数学建模 之易拉罐下料问题

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
【摘要】本模型是易拉罐形状和尺寸的最优设计问题。其关键问题是如何优化易拉罐
形状和尺寸比例以达到节省生产成本的目的。根据最优化理论，根据给出的不同的易拉罐形
状，利用算数几何平均值不等式求极小值的方法，以易拉罐表面积为目标函数的数学模型，
求出盖直径和罐高之比为 1：1，这与所测量的顶盖到底的高度约为顶盖直径的 2 倍这一关
含量为 355ml 的易拉罐高 123.7 mm与罐体半径 30.51 mm还是比较接近的（饮料罐不能装
满饮料，必须留有一定的空间余量）。
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易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
但也看出两组数据之间也存在一定差异，这是因为我们所测量的易拉罐下底并非是一个 圆面，而是一个向上凸的拱面，接近上、下底部分是两个正圆台。
一．问题重述
我们只要稍加留意就会发现现在销量很大的饮料（例如饮料量为 355ml 的可口可乐、青
岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，这是某种意
义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限
的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。因此，我
模型二：主体为正圆柱体，上面部分为正圆台模型建立
当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是正圆柱体时（如
图 4），假设正圆柱体部分的罐内半径为 R ，罐内高为 h2 ，罐壁厚
为 b ；正圆台部分上底内半径为 r1 ，正圆台 内高为 h1 。根据假设 1
可知，易拉罐罐底与罐盖的厚度均为 2b ，仍以制作易拉罐的材料最
在罐底部分，根据拱桥的原理：桥面设计成一定的拱形时， 它的受力比一般平面桥要大得多。因此我们把罐底底轨内的部分 设计成具有一定弧度的拱面，使其能够更好的承受罐内液体的压 力。
综上所述，可将易拉罐罐体设计成三部分：上部为正圆台，
高为 h1 ，上圆台罐口内半径为 r1 ；中部为正圆柱，高为 h2 ，罐体
罐柱内径
61.29
上圆台高
13.5
下圆台高
7.7
罐盖内径
58.17
罐底厚
0.29
罐盖厚
0.29
罐底拱高
10.11
圆柱体高
102.5
罐壁厚
0.135
由上表可知：罐底与罐盖的厚度大约是柱壁厚度的 2 倍；罐高大约为正圆柱直径的 2 倍。 易拉罐形状和尺寸的最优设计就是确保盛放饮料时容器不变形、放置稳定、运输安全的 前提下，如何设计形状与尺寸才能使一定容积量的易拉罐所用的材料最省，为此我们分别对 问题二、问题三、问题四建立模型如下：
四、模型建立与求解
目前市场上大部分的易拉罐形状可以分成两类：一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上 面部分是正圆台（如图 2）；另一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分与下面部分都 是正圆台（如图 3）。
图2
图3
我们对 335ml 可口可乐易拉罐进行了测量，测量数据如下表（单位； mm）:
罐高
123.7
R, r1, h1, h2 0
利用 LINGO 软件进行求解（附录二），分别得出： R =30.88 mm ,r1=29.33 mm ,
h1=8.94mm, h2=111.76mm, H=h1+h2=120.70mm，这与我们所测得数据比较接近。
模型三：易拉罐的最优设计模型
对于盛装碳酸饮料的容器，不仅要考虑省材，还要考虑盛放与搬运中的安全、方便、实 用。如果把易拉罐设计成球体，在一定容量的情况下材料最省，但对于放置、储存等会带来 诸多的不便（球与球之间的空隙大）。根据几何原理，罐底为平面放置最稳，主体为正圆柱 体最优。但考虑到碳酸饮料的压力等因素，罐底与罐盖要考虑牢固性，根据横梁受力的原理： 当梁的支座从两端往中间移时，其载荷将会提高。 根据此原理，我们在易拉罐的底部设计
因为 b R ，故项 4 b3 可以忽略不计。因而
s(R, H ) b(2RH Hb 4R2 8bR)
于 是 ， 问 题 就 是 求 目 标 函 数 s(R, H ) b(2RH Hb 4R2 8bR) 在 条 件
V R 2 H 下的最优解。即
min s(R, H ) b(2RH Hb 4R2 8bR)
省作为最优设计。由于考虑到易拉罐各部分材料的厚度不同，因此
采用易拉罐所需的材料等于外径体积减去内径体积进行计算。
易拉罐正圆台部分所用的材料体积：
图4
S台 (R, r1, h1, h2
)
(h1
2b) 3
[(R
b) 2
(R
b)(r1
b)
(r1
b)2 ]
h1 3
(R2
Rr1
r12
)
bh1 ( R
r1
b)
2 R2b 2bRh2 (4b2 R b2h2 2b3 ) 因为 b R ，故 2 b3 可以忽略。则易拉罐正圆柱所用的材料体积：
S柱 (R, r1, h1, h2 ) 2 R 2b 2 bRh2 (4b2 R b2h2 )
所以，易拉罐的总材料体积为：
S(R, r1, h1, h2 ) S台 (R, r1, h1, h2 ) S柱 (R, r1, h1, h2 )
r2 ：罐底内半径； d ：罐底拱高； b ：罐体壁厚；
