定积分在生活中的应用.doc

PINGDINGSHAN UNIVERSITY
院系 :经济与管理学院
题目 :定积分在生活中的应用
年级专业:11级市场营销班
学生姓名:孙天鹏
定积分在生活中的应用
定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。

微积分是
与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星
三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天
文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类
知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

一、定积分的概述
1、定积分的定义：
设函数 f x 在区间 a, b 上有界.
①在 a, b 中任意插入若干个分点 a x0 x1 L x n 1 x n b ,把区间a,b 分成
n 个小区间0 1
12 L n 1 n
且各个小区间的长度依次为
1 1 0
，x , x , x , x , , x , x , x x x
x2 x2 x1，， x n x n x n 1。

②在每个小区间x i 1 , x
i 上任取一点i，作函数 f i 与小区间长度x i的乘积
f i x i （ i 1,2,L , n ），
n n
③作出和 S f
i
x i。

记P max x1, x2 , L , x n作极限lim f i x i
i 1 P 0 i 1
如果不论对 a,b 怎样分法，也不论在小区间 x i 1 , x i 上点i怎样取法，只要当P 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I ，这时我们称这个极限 I 为函数 f x 在区间 a, b 上的定积分（简称积分），记作 b f x dx ，即
a
b
x dx =I = lim n
x i,
a
f f i
P 0 i 1
其中 f x 叫做被积函数， f x dx 叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限， b 叫做积分上限，a, b 叫做积分区间。

2．定积分的性质
设函数 f x 和 g x 在 a,b 上都可积， k 是常数，则 kf x 和 f x + g x 都
可积，并且
性质 1
b
kf
b
a x dx = k f x dx ;
a
性质 2
b b
b
a f x g x dx = f x dx + g x dx
a
a
b f x
b
b
a g x dx = f x dx - g x dx .
a
a
性质 3 定积分对于积分区间的可加性
设
f x 在区间上可积， 且 a ， 和 c 都是区间内的点， 则不论 a ， 和 c 的
b
b
c b c
相对位置如何，都有
f x dx = f x dx +
f x dx 。

a
a
b
性质 4
如果在区间 a, b 上 f
b
1dx = b
a 。

x 1，则
dx =b
a
a
性质 5
如果在区间 a,b 上 f x
0 b
x dx
0 a
b 。

, 则 f
a
性质 6
如果在 [ a, b] 上, , 则 m(b b
m f (x) M a)
f ( x)dx M (b a)
a
性质 7 （定积分中值定理）如果
f ( x) 在 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上至少
b
存一点 使得
3．定理
f ( x)dx f ( )(b a)
a
定理 1 微积分基本定理
如果函数 f
x 在区间 a,b 上连续 , 则积分上限函数
x x
= f t dt 在 a,b 上
a
d x f t dt
a
可导 , 并且它的导数是
' x = = f x a
x b .
dx
定理 2
原函数存在定理
如果函数 f x 在区间 a,b 上连续 , 则函数
x
x 在
x = f t dt 就是 f
a
a,b 上的一个原函数 .
定理 3 如果函数 F x 是连续函数 f x 在区间 a,b 上的一个原函数 ,
则
b f x dx = F b F a
a
称上面的公式为牛顿 - 莱布尼茨公式 .
二 、定积分的应用
1、定积分在几何中的应用
（1）设连续函数 f (x) 和 g( x) 满足条件 g ( x)
f ( x) ， x [a,b] ．求曲线
y
f ( x) ， y g( x) 及直线 x a, x b 所围成的平面图形的面积 S ．（如图 1）
解法步骤：
第一步：在区间 [a,b] 上任取一小区间 [ x, x dx] ，并考虑它上面的图形的
面积，这块面积可用以 [ f (x)
g ( x)] 为高，以 dx 为底的矩形面积近似，于是
dS [ f ( x) g(x)]dx ．
b 第二步：在区间
[a,b] 上将 dS 无限求和，得到 S
[ f ( x) g( x)] dx .
a
（2）上面所诉方法是以 x 为积分变量进行微元， 再求得所围成图形的面积；
我们还可以将 y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。

