山东省莱芜一中2020-2021学年高三第上学期第一次质量检测(数学)数学答案

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山东省济南莱芜市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次质量检测试题(含解析).doc

山东省济南莱芜市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次质量检测试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，答题时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、写在答题纸密封线外，并将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．考试结束后将答题卡交回．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题．本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数12iz i-=，则z 的虚部为（） A. i - B. 1C. iD. 1-【答案】D 【解析】【分析】由题得2z i =--即得z 的虚部. 【详解】由题得12(12)221i i i i z i i i i --+====--⨯-，所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.下列求导运算正确的是（）A. sin cos 66ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ()333log xxe '=C. ()x x e e --'=-D.22sin cos x x x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：A 中，sin 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不正确； B 中，()33ln 3x x '=，所以不正确；C 中，()()x x x e x e e ---'⋅-'==-，所以是正确的；D 中，222222()sin (sin )2sin cos sin sin sin x x x x x x x x xx x x '''⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，所以不正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力. 3.已知随机变量()22X N σ~，，若()10.32P X <=，则()23P X <<=（）A. 0.32B. 0.68C. 0.18D. 0.34【答案】C 【解析】【分析】由随机变量()22X N σ~，，得到正态分布曲线关于2x =对称，结合对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量()22X N σ~，，可得2μ=，即正态分布曲线关于2x =对称，根据正态分布曲线的对称性，可得()12(1)120.32230.1822P X P X -<-⨯<<===.故选：C.【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布的性质，以及合理应用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】先根据函数()f x 的图像判断单调性，从而得到导函数的政府情况，最后可得答案.【详解】解：原函数的单调性是：当0x <时，单调递增，当0x >时，单调性变化依次为增、减、增，故当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()f x '的符号变化依次为“+、-、+”. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.5.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（） A.17B.13C.37D.310【答案】B 【解析】【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P （A ）、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值．【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P （A ）22342737C C C +==， 23271()7C P AB C ==， ()1(|)()3P AB P B A P A ∴==．故选B ．【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.6.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（）A.215B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =则1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：B【点睛】本题考查了空间中的角——线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.7.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得附表：参照附表，得到的正确结论是（）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A 8.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数，若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. c a b >>B. a c b >>C. a b c >>D.c b a >>【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()=F x xf x ，可知函数为偶函数且在()0+∞，上单调递增，a ，b ，c 可转化为()0+∞，的三个数的函数值，比较三个数的大小，利用函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】()()=F x xf x ，则()'()()'0=+<F x f x xf x ，当(),0x ∈-∞，()F x 单调递减又因为()f x 为R 上奇函数，所以()F x 为偶函数，当()0+x ∈∞，，()F x 单调递增. 0.331(3),(log 3),(log )=(2)(2)9π===-=a F b F c F F F其中，0.30.51332<<<，0log 3log 1πππ<<=0.323log 3π∴>>0.3(2)(3)(log 3)π∴>>F F F所以c a b >> 故选：A【点睛】本题考查了不等关系与不等式、函数的奇偶性以及函数的单调性等基本知识，考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9.下列命题正确的是（）A. 回归直线一定过样本点()11x y ，中的某个点B. 残差的平方和越小，回归方程的拟合效果越好C. 若1z ，2z C ∈，且22120z z +=，则120z z == D. 复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BD 【解析】【分析】根据回归直线的性质及回归分析判断AB ，根据复数的运算及复数的几何意义判断CD ；【详解】解：对于A ，回归直线一定过样本中心但不一定过()11,x y ，故A 错误；对于B ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B 正确；对于C ，1z ，2z C ∈，且22120z z +=，显然当11z i =+，21z i =-时22120z z +=，故C 错误；对于D ，复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点为()sin 2,cos2，因为22ππ<<，所以sin20>，cos20<，故点()sin 2,cos2位于第四象限，即D 正确；故选：BD【点睛】本题考查回归分析及复数的运算与复数的几何意义，属于基础题. 10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B. 若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C. 设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D. 若0a b ⋅<，则,a b 是钝角【答案】ABC 【解析】【分析】根据共线向量的概念，可判定A 是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B 是正确的；根据空间基底的概念，可判定C 正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确故选：ABC.【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（） A. 若A 、B 两人站在一起有24种方法 B. 若A 、B 不相邻共有72种方法 C. 若A 在B 左边有60种排法 D. 若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 利用捆绑法求解；对于B 利用插空法求解；对于C 利用倍分法求解；对于D 利用特殊元素优先法求解【详解】解：对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有242448A A =种，所以A 不正确；对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有323472A A =种，所以B 正确；对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602A =种，所以以C 正确；对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有4113433378A A A A +=种，所以D 正确，故选：BCD【点睛】此题考查排列、组合的应用，利用了捆绑法、插空法、倍分法，特殊元素优先法等，属于中档题.12.已知函数3()xf x e x =⋅，则以下结论正确的是（） A. 3x =-是()f x 的极大值点 B. 方程()1f x =-有实数解C. 函数()y f x =有且只有一个零点D. 存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解【答案】BCD 【解析】【分析】函数求导2)(3)(xf x e x x '=+,利用单调性，得到函数图象，由图象可得答案.【详解】23)(()x f x x x e =+'，令2(3)0()x f x e x x +'>=解得3x >-所以3()x f x e x =⋅在(,3)-∞- 单减，在(3+)-∞，单增，且(0)0f =作出函数图象，则 ()f x 在3x =- 取得极小值，无极大值，故A 错误;因为极小值3(3)271f e--=-<-，方程()1f x =-有实数解，故B 正确；因为0x <时，()0f x <，因为0x >时，()0f x >，只有(0)0f =，故C 正确；由图象可得正确.(也可由3x kx e x =⋅，得0x =或2x k e x =，令2()xh x e x =，求导()(2)0x h x e x x '=+<，则20x -<< ，故2()x h x e x =在(2,0)-上单减，在(,2)-∞-和(0,+)∞上单增，由图知存在实数k ，使得2x k e x =有三个实根，故存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解)故选：BCD【点睛】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想.第Ⅱ卷二、填空题．把答案写在答题纸上．13.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．【答案】0.58 【解析】由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的，因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，所以两人都击中目标的概率为：0.6×0.7=0.42，所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：1−0.42=0.58. 故答案为0.58.14.设离散型随机变量X 的概率分布如下，X0 1 2P16 13p若随机变量Y 满足21Y X =-，，则()E Y =______()D Y =______．【答案】 (1). 53 (2). 209【解析】【分析】由分布列的性质，列出方程求得12p =，进而得到45(),()39E X D X ==，再结合21Y X =-，进而求得(),()E Y D Y ，得到答案.【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得11163p ++=，解得12p =，所以22211144141415()012,()(0)(1)(2)63233633329E X D X =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯=，又因为21Y X =-，所以45()2()12133E Y E X =-=⨯-=，2520()2()499D Y D X =⨯=⨯=. 故答案为：53;209. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算，其中解答中熟记分布列的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 15.疫情期间，某医院科室要从6名男医生、5名女医生中选派三人去支援武汉，要求至少有男女医生各一名，则不同的选法有______种．【答案】135 【解析】【分析】根据题意分两类进行分析：1男2女和2男1女，然后由分类计数原可得. 【详解】解：根据题意分两类进行分析：（1）1男2女，有126560C C =种选法；（2）2男1女，有216575C C =种选法，则不同的选取方法有6075135+=种，故答案为：135【点睛】此题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题. 16.已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=ax-，若至少存在一个0[1,]x e ∈，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为_______.【答案】()0,∞+ 【解析】【详解】由题意得不等式1()2ln a a x x x x -->- 在[1，e ]上有解,即min 2ln ()xa x> 令min 22ln 22ln ,[1,]0,1,0,0x xy x e y x y a x x -=∈∴=≥==∴'∴>. 故答案为：()0,∞+【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三．解答题．要求写出主要的证明、解答过程．17.（1）在()1nx +的展开式中，若第3项与第6项系数相等，求n ．（2）n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中的有理项．【答案】（1）7；（2）12,28x x . 【解析】【分析】（1）根据二项式()1n x +的通项公式，结合组合数的性质进行求解即可；（2）根据二项式n⎛⎝展开式奇数项的二项式系数之和公式，结合二项式n⎛⎝的通项公式进行求解即可. 【详解】（1）二项式()1nx +的通项公式为：11r n r r r rr n n T C x C x -+=⋅⋅=⋅，因为第3项与第6项系数相等，所以25527n n C C n n =⇒=-⇒=；（2）因为n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，所以有135128n n n C C C +++⋅⋅⋅=，即12128n -=，解得8n =，而二项式8⎛ ⎝的通项公式为： (721186188rrrr r r T C C x --+=⋅⋅=⋅，当7211(08,)r r r N -≤≤∈是6的倍数时，即0,6r =时，二项式8⎛⎝展开式中第一项和第7项时，是有理项，分别为：012128C x x ⋅=，6828C x x ⋅=，所以展开式中的有理项为：12,28x x .【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用，考查了二项式展开式的有理项问题，考查了二项式展开式二项式系数和的性质，考查了数学运算能力. 18.已知函数32()5f x x ax bx =+++.（1）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为3，且23x =时()y f x =有极值，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在[4,1]-上的最大值和最小值. 【答案】（1）a=2,b=-4（2）最大值13，最小值-11 【解析】【详解】【分析】试题分析：(1)由题意求解关于实数a ,b 的方程组可得函数的解析式为()32245f x x x x =+-+；(2)由题意对函数求导，结合导函数研究原函数的单调性，据此可得函数()f x 在[]4,1-上的最大值是13，最小值是-11. 试题解析：(1) 由f'(1)=3, f'()=0 得a =2,b =-4 ，经检验，符合题意，所以函数的解析式为()32245f x x x x =+-+.(2)由f (x )=x 3+2x 2-4x +5 得f'(x )=(x +2)(3x -2) ，f'(x )=0得 x 1=-2 ,x 2= 变化情况如表：x -4 (-4,-2) -2 (-2,) (,1) 1f'(x ) + 0 - 0 + f (x )递增极大值递减极小值递增函数值 -11134所以f (x )在[-4，1]上的最大值13，最小值-11点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD//QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===．（1）求证：//QB 平面PDC ；（2）求二面角C PB Q --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）56π.【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理，可以建立以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向空间直角坐标系.（1）根据线面平行的判定定理，结合空间向量的数量积运算进行证明即可；（2）根据空间向量夹角公式，结合二面角的性质进行求解即可.【详解】∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD ．由题意，以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，()2,0,1Q ，()002P ,,．（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，又因为2PDA π∠=，所以PD AD ⊥，而,,PDDC D PD DC =⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC ，因此()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =-，∴0QB AD ⋅=，即QB AD ⊥，又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴//QB 平面PDC ；（2）设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量， ∵()2,2,2PB =-，()0,2,2PC =-则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．不妨设11z =，可得()10,1,1n =．设()2222,,n x y z =为平面PBQ法向量，又∵()2,2,2PB =-，()2,0,1PQ =-，则2200n PQ n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩．不妨设22z =，可得()21,1,2n =． ∴1212222222123cos ,011112n n n n n n ⋅===⋅++⨯++，又二面角C PB Q --为钝二面角， ∴二面角C PB Q --的大小为56π．【点睛】本题考查了用空间向量证明线面平行、面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解二面角大小问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.2021年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.【解析】【分析】（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择．【详解】解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===，()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===，故X 的分布列为，所以()1721706007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-=()1000200820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】本题考查了古典概率的计算，并运用期望来选择合理方案，解题关键是能够熟练运用公式进行求解，并能计算正确，本题较为基础.21.2021年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺()2019,19CoronaVirusDisease COVID -，简称“新冠肺炎”右图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量1的值依次1，2，…，10）建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅．（1）根据散点图判断，y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：时间 1月25日 1月26日l 月27日1月28日l 月29日累计确诊人数的真实数据 19752744451559747111当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211nnii i i i i nniii i uu v vu v nuvuuunuβ====---==--∑∑∑∑ ，v u αβ=+参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑．【答案】（1） 1.5t y a b =+⋅适宜；（2）10201.5t y =+⋅；（3）回归方程可靠. 【解析】【分析】（1）直接由散点图得结论；（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，，求出b 与a 的值，则可得回归方程；（3）在（2）中求得的回归方程中，分别取11,12,13t =求得y ，再比较误差与0.1的大小得结论.详解】（1）根据散点图可知：1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型；（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，()()()1010111010222211101547001019390207640101910i i i ii i i i i i y y y y b ωωωωωωωω====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， 390201910a y b ω=-=-⨯=，∴10201.5t y =+⋅；（3）11t =时，2010y =，201019750.11975-<，当12t =时，3010y =，301027440.12744-<，当13t =时，4510y =，451045150.14515-<，所以（2）的回归方程可靠.【点睛】此题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题.22.已知函数，()2ln ,f x ax x a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，()f x 在⎛ ⎝上单调递减.（2）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）分0,0a a ≤>两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）可知0a >且()min 0f x f =<，后者可得实数a 的取值范围为102a e <<，再根据()10f a =>，111ln 0f a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭结合零点存在定理可知当102a e<<时函数确有两个不同的零点. 【详解】（1）解：因为()()120f x ax x x'=->， ①当0a ≤时，总有()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.②当0a >时，令120ax x ->，解得x >故x >()0f x '>，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 同理120ax x -<时，有()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减. （2）由（1）知当0a ≤时，()f x 单调递减，所以函数()f x 至多有一个零点，不符合已知条件，由（1）知当0a >时，()2min 1ln 2f x f a ==-=11ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()min 0f x <当时，解得12a e<，从而102a e <<. 又10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有11a<<，因为()10f a =>，111ln f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()ln ,2g t t t t e =->，则()10t g t t -'=>，所以()g t 在()2,e +∞为增函数，故()()2ln 20g t e e >->，所以10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理可知： ()f x在⎛ ⎝内有一个零点，在1a ⎫⎪⎪⎭，内有一个零点，故当函数()f x 有2个零点时，a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.。

