拉格朗日方程-振动
拉格朗日方程
以约瑟夫·刘易斯·拉格朗日命名的拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程。
它可以用来描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于一个完整的系统，用广义坐标表示的动力学方程通常指第二种拉格朗日方程，该方程首先由法国数学家J.-L.拉格朗日推导。
通常可以这样写：
其中，t是由广义坐标QJ和广义速度q'j表示的系统动能；QJ 是与QJ对应的广义力；n（= 3n-k）是整个系统的自由度；n是系统的质点数；K是完全约束方程的数量。
完整系统的拉格朗日方程
完整系统的拉格朗日方程
从虚拟位移原理，我们可以得到没有约束力的具有理想约束的粒子系统的平衡方程，而动态静态方法（D'Alembert原理）则采用静态方法来建立粒子系统的动力学方程。
通过将两者结合起来，可以得到没有约束力的粒子系统动力学方程，这是一般的动力学方程。
拉格朗日方程是广义动力学方程在广义坐标系下的具体表达。
拉格朗日方程可用于建立无约束力的动力学方程，也可用于求解在给定运动定律下作用于系统的有功力。
如果要查找约束力，可以将拉格朗日方程与动态和静态方法或动量定理（或质心的运动定理）结合起来。
通常，我们将基于牛顿定律和基于牛顿定律的力学理论称为牛顿力学（也称为矢量力学），将拉格朗日方程和基于其的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学描述了机械系统在配置空间中的运动，适合研究受约束粒子系统的运动。
拉格朗日力学在解决微振动和刚体动力学问题中起着重要作用。
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
微振动
单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力
在单位时间内做的功。即
一个周期(
)内能量的平均值：
——吸收对频率的依赖关系(色散)
I ：平均能量吸收率
当共振时 ( 0) ：
f2 4m
I
达到极大值
I max
——共振吸收
当 时，I 降到最大值的一半。 若用S表示与 I 类似的某一物理量，它依赖与外来 频率 。设S在 0时达到共振，则
二、阻尼振动
实际的振动：存在阻尼。 阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使 机械运动停止(无外力时)。 此时： 1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；
2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度
的函数(因为此时要考虑介质本身的运动，介质和物 体内部的热状态)。
力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同
例：电磁场中坡印廷矢量
，不是
三、受迫振动
设：振子受到一个随时间变化的外场力 则： 在平衡位置附近展开 ： 的作用
(确定平衡位置时，不考虑外场) 上式中， 只是t的函数，对方程无贡献，略去。
令
，则
由拉格朗日方程，得到运动方程：
因
令
——关于X的一阶微分方程
由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程：
再通过变易系数法解得非齐次方程的解：
2 / 4 S ( ) S0 ( 0 )2 2 / 4
——布雷特－维格纳分布
i2max4fim??i??0???i若用s表示与频率?类似的某一物理量它依赖与外来时达到共振则0???24???????
第四章 微振动
微振动：很常见的一种物理现象 定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位 形)的某种周期性偏离。
《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的应用
2、第二类拉格朗日方程的应用例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计。
ACOxAOCx例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。
摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接。
M 1M 2φC 求：此系统的运动微分方程。
2、第二类拉格朗日方程的应用解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示：111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j===-=将上式两端对时间t 求导数得：111212,0;cos sin x x yx x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&22212111()(2cos )22m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为：)cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。
d 0(12)d k T TQ k N t q q æö¶¶--==ç÷¶¶L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。
选取原则：计算方便代入拉格朗日方程得到：1212110()cos T Tm m xm l x xj j ¶¶==+-¶¶&&&，2121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j¶=+-+׶&&&&&&10x V Q x ¶=-=¶先计算)cos 1(2j -=gl m V 22212111()(2cos )22m l T m m x l xj j j =++-&&&&221221sin cos T T m lx m l mlx j j jj j j¶¶==-¶¶&&&&&，222121d ()cos sin d T m l m lx m lx t jj j j j ¶=-+׶&&&&&&&2sin V Q m gl j j j¶=-=-¶212122()cos sin 0m m xm l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl jj j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用x 1φ再计算如果质点M 2摆动很小，可以近似地认为1cos sin »»j j j ，且可以忽略含和的高阶小量，2j &1xj &&微分方程可改写为:1212()0m m xm l j +-=&&&&1l x g jj -=-&&&&从以上两式中消去，得到1x&&1210m m gm lj j ++=&&这是自由振动的微分方程，其通解为:)sin(0q w j +=t A 固有角频率:lgm m m 1210+=w 摆动周期:如果21m m >>则质点M 1的位移x 1将很小，质点M 2的摆动周期将趋于普通单摆的周期:1lim 2m T ®¥=也可以从微分方程中消去，得到:j&&可见质点M 1沿x 方向也作自由振动。
