1_1n维空间、点集、实数系

第一章函数与极限
1.1 n维空间点集实数系
1.2 映射与函数
1.3 极限
1.4 极限的运算
1.5 极限存在准则
1.6 无穷小阶的比较
1.7 函数的连续性
1.8 闭区间上连续函数的性质
1
初等数学–研究对象为常量，以静止观点研究问题。

高等数学–研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学。

分析基础：函数–研究对象
极限–研究方法
连续–研究桥梁
2
31.1
n 维空间点集实数系1.1.1n 维空间
序偶：具有固定次序的两个元素组成的集合。

例如A与B的Descartes （笛卡尔）乘积：
当B = A时，记为。

(,),,a b a A b B
∈∈(,)(,),a b c d a c b d
=⇔=={(,)|,}
A B a b a A b B ×=∈∈A B ×2
A
4
类似地，可以定义有限个非空集合的Descartes （笛卡尔）乘积：
当时，
称为中的一个点，为x 的第i 个坐标。

1,,n A A …1111(){(,,)|,1,,}
n n n
n i i A A A A A a a a A i n −××=×××=∈= ……,1,...,i A R i n ==11{(,,)|,1,,}n
n n i A A R x x x R i n ××==∈= ……1(,,)n x x =x …n
R i x
5
在中定义线性运算n 维线性空间线性运算：
距离：n
R ⇒11(,,)
n n x y x y x y +=++…1(,,)
n kx kx kx =…,,n
x y R k R ∀∈∈22
11(,)()()n n d x y x y x y =−++−
61.1.2n 维空间中的点集
1.邻域
设为点a 的邻域。

称a 为邻域的中心，为邻域的半径。

为点a 的去心邻域。

如不需要强调邻域的半径，可以用
表示，用表示。

,,0n a R R δδ∈∈>且(,){|||}U a x x a δδ=−<δ(,){|0||}
o U a x x a δδ=<−<δδo
a
δ
y x o a δy x
(,)U a δ()U a ()o U a (,)o U a δ数轴上的左δ邻域右δ邻域,),(a a δ−.
),(δ+a a
7
2.区域
设E 为一点集，P 为E 中的一个点，如果存在点P 的某一邻域，则称P 为E 的内点。

如果点集E 中的点都是内点，则称E 为开
集。

例如是开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的
点，也有不属于E 的点（点P 可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。

E 的边界点的全体称为E 的边
界。

开集连同它的边界一起称为闭集。

例如是闭集。

()U P E ⊂221{(,)14}E x y x y =<+<E P •E P •222{(,)14}E x y x y =≤+≤
8••设D是开集。

如果对于D内任何两
点，都可以用折线连结起来，且该
折线上的点都属于D，则称开集D是
连通的。

x y o x
y
o
连通的开集称为区域或开区域。

例
如E 1。

开区域连同它的边界一起称
为闭区域。

例如E 2。

区域⎧⎨⎩单连通区域：区域D内任何闭曲线所围的部分都属于D。

复连通区域：否则。

例如是单连通区域，E 1是复连通区域。

223{(,)4}E x y x y =+<
9对于点集E，如果存在正数M与某一定点A，使得对一切成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集。

例如是无界点集，
P E ∈||PA M ≤x
y o 4{(,)|0}E x y x y =+>E 1 E 2E 3 是有界点集。

3. 聚点
对于点集E和点A，若对于A的
任一个邻域，总存在异于A的E
中的点，则称A为E的聚点。

10注：
（1）内点一定是聚点。

（2）若E的边界点不属于E，则该边界点一定是
聚点。

例如，边界点
(0,0)是聚点。

（3）E的聚点可以属于E，也可以不属于E。

225{(,)|01}E x y x y =<+≤例如，}
10|),{(22≤+<y x y x (0,0) 是聚点但不属于集合。

例如，}
1|),{(22=+y x y x 边界上的点都是聚点也都属于集合。

1.1.3 实数系 正整数集合 – N* 整数集合 – Z 有理数集合 – Q 实数集合 – R 实数系具有完备性，即全体实数连续地充满整个数轴。

设X是一非空点集，若 ∃M 使得对于 ∀x ∈ X ，有 x ≤ M ， 称M为X的上界。

若 ∃m 使得对于 ∀x ∈ X ，有 x ≥ m ，称m 为X的下界。

若X既有上界又有下界，则称X有界，否则 称X无界。

上界和下界都不是唯一的。

可以给出最小的上界和最大 11 的下界。

上确界：数集X的最小的上界，记为 S = sup X ， 即 ∀x ∈ X 有 x ≤ S，且对于 ∀ε > 0 ，∃x0 ∈ X ， 使得 x0 > S − ε 。

下确界：数集X的最大的下界，记为 s = inf X ， 即 ∀x ∈ X 有 x ≥ s ，且对于 ∀ε > 0 ，∃x0 ∈ X ， 使得 x0 < s + ε 。