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学解析版

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M xx x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（）．A ．2B ．23C ．0D ．1−【答案】A【详解】依题意，{3,2}M −，由N M ⊆，得N =∅或{3}N −或{2}N =，当N =∅时，0a =；当{3}N −时，23a =；当{2}N =时，1a =−，因此a 的取值不可以是2. 故选：A.2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =−，若a b ⊥，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（）A ．13B ．35C ．45D ．23【答案】B【详解】由题设2cos sin 0tan 2θθθ−=⇒=，而sin cos tan 1213sin 3cos tan 3235θθθθθθ+++===+++.故选：B3．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（） A ．11113B ．3713C ．11126D ．3726【答案】B【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，满足342n n S n T n +=+，所以111131143711213S T ×+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+，故选：B4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（） A ．44 B ．46 C ．48 D ．54【答案】B【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3313A 18××=； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3321A 12××=； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有22A 种排法，则有22222A 16×××=；综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18121646++=种. 解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有33A 种排法，共有3333A 3332154××=××××=种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A 种排法，故共有2222A 22218××=×××=种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为54846−=种. 故选：B.5．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（） AB ．1 CD ．12【答案】A【详解】因为两直线交于()1,1，则110C ++=，即2C =−，且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d=，易知2222(1)11A A A −+=−+≥，则d ≤ 当且仅当1A =时，d 1B =. 即两直线重合时，原点到直线2l 的距离最大. 故选：A.6．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（）ABC ．D ．【答案】D【详解】易知()2,0F ，当直线AB的斜率为零时，得((221FA FB ⋅=×= ，不合题意；当直线AB 的斜率不为零时，设直线AB 的方程为2x my =+，联立222,1,3x my x y =+ −=得()223410m y my −++=，设()()1122,,,A x y B x y ，由3FA FB ⋅=得()()()21212122213x x y y m y y −−+=+=，而12213y y m =−，即22133m m +=−，解得m=k = 故选：D7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．【答案】D【详解】令()()313g x f x x x −+，则()2330g x x ′=+>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x −=−+− ，即()()sin cos g x g m x =−−，从而sin cos x m x =−−，即πsin cos 4m x x x=−−+∈ 故选：D【点睛】方法点睛：设()()313g x f x x x −+，可得函数()g x 为奇函数，利用导函数分析函数()g x 的单调性，把()()sin cos 2f x f m x ++=转化成sin cos m x x =−−，再求m 的取值范围. 8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（）A B C D 【答案】A【详解】过点Q 作AB 的垂面QEF ，交平面ABC 于直线EF ，即,,AB QE AB QF AB EF ⊥⊥⊥，再过AB 作平面BCD 的垂面ABM ，即平面ABM ⊥平面BCD ，过O 作QG BM ⊥，垂足为G ，如图所示，设BM EF P = ，则此点即为PQ 与平面BCD 所成角最大时，对应的P 点，理由如下：因为PQ AB ⊥恒成立，所以P ∈平面QEF ，又因为P ∈平面BCD ，平面QEF 平面BCD EF =，所以P EF ∈，过点Q 作QG BM ⊥，因为平面ABM ⊥平面BCD ，平面ABM ∩平面BCD BM =，且QG ⊂平面ABM ，所以QG ⊥平面BCD ，所以PQ 与平面BCD 所成角即为QPB ∠，所以sin QGQPB PQ ∠=，因为QG 为定值，所以当PQ 最小时，sin QPB ∠最大，即QPB ∠最大，又因为EF ⊂平面BCD ，所以QG EF ⊥，因为,AB EF AB QG Q ⊥=，,AB QG ⊂平面ABM ，所以⊥EF 平面ABM ，则当P 为BM 与EF 交点时，EF PQ ⊥，此时PQ 取得最小值，所以，当BM EF P = 时，PQ 与平面BCD 所成角最大，即为QPB ∠，所以sin QPB ∠P 作PH QE ⊥，垂足为H ，连接BH ，因为AB ⊥平面QEF ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面QEF ，又因为QEF 平面ABC QE =，PH ⊂平面QEF ，所以PH ⊥平面ABC ，所以EQP ∠即为PQ 与平面ABC 所成角，在直角QPE △中，cos PQEQP QE∠=，因为45ABC ∠= ，且AB QE ⊥，所以BQE △为等腰直角三角形，所以QB QE =，又因为tan PQQBP OB∠=，所以tan cos QBP EQP ∠=∠，因为sin QPB ∠tan QPB ∠因为π2QBP QPB ∠+∠=，所以1tan tan QBP QPB ∠==∠. 故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z = D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++，所以12z z，所以1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =−，2i z c d =−，则12()()z z a c b d i +=+−+，12()()i z z a c b d +=+−+，所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =−但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =−=−，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=−++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅−−+2(i)(i)()()i z a b c d ac bd ad bc =−−=−−+，所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：ABD.10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）A ．若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n +=C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布【答案】BC【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确；对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上” C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 【答案】AD【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =−+−=，故A 选项正确；对于B 选项：设点AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2()33,C x y则()()121313,,d A B d A C x x y x y y +=−+−+−，()2323,d B C x x y y =−+−显然，当点A 在线段BC 上时，121323x x x x x x −+−=−，121323y y y y y y −+−=−，∴()()(),,,d A B d A C d B C +=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y −+−+−+−=+++=+=−+−显然此时点A不在线段BC 上，故B 选项不正确；对于CD 选项：∵当0,0a b >>a b ≥+≥ ∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y −+=交圆于M ，如图：设(),M a b ，则2OM bk a==−∴M设点PP (xx 0,yy 0)，则(0,d P M x =又∵当0ab =，a b +≥①当00x +=时，由00442x y =+=()0,4d P M x =+①当00y =时，由00288x y =−=()0,8d P M x =+−又∵48<−∴(),d P M的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为．【答案】[]21,30【详解】假设()()93a b a b a b λµ+=−++，则93λµλµ+=−+=，解得36λµ= = ，因为12a b ≤−≤，所以()336a b ≤−≤；又因为34a b ≤+≤，所以()18624a b ≤+≤；由上两同向不等式相加得：()()213630a b a b ≤−++≤，整理得：219330a b ≤+≤ 故答案为：[]21,3013．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .【答案】11,63【详解】()()()cos 22sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x ωωωωωωω=−−=+=，当()0,2πx ∈时，()30,6πx ωω∈，若()f x 在()0,2π上有最小值没有最大值，则π6π2πω<≤，所以1163ω<≤. 故答案为：11,6314．函数2e 12()e 21x x xh x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是【答案】[]2,0−【详解】因为2e 122()e ee 2121x x xx x x h x −−=+=−+++，所以22222()()e e e e 221212121x x x x xxx x x h x h x −−−⋅+−=+−++−=+=++++，令()()1f x h x =−，则()()0f x f x +−=，可得()f x 为奇函数，又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x xx x x x x xf x −−′ ′′=+−=+−=+− + +++， 1e 2e x x +≥，当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x ′>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax −+≤⇔−+≤⇔−≤−，所以2220ax ax +−≤在R 上恒成立，当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a < +≤，解得20a −≤<，综上，[]2,0a ∈−，故答案为：[]2,0−．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2) 【详解】（1）由题及正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =−+−，即222bc b c a =+−，则2221cos 22b c a Abc +−==，∵π0,2A ∈，∴π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形知，π022ππ032C C<<<−<，故ππ62C <<，则π3πcos 2cos cos 2cos cos 323B C C C C C C+=−++=+，有ππ5π236C <+<π3C<+<故cos cos B C +的取值范围为. 16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值； (2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】(1)2 (2)2【详解】（1）因为(1)2n n n a =−+，则11a =，25a =，37a =，417a =. 