第2章 拉格朗日方程
z
O
l
2
x2 y2 z 2 l 2 0
x
M m
x vt
2
y z l 0
2 2
y
x2 y2 z 2 l 2 0
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚， 从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球 运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了 历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他 提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法， 总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。 他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后 来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论 的先驱。 在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问 题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。 在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运 算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题， 他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函 数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、 欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程， 引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析 力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称 轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉 格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体 运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题， 提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展 产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
分析力学基础 2 ຫໍສະໝຸດ 位移原理 虚位移原理受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: d W F d r 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
例 2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和
质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成
双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
拉格朗日方程刚体动力学振动 习题课
x
A vA
vCA
m 1 g c B
m 2g
解：系统的主动力均为有势力
分析系统的动能和势能
vT A 1 2xm 1 vA 2 A1 2 JA rx A 2 1 2 Am B2 v C 2 1 2JCA 2 B
vC vAvCA
T 3 4 m 1 x 2 1 2 m 2 x 2 1 6 m 2 L 22 1 2 m 2 x L c o s T ( x ,,)
V L2m2g(1cos)
拉格朗日函数 LTVL(x ,,)中不显含广义坐标x和时间t
7
BUAA
习题课
T x3 2m 1xm 2x1 2m 2L co sC 系统的什么广义动量守恒？
研究整体：
x
A vA
研究圆盘：
LrA12mAr2A12m1rxF Ay
A
F
vCA LrA Fr
A
r
F Ax
c m 1 g
T V 1 2 m 1 x 2 1 2 m 2 x 2 1 6 m 2 L 2 2 1 2 m 2 x L c o s L 2 m 2 g ( 1 c o s ) E
6
BUAA
习题课
例：机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量m1在地面上纯滚动，均 质杆AB质量m2用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积分。AB=L
拉格朗日方程刚体动力学振动 习 题课
BUAA
第二类拉格朗日方程的总结
对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，
则系统的动力学方程为：
d dt
L qj
qLj
Q'j
(j1, ,k)
其中：LTV T：为系统的动能，V：为系统的势能
Q
高等结构振动学-第2章-用拉格朗日方程建立系统数学模型
2muu
[Mg
L 2
0 mgu]sin
0
以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方 程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统 降阶的途径。 2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用
3
对一维连续系统，假设位移为：
N
u(x.t) i (x)qi (t) i 1
d dt
(
T qi
)
T qi
U qi
Qi
(i 1, 2, 3, N )
