山东省莱芜一中2020-2021学年高三第上学期第一次质量检测(数学)数学答案
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第一次质量检测数学试卷答案
1-5.DABDA 6-8.ACB 9.ACD 10.AB 11.BD 12.AD
13.7 14.3 15.（0,1） 16（1）（2）
17.【解答】解：（1）因为31
sin −=α，且α为第四象限角，所以3
22sin 1cos 2=
−=αα可得4
2
tan ,322cos 2−=−
=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛−
ααπαsin （2）因为tan α＝2，所以5
2
1tan tan cos sin cos sin cos sin 2
22=+=+=
αααααααα． 18.解：（1）若选条件①，∵
，
∴由正弦定理得
，
∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，
∴＝，
，∵sin C ≠0，∴，∵0＜A ＜ð，∴3
π
A =
； 若选条件②，∵2a cos A ＝b cos C +c cos B ，
∴由正弦定理得2sin A cos A ＝sin B cos C +sin C cos B ，即2sin A cos A ＝sin （B +C ）＝sin A ，
2
1
cos =
A ，∵0＜A ＜ð，∴3πA =；
若选条件③，∵b C C a =+
21cos ，∴由正弦定理得B C C A sin sin 2
1
cos sin =+， ∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，∴C C A sin 2
1
cos sin +
＝sin A cos C +cos A sin C ，
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C C A sin 21sin cos =
，∵sin C ≠0，∴2
1
cos =A ，∵0＜A ＜π，∴3πA =； 所以不管选择哪个条件，3
π
A =
． （2）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，3
,3π
A a =
=
，即b 2+c 2﹣bc ＝3， ∵b 2+c 2≥2bc ，∴2bc ﹣bc ≤3，即bc ≤3，当b ＝c 时等号成立．∴bc 的最大值为3，
∵A bc S ABC Δsin 21
=
，4
3323321=
⨯⨯∴的最大值为ABC ΔS 19.解：（1）当0＜x ＜90时，2006021200402110022−+−=−⎪⎭
⎫
⎝⎛+−=x x x x x y ；
当x ≥90时，
，
∴．
（2）①当0＜x ＜90时，≤1600，
②当x ≥90时，＞1600，
当且仅当，即x ＝90时，y 取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元20.解：（1）∵
＝cos 2x +sin 2x +
sin x cos x
＝×+×+sin2x ＝sin2x ﹣cos2x +1＝sin （2x ﹣）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）∵x∈，可得2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣＝﹣时，f（x）最小值为，相应的x＝﹣；
当2x﹣＝时，f（x）最大值为，相应的x＝．
21.（I）.解：（1）当时，，
∴f'（x）＝（x+1）e x﹣x﹣1＝（x+1）（e x﹣1）．令f'（x）＝0，得x＝1或0，
∴f（x），f'（x）随x变化情况如下表：
x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+
f（x）增极大值减极小值增
∴f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝0处取得极小值f（0）＝0．
（2）当x＝0时，不等式恒成立．
当x＞0时，不等式f（x）≥0，即xe x﹣ax2﹣x≥0，等价于e x﹣ax﹣1≥0，
令g（x）＝e x﹣ax﹣1，∴g′（x）＝e x﹣a．∵x＞0，∴e x＞1，
当a≤1时，g′（x）＝e x﹣a≥0，g（x）单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，不等式成立，当a＞1时，g′（lna）＝0．
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∴x ∈（0，lna ），g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，∴g （x ）＜g （0
综上，a 的取值范围为（﹣∞，1]． 22.（1）解：
或a +1，
①a ＜0时，a +1＜1，f （x ）在（﹣∞，a +1）单调递减，（a +1，1②a ＝0时，a +1＝1，f （x ）在R 单调递减；
③a ＞0时，a +1＞1，f （x ）在（﹣∞，1）单调递减，（1，a +1（2）证明：，令h （x ）＝e x +x ﹣（a +1），h （0）＝﹣a ＜0，h （1）＝e ﹣a ＞0， ∴∃x 0∈（0，1），使得,0)1()(00000−+==+−+=x e a a x e x h x
x
∴g （x ）在（﹣∞，x 0）单调递增，（x 0，1）单调递减，（1，+∞所以g （x ）有唯一极大值x 0． （7分）
∴②（9分）
现在证明：．令，则所以，即③
综上，有②③可知：
（12分）