又1n n n b a a λ+=−，则1215b a a λλ=−=−，23275b a a λλ=−=−，343177b a a λλ=−=−. 因为{bb nn }为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ−=−−，整理得220λλ−−=，解得1λ=−或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++ =−=−+−−+11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=−×−+−×−−=−×−.则113(1)13(1)n n nn b b ++−×−==−−×−，故{bb nn }为等比数列，所以2λ=符合题意. （2）223(1)nn b n n ⋅=−×−⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n =−×−+−+−+−−−+33(12)(1)2n n n =−×+++=−+ ；当n 为奇数时，221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=−+=−++++=+. 综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k ∗∗ +=−∈ =−+=∈ ，因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i−+⋅−++=×++ ，整理得23100i i +−=，解得2i =或5i =−（舍），所以2i =. 17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG ，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G 为1DD 的中点，证明见解析 (2)13； (3)4−【详解】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1BC ∥面EFG ，连接1AD ，如图所示：点,F G 分别是1,AD DD 的中点，FG ∴∥1AD ，又AB ∥11D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，1∴AD ∥1,BC FG ∴∥1BC ，又1BC ⊄ 平面EFG ，且FG ⊂平面1,EFG BC ∴∥平面EFG .（2）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,(2,1,0),(1,0,0)A B C B D E F ，设()0,0,G t (02)t ≤≤，(0,2,),(1,2,0)CG t CF =−=− ，(1,1,0)EF =−−，设平面CFG 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2020n CG y tz n CF x y ⋅=−+=⋅=−= ，取1y =得2(2,1,)n t = ，因为直线EF 与平面CFG，所以cos ,n EF n EFn EF⋅==1t =（负值舍去）， G 为1DD 中点，取1CC 中点H ，则////GH CD AB ，因此GH 在平面GEB 内，且GEB HEB S S = ，所以1111111112113323G EBC C GEB C HEB E BHC BHC V V V V S EB −−−−====⋅=××××= ；（3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),AB AC BD ==−=−−因为111440,440,AB BD AC BD ⋅=−+=⋅=−=所以111,AB BD AC BD ⊥⊥即111,AB BD AC BD ⊥⊥因为1AB ⊂平面1,AB C AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1ABCB B B ==，所以1BD 与平面1ACB 的交点是1ACB 的外心，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上，设外接球球心为1O ，设()[]112,2,2,0,1BO BD λλλλλ==−−∈，则1O 的坐标为()22,22,2λλλ−−，设()[]()0,0,0,2G m m ∈，则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设[]848,16m t +=∈，则84t m −=，则22841664648411616t t t t t t tλ−+ −++ +−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t =，即t =[]8,16t ∈，所以11,2λ ∈ ，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ====，因为11,2λ ∈−，所以218124833λ −+∈−，所以r ∈− ，三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4. 18.（本小题17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C交于另一点D ，且3BF FD =．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2))2y x + 【详解】（1）设()00,D x y ，由(),0F c ，()0,B b −，得(),BF c b = ，()00,FDx c y =−，由3BF FD = ，得()()00,3,c b x c y =−，043x c =，013y b =，所以2222161991c b a b +=，得2212c a =，所以222212b ac a =−=，将(M −代入椭圆C 的方程得22421a b+=，即22441a a +=，则28a =，所以22142b a ==，故椭圆的方程为22184x y +=.（2）由题意可知()2,0A −，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为()2y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()221842x y y k x += =+，得()2222128880k x k x k +++−=，因为点A 在椭圆内，则直线PQ 与椭圆必有两交点，则2122812k x x k +=−+，21228812k x x k −+=+， ()121224412k y y k x x k +=++=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k =++=+++=− +，又OP 的方程为11y y x x =，与直线2x =−联立可得1122,y H x−−，又OQ OP 的方程为22y y x x =，与直线2x =−联立可得2222,y G x−−，所以111111121222y y S x x x x =×−×+=×+，22222222122y y S x x x x =×−×+=×则()()121212221212112212221122y k y k S S x x S S S S y x y x y y −−+=+=+=+++，当21k ≥时，()()21212220y k y k k x x −−=≥，所以()222121212121212122222222212121212121212122222222y y y k y k S S y k y k y y y y y y k k S S y y y y y y y y y y y y y y +−− +−−+++=+=−=−=−−，又12121y y y y k +=−，22121124k y y k +=−，所以()222212122221212122111242222y y y y k k k k y y y y y y k k k k ++++ −−=−−−+=−，所以121222S S k S S k+=+≥22k =时取等号，当201k <<时，()()21212220y k y k k x x −−=<，所以221212121212222222121212121222222y k y k S S y k y k y y y y k S S y y y y y y y y −− +−−−−=+=−=−，又知()1212k y y y y −+=，则1212121236S S y yS S y y +−====>，综上可知，当22k =时，1212SS S S +存在最小值此时直线PQ 的方程为)2y x +.19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围；(2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点．【答案】(1)1,2−∞−(2)证明见解析【详解】（1）由()2sin f x x ax ax =−++，则()cos 2f x x ax a ′=−++. 由题意可知，()f x 为π0,2上的“凸函数”，则ff ′(xx )在区间π0,2上单调递减，设()()x f x ϕ′=，则()sin 2x x a ϕ′=+，所以sin 20x a +≤在π0,2恒成立，则2sin a x ≤−在π0,2恒成立，又当π2x =时，函数sin y x =−取最小值，且最小值为1−，所以有21a ≤−，解得12a ≤−，即a 的取值范围为1,2−∞−.（2）当1a =−时，由2(1)sin(1)(1)(1)f x x x x +=−+−+−+得 22()sin(1)(21)(1)3ln(2)2g x x x x x x x x =−+−++−++++++sin(1)ln(2)x x =−+++. 令()(1)sin ln(1),1H x g x x x x =−=−++>−，其中(0)0H =，则1()cos 1H x x x ′=−++，其中(0)0H ′=. ①当10x −<<时，则011x <+<，11cos 1x x >≥+，所以1()cos 01H x x x ′=−+>+，则()H x 在(1,0)−单调递增，则()(0)0H x H <=恒成立，即()H x 在(1,0)−无零点； ②当π02x <<时，令1()()cos 1G x H x x x ′==−++，其中(0)0G =，由21()sin (1)G x x x ′=−+在π0,2单调递增，又ππ(0)10,sin 22G G=−=′′，故存在0π0,2x∈，使得0()0G x ′=，故当00x x <<时，()0G x ′<，()G x 在()00,x 单调递减；当0π2x x <<时，()0G x ′>，()G x 在0π,2x单调递增；由ππ11(0)0,cos 0ππ221122G G==−+=>++，故存在1π0,2x∈ ，使1()0G x =，即1()0H x ′=，故当10x x <<时，()0H x ′<，()H x 在()10,x 单调递减；当1π2x x <<时，()0H x ′>，()H x 在1π,2x单调递增；又πππ(0)0,sin ln 11ln e 0222H H==−++<−+=，故当π0,2x ∈ 时，()0H x <，即()H x 在π0,2无零点；③当π22x ≤<时，由1cos 0,01x x −≥>+，则()0H x ′>，故故()H x 在π,22单调递增，πππsin ln 10222H=−++<，且(2)sin 2ln 3110H =−+>−+=，故由零点存在性定理可知()H x 在π,22有且仅有一个零点；④当2x ≥时，()sin ln(1)1ln 30H x x x =−++≥−+>，故()H x 在[)2,+∞无零点；综上所述，()H x 有且仅有两个零点，其中(0)0H =，而另一个零点在π,22内.由()(1)H x g x =−，即将()H x 图象向左移1个单位可得()g x 的图象. 故()g x 也有两个零点，一个零点为1−，另一个零点在π1,12 −内.故()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点，命题得证.。

山东省济南市莱芜第一中学2021届高三数学上学期11月月考试题含解析

某某省某某市莱芜第一中学2021届高三数学上学期11月月考试题[含解析]本试卷共4页•总分150分.考试时间120分钟.须知事项:1・答卷前，考生务必将自己的级部、班级、某某、某某号、填写在答题卡上.2•选择题选岀答案后,用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用力力中性笔将答案写在答题卡对应题目的规定区域•答在答题卡的规定区域之外或本试卷上无效.M考试完毕后只需将答题卡交回.一、单项选择题：此题共8小题，每一小题5分，共40分•在每一小题给岀的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合A = {x\y = log2(2-x)} , B = {x\x2-3x+2<0}，如此()A. (一8,1]B. (-oo,l)C. (2,g)D. [2,+s) 【答案】A【解析】【分析】求解对数函数的定义域以与二次不等式，解得集合人〃,再求集合的补运算即可.【详解】要使得对数函数有意义，如此2-x>0 ,解導x<2 ;由x，-3x+2v0 ,解得xe(l,2);故C t B=(-oo,l].应当选：A.【点睛】此题考查对数函数定义域的求解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合根底题.2-3/2在复平面内■复数齐矿咖应的点的坐标为⑵-2),如些在复平面内对应的点位于【答案】D【解析】设z 二x+yi (上 yeR), ^^+Z=_2「_3i +x + vl = _i + x + vl = x + (y_i)j = 2_2i ,3 + 2/ 3+2/.x = 2, y = -l・・・z 在复平面内对应点位于第四象限应当选D •3. 2 17吉上=10臥717山=1(^7辰，如此仏处的大小关系为〔c>b> a 【答案】A 【解析】【分析】结合指数，对数函数的性质可作快速判断，。