2. 模型假设
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易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
1)、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁 2 倍。 2)、易拉罐各接口处的材料忽略不计。 3)、易拉罐各部分所用的材料相同。 4)、单位体积材料的价格一定。 5)、相同类型易拉罐的容积相同。 6)、易拉罐均能承受内部压力。
所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
问题三：设易拉罐的中心纵断面如图 1 所示，即上面部分是一个正圆台，
下面部分是一个正圆柱。它的最优设计是什么？其结果是否可以合理地说明
所测量的易拉罐的形状和尺寸。
问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺
寸的最优设计。
图1
s.t.
V
R2H
R 0, H 0
利用 Lagrange 乘子法求解，作函数
F (R, H , ) b(2RH Hb 4R2 8bR) (V R2 H )
令
F
R F
H F
b(2H 8R 8b) b(2R b) R2 V R2H 0
2 RH 0
0
b(2H 8R 8b) 2 RH 即 b(2R b) R2
正圆柱内半径为 R ；下部为正圆台，高为 h3 ，罐底内半径为 r2 ，
罐底拱高为 d （如图 5 所示）。又设罐体壁厚为 b ，罐底、罐盖厚
为 2b ，对各部分进行材料体积计算。
易拉罐上正圆台部分的材料体积：
图5
S上台 (R, r1 , h1 )
(h1
2b) 3
[(R
)
2b3
2b 3
(R2
Rr1
r12 )
因为 b R ，故 2 b3 可以忽略，则易拉罐正圆台部分的材料体积为：
S台 (R, r1, h1, h2
)
bh1 ( R
r1
b)
2
b2 (R
r1 )
2b 3
(R2
Rr1
r12
)
易拉罐正圆柱部分的材料体积：
S柱 (R, r1, h1, h2 ) （R b）2 (h2 2b) R 2h2
在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量；问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一 定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准；问题三中，对比问题一中所测得的数据，发 现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的 2 倍，因此我们在解决此问题时可以假设罐盖、罐底的 厚度是罐壁的两倍，再利用规划方法求解由圆台和圆柱体组成的易拉罐的最优设计。在问题 四中根据问题二、三的模型所求得的数据与测量的数据进行比较，以及观察市场上正规厂家 生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，作出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。
同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数
学建模、它的关键步骤，以及难点。
二．问题分析
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易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内体积大于饮料的净含量，同时考虑到饮 料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一 定时，所用的材料最省。
模型一：简单正圆柱体模型建立
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易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
假设易拉罐是一个正圆柱体，罐内半径为 R ，罐内高为 H ，罐壁厚为 b ，根据假设 1 可知，罐底与罐盖厚为 2b ，所以制作材料的体积为：
s(R, H ) (R b)2 (H 4b) R2 H
= 2 RbH Hb 2 4b R2 8 b2 R 4 b3
三．符号说明及模型假设
1.符号说明
(模型 1) R ：罐内半径； H ：罐内高； b ：罐壁厚； 2b ：罐底与罐盖厚；
(模型 2) h2 ：罐内高； b ：罐壁厚； r1 ：正圆台部分上底内半径；
h1 ：正圆台内高；
(模型 3) h1 ：上部为正圆台高；
r1 ：上圆台罐口内半径；
h2 ：中部为正圆柱高； R ：罐体正圆柱内半径； h3 下部为正圆台高；
们着手研究什么样的形状和尺寸是易拉罐的最优设计。
现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题一：取一个饮料量为 355 毫升的易拉罐，例如 355 毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模
型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。
问题二：设易拉罐是一个正圆柱体，那么它的最优设计是什么？其结果是否可以合理地说明