第二章角动量方案

定义冲量矩：
tb
Mdt

ta
b a dL Lb La
角动量定理的另一形式
在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程 中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在 该过程中的增量。
注意：
r 1. 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受
的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对
道运动对定点（太阳）的角动量：
L

L r p m(r v)

大小： L mvr sin
o
vθ r
方向：垂直于轨道平面
【补充例】 一质量为m、长为L的均匀细棒， 可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转 动，已知细棒与桌面的摩擦因素为 ,求棒转动 时受到的摩擦力矩的大小。
半径r为多少(用地球半径R以及地球表面附近的重力
加速度g表示结果)?
解： 在地面处， 飞船在3R处绕地球作匀速圆周运动
以无穷远为势能零点，为脱离 地球，系统机械能至少为零
飞船从3R处运动到12R处，系统机械能守恒
在此过程中，飞船相 对地心的角动量守恒
其中为飞船在离地心12R处的速
度与径向之间的夹角(见图)。
考虑到在地面附近 故
联立求解，得
(2)人造地球卫星在近地点处的法向加速度分量为
利用
an

1
r
v12
得近地点处轨道的曲率半径为
r

1 an
v12

2Rg / 3 g/4

8R 3
【例2-32】如图所示，质量为m的飞船绕质量为M的 地球作匀速圆周运动，轨道半径为3R(R为地球半径)， 它的运行速率v0为多少?飞船在此处要将它的运动速 度至少增加到v1为多少时，才能飞离地球?若飞船在 3R处将速度增加到v1后关闭发动机，在离地心为12R 处，它的切向加速度分量at为多少?该处轨道的曲率

r

mv


bi

1
gt 2
j

m gtj

bm gtk
2
【补充例】质点的圆周运动
L
（对圆心的）角动量：

o v
L r (mv) mr v (r v)
rm
大小：L mvr sin mvr 方向：
【补充例】 行星在绕太阳公转时的椭圆轨
【解】（1）小球受力： 重力mg，约束反力 N。小球的运动方程
h v0
N α mg
(2) 当初速度v1＝2v0时， 平衡不成立。小球 x 作螺旋运动。机械 能守恒，设上升得 h 最大高度x，其速 度为v2 ，则
N
v1
mg
α
以圆锥顶点为参考点，合力矩方向始终在水平面内， 所以沿圆锥轴线得角动量分量守恒
（4）
2h gh 上两式联立可得 v2 h x
由（4）、（5）式得到
x3 3h2xx2，3＝ 0 3h
（5）
得： x 3h
【例2-31】如图所示，人造地球卫星近地点离地r1=2R (R为地球半径)，远地点离地心r2=4R。求：(1)卫星在 近地点及远地点的速率v1和v2。 (用地球半径R以及地球 表面附近的重力加速度g表示)；(2)卫星运行轨道在
N T
mg
解：
质点受到重力mg、桌面支持力N和绳子拉力T的共 同作用。选O为参考点，mg和N平衡，对点O的合 力矩为零。绳子拉力T通过点O，它的力矩也为零。
因此，所有作用力对点O的合力矩等于零。质点m 在运动过程中相对点O的角动量守恒，即 因此，得 质点动能的变化为
因为R1 < R0 ，所以△Ek>0，即质点的动能增加。增 加的这部分能量来源于力F所做的功。

M

r

F
L r mv
冲量


I

t2
t1
Fdt
力与动量 d mv
F
dt
冲量矩

t2
t1
Mdt
力矩与角动量

dL
M
dt
动量定理tt12(冲Fd量t 与 动m量v2)

m
v1
角动量定 理(冲量矩与 角动 量)
t2
t1
Mdt

L2
和质点的角动量。
mg
v
解
张力力矩

RT
O 方向 v
A
r
T

0
方向
重力力矩
R
vmg
r vmg
合力力矩 角动量
R

(mg

T)

0
R

mv

c
r

(mg

T)
r mg v
r mv
【例2-29】如图所示，质点受轻绳的约束在光滑的水 平桌面上运动。开始时质点绕点O作半径为R0的匀速 圆周运动，速率为v0。若用外力F通过轻绳使质点的圆 周运动半径减小到R1，问质点的运动速率变为多少?动 能如何变化?
L L0
有时质点在运动过程中所受力矩在某个方向上的分量为零，
则在该方向上的角动量分量守恒，例如
时，
(恒量)

L
如行星在太阳的万有引力的作用
下，显然，相对于太阳的力矩为 零，相对于太阳的角动量不变， 不但大小不变，而且方向不变，
v

m·
F
r

行星的轨道在同一平面内。
S
L mrv sin L0
§2.3 角动量定理
力矩是通过分析引起转动状态改变的原因而引入的。
本部分通过研究力矩的时间累积效应，引进冲量矩的
概念，建立刻画与力矩的作用效果有关的质点运动
状态的另一描述量—角动量，推导出质点角动量定
理，并将之推广到质点系的一般情形，并考虑了重
要的力矩的时间累计效应为零这一特殊情形。作为
力学基本定理的总结，本部分扼要介绍对称性与守
Fx Fy Fz



(zFx xFz ) j (xFy yFx )k M xi M y j M zk
二、质点的角动量、角动量定理
在惯性参考系中，一质点

z
的角动量 L
L r p r mv
r
为质点的位置矢量
方向由右手螺旋规则确定
【例2-30】 将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形
碗的内面水平地投射, 碗保持静止, 如图, 设 v0 是质 点恰好能达到碗口所需的初速率。(1) 试说明质点为
什么能到达碗口? (2) 求 v0 与 0 的关系。 (0 是质点
的初始角位置，O为球心)
解： (1)如图，设碗对小球的支持力
z
为N，其水平分量提供了小球
到达碗口后，沿碗 口作圆周运动
v
v0
z