＞1恥|亠"，即可求解【详解】由题易知：4 = 17吉 >1，/?= i°gi6Vr7 = ilog 1617Gc = log 17>/16 = -log 1716e 0,-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A. a>h>cB.a>c>bC ・ h> a>cD.t.\a>b>c ,应当选：/【点睛】此题考查由指数.对数函数的性质比拟大小.属于根底题B.充分不必要釧牛D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合共线向量、单位向量的知识，以与充分、必要条件的概念，判断出正确选项. 【详解】依题意aS 是非零向量，a6~表示与a 同向的单位向量，~7~表示与b 同向的单位向量,-一a b当° = 2乙时，的方向一样，所以==〒a b当^=|7|时，万力的方向一样，但不一定有a = 2b ，如& = 3b 也符合,“ \b \a b所以"a = 2h^是"y = 成立的充分不必要条件.应当选：B【点睛】本小题主要考查共线向量的知识、单位向量的知识，考查充分、必要条件的判断, 属于根底题.5.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载境发明的朋万历十二年，他写成《律学新说》,提出了十二平均律的理论.这成果被意大利传教士JII 玛蚩诵过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响•十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数r 使包4.设方』是非零向a bA.充要条件C.必要不充分条件含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规如此，插入的第四个数应为〔〕A. 2石B. 2“C. 2了D. 2亍【答案】D【解析】【分析】设公比为a(g>o),根据等比数列的通项公式,即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为g > 0),根据题意可辱q = lq严2 又即=4严，所以旷=晋~ = 2，所以^43 ,= 2所以插入的第四个数@="0=2?，应当选：D6.函数/⑴二冲制的大致图像为〔【解析】【答案】D【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数/心冲黑的定义域为{x\x^±l},当x = *时,/(|) = -ln3<0，排除B 和C;当x = -2时，/(-2) = lii3>0 ,排除 A. 应当选：D【点睛】此题考查图象的判断,取特殊值排除选项是根本手段，属中档题.7. AABC 中.sin A + 2sm^cosC = 0 # yf^b = c ■如此tan A 的值是()【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得cos3smC = -3sin3cosC ,根据正弦定理，余弦定理化简整理可得：2a 2+ b 2=c 2.结合® = c •，解得“ =b ,可得A 为锐角，进而利用余弦定理可求cosA 的值，利用同角三角函数根本关系式可求结果•【详解】•.•siiiA + 2sinBcosC = sin(3+C)+2sinBcosC=sm B cos C + cos sin C + 2 sm cos C = 0 , cos BsmC = -3 sin B cos C t整理可得：2/+宀疋，又••羽b = c ,• ・ccosB = -3bcosC ■可得：c-lac/ g a 2+b 2-c =(—3)b ・lab：.2a 2^h 2=c 2 = 3b 2，解得a = b ，可得力为锐角，f r▲ lr + cr — cr ••• cosA = - : -------------- =,可得:s 讪斗心=①2b"b 22 3应当选A.【点睛】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，同角三角函数根本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于根底题.8.函数/(x) = A-hix-^有两个不同的极值点，如此实数0的取值X 围是〔〕 A.(-叫)B. (0疋)"U° ；【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，根据题中条件，得到a =巴 J 有两不等实根，令g (x)=蛭工，对其求 e e导,用导数的方法研究其单调性与最值,即可得出结果. 【详解】由 f(x) = xlnx-ae x得f (x) = lnx+l-a“ f因为函数有两个不同的极值点，所以方程广(x) = lnx+l —卅=0有两不等实根,111X + 1亠__ 一亠丄即a = ;—有两不等头根，e r令g ⑴=S ' +1 ,如此g(x)= E + 1与y = 〃有两不同交点, e e令h(x) = — lnx —1 ,如此h (x) = —- — <0在(0,+8)上恒成立,X A A丄孑-(lnx+10 又g©)= ------- ----------------------If-L-lnx-lbe\x所以A (X )= --- 111 X -1在(0, +8)上单调递减,X所以当xe(0,l)上时，/7(x)>0，即g\x) = - --hi.r-1 >0 ,所以g(x)单调递墙；("IX /当*(1,+8)时,/?(%)<0 ,即g©) = *(£_ln —l)vO ，所以g(x)单调递减; 所以 g(xLx = g(l) = +，又xw(O,l)时，g(x)=山；严 v0 ； xe(l,+oo)Bit, g(x) = >o , 所以为使g W =旦工与。

数学(山东专用)-2020届高三上学期期末教学质量检测卷01(全解全析)

0
，∴ g(
f
( x))

e f (x)

m
，
∴ f (x) ln m ，作出函数 f (x) ， y ln m 的图象如下，
结合图象可知，存在实数 t

ln m(0

t
1)
，使得 x2

e2 x1

t
，故
x2

x1

t

1 ln t 2
，
令 h(t) t 1 ln t ，则 h(t) 1 1 ，故 h(t) 在 (0, 1 ]上单调递减，在 ( 1 ,1] 上单调递增，
所以函数 f (x) 的值域关于原点对称，对于 A，函数 y = x2 的值域为[0, ) ，不关于原点对称，不符
合题意；对于
B，函数
y

1 的值域为 (, 0) (0, ) ，关于原点对称，符合题意；对于 x 1
C，函数
y ln(2x 3) 的值域为 R ，关于原点对称，符合题意；对于 D，函数 y 2x 3 的值域为 R ，关于原
点对称，符合题意.故选 BCD．
12．ABD 【解析】选项 A，连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以 PD∥ON ，由线面平行的判定定理可得 PD∥平面 OMN ；选项 B，由 M ，N 分别为侧棱 PA ，PB 的中点，得 MN∥AB ，
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3x b 的最短距离为
3，
31
所以 d r
2 3 ，即
3b 1
3 ，解得 b 2 或 b 4 3 2 .故选 D．
31
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山东省2025届高三上学期第一次诊断考试数学含答案

山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

《精编》山东省莱芜市第一中学高三数学上学期12月阶段性测试文新人教A版.doc

莱芜一中高三上学期阶段性测试文科数学试题2021.12一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．()()lg 21x f x =-的定义域为 A.(),1-∞B.(]0,1C.()0,1D.()0,+∞2．α∈〔2π,π〕，sin α=53,那么tan 〔4πα-〕等于A ．－7B ．－ 71C ．7D ． 713．等比数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+， N n *∈，那么实数a 的值是 A ．3- B ．3 C ．1- D ．14.1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，那么a 的取值范围是A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a5．以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A ．1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.116422=+y x 6.对于直线m ，n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：〔1〕假设//,,m m n n αα⊥⊥则〔2〕假设,,//m m n n αα⊥⊥则〔3〕假设,,//αβγβαγ⊥⊥则〔4〕假设,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则其中真命题的个数是 A.1 B.27、圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，假设∠APB=900，那么C 的值是 A 、-3 B 、3 C 、22 D 、88. 假设一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，那么它的体积是 3πB.3π 3π9.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,7863==S S ，，那么=++987a a a A.81 B.81- C.857 D.85510．定义在R 上的偶函数0)(log ,0)21(,),0[)(41<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的集合为A ． 1(,)(2,)2-∞+∞ B ． 1(,1)(1,2)2C ． 1(,1)(2,)2+∞D ．1(0,)(2,)2+∞11.△ABC 中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M 满足=BM AM 2，那么CA CM ⋅=A ．18B ．3C ．15D ．912．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点〞，假设函数(),1g x x =-3()ln(1),()1h x x x x ϕ=+=-的“新驻点〞分别为,,αβγ，那么,,αβγ的大小关系为A ．γαβ>>B ．βαγ>>C ．αβγ>>D ．βγα>>二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，那么角α的最小正值为．14.在正三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，且侧棱23SA =，那么正三棱锥S ABC -外接球的外表积为___________.3πy =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，那么k 的取值范围是___________16.以下命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A 〔1，1〕、B 〔2，7〕在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么当4=n 时，n S 取得最大值；④定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=那么函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是________〔把所有正确命题的序号都写上〕. 三．解答题()22cos 2cos ,32x f x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭。

山东省重点高中2021届高三上学期第一次质量检测考试数学试题含答案

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山东省莱芜市第一中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

山东省莱芜市第一中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a10是方程的两根，则（）A. 21B. 24C. 25D. 26参考答案：D【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，得到，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.【详解】因为是方程的两根，所以，又由，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2. 已知，则的值是（）A. B. C.D.参考答案：A3. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A. B. C.D.参考答案：C4. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021参考答案：B【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5. 记实数，，…，中的最大数为，最小数为，则（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 已知不等式组，表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条件作出可行域，注意到所以过定点（3,0）。

