南溪一中创新部高2012级数学期末模拟(二)

南溪一中创新部高2012级数学期末模拟（二）
1. 复数234
1i i i i
++=-( ）
A.1122i -
- B. 1122i -+ C. 1122i - D. 1122
i + 2.设函数f (x )＝2
x
＋ln x ，则 ( )
A ．x ＝12为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点
3.下列4个命题:（1）命题“若a b <，则22am bm <”；
（2）“2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件； （3）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若1
(1),(10)2
P p P p ξξ>=-<<=
-则； （4）命题“x R ∃∈，02
>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02
<-x x ”
其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（ ）
A ．210
B ．420
C ．630
D ．840
5．将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于 ( ) A
9160 B 21 C 185 D 216
91 6.错误！未找到引用源。

已知命题P ：函数)1(log +=x y a 在),0(+∞内单调递减；Q ：曲线1)32(2
+-+=x a x y 与x 轴没有交点．如果“P 或Q ”是真命题，
“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)25,1(]21
,0( B ．),25(]21,0(+∞ C ．)25,1()1,21[ D ．),2
5()1,21[+∞
7．(
)1n
a x
b y -+展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为 （ ）A ．2,1,5a b n ==-= B ．1,2,6a b n =-== C ．1,2,5a b n =-== D ．2,1,6a b n =-=-=
8．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为( ）. A ．131
(,,)243
B ．123(,,)234
C ． 447(,,)333
D ．448(,,)333
9. 设函数()x f x m
π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A. ()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞
10. 设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ',()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x '',若在区间(),a b 上
()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数” ．已知()432
1131262
f x x mx x =
--,若对任意满足2m ≤的实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”，则b a -的最大值为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
11.某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是 ． 12．()
10
10
2
21010
2x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-设,则()()2
9312
1020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++ 的 值为
13．已知函数f (x )＝
x 3
－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．
14.某单位拟安排6位员工在今年5月1日至3日（劳动节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值1日，乙不值2日，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）42 15. 下列命题：
①若函数()x x x h 4
4sin cos -=，则012=⎪⎭
⎫ ⎝⎛'πh ；
②若函数()()()()()()20132012321-----=x x x x x x g ，则()!20122013='g ；
③若三次函数()d cx bx ax x f +++=23，则“0=++c b a ”是“f (x )有极值点”的充要条件;
④函数()x x x f cos 2sin +=的单调递增区间是()222,233k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭． 其中真命题为________．(填序号)
16.(12分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．
17.某学校高一年级组建了A 、B 、C 、D 四个不同的“研究性学习”小组，要求高一年级学生必须参加，
且只能参加一个小组的活动. 假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的. （1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数； （2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率；
（3）设随机变量X 为甲、乙、丙三名同学参加A 小组活动的人数，求X 的分布列与数学期望EX .
18．已知函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x (a ≠0)．
(1)若f (x )，g (x )的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a 的值；(2)设F (x )＝f (x )－2g (x )，求函数F (x )的极值．
19．（本小题满分12分）已知椭圆()01
22
22>>=+b a b
y a x 的离心率为1
2，长轴长为4，M 为右顶点，过右焦点F 的
直线与椭圆交于A 、B 两点，直线AM 、BM 与x= 4分别交于P 、Q 两点，（P 、Q 不重合）．
(1)求椭圆的标准方程； (2)求证：0=∙．
E
A
20.如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC
＝90°，AB＝AD＝
1
2
CD＝1，PD
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求直线PA与平面PBC所
成角的正弦值；
（3）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC
所成锐二面角的大小为
3
π
？
21．(本小题满分14分) 设函数()ln
f x x x
=(0)
x>.
（Ⅰ）求函数()
f x的最小值；
（Ⅱ）设2
()()
F x ax f x
'
=+()
a∈R，讨论函数()
F x的单调性；
（Ⅲ）斜率为k的直线与曲线()
y f x
'
=交于
11
(,)
A x y、
22
(,)
B x y
12
()
x x
<两点，
求证：
12
1
x x
k
<<.
南溪一中创新部高2012级数学期末模拟（二）
1.C
2. D
3.B
4.C
5.A
6.A
7.C 8D 9. 10.C 11.4
9
12.1 13.(－2,2) 14 42 15 (2)(4)
设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x ，y ，z ，
由题意有⎩⎨⎧
x (1－y )(1－z )＝0.08
xy (1－z )＝0.12
1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，
解得⎩⎨⎧
x ＝0.4y ＝0.6
z ＝0.5
. （4分）
(1)∵函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，∴ξ＝0. ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z )
＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24. （8分） (2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为
∴E (ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.
解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有6443
=种. （4分）
（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为83
4
33
4=A ，
所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为8
5
831=-. ------------------- （8分） （3）由题意X 的可能取值为：0，1，2，3
642743)0(33===X P ，6427
43)1(3
213===C X P ，
64943)2(323===C X P ，161
4
)3(33
3===C X P ，------------------------ （12分）
所以X 的分布列如下：
故数学期望4
643642641640=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . -----------------（14分） 8．解：(1)因为f (1)＝0，g (1)＝0，
所以点(1,0)同时在函数f (x )，g (x )的图像上，因为f (x )＝x 2－1，g (x )＝a ln x ， 所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝a
x ，
由已知，得f ′(1)＝g ′(1)， 所以2＝a
1
，即a ＝2.
(2)因为F (x )＝f (x )－2g (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，
所以F ′(x )＝2x －2a x ＝2(x 2
－a )
x
，
当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0， 所以F ′(x )>0对x >0恒成立， 所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增， F (x )无极值； 当a >0时，
令F ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)， 所以当x >0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：
所以当x ＝a 时，F (x )取得极小值， 且F (a )＝(a )2－1－2a ln a ＝a －1－a ln a .
综上，当a <0时，函数F (x )在(0，＋∞)上无极值；当a >0时，函数F (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 解：（1）由题意有2,42==a a ,2
1
==
a c e , 1=c , 32=
b ∴椭圆的标准方程为 13
42
2=+y x （2）当直线AB 与x 轴垂直时，则直线AB 的方程是1=x ， 则A （1，
23）B （1，—2
3
）
AM 、BM 与x=4分别交于P 、Q 两点，A,M,P 三点共线，，共线 可求)3,4(-P ，∴)3,3(-=，同理：)3,4(Q ， )3,3(= ∴0=⋅FQ FP 命题成立。

