三角函数性和e指数形式的傅里叶变换

三角级数、傅里叶级数

对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：

1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……

显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn……

一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。

傅里叶级数的复数形式

根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，

e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示

一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。

傅里叶变换

周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行. 对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。

Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度

Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.

经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。

连续频谱

周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt 对应Ω与-Ω处两根谱线.