高三数学第一次质量监测一模试题文试题

2021届高三数学第一次质量监测〔一模〕试题文一、选择题:此题一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的.2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥那么集合A B 的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,那么x 的值是1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是 A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为2,y x =±那么其离心率为235.张教师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目一样,并且都是每隔非常钟就到达车站一辆(即停即走).张教师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达,甲路公交车的到站时间是是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是是6:00,6:10,6:20,6:30,…，那么张教师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90%6.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD ,那么四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π ln y x x =在e x =处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 1-D. 2-温度有关.经历说明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最正确口感. 为分析泡制一杯最正确口感茶水所需时间是,某研究人员每隔1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,以下哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间是x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(xy ma a n m a +=>>≠且 D. ()log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,那么异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =那么直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π 11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，那么123n a a a a ++++=]4. [1995nA ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149nB ⎛⎫- ⎪⎝⎭]1. [1233nC ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132nD ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =那么(1)(2)(2021)f f f +++=A. 809B. 811C. 1011 C. 1013二、填空题:此题一共4小题,每一小题5分,一共20分. 13.假设tan 2,α=那么sin 2α= . 14.241log 3log 9+= . z 满足3,z z ⋅=那么||z = .16.n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+,那么n a = ; 数列11{}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题必考题,每个试题考生都必须答题.第22-23题为选考题,考生根据要求答题. (一)必考题:一共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点.(I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点B 到平面PCD 的间隔 .1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (1)求角C ;(Ⅱ)假设2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19.(12分)某小区超采取有力措施保障居民正常生活的物资供给.为做好日常生活必需的甲类物资的供给,超对社区居民户每天对甲类物资的购置量进展了调查,得到了以下频率分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购置量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购置量分为两组,即购置量在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购置量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进展生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B 组户数为2的概率.20.(12分)椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点.(I)假设,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)假设点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.21.(12分)设函数()()ln xf x e a x a =-∈R .(I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:一共10分,请考生在22、23题中任选一题答题,假如多做那么按所做的第一题计分.22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)直线l 的参数方程为12x ty t=+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+(I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)假设直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分)0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证:2222a b +; (Ⅱ)求证:1212223a b +++.2021届高三质量监测()-数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分) 1. A.【解题思路】{1,2},{|0,2},A B x x x ==<>或所以{2},AB =应选A.2.C 【解题思路】由//,a b 可知212x=-即4x =-,应选C. 【解想思路】令2,26x k πππ+=+那么.26k x ππ=+,应选C.4.B 【解题思路】由渐近线方程可知2222222,1 5.b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭应选B.【解思路】张教师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张教师在6:00-6:09到达车站的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，应选D6. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的间隔均为1,故球的体积为43π,应选A. 7.B 【解题思路】1ln ,y x '=+当 x = e 时, k = 2 ,应选B. 由函数图象可知符合条件只有指数函数,应选C9.D 【解题思路】1B C ⊥平面11,ABC D PB ⊂平面11,ABC D 即1,PB B C ⊥应选D 10．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,应选C. 1【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,应选B. 1【解题思路】由()()5f x f x =+可知()f x 周期为5,由函数图象可知每个周期()()()()()12342,f x f x f x f x f x ++++++++=由 ()()()()12....20212404809,1f f f f +++=+⨯=应选A.二、填空题(本大题一一共4小题,每一小题5分，一共20分)13.45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ 14. 0【解题思路】2224222212log 3log log 3log 3log 3log 3092--+=+=+=(),R ,z a bi a b =+∈有223,||z z a b z ⋅=+==16. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB. (2)1324443231B PCD A PCD P ACD V V V ---===⨯⋅⋅⨯=142PCDS=⨯=那么3V h S ===分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=〔6分〕222(2)2cos 19,c a b ab C c =+==-所以2sin 33c R R C ====(12分)19．【答案】〔1〕根据面积中位数两侧面积相等可知中位数为3.4; (Ⅱ)根据分层抽样,A 组有2人,设为x ，y ，B 组有3人,设为a ，b ，c从中任选2人,可能的情况为xya 、xyb 、xyc 、xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 、abc 一共10种情况,其中B 组户数有2户的有xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 一共6种,因此选出的B 组户数为2的概率为63105=. 20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分)(2)由(1)可知122163|6231|1 PABSx x k =⨯⨯-⨯=++=33,433所以63312PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，()ln (0),xf e e x x x =->(0)t >()x xef t e '=-易知()x f '为增函数,且()10f '=所以当()0,1x ∈时()(),0,x x f f '<单调递减,当()1,x ∈+∞时()(),0,x x f f '>单调递增.(4分) (2) ()xxaf e x '=-,当0a >时,易知()x f '为()0,+∞上增函数, 当a e >时(),01f e a '=-<；当 a e =时(),10f e a '=-=；当a e<时,0ae af e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭而()10,af a e '=->所以存在()00,,x ∈+∞()0000xae xf x '=-=即00ln ln a x x =- 当()00,x x ∈时()(),0,x x f g '<单调递减, 当()0,x x ∈+∞时()(),0,x x f g '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln x x x x a af f e a x ax a a a a =-=+--.(12分)22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x y x y +--=〔5分〕(2)圆心(1,2)到直线l 的间隔d =圆半径r =所以||AB ==〔10分〕23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()222a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。

高三数学一诊考试试题理含解析试题

2021届高三数学一诊考试试题理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

{1,0,1,2,3}M =-，{}2|20=-N x x x ，那么MN =〔〕A. {1,0,1,2}-B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】C 【解析】【分析】求出N 中不等式的解集确定出N ，找出M 与N 的交集即可．【详解】由N 中不等式变形得：x 〔x ﹣2〕≤0，解得：0≤x ≤2，即N ＝[0，2]， ∵M ＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴M ∩N ＝{0，1，2}，应选C ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．212ii+=-〔〕 A. i B. -iC.4i 5+ D.4i 5- 【答案】A 【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵()()()()21222241212125i i i i ii i i i +++-++===--+．应选A ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底题．()()121a b m =-=-，，，，假设a b λ=〔λ∈R 〕，那么m ＝〔〕A. -2B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标运算计算即可．【详解】∵向量()()121a b m =-=-，，，，a b λ=〔λ∈R 〕，∴()12-，＝λ()1m -，， ∴12mλλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，应选C ．【点睛】此题考察了一共线向量的坐标运算，属于根底题．{}n a 的前n 项和为n S ，假设2466++=a a a ，那么7S=〔〕A .7B. 14C. 21D. 42【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：a 4＝2，而由求和公式可得S 7＝7a 4，代入可得答案．【详解】由等差数列的性质可得：2a 4＝a 2+a 6，又2466++=a a a ，解得a 4＝2，而S 7()17477222a a a +⨯===7a 4＝14 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的性质和求和公式，属根底题． 5.,a b ∈R ，那么“0a b <<〞是“11a b>〞的〔〕 A. 充分不必要条件 B. 必要比充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【详解】假设11a b >，即b a ab->0， ∴00b a ab ->⎧⎨⎩＞或者00b a ab -<⎧⎨⎩＜，即a ，b 同号时：a <b ，a ，b 异号时：a >b ，∴当a <b<0时，11a b >成立，但11a b>成立，不一定有a <b<0，所以“0a b <<〞是“11a b>〞的充分不必要条件应选A ．【点睛】此题考察了充分必要条件，考察不等式问题，是一道根底题． 6.执行右图所示的程序框图，那么输出的n =〔〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】第一次执行循环体后，n＝1，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，n＝2，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，n＝3，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n＝5，满足退出循环的条件，故输出的n值为5，应选C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．7. 1.22a =，0.43b =，8ln 3=c ，那么〔〕 A. b a c >>B. a b c >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】B 【解析】【分析】容易得出 1.20.4822132013ln ><<<，，＜，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】 1.210.50.40822223331013a b c ln lne =>=>>==<==，＞，＜； ∴a ＞b ＞c ．应选B ．【点睛】此题考察指数函数、对数函数的单调性，考察了比拟大小的方法：中间量法．3()e 1=+xx f x 的图象大致是〔〕 A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进展排除，即可得到函数的图象．【详解】当x<0时，f 〔x 〕<0．排除AC ，f ′〔x 〕()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x e ee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′〔x 〕()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈〔0，2〕，g ′〔x 〕＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈〔2，+∞〕，g ′〔x 〕＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0，存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈〔0，0x 〕，g (x )>0，即f ′〔x 〕＞0，函数f 〔x 〕是增函数，当x ∈〔0x ，+∞〕，g (x )<0，即f ′〔x 〕＜0，函数f 〔x 〕是减函数， ∴B 不正确，应选D ．【点睛】此题考察函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点〔3，4〕，那么sin 2α=〔〕 A. 1225-B. 725-C.725D.2425【答案】B 【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边按顺时针方向旋转4π后经过点〔3，4〕，∴345cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴27212?2242542cos cos cos sin πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴7225sin α=-，应选B ．【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，考察了逻辑思维才能，属于根底题．()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，那么ϕ的最小值为〔〕A.12πB.6π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】【分析】由正弦函数图象的性质可得φ＝23k ππ-，〔k ∈z 〕再求解即可．【详解】由f (x )＝sin 〔2x +φ〕，令23π⨯+φ＝kπ，〔k ∈z 〕得：φ23k ππ=-，〔k ∈z 〕又φ＞0，所以k =1时那么φmin 3π=，应选C ．【点睛】此题考察了正弦函数图象的性质，属简单题．a =22b a b =⋅=-，，.假设1c a b --=，那么c 的取值范围是〔〕A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,3]D. [1,3]【答案】D 【解析】【分析】由题意得到a ，b 是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =，OB b =， O C c =，利用向量加减法的几何意义求出C 的轨迹，那么可求得c 的取值范围. 【详解】因为向量a =22b a b a b cos θ=⋅==-，，可得12cos θ=-，所以a ，b 是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =，OB b =， O C c =，那么A ，B 在以原点为圆心，2为半径的圆上，如图，不妨令A 〔2，0〕，那么B 〔-13，那么13OA OB OD +==，，那么1c a b OC OA OB OC OD DC --=--=-==，所以C 在以D 为圆心，1为半径的圆上，c OC =，即求以D 为圆心，1为半径的圆上的动点C 到〔0，0〕的间隔的最值问题，又|OD |2=．所以OC ∈[21-，21+]= [1，3]，应选D ．【点睛】此题考察了向量加减法的几何意义的应用，考察了动点的轨迹问题，考察了转化思想，解题时我们要根据题目中的条件，选择转化的方向，属于中档题.R 上的可导函数()f x 满足(2)()22-=-+f x f x x ，记()f x 的导函数为()f x '，当1x 时恒有()1f x '<.假设()(12)31---f m f m m ，那么m 的取值范围是〔〕A. (],1-∞-B. 1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C. [)1,-+∞D.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】令g 〔x 〕＝f 〔x 〕-x ，求得g 〔x 〕＝g 〔2﹣x 〕，那么g 〔x 〕关于x =1对称，再由导数可知g 〔x 〕在1x 时为减函数，化f 〔m 〕﹣f 〔1﹣2m 〕≥3m ﹣1为g 〔m 〕≥g 〔1﹣2m 〕，利用单调性及对称性求解．【详解】令g 〔x 〕＝f 〔x 〕-x ，g ′〔x 〕＝f ′〔x 〕﹣1，当x ≤1时，恒有f '〔x 〕＜1．∴当x ≤1时，g 〔x 〕为减函数，而g 〔2﹣x 〕＝f 〔2﹣x 〕-〔2﹣x 〕， ∴由(2)()22-=-+f x f x x 得到f 〔2﹣x 〕-〔2﹣x 〕=f 〔x 〕-x∴g 〔x 〕＝g 〔2﹣x 〕．那么g 〔x 〕关于x =1对称，由f 〔m 〕﹣f 〔1﹣2m 〕≥3m ﹣1，得f 〔m 〕-m ≥f 〔1﹣2m 〕-〔1﹣2m 〕，即g 〔m 〕≥g 〔1﹣2m 〕，∴1121m m -≥--，即-113m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是[﹣1，13]．应选D ．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

