高中物理-等效法处理“填补法”类题目

等效法处理“填补法”类题目

在万有引力和静电场一章，有一类题目，在物质或电荷的几何分布出现对称的破缺后，若直接用微元法和平行四边形定则求解，数学计算繁复。对这类题目，大多资料介绍的方法是填补法：若填补这些空缺后，使得原来不对称的分布变成对称的分布，从而根据对称性，用现有的物理规律即可获得待求的物理量。不过，“填补法”思路实际上打的是迂回战术，需要先填回去再挖掉，这样的反复对学生提出了较高的思维能力要求，致使其掌握效果不佳。

笔者为克服“填补法”的这个缺陷，在总结了大量类似题目后，提出了一种更直接的方法——等效法，这种方法从数学角度讲和“填补法”是等价的，但是因为思路直接，对学生思维能力要求低，所以学生掌握起来就相对容易一些。特此介绍，并期与同行交流。

【例1】如图所示，阴影区域是“质量为M 、半径为R 的球体”挖去

一个小圆球后的剩余部分．所挖去的小圆球的球心O ′和大球体球心间的

距离是R /2．求球体剩余部分对球体外离球心O 距离为2R 、质量为m 的质

点P 的引力F 。

【解析】填补法分析：先将挖去部分填补回去，则可得到填补后的球

体对m 的引力2

)2(R Mm G

F =合，这个合F 实际上是如图阴影部分和挖去部分对m 的引力的矢量和，即F F F +'=合；而挖去部分对m 的引力为22

181)2(R R m M G F +⨯='，联立解得210023R Mm G F = 等效法分析：空腔部分可看做是质量为8M 和8

M -的均匀球体组成*，其中8M 部分与阴影部分对m 的引力21)2(R Mm G F =，8

M -对m 的斥力为221812)2(R R m M G F +⨯=，两力的矢量和为22110023R GMm F F F =-=。 【例2】如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是半径为r 的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A 点处的电荷量为－q 外，其余各点处的电荷量均为＋q ，则圆心O 处( )

A ．场强大小为kq r 2，方向沿OA 方向

B ．场强大小为kq r 2，方向沿AO 方向

C ．场强大小为2kq r 2，方向沿OA 方向

D ．场强大小为2kq r 2，方向沿AO 方向 【解析】填补法分析：先将A 点处－q 换成＋q ，这时由对称性可知，O

点处场强为零，这个零场强实际上是B 、C 、D 、E 四点的电荷的合场强E 1与A 点处＋q 的场强E 2

的矢量和，由E 1+E 2=0可知，E 1方向向上，大小为kq r 2；然后将A 点处＋q 换回成－q ，则－q 在O 点的场强2E '方向向上，大小为kq r 2，2E '与E 1的叠加，得到C 答案。 等效法分析：将A 处的－q 看做是＋q 和－2q 组成，A 点处＋q 与B 、C 、D 、E 四点的＋q 在O 点处场强为零，这时，只需要考虑－2q 在O 点处场强，直接选C 。

【总结】“等效法”的思路就是将“导致不对称的那个部分”视为“两个相反部分”叠合在一起形成的，其中一部分与原来的其余部分组合形成对称分布，从而达到简化计算的目的。

【例3】如图1所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P

（坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E =2πκσ()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-21221x r x ，方向沿x 轴。现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为

A. 2πκ0σ()2122x

r x + B. 2πκ0σ()

2122x

r r + C. 2πκ0σr

x D. 2πκ0σx r 【解析】等效法分析：将图2中空

白部分看做是电荷面密度分别为0σ和0σ-的两部分的组合，其中面密度分别为0σ的部分与灰色部

分组合在一起后在Q 点场强为1E =20πκσ（分析：∞→r ，()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-21221x r x =1），而面密度分别为0σ-的部分在Q 点场强为2E =20πκσ()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-21221x r x ，1E 与2E 方向相反，则两者的矢量和为2πκ0σ()

2122x r x +，本题选A 。 【例4】如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向(即PO 方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。已知引力常数为G 。

设球形空腔体积为V ，球心深度为d (远小于地球半径)，PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常。

【解析】等效法分析：空腔部分可看做是密度为ρ和ρ-两部分的组合，其中密度为ρ的部分与周围岩石、整个地球形成所谓正常重力加速度。造成“重力加速度反常”就是那个密度为ρ-的部分，这个部分在Q 处产生的“引力加速度”为 g ∆=r

M

G 2，方向沿OQ 斜向上 其中V M ρ=，22x d r +=.

重力加速度反常g '∆是这一改变在竖直方向上的投影

g r d g ∆=

'∆ 联立解得 2/322)

(x d Vd G g +='∆ρ. *“负质量”是一个数学等效的假设，负质量的物体对正质量的物体的“万有引力”是斥力。负

质量与正质量同时存在的区域如同正负电荷一样会“中和”（此处分析时不涉及能量问题）。