（2－5）
（推导：）
将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变
分驻值原理），有
t2
t1
(
T q1
q1
T q2
q2
T q N
q N
T q1
q1
f j (q1, q2 ,qM ) 0 ( j 1,2,C)
(i 1,2,M )
(2－43)
联立上两个方程，就可确定 M+C 个未知数 qi , j (i 1,2,M ; j 1,2,C)
【应用实例】
求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。
【解】令，
u(x,
t)
(
x L
D q
0
（2－15）
如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励
力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为 Qi ），则系统的拉 格朗日方程为：
d dt
(
T qi
)
T qi
3拉格朗日方程及振动
三、（补）势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。
现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。
（一）、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。
即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F x y z (,,) 那么这个空间称之为力场。
将F 向坐标轴投影就有：),,(z y x F X x = , ),,(z y x F Y y = , ),,(z y x F Z z =设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。
现我们计算F 在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：⎰++=Lz y x dz F dy F dx F W )( (其中L 为质点运动的轨迹)一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。
现仅讨论与路径无关的情况。
这对于理解物体运动的本质是很有意义的。
如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。
由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即)(dz F dy F dx F dU z y x ++=。
显然U 是坐标x ，y ，z 的函数，则定义： ),,(z y x U U =———力场的势函数。
如果质点从M 0运动到M ，则代入上述的线积分则有：),,(),,(00000z y x U z y x U dU W M M M M -=⎰=→→并且 x U F x ∂∂= ； yU F y ∂∂= ； z U F z ∂∂=（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。
势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。
在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。
现我们来看两者的关系。
首先来定义势能的概念。
所谓势能即：势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。
显然，势能具有相对的意义。
选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。
第4章 振动系统的运动微分方程
[
]
两边对时间求导数
3 &x & & mx&& = mgx − 2k (2 x + λ s ) x 2
注意到在静平衡位置满足 所以微分方程为
mg = 2kλ s
3 m&& + 4kx = 0 x 2
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Theory of Vibration with Applications
4.1 牛顿定律和普遍定理
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总 刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及θ 为广义坐标。 （2）动能及势能
4.1.4 普遍定理的综合应用
在有限路程中主动力的功为
∑ Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
1 2 k (2 x0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
由动能定理的积分形式
T − T0 = ∑Wx0 − x
1 3 2 1 2 2 & ⋅ mx − T0 = − mg ( x 0 − x ) + k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2 2
∑ (F
n i =1
Theory of Vibration with Applications
x i δ xi
+ F y i δ y i + Fz i δ z i = 0
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
拉格朗日方程在机翼颤振中的应用
这就是利用拉格朗日方程求解二元机翼颤振方程的基本 过程。
同时，拉格朗日方程在求解带副翼机翼以及大展弦比机 翼等多种机翼模型的颤振方程中都有广泛的应用。
谢谢！
15
E1 a11a22
E2 a11b22
• 求解得
2 D1 D2V 2
B1
V 2 M
M 2 4LN
2L
式中
L D2 B1C2 D2 A1
M B1C2D1 B1C1D2
B12 E2
2
D1D2
A1
N B1C1D1 B12E1 D12 A1
其中，速度求得的较小正根即为颤振速度 VF ，对应的 频率即为颤振频率 F 。
• 而当 c 0 时，系统受到微小扰动以后，运动为等幅振动。
机翼的弯曲-扭转颤振
• 下面我们分析一下前面提到的机翼的弯曲-扭转颤 振。
飞机在飞行过程中，机翼常常受到外力干扰，如阵风的影 响。假若机翼在外力作用下，产生了向下的弹性变形，机 翼结构内部的弹性力则会使机翼回到初始位置。
• 下面对前面机翼弯曲-扭转颤振示意图进行分析：
• 二元机翼模型示意图：
弦长为2b，宽度为一个单位长度 。
两个自由度分别为：弯曲 h，绕 弹性轴的转动 。
翼段分别由一个线弹性和一个盘