山东省2021届高三第一次质量监测数学联考试题

故选：A
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．B
【分析】
先由平移变换规律求出平移后的函数，由于其图像关于原点对称，所以，得，再由可求出所有的的值，从而可求得结果
【详解】
将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数
的图像．
因为是奇函数，所以，
所以，
7．已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（）.
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，当，，则以下各项中最小的是（）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（）.
A．若，则
B．若，，则
C．若，且，则
D．若，且，则
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
18．已知等差数列的前项和为， .
（1）求的值；
（2）已知，求数列的前项和 .
19．在中，的面积为 .
（1）求；
（2）若是边上的点，且， .求的值.
20．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求，，的值；
（2）先将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，求的取值范围.
故选：BCD
【点睛】
本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题．
10．AD
【分析】
根据周期公式可求出，再根据可知直线为函数图象的一条对称轴，即可得或，即可解出．
【详解】
由题意知，，因为，
所以直线为函数图象的一条对称轴，即或，

山东省莱芜市第一中学高三数学上学期第一次月考(10月)试题理

莱芜一中55级高三上学期第一次月考数学（理科）试题注意事项：1.考试时间：120分钟，试题满分：150分； 2.请将答案填涂在答题卡上，在试卷上作答无效；第l 卷（选择题共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确选项） 1．设全集=U R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==0,4x x y y M ，{}1,2<==x y y N x ，则 M （C R N ）= ( ) （A ）（0，2）（B ）(]0,∞- （C ）[)+∞,2 （D ）()+∞,2 2．命题“，0>∃x 使x x 32>”的否定是（）（A ），0>∀x 使x x 32≤ （B ），0>∃x 使x x 32≤ （C ），0≤∀x 使x x 32≤ （D ），0≤∃x 使x x 32≤3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰ （）A.1-B.13-C.13 D.15．设0,0>>b a ，则“2≤+b a ”是“11≤≤b a 且”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充分必要（D ）既不充分也不必要 6．函数xex f x1)(ln +=的大致图象为( )（A ）（B ）（C ）（D ）7．若偶函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，⎪⎭⎫ ⎝⎛=π1ln f a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=e f b 1log π，⎪⎭⎫⎝⎛=21ln πf c ，（e 为自然对数的底），则c b a ,,的大小关系为（）（A ）a b c << （B ） c a b << （C ）b a c << （D ） c b a << 8．已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,3)2()(2x x x a x a x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（）（A ）)2,1(- （B ）[)2,1- （C ）(]1,-∞- （D ）{}1-9．函数)2(log )(2ax x f a -=在区间（0,1）上单调递减，则实数a 的取值范围为（）（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 （B ）)2,1( （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （D ）(]2,110．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,ln 1,141)(x x x x x f ，若函数ax x f x g -=)()(恰有两个零点时，则实数a 的取值范围为（）（A ）⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡e ,41第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（共5个小题，每小题5分，满分25分）11．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为 ________12．化简：=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯----2133216121214365b a b a ba _______________ 13．已知函数x x f y +=)(是奇函数，且1)2(=f ，则=-)2(f _________14．定义于R 上的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈都有)4()()8(f x f x f +=+，若当[]2,0∈x 时，x x f -=2)(，则=)2017(f _______________.15．定义{}⎩⎨⎧>≤=ba b ba ab a ,,,min ，设函数{}2,min )(-=x x x f ，若直线m y =与函数)(x f y =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为321,,x x x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围为__________ 三、解答题（本大题共6小题，75分。