由连续曲线
x
( y) 、 x ( y) 其中 ( y)
( y) 与直线 y c 、 y
d 所围成的平面图形（图
2）的面积为：
图 2
d
[ ( y)( y)] dy
S
c
例 1 求由曲线
y sin x ，y cos x 及直线 x 0 ，
所围成图形的面积 A ．
x
解 （1）作出图形，如图所示．
易知，在 [ 0, ] 上，曲线 y sin x 与 y
cosx 的交点为 ( ,
2
) ；
4 2
（2）取 x 为积分变量，积分区间为 [ 0, ] ．从图中可以看出，所围成的 图形可以分成两部分；
（3）区间 [0, ] 上这一部分的面积 A 1 和区间 [ , ] 上这一部分的面积 A 2
4
4
分别为
A 1
4
(cos x sin x) dx ，
A 2
(sin x cos x)dx ，
4
所以，所求图形的面积为
A A 1
A 2
= 4 (cos x sin x)dx + (sin x cos x)dx
4
sin x cosx
4
cosx sin x
2 2 ．
4
2 2
例 2 求椭圆 x
2
y 2 1的面积 .
a
b
解
椭圆关于 x 轴, y 轴均对称 , 故所求面积为第一象限部分的面积的
4倍,即
S 4S 1 4
a
利用椭圆的参数方程
x a cost ydx
y b sint
应用定积分的换元法 , dx asintdt , 且当 x
0 时, t
, x a 时, t 0 , 于
2
是
S 0
bsin t( acost )dt
4
2
4ab 2 sin 2 tdt
4ab
2 1
cos2t dt
2
4ab t 1
sin 2t 2 ab
2 4 0
2．求旋转体体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例
如一个木块的体积， 我们可以将此木块作分割 T : a x 0 x 1
x n
b 划分
成许多基本的小块，每一块的厚度为
x i (i 1,2,
, n) ，假设每一个基本的小
块横切面积为 A( x i )(i 1,2, , n) ， A( x) 为 a, b 上连续函数，则此小块的体积大 约是 A(x i ) x i ，将所有的小块加起来，令 T0 ，我们可以得到其体积：
n
b。

V
lim
A( x i ) x i
A( x)dx
T 0
i 1
a
例 2 求由曲线 xy
4 , 直线 x 1, x
4 , y 0 绕 x 轴旋转一周而形成的
立体体积 .
解 先画图形，因为图形绕 x 轴旋转，所以取 x 为积分变量，
x 的变化
区间为 [1,4] ，相应于 [1 ，4] 上任取一子区间 [ x , x +dx ] 的小窄条，绕 x 轴旋
转而形成的小旋转体体积，可用高为
dx ，底面积为 πy 2 的小圆柱体体积近似
代替，
即体积微元为
y
dV = πy 2
dx = π 4 2 dx ,
x
于是，体积
xy=4
V =π 4 ( 4) 2
dx
O 1 x x+ dx 4
x
1
x
=16π
4 1 dx
1 x 2
16 π1
14 =12π.
x
3. 求曲线的弧长
（1）设曲线 y
f ( x) 在 a,b 上有一阶连续导数（如下图） , 利用微元法，
取 x 为积分变量，在 a, b 上任取小区间 x, x dx ，切线上相应小区间的小段
MT 的长度近似代替一段小弧 MN 的长度，即 l MN ds . 得弧长微元为：
ds MT( dx) 2
(dy) 2
1
( y ) 2 dx , 再对其积分， 则曲线的弧长为： s
b b b ds
1 ( y )
2 dx
1 [ f ( x)]
2 dx
a
a
a
（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线的弧长 . 这时弧长微元为：x (t ) 上 t , 一段y (t )
dsdx dy 2 dy 2 2 t 2 t dt
dx dt 即 ds
2 2
dt dt
则曲线的弧长为sds [ (t )] 2 [ (t )] 2 dt
例3(1) 求曲线 y 2 x23
3
上从 0 到 3 一段弧的长度
解由公式s =b 1 y 2 dx（a b）知,弧长为
a
3 3 s = 1 y 2 dx =
0 0 1 xdx =
2 3
03 =16 2=14.
(1 x) 2
3 3 3 3
(2) 求摆线x a(t sint ),
在0t 2上的一段弧的长度（a0 ）．y a(1 cost)
解取 t 为积分变量，积分区间为 [ 0, 2 ] ．由摆线的参数方程，得x a(1 cost ) ， y asin t ，
x 2y 2 a 2 (1 cost) 2 a 2 sin 2 t a 2(1 cost ) 2a | sin t
|．2
于是，由公式（ 16-13 ），在0t 2上的一段弧的长度为
2 s
0 2a | sin
t
| dt
2
2
2a sin
t
dt4a cos
t
2 2
2
8a
2、定积分在经济中的应用
（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量
根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量 x 的变动区间 [ a,b] 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[ a,b] 上的定积分：
R(b) R(a) b R (x)dx
a
C (b) C (a) b
C ( x) dx
（1）
（2）a
b
（3）
L(b) L(a)L ( x)dx
a
例 1 已知某商品边际收入为
0.08x
（万元 /t ），边际成本为 5（万元
25
/t ），求产量 x 从 250t 增加到 300t 时销售收入
，总成本 C
，利润
R( x)
(x)
I (x)
的改变量（增量）。

