgetlg1xo(t)
据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。
Lg[1-xo(t)] t
第三章 系统的时间响应分析
第三章 系统的时间响应3-1 什么是时间响应？答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。
按响应的性质分为强迫响应和自由响应。
对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。
3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。
3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510s i n (44w t t t =++）；);t-3(3)w(t)=0.1(1-e(4)()0.01w t t= 解：（1）11()()()()()00w t x t L X s L G s X s i --⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦ ()1X s i=(),()()G s G s L w t =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25t G s L w t L e s -⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦((2)()()G s L w t =⎡⎤⎣⎦5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦5452()2222161616s s s s s s =++=++++113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎢⎥==-=-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012G s L w t L t s ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3.5解11()()110.256min.t TG s xt e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，1(2)(),()10121111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s ===+⎡⎤⎡⎤---⎢⎥==-+=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为一阶系统在输入作用下的时间响应()0.256()()()(1) 2.56(1)tt tT t T Te T e t r t x t At AAT e e or----+=-=-=-=-当t=1min e(t) = 2.53度3.6解解：（1）该系统的微分方程可以表示为o i u iR u += ω⎰=i d t C u o 1其传递函数为 111111)()()(+=+=+==Ts RCs CsR Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。
第三章 时域瞬态响应分析
n n1
2 n
2 2
j
1 arccos arctan
2
0
s
j n
j
n
s
n j d
0
j
s
0
j
s
0
j n
n
n
2. 临界阻尼 ζ =1 此时,二阶系统的极点是二重负实根.
1 s 1 ,2 n T 1 1 n X ( s ) o 2 s ( s ) s n n 进行拉氏反变换,得
2 Xo(s) n 2 Xi (s) (s ) n
ζ为阻尼比;ωn=1/T为无阻尼自振角频率.
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入 其象函数为 则 xi (t) =1(t) X i (s) = 1 /s
根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论.
1. 欠阻尼 0< ζ <1 此时,二阶系统的极点是一对共轭复根.
s j 1 , 2 n d
t
由此可见,一阶系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为T.显然, 时间常数越短,稳态误差越小.
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入
xi (t) =δ(t) X i (s) = 1
其象函数为 则
进行拉氏反变换
三种典型输入信号及响应关系
输 入
xi (t) t x t) 1 ( t) i( x t) ( t) i(
由于δ函数拉氏变换等于 1,因此系统传
递函数即为脉冲响应函数的象函数.
当系统输入任一时间函数时,如下图所示,可将输入信号分割为n个脉冲.
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1 (T1s 1)(T2 s 1)
1 2 1) n n T1 1 n n 2 1) T2
第三章 时域响应分析
式中： 1
1 n ( 1); n ( 2 1) T1 T2
y(t ) 1 e
t0
第三章 时域响应分析 得出如下重要结论：
(1)一阶系统总是稳定的，无振荡； (2)系统响应由两部分组成，稳态响 t / T e 1(t ) 组成,瞬态响 应1(t)和瞬态响应 应随着时间的增加逐渐衰减为0； (3)经过时间T曲线上升到稳态值的 0.632高度。反之，用实验方法测出的时 间响应曲线到达稳态值的0.632时所用的 时间，即是一阶系统的时间常数T；
2
1、当0< ξ <1时，此时系统特征方程具有一对负实 部的共轭复根 s j 1 2
1, 2 n n
系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为 欠阻尼状态。(如图a)