2021届山东省莱芜区高三第上学期第一次质量检测数学试题

绝密★启用前2021届山东省莱芜区高三第上学期第一次质量检测数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合()(){}310A x x x =-+>，{}11|B x x =->，则A B =（）.A ．()2,3B ．(]2,3C ．()(),02,-∞+∞D ．()3,+∞答案：D解题思路：利用一元二次不等式解法化简集合A ，一元一次不等式化简集合B ，然后利用交集的运算求解. 解：因为集合()(){}{3103A x x x x x =-+>=或}1x <-，{}{}112||B x x x x =->=>，所以{}|3A B x x =>，故选：D 点评：本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数32iz i-=+，则复数z 的虚部为（）. A ．1- B ．1C ．i -D ．i答案：A解题思路：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解：复数()()()()3235512225i i i iz i i i i ----====-++-，故虚部为-1. 故选：A 点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 3．函数()cos f x x x =+的零点所在的区间为（）A ．()2,1--B ．1,0 C ．0,1 D ．1,2答案：B解题思路：计算出(1),(0)f f -，(1)f 的值，根据零点存在性定理即可判断解：解：因为(1)1cos(1)0,(0)cos010f f -=-+-<==>，(1)1cos10f =+> 又因为函数()cos f x x x =+在定义域R 上为连续函数，所以函数()cos f x x x =+的零点所在的区间为1,0，故选：B 点评：此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题 4．如图，在ABC 中，14BN BC =，设AB a =，AC b =，则AN =（）A ．1344a b - B ．3144a b - C ．1344a b + D ．3144a b + 答案：D解题思路：利用向量的三角形法则运算即可得解. 解：因为14BN BC =，所以14BN BC =，所以()()1113144444AN AB BN AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=+. 故选：D. 点评：本题考查平面向量的三角形法则，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 5．函数()1sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（） A ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．2,,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦答案：A解题思路：根据题意得到222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，再解不等式即可得到答案.解：当222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈时，函数()1sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，即当51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈时，函数()1sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增.故选：A 点评：本题主要考查正弦型函数的单调区间，属于简单题.6．已知函数()21xf x e x =--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：C解题思路：利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，进而可得出函数()y f x =的图象. 解：()21x f x e x =--，该函数的定义域为R ，且()2x f x e '=-，令()0f x '<，可得ln 2x <，此时，函数()y f x =单调递减；令()0f x '>，可得ln 2x >，此时，函数()y f x =单调递增. 所以，函数()y f x =的极小值为()ln2ln 22ln 2112ln 20f e=--=-<.因此，函数()y f x =的图象为C 选项中的图象. 故选：C.点评：本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.7．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值是()A ．2B ．C ．4D ．答案：C解题思路：求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．解：解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a b a b a b a b a b+=++=+++=．当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4．故选：C 点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．8．已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（）A ．B ．2CD ．1答案：B解题思路：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为4π，可得出12x x -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值.解：如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -=，由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0，此时，10122d -+==12max 222x x ∴-==，故选B.点评：本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题. 二、多选题9．下列说法错误的是（）. A ．若0xy ≥，则x y x y +>+ B ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ C ．“2a bx +>是x ab > D ．“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+” 答案：AC解题思路：直接利用三角不等式的应用判定A ，利用逆否命题的应用判定B ，利用基本不等式的应用和充分条件和必要条件的应用判定C ，利用特称和全称命题的应用判定D ．解：对于选项A ：若0x ，0y ，则||||||x y x y +=+，故A 错误；对于选项B ：若0x =且0y =，则220x y +=，所以：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠，故B 正确；对于选项C ：当0a ，0b 时，2a b x +>成立，则x >x >2a bx +>不一定成立，如：2,8,4a b x ==>=，2a b x +>为2852x +>=，不成立，故“2a b x +>是x >C 错误；对于选项D ：“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃，1x e x +”，故D 正确．故选：AC ．点评：本题主要考查绝对值不等式和逆否命题的应用，考查充分必要条件的判断，考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知向量,a b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使,a b 共线的是() A ．234a b e -=且22a b e +=- B ．存在相异实数,λμ，使0a b λμ-= C ．0xa yb +=（其中实数,x y 满足0x y +=） D ．已知梯形ABCD ．其中,AB a CD b == 答案：AB解题思路：利用向量共线的条件判断A 的正误；利用平面向量共线定理判断B 的正误；利用共线向量定理判断C 的正误；利用梯形形状判断D 的正误；解：对于A ，向量,a b 是两个非零向量，234a b e -=且22a b e +=-，28,77a eb e ∴==-，此时能使,a b 共线，故A 正确；对于B ，存在相异实数,λμ，使0a b λμ-=，要使非零向量,a b 是共线向量，由共线定理即可成立，故B 正确；对于C ，0xa yb +=（其中实数,x y 满足0x y +=）如果0x y ==则不能使,a b 共线，故C 不正确；对于D ，已知梯形ABCD 中，AB a =，CD b =，如果,AB CD 是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选：AB 点评：本题考查向量共线的定义、向量相等的定义以及它们之间的关系，考查共线向量、向量的模等概念，注意两个向量和为零，共线前提是非零向量才满足. 11．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且()f x 的图像关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（）. A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =对称 B ．当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为22- C ．若π3265f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，，则44sin cos αα-的值为45- D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()2cos 2g x x =的图像向右平移π6个单位答案：BD解题思路：根据函数()f x 的最大值为2，2A =再根据函数()f x 图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，求得ω，然后()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，求得函数的解析式，再对各项验证. 解：因为函数()f x 的最大值为2，所以2A =.因为函数()f x 图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，所以2,,222T T πππωω====， ()()2f x x ϕ=+，又因为()f x 的图像关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,6k k Z πϕπ-+=∈，即,.6k k Z πϕπ=+∈因为2πϕ<，所以6π=ϕ.即()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对选项A ：0512f ππ==⎫⎪⎝⎭≠⎛. 对选项B ，,,2,66662x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当()266x f x ππ+=-时，取得最小值2-，故正确.对选项C ，2262f ππααα⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到3cos 25α=. 因为()()4422223sin cos sin cos sincos cos 25ααααααα-=+-=-=-，故错误.对选项D ，()2g x x =的图像向右平移6π个单位得到222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故正确.故选：BD 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 答案：AD解题思路：对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 解：对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x -'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根，也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立，故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞，恒成立，也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.点评：本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题. 三、填空题13．若向量a →，b →满足a →=1b →=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则2a b →→+=______.解题思路：先根据a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，a →=得34a b →→⋅=，故2a b →→+== 解：解：由于a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，a →=，所以0a a b →→→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即34a b →→⋅=，所以2a b →→+====点评：本题考查向量模的求解，向量垂直的表示，考查运算能力，是基础题.14．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．答案：3解题思路：首先由函数的奇偶性和对称性，分析函数的周期性，再求值. 解：()(2)f x f x =-，(2)()f x f x ∴+=-，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=-=-+=-+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．点评：本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，属于中档题型，本题关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点．15．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞内不单调，则k 的取值范围是__________．答案：()0,1解题思路：求解出()f x '，采用分类讨论的方法分析()f x 的单调性，从而求解出满足题意要求的k 的取值范围.解：因为()1f x k x '=-，且()10,1x∈，当1k时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，不符合；当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，不符合；当01k <<时，若11,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，若1+x k ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，则()0f x '>，所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+k ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，符合题意，综上可知：()0,1k ∈. 故答案为：()0,1. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及到根据单调性求解参数范围，难度一般.本例中的“不单调”问题也可以先转化为“单调”问题，求出结果后再取其补集也能得到对应结果. 四、双空题16．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”．（1）设()sin f x x =，则()f x 在()0,π上的“新驻点”为_________（2）如果函数()()ln 1g x x =+与()xh x x e =+的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是_________．答案：4παβ< 解题思路：（1）求得方程()()f x f x '=在()0,x π∈上的根即可得解；（2）利用零点存在定理可求得α所在区间，并求出β的值，进而可得出α与β的大小关系. 解：（1）()sin f x x =，()cos f x x '∴=，令()()f x f x '=，即sin cos x x =，得tan 1x =，()0,x π∈，解得4x π=，所以，函数()y f x =在()0,π上的“新驻点”为4π；（2）()()ln 1g x x =+，()x h x x e =+，则()11g x x '=+，()1xh x e '=+，令()()1ln 11x x x ϕ=+-+，则()()211011x x x ϕ'=+>++对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，所以，函数()()1ln 11x x x ϕ=+-+在定义域()1,-+∞上为增函数， ()010ϕ=-<，()11ln 2ln 2ln 02ϕ=-=->，由零点存在可得()0,1α∈，令()()h x h x '=，可得1x =，即1β=，所以，αβ<.故答案为：（1）4π；（2）αβ<. 点评：本题考查函数的新定义问题，考查了零点存在定理的应用，属于中等题. 五、解答题17．（1）已知1sin 3α=-，且α为第四象限角，求sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与tan α值；（2）已知tan 2α=，求cos sin αα的值.答案：（1）sin 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；tan 4α=-；（2）25.解题思路：（1）由题意结合同角三角函数的平方关系可得cos 3α=，由诱导公式即可得sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的商数关系即可得tan α；（2）由题意结合同角三角函数的平方关系可得22sin cos sin cos sin cos αααααα=+，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 解：（1）因为1sin 3α=-，且α为第四象限角，所以cos 3α==，所以sin cos 23παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，sin tan cos ααα== （2）因为tan 2α=，所以222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415αααααααα====+++.点评：本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.18()sin a C C +＝；②2cos cos cos a Ab Cc B +＝，③1cos 2a C cb +＝，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知．（1）求角A ；（2）设ABC 的面积为S ，若a S 的最大值．答案：（1）3π；（2）4解题思路：首先任选择一个条件，然后根据正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等变换，化简求值；（2）由（1）可知3A π=，利用余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，再求面积的最大值解：若选条件①()()sin sin sin a C C B A C C =⇔=+，()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，)sin cos cos sin sin sin cos A C A C A C A C +=，sin sin sin A C A C =，sin 0C ≠，tan A ∴=，0A π<<，3A π∴=；若选择条件②2cos cos cos 2sin cos sin cos sin cos a A b C c B A A B C C B =+⇔=+，即()2sin cos sin sin A A B C A =+=, 即1cos 2A =，0A π<<， 3A π∴=；若选择条件③11cos sin cos sin sin 22a C cb A C C B +=⇔+=， ()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+，即1cos sin sin 2A C C =， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 0A π<<，3A π∴=，所以不管选择哪个条件，3A π=；（2）2222cos a b c bc A =+-，又3a =，3A π=，即223b c bc +-=，222b c bc +≥，23bc bc ∴-≤，即3bc ≤，当b c =时等号成立，bc ∴的最大值是3，1sin 2ABC S bc A =△，∴面积S 的最大值为13224⨯⨯=.点评：本题考查正弦定理和余弦定理，基本不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足90万箱时，21()402p x x x =+；当产量不小于90万箱时，8100()1012180p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？答案：（1）2160200,090281001980,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）90万箱.解题思路：（1）根据当产量不足90万箱时，21()402p x x x =+；当产量不小于90万箱时，8100()1012180p x x x=+-，分090x <<和90x ≥两种情况，利用销售收入减固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型.（2）当090x <<时，利用二次函数的性质求得最大值；当90x ≥时，利用基本不等式求得最大值，然后从中取最大的即可. 解：（1）当090x <<时，2211100402006020022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当90x ≥时，8100810010010121802001980y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2160200,090281001980,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）当090x <<时，221160200(60)160022y x x x =-+-=--+， ∴当60x =时，y 取最大值，最大值为1600万元；当90x ≥时，8100198019801800y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当8100x x=，即90x =时，y 取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．点评：本题主要考查函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．已知函数()22sin cos 6f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 答案：（1）π，[,],63k k k Z ππππ-++∈（2）15,24解题思路：（1）利用二倍角公式和辅助角公式，化简得到1()sin(2)126f x x π=-+，利用正弦型函数的周期公式可得T π=，令222262k x k πππππ-+≤-≤+，可得()f x 的单调递增区间（2）当5,,2[,]36666x x πππππ⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图像及性质，可得分别当262x ππ-=-，266x ππ-=时，函数取得最小值，最大值解：（1）()22sin cos 6f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭1cos(2)1cos 2322cos 2111(cos 22)2222111(sin 2cos 2)2221sin(2)126x x x x x x x x ππ+--=+=-+⨯+=+-=-+ 故()f x 的最小正周期22T ππ== 令222262k x k πππππ-+≤-≤+可得63k x k ππππ-+≤≤+故()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈（2）当5,,2[,]36666x x πππππ⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎣⎦故当262x ππ-=-时，即6x π=-时，min 11()122f x =-+= 当266x ππ-=时，即6x π=时，min15()144f x =+= 点评：本题考查了正弦型函数的图像及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题21．已知函数()2xf x xe ax x =--.（1）当12a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）极大值()1112f e-=-，极小值()00f =；（2）(],1-∞. 解题思路：（1）求导函数，由导函数的正负可得函数的单调区间；（2）因为()()1xf x x e ax =--，令()1xg x e ax =--，分类讨论，确定()g x 的正负，即可求得a 的取值范围. 解：（1）当12a =时，()212xf x xe x x =--，所以()()()()1111xxf x x e x x e '+--+-＝＝. 令()0f x '=，得1x =或0，所以()f x ，()f x '随x 变化情况如下表：所以()f x 在1x =-处取得极大值()12f e-=-，在0x =处取得极小值()00f =. （2）0x =时，不等式恒成立.当0x >时，不等式()0f x ≥，即20x xe ax x -≥-，等价于10x e ax --≥，令()1xg x e ax =--，∴()xg x e a '=-.因为0x >，所以e 1x >，当1a ≤时，()0xg x e a '=-≥，()g x 单调递增，∴()()00g x g >=，不等式成立，当1a >时，()ln 0g a '=. ∴()0,ln x a ∈，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()00g x g <=，这与题设矛盾，综上，a 的取值范围为(],1-∞. 点评：本题主要考查了导数的应用：求单调区间，考查函数恒成立问题，考查了分类讨论讨论的思想，属于中档题.22．已知函数()21xx a f x x e-+=，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）当3e a e <<时，设()()2122x g x x f x =---，证明：函数()g x 存在唯一的极大值点0x ，且()02223g x e e--<<-. 答案：（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.解题思路：（1）对a 分三种情况讨论，利用导数求出函数的单调区间；（2）先利用导数求出()g x 在()0,x -∞单调递增，()0,1x 单调递减，1,单调递增.所以()g x 有唯一极大值0x ，再利用导数证明()02223g x e e--<<-. 解：（1）解：()()()211(2)10,1x xx x a x a x a f x x e e ---+⎡⎤-++--⎣⎦'===∴=或1a +， ①0a <时，11a +<，所以()f x 在(),1a -∞+单调递减，()1,1a +单调递增，1,单调递减；②0a =时，11a +=，所以()f x 在R 上单调递减；③0a >时，11a +>，所以()f x 在(),1-∞单调递减，()1,1+a 单调递增，()1,a ++∞单调递减.（2）证明：()221122xx x ax g x x e -+=---，()()()11x xx e x a g x e ⎡⎤-+-+⎣⎦'=，令()()1xh x e x a =+-+，()00h a =-<，()10h e a =->，∴()00,1x ∃∈，使得()()00010xh x e x a =+-+=，001xa e x =+-，①∴()g x 在()0,x -∞单调递增，()0,1x 单调递减，1,单调递增.所以()g x 有唯一极大值0x .∴()()022*******e a g x g e e e-->=-->--=--，② 现在证明：()02g x e<-. ()00222000000011112222x x x x ax x x g x x e e-++=---=--，令()21122x x x m x e+=--，()0,1∈x ，则()0x xm x x e'=+>，()m x 在0,1单调递增，所以()()21m x m e<=-，即()02g x e <-，③综上，有②③可知：()02223g x e e--<<-. 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2020年山东省莱芜市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2020年山东省莱芜市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数的共轭复数是( )A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i参考答案：D2. 成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条参考答案：B3. 设函数,若对于任意的,都有,则的最小值为( )A.4B.2C.1D.参考答案：B4. 下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“”为假命题，则、均为假命题B．“”是“”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“实数x使”，则命题为“对于都有”参考答案：5. 已知，，，则A. B. C. D.参考答案：C6. 已知圆和圆只有一条公切线，若，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：D7. 下列四个命题，其中正确命题的个数( )①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A．3个B．2个C．1个D．0个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．∴正确命题的个数只有1个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题．8. 函数，的值域是A．B．C．D．参考答案：A9. 已知函数，则关于的方程的解的个数是（）A． B． C．D．参考答案：D10. 集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q B．P Q C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．参考答案：2。

