九年级圆 几何综合专题练习(解析版)

2
1
S△BOD=
BC（OH+DG）= 1
3
（8﹣x）×（3+
5
x2 8x 25
）= 3 （8﹣x）
2
2
x2 8x 25
2
5
×
x2 8x 25
∴y=
S S
ACO OBD
=
3
8
x
3 2
x
5
x
=
x2 8x
58 x
25
（0＜x＜8）
2
x2 8x 25
（3）①当 OB∥AD 时，如图 3，
∴CD=OD﹣OC=5﹣ x2 8x 25 ，
过点 DG⊥AB 于 G， ∵OH⊥AB， ∴DG∥OH， ∴△OCH∽△DCG，
∴ OH OC ， DG CD
∴DG= OH
CD
3
=
5
x2 8x 25
，
OC
x2 8x 25
∴S△ACO= 1 AC×OH= 1 x×3= 3 x，
2
2
【详解】 （1）证明：连接 OC，如图 1，
∵OA＝OB，AC＝BC， ∴OC⊥AB， ∵OC 过 O， ∴直线 AB 是⊙O 的切线； （2）解：连接 OC、DC，如图 2，
∵AB＝4AD， ∴设 AD＝x，则 AB＝4x，AC＝BC＝2x， ∵DF 为直径， ∴∠DCF＝90°， ∵OC⊥AB， ∴∠ACO＝∠DCF＝90°， ∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO， ∵OF＝OC， ∴∠AFC＝∠OCF， ∴∠ACD＝∠AFC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACF，
【答案】（1）见解析；（2） 5 5
【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得出 OC⊥AB，根据切线的判定得出即可； （2）连接 OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出 AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出
DC= 3 5 x，DF=3x，解直角三角形求出 sin∠AFC，即可求出答案． 5
∴∠CFE＝∠AFC，
∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝
DC DF
＝
35 5
x
5．
3x 5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关
系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关
键，难度偏大．
3．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上，连接 BC、BD，过点 B 的切线 AE 与 CD 的延长线交于点 A，OE//BD，交 BC 于点 F，交 AB 于点 E. （1）求证：∠E=∠C； （2）若⊙O 的半径为 3，AD=2，试求 AE 的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.
(2)分别作 OH⊥AB，DG⊥AB，用含 x 的代数式表示△ACO 和△BOD 的面积，便可得出函数
解析式.
(3)分 OB∥AD 和 OA∥BD 两种情况讨论.
【详解】
解：（1）∵OD 过圆心，点 D 是弧 AB 的中点，AB=8，
∴OD⊥AB，AC= 1 AB=4， 2
在 Rt△AOC 中，∵∠ACO=90°，AO=5，
∴AD=2AF= 14 ． 5
②当 OA∥BD 时，如图 4，过点 B 作 BM⊥OA 交 AO 延长线于点 M，过点 D 作 DG⊥AO，垂
足为点 G，
则由①的方法可得 DG=BM= 24 ， 5
在 Rt△GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，
∴GO=
DO2
Байду номын сангаасG2
=
7 5
，AG=AO﹣GO= 18 5
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3） 48 . 5
【解析】 试题分析：（1）连接 OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明： ∠E=∠C； （2）根据题意求出 AB 的长，然后根据平行线分线段定理，可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解. 试题解析：（1）如解图，连接 OB， ∵ CD 为⊙O 的直径， ∴ ∠ CBD＝∠ CBO＋∠ OBD＝90°， ∵ AB 是⊙O 的切线， ∴ ∠ ABO＝∠ ABD＋∠ OBD＝90°， ∴ ∠ ABD＝∠ CBO. ∵ OB、OC 是⊙O 的半径， ∴ OB＝OC，∴ ∠ C＝∠ CBO. ∵ OE∥ BD，∴ ∠ E＝∠ ABD， ∴ ∠ E＝∠ C；
过点 A 作 AE⊥OB 交 BO 延长线于点 E，过点 O 作 OF⊥AD，垂足为点 F，
则 OF=AE，
∴S= 1 AB•OH= 1 OB•AE，
2
2
AE= AB OH = 24 =OF， OB 5
在 Rt△AOF 中，∠AFO=90°，AO=5，
∴AF=
7 AO2 OF 2 = 5
∵OF 过圆心，OF⊥AD，
∴ AC AD DC x 1 ， AF AC CF 2x 2
∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC， ∵AD＝x， ∴DF＝4x﹣x＝3x， 在 Rt△DCF 中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，
解得：DC＝ 3 5 x， 5
∵OA＝OB，AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC，
∴ DC EC ，
∴CO= AO2 AC2 =3，
∴OD=5， ∴CD=OD﹣OC=2； （2）如图 2，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为点 H， 则由（1）可得 AH=4，OH=3， ∵AC=x， ∴CH=|x﹣4|， 在 Rt△HOC 中，∵∠CHO=90°，AO=5，
∴CO= HO2 HC2 = 32 | x 4 |2 = x2 8x 25 ，
（2）如图 2，设 AC=x， S ACO =y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域； S OBD
（3）若四边形 AOBD 是梯形，求 AD 的长．
【答案】（1）2；（2）y= x x2 8x 25 （0＜x＜8）;（3）AD= 14 或 6．
5(8 x)
5
【解析】
【分析】
(1)根据垂径定理和勾股定理可求出 OC 的长.
，
在 Rt△GAD 中，∠DGA=90°，
∴AD= AG2 DG2 =6
综上得 AD= 14 或 6． 5
故答案为（1）2；（2）y= x x2 8x 25 （0＜x＜8）;（3）AD= 14 或 6．
58 x
5
【点睛】
本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.
2．如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB， （1）求证：直线 AB 是⊙O 的切线； （2）OA，OB 分别交⊙O 于点 D，E，AO 的延长线交⊙O 于点 F，若 AB＝4AD，求 sin∠CFE 的值．
九年级圆 几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．在圆 O 中，C 是弦 AB 上的一点，联结 OC 并延长，交劣弧 AB 于点 D，联结 AO、BO、 AD、BD．已知圆 O 的半径长为 5，弦 AB 的长为 8．
（1）如图 1，当点 D 是弧 AB 的中点时，求 CD 的长；