s1
wn
0
s2
(a)
s1, 2
(b )
0
s1
s2
s1
(c )
0
s2
(d )
0
第三章 时域响应分析
2、当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根， 称为临界阻尼状态。（如图b） 3、当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实 根，称为过阻尼状态。（如图c） 4、当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单 位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。 （如图d） 分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻 尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。
第三章 时域响应分析 第一节 引言
时域分析方法是根据系统的微分方 程，采用拉氏变换法直接解出系统的时 间响应，再根据时间响应来分析系统的 稳定性、准确性和快速性能。用时域分 析系统性能具有直接、准确、易于接受 的特点，是经典控制理论中进行系统性 能分析的一种重要方法。
第三章 时域响应分析 第二节 典型输入信号
第三章 时域响应分析
重要结论：
(4)经过时间3T-4T，响应曲线已达到稳态值 的95%-98%，可以认为其调整过程已经完成，故 一般取调整时间为（3-4）T ； (5)在t = 0处，响应曲线的切线斜率为1/T ; (6)若通过实测某系统单位阶跃响应yo(t)，将 [1-yo(t)]标在半对数坐标纸上，如果得出一条 直线，则可判定该系统为一阶环节。
第三章 时域响应分析
三、一阶系统的单位脉冲响应一阶系 统的单位斜坡响应.doc
一阶系统的典型输入响应特性与时间常 数密切相关，时间常数越小、单位脉冲响应的 衰减越快，单位阶跃响应的调整时间越小，单 位斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。 例3-1 p79
第三章 时域响应分析
第四节 二阶系统的瞬态响应分析
第三章
时域分析法
一、一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入Xi(t)=1(t)，对其进行拉氏 变换得，Xi(S)=1/S，则
1 1 1 T 1 1 Y (S） G(S ) X i (S ) TS 1 S S TS 1 S S 1 T
t T
对上式进行拉氏反变换，得
二阶系统传递函数的标准形式,即：
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
式中，ξ为系统的阻尼比 wn为无阻尼振荡频率，简称固有频率 （也称自然振荡频率）
第三章 时域响应分析
闭环特征方程为：
s 2n s 0
2 2 n
其特征根即为闭环传递函数的极点为
s1, 2 n n 1
第三章 时域响应分析
二、二阶系统的单位阶跃响应
1、过阻尼情况。 当ξ>1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不 相等的负实根，这时闭环传递函数可写为
2 n C ( s) 1 / T1T2 2 2 R( s) s 2 n s n ( s 1 / T1 )(s 1 / T2 )
第三章 时域响应分析 第三节 一阶系统的时域响应
控制系统的时间响应由两部分组成：瞬态 响应和稳态响应。瞬态响应是指系统从初始状 态到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时 间t趋于无穷大时，系统的输出状态。 一阶惯性系统是一阶系统的典型代表，其 传递函数标准形式是： 1
G(S ) TS 1
拉氏反变换得：
1 1 t / T1 h(t ) L [C ( s)] 1 e e t / T2 T2 / T1 1 T1 / T2 1
为便于进行理论分析与试验研究，对典型 输入信号有如下要求： (1)能够使系统工作在最不利的情况下； (2)形式简单，便于解析分析； (3)在实际中可以实现或近似实现。 工程中经常采用的典型输入信号有单位脉 冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、谐和 函数和单位加速度函数等。 其数学描述与图形如图3-1所示。
在时域进行分析时，为了比较不同系统的 控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入 信号，建立分析比较的基础，这些信号称为控 制系统的典型输入信号。因为系统对典型输入 信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响 应特性之间存在着一定的关系，所以采用典型 输入信号来评价系统的性能是合理的。
第三章 时域响应分析
第三章 时域响应分析 二、一阶系统的单位斜坡响应
一阶系统的单位斜坡响应.doc 当 t 充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号 的误差为T。显然，惯性环节的时间常数越小， 则该环节的稳态误差越小。 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始 逐渐变为等速变化的曲线，稳态输出与输入同 斜率，但滞后一个时间常数，即存在跟踪误差， 其数值大小也等于T。
2 2 n
1 且设T1 T2 T1T2
过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数 不同的一阶系统的串联。 当系统的输入信号为单位阶跃函数时，
1 R(s) s
第三章 时域响应分析
则系统的输出量为
1 / T1T2 C ( s) 1 R( s ) ( s 1 / T1 )(s 1 / T2 ) s