2020届九年级中考数学专题冲刺训练：《三角形综合》(解析版)
专题冲刺训练：《三角形综合》
1．数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．下面是小明同学探究过程，请补充完整：
如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设BP＝xcm，CP＝ycm，
【初步感知】
（1）当CP⊥AB时，则
①x＝ 1 ；
②y＝；
【深入思考】
（2）试求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）通过取点测量，得到了x与y的几组值，如表：
x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y/cm 2 1.8 1.7 1.8 2 2.3 2.6 3 3.5 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
1）建立平面直角坐标系，如图2，提出已补全后的表格中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
2）结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
①当0≤x≤1时，y随x增大而减小；
②当1≤x≤4时，y随x增大而增大．
解：（1）①当CP⊥AB时，
∵∠CPB＝∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠A＝30°，
∴BP＝BC＝1cm，
∴x＝1，
故答案为：1．
②∵∠BCP＝30°，∠BPC＝90°，BC＝2cm，
∴CP＝BC?cos30°＝2×＝（cm），
∴y＝．
故答案为：．
（2）过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴BD＝1，CD＝，
①当0≤x≤1时，如图1，PD＝1﹣x，
PC＝＝＝，∴，
②当1＜x≤4时，如图2，PD＝x﹣1，
PC＝＝＝．
综合①②得：y＝（0≤x≤4）．
（3）1）由（2）知y＝（0≤x≤4）．
当x＝1.5时，y＝≈1.8．
当x＝4时，y＝＝2．
故答案为：1.8；3.5．
补图：如图3，
2）性质：
①当0≤x≤1时，y随x增大而减小；②当1≤x≤4时，y随x增大而增大；③y的最小值为．
故答案为：当0≤x≤1时，y随x增大而减小；当1≤x≤4时，y随x增大而增大．
2．如图，在△ABC中，AC＝，tan A＝3，∠ABC＝45°，射线BD从与射线BA重合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线BD与线段AC相交于点D，点M是线段BD的中点．
（1）求线段BC的长；
（2）①当点D与点A、点C不重合时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接ME，MF，在射线BD旋转的过程中，∠EMF的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF的度数；
若变化，请说明理由．
②在①的条件下，连接EF，直接写出△EFM面积的最小值
．
解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝，tan A＝＝3，
∴AH＝1，CH＝3，
∵∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，
∴∠HCB＝∠CBH＝45°，
∴CH＝BH＝3，
∴BC＝CH＝3．
（2）①结论：∠EMF＝90°不变．
理由：如图2中，∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵DM＝MB，
∴ME＝BD，MF＝BD，
∴ME＝MF＝BM，
∴∠MBE＝∠MEB，∠MBF＝∠MFB，
∵∠DME＝∠MEB+∠MBE，∠DMF＝∠MFB+∠MBF，
∴∠EMF＝∠DME+∠DMF＝2（∠MBE+∠MBF）＝90°，
②如图2中，作CH⊥AB于H，由①可知△MEF是等腰直角三角形，∴当ME的值最小时，△MEF的面积最小，
∵ME＝BD，
∴当BD⊥AC时，ME的值最小，此时BD＝＝＝，∴EM的最小值＝，
∴△MEF的面积的最小值＝××＝．
故答案为．
3．△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC 于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ＝BD．
（1）如图1，厘清思路，完成解答：
本题证明的思路可以用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；
（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ＝，求PF的长．
（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．
（1）证明：如图1中，
∵△ADE是等边三角形，DP＝PE，
∴AP⊥DE，∠EAC＝∠DAP＝∠DAE＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴AF垂直平分线段BC，
∴BD＝CD，
∵∠CPD＝90°，DQ＝QC，
∴PQ＝CD，
∴PQ＝BD．
（2）解：如图2中，
当点P是AC的中点时，
∵DO是线段AC的垂直平分线，
∴B，D，P共线，
∵BA＝CD＝2PQ＝2，∠DFC＝90°，∠DCF＝30°，∴CF＝CD?cos30°＝3，
∵PC＝AC，CF＝BC，AC＝BC，
∴CF＝CP＝3，
∵∠PCF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴PF＝CF＝3．
（3）解：结论：PF＝CD．
理由：如图1﹣1中，连接PF，EC．
∵AC垂直平分线段DE，
∴CD＝CE，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，AF是△ABC的高，AP是△ADE的高，∴AP＝AE，AF＝AC，
∴＝，
∴＝，
∵∠PAF＝∠EAC＝30°，
∴△PAF∽△EAC，
∴＝＝，
∴PF＝EC＝CD．
4．综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠FCE＝30°，
∴EF＝EC＝2．
5．在△ABC中，CA＝CB＝3，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．
（2）在点P滑动的过程中，当AP长度为多少时，△ADP≌△BPC，为什么？
（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由：若可以，请直接写出α的度数．
解：（1）当PN∥BC时，∠α＝∠NPM＝30°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，
（2）当AP＝3时，△ADP≌△BPC，
理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，
∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，
∴∠α＝∠APD，
又∵AP＝BC＝3，
∴△ADP≌△BPC；
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，
则∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，
①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，
∴∠α＝45°；
②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，
∴α＝90°；
③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，
即120°﹣α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．
6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝2cm．动点P从点C出发，以lcm/s的速度在边BC的延长线上运动．以CP为边作等边三角形CPQ，点A、Q在直线BC同侧．连结AP、BQ 相交于点E．设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当t＝ 2 s时，△ABC≌△QCP．