旋弹性支持在弹性轴点，弹簧常
数分别为 和 。
点在翼K弦h中点Ka后 处。重心到
弹E性轴的距离以 表xb示，量纲为
1。
ab
• 于是机翼上任一点位移
Z h r
• 式中 r —从弹性轴量起的距离。
2b
a0
h& V
1 2
a
b
&
V
• 以及得到对刚心 E 的力矩
三.试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程,并求出其振.
三. 试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程，并求出其振动周期（已知：弹簧的倔强系数为K ，物块的质量为m ）。
四. 长l 2，质量为m 的均匀棒，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则固联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C 点，C 点与A 点在同一垂直线上，棒与墙所成的角度为α，线与墙所成的角度为β，如果ABC 平面为与墙垂直的铅垂面。
求平衡时αβ与之间的关系。
（用刚体平衡方程求解）。
三. 解：系统自由度1=S ，取q=x,系统的动能2'21x m T = 系统的势能22
1kx V = =-=V T L 2'21x m -22
1kx 代入拉氏方程：0)(=∂∂-∂∂x l x l dt d ，得： 0''=+kx x m 0''=+
∴x m k x 令m
k w =2，则w 为弹簧振子简谐振动的圆频率。
k
m W T ππ22==∴
四. 解：αβ
cos 0(1)
0sin 0(2)0sin 2cos 0(3)()0yi xi
B i
T mg F N T F mgl N l m F ββαα⎧-==⎪-==⎨⎪-==⎩∑∑∑
)
1()2((3)N tg N mg tg mg ββ==得：。
代入式得 sin 2cos 0mgl mg tg l αβα-∙= 即：202tg tg tg tg αβαβ-=∴=。
多自由振动系统拉格朗日与影响系数法
k2 (x1
x2 )
0
L x&2
L x2
m2&x&2 k2 (x2
x1) k3x3
0
m1
m2
&x&x&&12
k1 k2
k2
k2 k3 k2
x1 x2
0 0
拉格朗日法是建立微分方程一种简单的 方法：先求出系统的动能、势能，进而 得出质量矩阵和刚度矩阵
优点：系统的动能和势能都是标量，无需 考虑力的方向。
k11 k1 k2 , k21 k2 , k31 0
只考虑动态 ：
由受力分析得知，为维持这种状态 ，在各个坐标上施加 的力应是：
因此，质量矩阵为： 运动微分方程为：
2.位移方程—柔度影响系数法
用柔度系数法建立系统的微分方程：
0 L 0 1 0 L 0T
Kx P, x 0 L 0 1 0 L 0T
k11 L
P
k21
L
L L
kn1
L
k1 j L k2 j L LL knj L
0
k1n k2n L
M
0
1
k1 k2 L
j j
knn
0 M
knj
0
施加的外力在数值上正式刚度矩阵K的第j列，其中Kij (i=1…n)是在第i个坐标上施加的力。
第一章 振动理论基础
1.1 振动系统简介 1.2 单自由度系统 1.3 多自由度系统 1.4 连续振动系统 1.5 随机振动
11
多自由度系统微分方程的建立
一：牛顿第二定律
解：建立如图所示坐标系，原点取在各自静平衡位置。受 力分析：
建立运动微分方程： 矩阵形式：
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
9-2-2
拉氏方程基本形式
d T T = FQ j dt qj qj
故
j = 1,2,...k
为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， qj
为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，
需2k个初始条件 q j 0 ,q j 0 。 关于 FQ 的计算
j
由 WF j FQ q j (见下述例题中) j (仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
ri = ri q1 ,q2 ,...qk ,t ( i 1,2,...,n ) ri ri 1) “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri (t , q1 , , qk ), 对时间t求导数， 得
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动
力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二
类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m有 i
Fi FNi mi ai 0 则有 i 1, 2n
给 ri
i 1,2,...,n ,则有
Fi FNi m ai ri 0
而双面理想约束 故有
i Ii
F
i
Ni
ri 0
(9-1)
ri ri qj j 1 q j
理论力学第十四章 拉格朗日方程 [同济大学]
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动力学
韋林教授
第十四章拉格朗日方程(第二类方程) §14-1动力学普遍方程
达朗伯原理 虚位移原理
例14-1 一套滑轮系统悬挂两个重物.设:绳,滑轮质量不计.求重 为P1的物体上升的加速度a1。 解:
(P 1F 1 g )δS1 ( P 2 F2 g )δS 2 0
(F F
i
r
r i δq j j 1 q j
广义力 r r r i i i q j, (1) vi r t j 1 q j
r
d T T )δq j 0, j q j dt q
Qj
δq j 0
V q j
广义 速度
ri
d T T Qj, j q j dt q
T 1 1 1 2 m2v 2 (m1 m2 ) R 2 2 J 0 2 2 2
1 1 2 kR 2 2 L T V (m1 m2 )R 2 2 2
m1
V
1 l k k 2 2 mg θ (δ0 bθ )2 δ0 θ b 2 2 2 2 2
3
v0 v
x
L R 2 k1 k 2 ( y R )( R ),
d L L ( ) 0 dt y y L , m2 y y L ( y R )k 2 y
R 2 k1 ( y R)k 2 ( R) 0 m1 R 2
R 2 (k1 k 2 ) k 2 Ry m1 R 2
k 2 y k 2 R m2 y