数学济南市莱芜一中2021届高三第一次考试

莱芜一中20-21学年度上学期高三第一次质量检测数学试题命题人：杨萍审核人：邵萍苏晓会本试卷共4页。

总分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、填写在答题卡上。

2．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用0.5mm 中性笔将答案写在答题卡对应题目的规定区域。

答在答题卡的规定区域之外或本试卷上无效。

3．考试结束后只需将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.1-8为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

9-12为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1．已知集合=⋂>-=>+-=B A },11{},0)1)(3({则x x B x x x A ()A ．)3,2(B ．(2，3]C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．),3(+∞2．已知复数iiZ +-=23，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i 3．函数()x x x f cos +=的零点所在的区间为（）A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）4．如图，在△ABC 中，BC BN 41=，设b AC a AB ==,，则AN ＝（）A ．b a 4341-B ．b a 4143-C ．b a 4341+D ．b a 4143+5．函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 21πx x f 的单调递增区间为（）A ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,12,125B ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,43,4C ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--,6,32D ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,4,46.已知函数()21xf x e x =--(其中e 为自然对数的底数)，则()y f x =图象大致为（）7．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是()A.2B.42C.4D.228．已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()1212f x f x x x =-，则的最大值为（）A ．22B ．2C 2D ．19．下列说法错误的是（）．A.若0xy ≥，则||||||x y x y +>+B.若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.“2a bx +>是x ab >”的充分不必要条件D.“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+”10．已知向量b a ,是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使b a ,共线的是（）A ．e b a 432=-且e b a 22-=+B ．存在相异实数μλ,，使0=-b μa λC ．当0=+y x 时，0=+b y a xD ．已知梯形ABCD ，其中bCD a AB ==,11.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为()2f x π的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（）．A ．函数()f x 的图像关于直线512x π=对称B ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，函数()f x 的最小值为22-C ．若4432sin cos 65f πααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭的值为45-D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()22g x x =的图像向右平移6π个单位12．函数()()()ln f x f x x x g x x '==、，下列命题中正确的是（）A ．不等式()0g x >的解集为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()()0f x e 在，上单调递增，在(),e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m ≥1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【精品解析】山东省莱芜市第一中学2020届高三数学4月自主检测试题解析理(教师版)

精品解析：山东省莱芜市第一中学2020届高三4月自主检测数学（理）试题解析（教师版）【试题说明】本套试卷严格按照2020年山东卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。

所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。

（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成（4）深入探究2020高考试题，精选合适的试题进行改编；（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知全集U =R ，集合{|13}A x x =<≤，{|2}B x x =>，则U A B I ð等于 (A){|12}x x <≤ (B){|12}x x ≤< (C ){|12}x x ≤≤ (D){|13}x x ≤≤ 【答案】A 【解析】U A B I ð={|13}{|2}x x x x <≤⋂≤={|12}x x <≤。

(2) 20πcos()3-的值等于(A)12 (B)3 (C ) 12-(D)3-【答案】C【解析】20π20π2π1cos()cos cos 3332-===-。

(3) 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是(A)充分非必要条件 (B)(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】1:0x p x+≤，即10x -≤<；:|21|1q x +<即10x -<<；所以p q 是必要非充分条件。

山东省顶级名校2021届高三第一次诊断考试(10月)数学试题数学答案

202l 届高三第一次诊断考试数学试题2020．10(本试卷共6页，22题；全卷满分150分，考试用时120分钟)注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题的作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第I 卷(共80分)一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意． 1．已知全集U R =，集合{}{}31,1M x x N x x =-<<=≤，则阴影部分表示的集合是 A ．[]1,1-B ．(]3,1-C ．(]3,1--D ．()(),31,-∞-⋃-+∞2．已知函数()()()log 10,1a f x x a a a =-->≠且，则“1a >”是“()()3f x +∞在，上是增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。

《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五。

”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，径隅(弦)则为5”。

以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

勾股数组是满足222a b c +=的正整数组(),,a b c ．若在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组的概率是 A ．110B ．15C ．160D ．11204．已知函数()x x f x e e -=- (P 为自然对数的底数)，若0.50.50.7,log 0.7,a b ==0.7log 5c =，则A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<5．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是 A ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥ C ．若//,m αβα⊂，则//m βD ．//,//m n αβ，则m α与所成的角和n β与所成的角相等 6.已知()3312sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．513-B ．1265-C ．1665-D ．5665-7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”，设()()31,0x f x m m R m =+-∈≠是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是 A. 2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. (),0-∞8．已知()()22111221212ln 20,262ln 20=x x y x y M x x y y --+=+--=-+-，记，则A ．M 的最小值为25 B ．M 的最小值为45 C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为165二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有两个选项符合题意，全对得5分，漏选得3分，选错不得分． 9．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(以下称合格考)和选择性考试(以下称选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某试点高中2019年参加“选择考”的总人数是2017年参加“选择考”的总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，现统计了该校2017年和2019年“选择考”的成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2019年与2017年相比，下列说法正确的是 A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍 C ．获得D 等级的人数增加了了一半 D ．获得E 等级的人数相同 10．己知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中正确的是 A ．6πϕ=B ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C. ()2fϕ=-D ．()12x f x π=是图象的一条对称轴11．设函数()()ln ,0,1,0,x x x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是A ．0B ．13 C ．12D ．1 12．已知边长为2的等边ABC ∆，点D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，满足DE ∥BC 且(()0,1ADACλλ=∈，ADE ∆将沿直线DE 折到A DE '∆的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF//平面A CD 'B ．存在10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE C ．若12λ=，当二面角A DE B '--等于60时，72A B '=D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-积的最大值记为()(),ff λλ的最大值为239第Ⅱ卷(非选择题，共70分)三、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分．13．已知2sin 2sin tan 3,1cos 2αααα-=-则的值为____________．14．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率()(),,,0,1c a b c ∈，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则112a b+的最小值为______15．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[)2,2x ∈-时，()143xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=________16．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是___________；系数最大的项是__________．(本小题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本题包括6小题。

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第一次质量检测数学试卷答案
1-5.DABDA 6-8.ACB 9.ACD 10.AB 11.BD 12.AD
13.7 14.3 15.（0,1） 16（1）（2）
17.【解答】解：（1）因为31
sin −=α，且α为第四象限角，所以3
22sin 1cos 2=
−=αα可得4
2
tan ,322cos 2−=−
=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛−
ααπαsin （2）因为tan α＝2，所以5
2
1tan tan cos sin cos sin cos sin 2
22=+=+=
αααααααα． 18.解：（1）若选条件①，∵
，
∴由正弦定理得
，
∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，
∴＝，
，∵sin C ≠0，∴，∵0＜A ＜ð，∴3
π
A =
；若选条件②，∵2a cos A ＝b cos C +c cos B ，
∴由正弦定理得2sin A cos A ＝sin B cos C +sin C cos B ，即2sin A cos A ＝sin （B +C ）＝sin A ，
2
1
cos =
A ，∵0＜A ＜ð，∴3πA =；
若选条件③，∵b C C a =+
21cos ，∴由正弦定理得B C C A sin sin 2
1
cos sin =+， ∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，∴C C A sin 2
1
cos sin +
＝sin A cos C +cos A sin C ，
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C C A sin 21sin cos =
，∵sin C ≠0，∴2
1
cos =A ，∵0＜A ＜π，∴3πA =；所以不管选择哪个条件，3
π
A =
．（2）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，3
,3π
A a =
=
，即b 2+c 2﹣bc ＝3， ∵b 2+c 2≥2bc ，∴2bc ﹣bc ≤3，即bc ≤3，当b ＝c 时等号成立．∴bc 的最大值为3，
∵A bc S ABC Δsin 21
=
，4
3323321=
⨯⨯∴的最大值为ABC ΔS 19.解：（1）当0＜x ＜90时，2006021200402110022−+−=−⎪⎭
⎫
⎝⎛+−=x x x x x y ；
当x ≥90时，
，
∴．
（2）①当0＜x ＜90时，≤1600，
②当x ≥90时，＞1600，
当且仅当，即x ＝90时，y 取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元20.解：（1）∵
＝cos 2x +sin 2x +
sin x cos x
＝×+×+sin2x ＝sin2x ﹣cos2x +1＝sin （2x ﹣）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）∵x∈，可得2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣＝﹣时，f（x）最小值为，相应的x＝﹣；
当2x﹣＝时，f（x）最大值为，相应的x＝．
21.（I）.解：（1）当时，，
∴f'（x）＝（x+1）e x﹣x﹣1＝（x+1）（e x﹣1）．令f'（x）＝0，得x＝1或0，
∴f（x），f'（x）随x变化情况如下表：
x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+
f（x）增极大值减极小值增
∴f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝0处取得极小值f（0）＝0．
（2）当x＝0时，不等式恒成立．
当x＞0时，不等式f（x）≥0，即xe x﹣ax2﹣x≥0，等价于e x﹣ax﹣1≥0，
令g（x）＝e x﹣ax﹣1，∴g′（x）＝e x﹣a．∵x＞0，∴e x＞1，
当a≤1时，g′（x）＝e x﹣a≥0，g（x）单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，不等式成立，当a＞1时，g′（lna）＝0．
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∴x ∈（0，lna ），g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，∴g （x ）＜g （0
综上，a 的取值范围为（﹣∞，1]． 22.（1）解：
或a +1，
①a ＜0时，a +1＜1，f （x ）在（﹣∞，a +1）单调递减，（a +1，1②a ＝0时，a +1＝1，f （x ）在R 单调递减；
③a ＞0时，a +1＞1，f （x ）在（﹣∞，1）单调递减，（1，a +1（2）证明：，令h （x ）＝e x +x ﹣（a +1），h （0）＝﹣a ＜0，h （1）＝e ﹣a ＞0， ∴∃x 0∈（0，1），使得,0)1()(00000−+==+−+=x e a a x e x h x
x
∴g （x ）在（﹣∞，x 0）单调递增，（x 0，1）单调递减，（1，+∞所以g （x ）有唯一极大值x 0．（7分）
∴②（9分）
现在证明：．令，则所以，即③
综上，有②③可知：
（12分）。