若直线AB 与x 轴不垂直，则设直线AB 的斜率为k ，（0≠k ） ∴直线AB 的方程为0),1(≠-=k x k y 又设),(),,(),,(),,(44332211y x Q y x P y x B y x A
联立⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=134
)1(22y x x k y 消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k
∴ 2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+ ∴2
2212
21439)1)(1(k
k x x k y y +-=--= 又∵A 、M 、P 三点共线，∴22113-=
x y y 同理2
222
4-=x y y ∴)22,
3(11-=x y FP ，)22,3(22-=x y FQ ，∴04
)(24921212
1=++-+=⋅x x x x y y FQ FP
综上所述：0=⋅FQ FP
解析：（I ）证明：在矩形PDCE 中，连结PC 交DE 于N ，则点N 为PC 的中点．在APC ∆中，点M 为PA 的中点，点N
为PC 的中点，AC MN ∴．又MN ⊂平面,MDE AC ⊄平面,MDE AC ∴平面MDE
由90,ADC ∠=︒则AD CD ⊥．由平面PDCE ⊥平面ABCD 且平面PDCE 平面ABCD CD =，得AD ∴⊥平面
,.PDCE AD PD ∴⊥又矩形PDCE 中.PD CD ⊥以D 为原点，,,DA DC PD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则(
)(()(
)(1,0,0,0,0,,1,1,0,0,2,0,1,0,,A P B C AP ∴=-()
()0,2,2,1,1,0.CP BC =-=- 设平面
PBC 的法向量为(),,,n x y z =
20,
0.CP n y BC n x y ⎧⋅=-=
⎪∴⎨
⋅=-+=⎪⎩
可取(n =． 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则3
sin AP n AP n
θ⋅=
=
⋅
（3）设C Q C P λ=，得()
0,22,Q λ-．设平面
QAD 的法向量为()11
11,,,n x y z =则由()111110,
20.
AD n x DQ n y z λ⎧⋅
==⎪⎨⋅=-=⎪⎩得()
10,22.n λ=-
由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为3
π
得，11311cos ,32322n n n n πλ⋅===∴=⋅或1λ=（舍）．
故在PC 上存在Q 满足条件．
20.（Ⅰ） 解：()ln 1f x x '=+(0)x >，令()0f x '=，得1
x e
=
. …………2分 ∵当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e
∈+∞时，()0f x '>， …………3分
∴当1x e =时，min 111
()ln f x e e e
==-. …………4分 （Ⅱ）2
()ln 1F x ax x =++(0)x >，2121()2(0)ax F x ax x x x
+'=+=
>. …………5分 ① 当0≥a 时，恒有()0F x '>，()F x 在),0(+∞上是增函数； …………6分
② 当0<a 时，令()0F x '>，得2
210ax +>,
解得0x <<
…………7分 令()0F x '<，得2
210ax +<
，解得x >
…………8分 综上，当0≥a 时，()F x 在),0(+∞上是增函数；
当0<a 时，()F x
在
上单调递增，在)+∞上单调递减. …………9分 （Ⅲ） 证：2121
2121
()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==
--. 要证121x x k <<，即证211221
ln ln x x x x x x -<<-，等价于证2
122
11
11ln x x x x x x -<<，令21x
t x =， 则只要证1
1ln t t t
-<<，由1t >知ln 0t >，故等价于证ln 1ln (1)t t t t t <-<> (*). ① 设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1
()10(1)g t t t
'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞上是增函数，
∴ 当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>.
② 设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞上是增函数， ∴ 当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>.
由①②知(*)成立，得证. …………14分。