解
首先求边际利润
L ( x) R ( x) C ( x)
0.08 x 25 5
0.08x 20
所以根据式（ 1）、式（ 2）、式（ 3），依次求出：
R(300) R(250)
300 300
0.08 x 25)dx =150 万元
R ( x) dx (
250
250
C (300) C (250)
300 300
C ( x) dx
dx =250 万元
250 250
L(300) L (250)
300 300
0.08 x 20)dx = 100 万元
L (x)dx
(
250
250
（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率
t 2
f (t )dt
设某经济函数的变化率为 f (t ) ，则称
t 1
为该经济函数在时间间隔
t 2 t 1
[t 2 , t 1 ] 内的平均变化率。

例 2 某银行的利息连续计算，利息率是时间 t （单位：年）的函数：
r (t) 0.08 0.015 t
求它在开始 2 年，即时间间隔 [0 ，2] 内的平均利息率。

解 由于
2 2 0.16 0.01t t 02
0.16 0.02 2
r (t )dt
(0.08 0.015 t )dt
所以开始 2 年的平均利息率为
2
r (t )dt
r
0.08 0.01 2
0.094
2
例 3 某公司运行 t （年）所获利润为 L(t ) （元）利润的年变化率为
L (t ) 3 105 t 1
（元 / 年）求利润从第 4 年初到第 8 年末，即时间间隔 [3 ，
8] 内年平均变化率
解由于
8 8 3
5 (t 1)2 83 38 105
L (t )dt 3 105 t 1dt 2 10
3 3
所以从第 4 年初到第 8 年末，利润的年平均变化率为
8
L (t) dt
5 （元/ 年）
3 7.6 10
8 3
即在这 5 年内公司平均每年平均获利7.6 105元。

（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在 t （年）时的收入为 f (t) （万元），年利率为 r ，即贴现率是 f (t )e rt，则应用定积分计算，该项目在时间区间 [ a, b] 上总贴现值的增量
b
rt ndt 。

为 f (t )e
a
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为 a （万元）年利率为r ，银行利息连续计算。

在进行动态经济分析时，把
竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式
T
rt dt A
ae
成立的时间 T（年）称为该项工程的投资回收期。

例 4 某工程总投资在竣工时的贴现值为 1000 万元，竣工后的年收入预计为 200 万元，年利息率为，求该工程的投资回收期。

解这里 A 1000 ，a 200 ，r 0.08，则该工程竣工后T年内收入的总
贴现值为T 0.08t dt 200 0.08t T 2500(1 e 0.08T )
200e e 0
0 0.08
令 2500(1 e 0.08T ) =1000，即得该工程回收期为
1
ln(1 1000 1
T ) ln 0.6 =（年）
0.08 2500 0.08
3、定积分在物理中的应用
1、求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数
v=v (t) ( v(t)≥0)在时间区间[a,b] 上的定积分，即 b
sv(t )dt
a 例 1 、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
3t,0 t 10,
v(t ) 30,10 t 40
1.5t 90, 40 t 60.
因此汽车在这 1 min行驶的路程是：
s 10 [ 40 30dt 60 ( 1.5t 90) dt
3tdt
10 40
3 t 2 |100 30t |1040 ( 3 t 2 90t ) |4060 1350(m)
2 4
答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定
积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向
学习、思维的妙处 . 因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅
能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃
思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.。