（2）求证：△ACP≌△BCQ．
（3）求∠BEP的度数．
（4）设AP与CQ交于点F，BQ与AC交于点G，连结FG，当点G将边AC分成1：2的两部分时，直接写出△CFG的周长．
解：（1）∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，
∴当PC＝AB＝2时，△ABC≌△QCP．∴t＝2s，
故答案为2．
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵△CPQ是等边三角形，
∴∠PCQ＝60°，CP＝CQ，
∴∠ACP＝∠BCQ＝120°，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）．
（3）∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAP＝∠CBQ，
∵∠BEP＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BEP＝∠ABC+∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠BEP＝120°．
（4）如图1中，
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAF＝∠CBG，
∵CA＝CB，∠ACF＝∠BCG＝60°，∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴CF＝CG，
∵∠GCF＝60°，
∴△GCF是等边三角形，
当AG＝2CG时，CG＝cm，
∴△CFG的周长为2cm
如图2中，当CG＝2AG时，CG＝cm，△FCG的周长为4cm．
综上所述，△CFG的周长为2cm或4cm．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，BC＝13cm，点D在线段AC上，且CD＝7cm，动点P从距B点15cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动，时间为t 秒．
（1）求AD的长．
（2）用含有t的代数式表示AP的长．
（3）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出t值；
若不存在，请说明理由．
（4）直接写出t＝1或14或12.5或秒时，△PBC为等腰三角形．
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5cm，BC＝13cm，
∴AC＝＝＝12（cm），
∵CD＝7cm，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣7＝5（cm）．
（2）当0≤t≤10时，PA＝20﹣2t．
当t＞10时，PA＝2t﹣20．
（3）∵AD＝BD＝5cm，∠BAC＝∠PAD＝90°，
∴当AC＝PA时，△ABC与△ADP全等，
∴20﹣2t＝12或2t﹣20＝12，
解得t＝4或16，
∴满足条件的t的值为4或16．
（4）当BC＝BP时，15﹣2t＝13或2t﹣15＝13，
解得t＝1或14．
当CP＝CB时，PA＝AB＝5，则有2t﹣20＝5，解得t＝12.5．
当PC＝PB时，122+（2t﹣20）2＝（2t﹣15）2，解得t＝，
故答案为1或14或12.5或．
8．（1）如图①，已知线段AB，以AB为边作等边△ABC．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图②，已知△ABC，AB＝3，AC＝2分别以AB，BC为边作等边△ABD和等边△BCE，连接DE，AE．求AE的最大值．
（3）如图③，已知△ABC，∠ABC＝30°，AB＝3，BC＝4，P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP．求AP+BP+PC的最小值．
解：（1）如图1中，△ABC即为所求．
（2）如图2中，
∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴DE＝AC＝2，
∵AD＝AB＝3，AE≤AD+DE，
∴AE≤2+3，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5．
（3）如图3中，将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△TBD，连接PD，TC．作TE⊥CB 交CB的延长线于E．
∵∠ABP＝∠TBD，∠PBD＝90°，
∴∠CBT＝∠CBP+∠PBD+∠DBT＝∠PBD+∠CBP+∠ABP＝90°+30°＝120°，
∴∠CBT是定值，BT＝AB＝3，BC＝4，
∵PB＝PD，∠PBD＝90°，
∴PD＝PB，
∴PA+PB+PC＝DT+PD+PC，
∵TC≤TD+DP+PC，
∴PA+PB+PC的最小值为线段TC的长，
在Rt△ETB中，∵∠TBE＝60°，BT＝3，
∴BE＝BT＝，TE＝EB＝，
在Rt△ECT中，TC＝＝＝，
∴AP+BP+PC的最小值为．
9．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图23.4.2，写出完整的证明过程．
【结论应用】
如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥
BC交AC于点E，连结BE，M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．（1）求证：MN＝PN；
（2）∠MNP的大小是．
【教材呈现】：证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，＝＝，
∴DE∥BC，DE＝BC．
【结论应用】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°，∠ACB＝∠AED＝60°，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵EM＝MD，EN＝NB，
∴MN＝BD，
∵BN＝NE，BP＝PC，
∴PN＝EC，
∴NM＝NP．
（2）∵EM＝MD，EN＝NB，
∴MN∥BD，
∵BN＝NE，BP＝PC，
∴PN∥EC，
∴∠MNE∠ABE，∠PNE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠MNP＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝120°．
10．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE垂直为G，交ED于点F．
（1）求证：∠FAD＝2∠ABD；
（2）如图2，若AC＝CE，点D为AC的中点，求证AB＝AC；
（3）在（2）的条件下，如图3，若EF＝3，求线段DF的长．
（1）证明：如图1中，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD，
∴∠FGE＝90°，
∴∠EFG＝∠AFD＝90°﹣∠CED，
∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝∠CED+∠ABD，
∵∠CED＝∠ABD，
∴∠FAD＝2∠ABD．
（2）如图2中，
∵∠AFD＝90°﹣∠CED，∠ADB＝90°﹣∠ABD，∠CED＝∠ABD，∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，∠BFA＝180°﹣∠AFD＝180°﹣∠ADF＝∠CDE，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AF，
∴△ABF≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，
∵CE＝AC，
∴AB＝AC．
（3）连接AE，过点A作AH⊥AE交BD延长线于点H，连接CH．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAH，
设∠ABD＝∠CED＝α，则∠FAD＝2α，∠ACG＝90°﹣2α，