数集的上确界和下确界统称为确界。

确界定理 有上界（下界）的实数集一定有上确界 （下确界）。

12


补充： 集合之间的关系及运算 定义 设有集合 A , B , 若 x ∈ A 必有 x ∈ B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A ⊂ B . 若 A ⊂ B 且 B ⊂ A , 则称 A 与 B 相等, 记作 A = B . 例如 , N*⊂ Z ,
Z ⊂Q ,
Q⊂ R
显然有下列关系 :
(1) A ⊂ A ; A = A ; ∅ ⊂ A ( 2) A ⊂ B 且 B ⊂ C
A⊂C
13


定义 给定两个集合 A B，定义下列运算: 并集 A ∪ B = { x x ∈ A 或 x ∈ B } 交集 A ∩ B = { x x ∈ A 且 x ∈ B 差集 余集 直积
A∪ B
}
B A
A\ B
A∩ B
A \ B = {x x ∈ A且 x ∉ B}
c BA
= A \ B ( 其中B ⊂ A )
Ac BA
B
B
A × B = { ( x , y) x ∈ A , y ∈ B }
2 R× R R 为平面上的全体点集
特例:
记
A× B A
14


1.2 映射与函数 1.2.1 映射 引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
15


引例2. ∀ x ∈ R
y = x + sin x
y
y∈R
y=x y = x + sin x
y = sin x
o
x1
x2
x
引例3. C = { ( x, y ) x + y = 1 } (点集)
2 2
Y = { (0, y ) − 1 ≤ y ≤ 1 }
y Q
(点集)
P
∀点 P ∈ C
o
向 y 轴投影
投影点 Q ∈ Y
1x
16


定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 ∀ x ∈ X , 有唯一确定的 y ∈ Y 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X → Y .
X x
f
y
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y = f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f ( X ) = { f ( x) x ∈ X } 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
17


对映射
f : X →Y 若 f ( X ) = Y , 则称 f 为满射; 引例2, 3
X f
Y = f (X )
若 ∀ x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2 , 有 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) 则称 f 为单射;
引例2
f
X
Y
f (X )
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
18


说明: 映射又称为算子。

在不同数学分支中有不同的惯用 名称。

例如, f f 称为X 上的泛函 X (≠ ∅ ) Y (数集) f f 称为X 上的变换 X (≠ ∅ ) X f R X ( ∈ R且 X ≠ ∅ ) f 称为定义在 X 上的函数
19


逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 f : D → f ( D ) 为单射, 则存在一新映射 f −1 : f ( D) → D, 使 ∀ y ∈ f ( D) , f −1 ( y ) = x , 其中 f ( x) = y, 称此映射 f −1 为 f 的逆映射 . 习惯上 , y = f ( x) , x ∈ D 的逆映射记成
f
D
f −1
f ( D)
y = f −1 ( x) , x ∈ f ( D)
例如, 映射 y = x 2 , x ∈ (−∞ , 0 ] , 其逆映射为
y = − x , x ∈[ 0 , + ∞ )
20


(2) 复合映射 引例.
g D
手电筒
D1
f D2
D
复合映射
D2
21


定义. 设有映射链 g ∀x∈D f ∀ u ∈ D1
u = g ( x) ∈ g ( D) y = f (u ) ∈ Y = f ( D1 )
则当 g ( D) ⊂ D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 合映射 , 记作 y = f [ g ( x)] , 或 f g ( x), x ∈ D.
g D x
g ( D)
D1
f
u = g ( x) f g
Y = f ( D1 )
y = f (u ) = f [ g ( x )]
注意: 构成复合映射的条件 g ( D) ⊂ D1 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
22


1.2.2 函数 1. 函数的概念 定义 设非空数集 D ⊂ R , 则称映射 f : D → R 为定义在 D 上的函数 , 记为 y = f ( x) , x ∈ D 因变量 自变量 定义域
f ( D ) 称为值域 函数图形: C = { ( x , y ) y = f ( x) , x ∈ D
y y
}
⊂ D × f ( D)
a x b ( D = [ a, b] )
23
x


∀x∈D
(定义域) • 定义域
f
y ∈ f ( D) = { y y = f ( x), x ∈ D }
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 例如, 反正弦主值 y = f ( x) = arcsin x 定义域 D = [−1, 1 ] , 值域 f ( D) = [− π , π ] 2 2
x, x ≥ 0 ⎧ 又如, 绝对值函数 f ( x) = x = ⎨ ⎩− x, x < 0 定义域 D = R 值 域 f ( D ) = [0 , + ∞ )
y y= x
o
24
x


⎧ 2 x , 0 ≤ x ≤1 例 已知函数 y = f ( x) = ⎨ ⎩1 + x , x > 1
1 ) , 并写出定义域及值域 . ) 求 f (1 f ( 及 2 t
1) = 2 f ( 解: 2 1 2
=
2
1 1+ , 0 < t < 1 t 1 f (t ) = 2 t ≥1 , t 定义域 D = [0 , + ∞)
值 域 f ( D ) = [0 , + ∞ )
t ≤ 0时
函数无定义
25