0
v0
在小球上升过程中，相对于参考点O，支持力N的力
矩为零，但小球所受重力矩不为零（始终在水平面
内），即合力矩即重力矩M≠0，这样，小球对点O的
角动量不守恒。
但是，由于重力矩M在z方向的分量为零，即Mz=0， 所以，小球在上升过程中对点O的角动量L在z方向的


L (4i 3 j ) 6mj 24m k (Z轴正方向)
思考：该 时 刻 质 点 受 到 的 对0点 的力矩的大小和方向？
利用
M

r
F
【补充例】 t=0时，质量为m的质点由 P点自由下落。 问：1. 在任意t时刻，质点所受的对原点O的力矩?
2.在任意t时刻，质点对原点O的角动量。
mabmabcosk2 t k mab sin2 t k
【速求补 度：充为该例时 v】刻质6质j量点为受对力m0点为的的质角F点动，量2某j L时 刻？的（S位I）置y如图（，4，3）
解：分析

L

r

mv,
r 4i 3 j
0
x

ox
dx x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解： 如图，距O点为x，长为dx的质元dm
的质量 dm m dx l
其所受阻力矩 dM x(dmg)
M


xdmg

mg
l
L
0
xdx

1 2
mgL
ox
dx x
三、质点角动量守恒定律
M

d
L
若外力对某个固定点O的力矩为零时，dt即
M 0
，
则对同一固定点O的角动量不变，即 角动量守恒定律
绕 z轴做圆周运动的向心力。
小球圆周运动的速度v0越大， N就越大，当Ncos 0>mg时，
小球将向上加速，向碗口运动。

0
v0
当v0大到一定程度时，小球能到达
甚至飞出碗口。
(2)由题设条件， v0与0满足小球刚好能到达碗口,即
小球到达碗口时速度沿水平方向,沿碗口作圆周运动。
沿碗面螺旋上升
z
L mrv sin L0
L
v

dr
开普勒第二定律
F
r
m
L mvrsin

dr
m r sin
r dr
dr

2m
1 2
dt
r
dr
sin



三角形面积
2m dS
dt
dt
r
dS const. dt
力

动量
F P mv
力矩 角动量
动r ， a该c曲os线t在i 直 b角s坐in标t下j 的矢径为：
其解中：a、vv b、dddrtr
皆为常数，求该质点对原点的角动量。


a sin t i b cost j
a sin ti b cos tj
dt
L r mv
应的位矢 不同。物体所受的力矩不同。 r
2.何时M 为零？ a. F 0
b.力的作用线与轴相交
c.受到有心力作用
3.如果力 F的方向始终指向一个固定点，则该力就称为
有心力，该固定点称为这个力的力心。
受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。
【补充例】一质量为m的质点沿着一条空间曲线运
xO
p
r

P
y
大小： L pr sin
由矢量微商法则
d
A B

dA

B

A
dB
得
dL dt
dr
dt
p


r
ddtpdt
dt
dt

v

mv

r

F
rF M
M

d
L
dt
质点对固定点O的角动量定理
在惯性参考系中，质点对固定参考点的角 动量在任意时刻的时间变化率等于质点在 该时刻所受合外力对该点的力矩。
恒律的问题。
本 §2.3 .1 质点角动量定理与角动量守恒定律
部 分
§2.3 .2 质点角动量定理与角动量守恒定律
内 §2.4 对称性与守恒定律
容
§2.3.1 一、力矩
质点的角动量定理
M
z
力对参考点O的力矩：
F

M rF
r
为力的作用点的位置矢量
x
O
rP y
方向由右手螺旋规则确定。
在离地心12R处飞船加速度大小 方向指向地球球心
at

a cos


3g 288
an

a sin

g 288
r v22 / an 48R
【补充例】当一质量为 m2的飞船距一质量为 m1、半径为
R 的行星的中心 4R 处时，速度 为
分量守恒, 为

z
v
v0
设小球上升到碗口时速度为v，沿水平方向，则在此
处小球对点O的角动量沿z方向，大小为
故 又，小球上升过程系统的机械能守恒，即
v0
2gr
cos0
【补充例】在半角为α的圆锥面内壁距顶角h 的高处，有一个小球以初速度v0沿内壁水平方 向射出。设锥面内壁光滑。 （1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆 周运动，v0＝？； （2）若初速度为v1=2v0，求小球在运动过程 中的最大高度。
力矩大小： M Frsin
在直角坐标系中 r xi yj zk
F Fxi Fy j Fzk
z
i j k jk i k i j
k
j
iO
x
Py

i j k

M r F x y z (yFz zFy )i
L1
dL

L2

L1
动量守恒：某一时间间隔内， 角动量守恒：对固定参考点而
质点系所受外力矢量和始终 言，质点受到的合力矩始终为
为零，…
零，…
【补充例】一质量为m的质点以速率v作
A
圆锥摆运动。
求 分别以圆心O 和悬挂点A r mv
为参考点，分析张力力矩、
r
T

重力力矩、 合力力矩
m R O
近地点的曲率半径r。
y
v2
近地点
远地点
x
O v1
v2
远地点
y
近地点
x
O v1
解： (1)系统内的作用力是有心力，且为保守力，因此 系统对地心的角动量守恒。
在远地点和近地点，速度与相对于O点的位置矢 量垂直，所以有
机械能守恒
等式两边分别为卫星在近地点和远地点时的 角动量及机械能。引力势能的一般表示式为
M r F L r mv
P


解: 在任意t时刻 F mgj
Ob
x
v

gtj
r

xi

yj

bi

1
gt 2
j
2
y
M
r F
( bi
1
gt 2
j
)
mgj
bmg k
2
方向垂直于纸面向里
L