r 1 3 3 xc x r sin 1 , c x r cos θ1θ x 1 v0 1 2 2 c 3 3 , v0 rθ x c r sin 1 yc r cos 1 , y 2 1 2 2 2 2 r 2 9 r 2θ 2 3θ θ 2 r 2 ( 3 r cos 2 3 2 3 r 2 cos θ vc2 2 1 2 1 cos θ1r 2 1 1 ) ( r sin 11 ) 2 2 1 1 4 2 2 2
有题目——多自由度振动-拉格朗日方程
m1
m2
k3
m3
1、选定广义坐标 x1， x2， x3
2、动能和势能分别为：
1 1 1 2 2 12 m2 x 2 3 T m1 x m3 x 2 2 2 V V1 V2 V3 V4 V5 V6 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 V1 k1 x12 ,V2 k 2 x 2 x1 ,V3 k 3 x3 x 2 ,V4 k 4 x3 ,V5 k 5 x 2 ,V6 k 6 x 2 2 2 2 2 2 2
多自由度系统振动
姓 名: 何江波
学 院: 机械工程学院
邮 箱：445875183@
2016/12/18
教学内容
拉格朗日方程 多自由系统的无阻尼自由振动
2
拉格朗日方程
k5 k1
F1(t) m1 F2(t)
k6
F 3 ( t) m3
k2
m2
k3
k4
对于如图所示的三质 量系统，有6个弹簧， 三个外界激励，求系 统的动力学方程。
m1 0 0 m 2 0 0
0 x1 k1 k 2 0 x2 k 2 m3 x3 0
k 2 k 2 k3 k5 k 6 k 3
0 x1 F1 k 3 x 2 F2 k 3 k 4 x3 F3
14
谢 谢
15
( x2 , y2 )
也可选 (1 , 2 ) 作为广义坐标。
6
拉格朗日方程
拉格朗日方程（ Lagrange 方程）:
d L L Q j dt q j q j
广义坐标: q1 ,q2 ,, qk ；拉格朗日函数: L＝T-V；
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当约束方程与时间t 无关时，称为定常约束。例1和例2的约束都是定常约 和例2 当约束方程与时间 无关时，称为定常约束。 束。
不完整约束
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数， 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。 义坐标数。
2 2 x1 + y1 = l12
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = l22
利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为 计算的公式， 利用自由度 计算的公式 DOF ＝３×２－４＝２ 设刚性杆l 刚性杆l 设刚性杆 1与x轴的夹角为θ 1 ，刚性杆 2与x轴的夹角为θ 2 ，方向如 轴的夹角为 轴的夹角为 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， θ 1和θ 2可以作 为双摆的广义坐标。 为双摆的广义坐标。
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。 对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
分析力学基础 质点的自由度
1 自由度和广义坐标
质点在空间需要3个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 质点在空间需要 个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置 它的自由度为3。 个毫不相干 个毫不相干、 它的自由度为 。n个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为 3n。 。
动能
分析力学基础
3 动能和势能
设质量为m 设质量为 i的质点在某位置时的速度是
& ri ，则质点在此位置的动能为
1 & & V ＝ mi ri ⋅ ri 2
其中, 其中
n
1 p & & 若振动系统由p个质点组成 个质点组成， 若振动系统由 个质点组成，则系统的动能为 V ＝ ∑ mi ri ⋅ ri 2 i =1
分析力学基础 完整约束
1 自由度和广义坐标
当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 称为完整约束。显然， 和例2的约束都是完整约束。 称为完整约束。显然，例1和例2的约束都是完整约束。
f i ( x, y, z, t ) = 0
分析力学基础
1 自由度和广义坐标 2 虚位移原理 3 动能和势能 4 D’Alembert原理 D’Alembert原理 5 Lagrange方程 方程 6 哈密尔顿原理
分析力学基础 分析力学
1 自由度和广义坐标
分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 它从能量的观点，统一建立起系统动能、 它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关 是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。 系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。
2.1 自由度和广义坐标
(a)
（b） ）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 对图（ ）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。 因此它的约束方程为零，自由度为 。 对图（ ）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程： 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
& y = tan θ & x
自由度数为2 小于广义坐标数。 自由度数为2，小于广义坐标数。
分析力学基础 虚位移
2 虚位移原理
所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的 所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的 坐标微小改变量。 坐标微小改变量。 虚位移只是约束允许的可能位移 不一定是系统的真实位移。 系统的真实位移 虚位移只是约束允许的可能位移 ，并不一定是系统的真实位移。它 与时间t 的变化无关。 与时间 的变化无关。 表示，真实微小位移用d表示。 虚位移用δ 表示，真实微小位移用d表示。