当D ∈ R n 时，可以类似的定义n元函数
z = f ( x1 ,… , xn ), ( x1 ,… , xn ) ∈ X ⊂ R n
26


2. 函数的几种特性 设函数 y = f ( x) , x ∈ D , 且有区间 I ⊂ D . (1) 有界性 ∀ x ∈ D , ∃ M > 0 , 使 f ( x) ≤ M , 称 f ( x) 为有界函数. ∀ x ∈ I , ∃ M > 0 , 使 f ( x) ≤ M , 称 f ( x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P10 ) (2) 单调性 ∀ x1 , x2 ∈ I , 当x1 < x2 时 y 若 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调增函数 ; x1 x2 x 若 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调减函数 .
27


(3) 奇偶性
∀ x ∈ D, 且有 − x ∈ D,
若 f ( − x) = f ( x) , 则称 f (x) 为偶函数; 若 f (− x) = − f ( x) , 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则当
y
−x o
y x e
x x
f ( x)为奇函数时, 必有 f (0) = 0.
例如,
e x + e− x y = f ( x) = 偶函数 2
记
e
−x
y = ch x
= ch x
双曲余弦
o
x
28


y
e −e 又如, y = f ( x) = 2
记
x
−x
奇函数
e
−x
ex
y = sh x
x
= sh x
双曲正弦
o
sh x e x − e − x = x 再如, y = ch x e + e − x
记
奇函数
y 1
= th x 双曲正切
o −1
y = th x
x
29


(4) 周期性
∀ x ∈ D, ∃ l > 0 , 且 x ± l ∈ D, 若 f ( x ± l ) = f ( x) 则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y f (t)
π −2π −
o π 2π
x
周期为 π 例如, 常量函数 f ( x) = C 狄里克雷函数 f ( x) =
π −π o −2 ω ω
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
π 2π ω ω π 周期为 2 ω
t
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
30


31
3. 反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质
若函数)(:D f D f →为单射,则存在逆映射
D
D f f
→−)(:1
习惯上,D x x f y ∈=,)(的反函数记成
)
(,)(1
D f x x f
y ∈=−称此映射1
−f
为f 的反函数.
其反函数(减)(减) .
1) y ＝f (x ) 单调递增,
)(1
存在x f y −=且也单调递增性质:
32
2) 函数)(x f y =与其反函数
)(1
x f
y −=的图形关于直线
x y =对称.
例如,
),(,∞+−∞∈=x e y x
对数函数)
,0(,ln ∞+∈=x x y 互为反函数,
它们都单调递增,其图形关于直线x y =对称.
)
(x f y =)
(1
x f
y −=x
y =)
,(a b Q (,)
P a b x
y o
指数函数
33
(2) 复合函数1
),(D u u f y ∈=,),(D x x g u ∈=1)(D D g ⊂且则
D
x x g f y ∈=,])([设有函数链
称为由①, ②确定的复合函数,①—复合映射的特例②
u 称为中间变量. 注意:构成复合函数的条件1)(D D g ⊂不可少. 例如,函数链:,arcsin u y =,122
x u −=函数
,12arcsin 2
x y −=D x ∈],1[2
3−
−=]1,[
2
3
∪但函数链2
2,arcsin x u u y +==不能构成复合函数.
可定义复合
34
两个以上函数也可构成复合函数.例如,
,>=u u y 可定义复合函数:
,
2
cot x
y =],)12(,2(ππ+∈k k x Z
n ∈0
2
cot ,22≥+≤<x k x k 时π
ππ)
,2,1,0(,cot ±±=≠=k k v v u π)
,(,2
∞+−∞∈=x x
v
35
4. 初等函数(1) 基本初等函数
幂函数、
指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2) 初等函数
由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.
例如,,2
x y =⎩⎨
⎧=y 0,≥x x 0
,<−x x 并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数
又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.
( 自学, P8 –P9 )
常数函数、(P7)
36
非初等函数举例:符号函数
=
=x y sgn 当x > 0,1当x = 0,0当x < 0
,1−x
y
o
1
1
−取整函数
][x y =当Z
n n x n ∈+<≤,1,n =x
y
o
1−2−24
13
37
例求=
y 的反函数及其定义域.解:01<≤−x 当时,2
x y =则]
1,0(,∈−=y y x 10≤<x 当时,x y ln =则]
0,(,∞−∈=y e x y
21≤<x 当时,1
2−=x e y 则]
2,2(,ln 12e y x y
∈+=反函数=y ]
1,0(,∈−x x ]
0,(,∞−∈x e x ]
2,2(,ln 12e x x ∈+定义域为
]2,2(]1,(e ∪∞−21,210 ,ln 0
1, 1
2
≤<≤<<≤−−x e x x x x x 2
1
2e
21−y
o
x
1,
]1,0(∈,
]0,(∞−∈,
]2,2(e ∈
38
内容小结
2. 映射的概念
定义域对应规律
4. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性
5. 初等函数的结构
3. 函数的定义及函数的二要素1. n 维空间点集实数系
作业：P11 1, 2(2), 3(2), 4, 5, 6(2), 7(1)
39。