显然 有m k l = m l k。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在 平衡位置附近泰勒级数展开的第一项，即将m 取为与广义坐标无关的常数。 平衡位置附近泰勒级数展开的第一项，即将 k l取为与广义坐标无关的常数。
x2 + y2 + z2 = l 2
这样， 就再不独立。若用球面坐标r 来表示， 这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标 、ψ 和ϕ 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用ψ 和ϕ 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬 时的位置， 广义坐标数为2，自由度为2。 时的位置，即广义坐标数为 ，自由度为 。
刚体的自由度
一个刚体在空间需要6个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置， 一个刚体在空间需要 个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置， 个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置 因此它的自由度为6。 个无约束刚体组成的系统自由度为 个无约束刚体组成的系统自由度为6m。 因此它的自由度为 。m个无约束刚体组成的系统自由度为 。
改变求和的次序， 改变求和的次序，得：
1 n n V ＝ ∑∑ 2 k =1 l =1
p ∑ mi ∂ ri ⋅ ∂ ri i =1 ∂ qk ∂ ql
qk ql & &
1 n n & & V ＝ ∑∑ mk l qk ql 2 k =1 l =1 p ∂ ri ∂ ri & & 为广义速度， 为广义质量系数， qk 和 ql 为广义速度， mk l 为广义质量系数， k l ＝ ∑ mi m ⋅ 其中， 其中， 。 ∂ qk ∂ ql i =1
虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
虚位移原理
分析力学基础
2 虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 其数学表达式为: 其数学表达式为:
δ W = ∑F ⋅δ r = 0
i i i =1
p
其中， 为作用于质点系的主动力， r 为虚位移。上式也称为虚功方程 虚功方程。 其中，Fi为作用于质点系的主动力， δri为虚位移。上式也称为虚功方程。
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间 若系统有 个自由度，任意一点的坐标矢量可以用 个广义坐标和时间 个自由度 t来表示，即： ＝ r ( q ， ， ， ， ) 来表示， 来表示 r q L q t
振动系统的自由度
振动系统力学模型中若有n个质点和 个刚体 那么它的自由度DOF 振动系统力学模型中若有 个质点和m个刚体，那么它的自由度 个质点和 个刚体， 必定满足下列方程： 必定满足下列方程： DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数） （约束方程数）
分析力学基础
例 1 图 (a)中，质量用一根 中 弹簧悬挂。 弹簧悬挂。图（b）中质量 ） 用一根长度为l， 用一根长度为 ，变形可忽略 的悬丝悬挂。 的悬丝悬挂。分析系统的自 由度， 由度，并建立系统的广义坐 标。
当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显 当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数， 系统的动能可写成： 含时间 t 。系统的动能可写成：
∂ ri ∂ ri & & qk ＋ ri ＝ ∑ ∂t k =1 ∂ q k
n ∂ ri 1 p n ∂ ri & & V ＝ ∑ mi ∑ k = 1 ∂ q qk ∑ ∂ q ql 2 i =1 k l l = 1
2 虚位移原理
p ∂ ri δ W ＝∑ ∑ Fi i =1 ∂ q k =1 k p ∂ ri 其中， 其中， Qk ＝∑ Fi ∂ qk i =1 义力。 义力。
n
δ qk
(k = 1, 2, L, n) 为与广义坐标qk 对应的广
这样，虚功方程可以写成： 这样，虚功方程可以写成：
分析力学基础
1 自由度和广义坐标
右图表示由刚性杆l 和质量m 及刚性杆l 例 2 右图表示由刚性杆 1和质量 1及刚性杆 2和 质量m 组成的两个单摆在O’ 质量 2组成的两个单摆在 处用铰链连接成双 并通过铰链O与固定点连接 与固定点连接， 摆，并通过铰链 与固定点连接，使双摆只能在 平面内摆动，分析系统的自由度， 平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统的 广义坐标。 广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 由于双摆只能在平面内摆动，因此， ， ， 而双摆的长度l 不变， 而双摆的长度 1和l 2不变，即
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有： 由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程， 代入虚功方程，得：
p n
∂ ri δ ri ＝ ∑ δ qk k =1 ∂ q k
n
∂ ri δ W ＝ ∑ Fi ∑ δ qk 换求和的次序，得：
分析力学基础 不完整约束
1 自由度和广义坐标
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数， 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。 义坐标数。 刚体A通过三个点放置在 例 3 刚体 通过三个点放置在 xoy 平面上，其中的两个接触 平面上， 点可在平面上作无摩擦自由滑 点有一个刀片， 动，而P点有一个刀片，使其 点有一个刀片 只能沿刀片方向移动，分析冰 只能沿刀片方向移动， 刀系统的广义坐标和自由度。 刀系统的广义坐标和自由度。 由于刚体A在 平面中移动 因此需要三个广义坐标(x, 和 描述其 平面中移动， 解 由于刚体 在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标 y和θ)描述其 在任意时刻的位置。 在任意时刻的位置。 而刚体A只能沿刀片方向移动， 只能沿刀片方向移动 而刚体 只能沿刀片方向移动，因 此有约束方程： 此有约束方程：