12.2.2用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差

方差越小，数据的波动越小。
例2、甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了 对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出 20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲： 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙： 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
如：有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ 乙：９ ８ ５ ７ ７ ９ ８ ５ ７ ４ ６ ９ ８ １０ ６ ７ ７ ４ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 7，x乙 7 思考：两人射击的平均成绩是一样的.那么两个 人的水平就没有什么差异吗?若有差异你能说明 其水平差异在那里吗？
(1) s
( x1 x2 xn ) x
(3)数据kx1，kx2， ，kxn的平均数为k x,方差为k s .
2 2
(4)数据kx1 b，kx2 b， ，kxn b的 平均数为k x+b,方差为k s
2 2
练习： 1.在数据统计中，能反映一组数据变化范围大小的 指标是 （ A ）A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对


在刻画样本数据的分散程度上,方差与标准差是 一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均 数与标准差是不知道的,如何求总体的标准差和平均数?------通常采用样本的平均数和标准差去估计总体的平 均数与标准差,只要样本的代表性好,这样做就是合理的.

甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分 布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 O
（甲）
频率
（乙）
4 5 6 7 8 9 10 环数 甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，比较稳定. 一组数据的最大值与最小值的差称为极差； 极差越大，数据越分散，极差越小，数据越集中． 甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4. 因此我们可以得到一种“去掉一个最高分,去 掉一个最低分”的统计策略.
3、标准差越大, 数据的离散程度越大，数据较分散; 标准差越小, 数据的离散程度越小，数据较集中在平 均数周围. 用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差
s甲 2，s 乙 1 095
由 s甲 s乙 可以知道,甲的成绩离散程度大, 乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲 的射击成绩稳定.
12.2.2 用样本的平均 数和标准差估计总体 的平均数和标准差
知识探究：标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算， 不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数 据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息， 但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平 均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使 用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置， 可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本 数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字 刻画样本数据的离散程度.
例2、甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了 对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出 20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
解:用计算器计算可得:
x甲 25.4005 , x乙 25,4008 ; s甲 0.038, s乙 0.074
s甲 s乙 ,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多. 于是可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.
1、标准差：
s=
( x 1 - x ) 2 + ( x 2 - x ) 2 + L + (x n - x ) 2 n
2.方差 从数学角度考虑,有时也可以用标准差的平
方 s 2——方差来替代标准差作为测量数据分散程度 的工具。
2
1 2 2 2 s ( x1 x) ( x2 x) ....... ( xn x) n
1、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。 一般用s表示。它用来描述样本数据的离散程度。 在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
s= ( x 1 - x ) 2 + ( x 2 - x ) 2 + L + (x n - x ) 2 n
思考：1、标准差的取值范围是什么？ 1、标准差的值必是大于等于0的； 思考：2、标准差为0的样本数据有什么特点？ 2、当标准差为0时，样本数据都是相等的。
7、在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出 的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4， 9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 9.5，0.016 的平均值和方差分别为________
回顾小结：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分 两类： 用样本平均数估计总体平均数。 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。 样本容量越大，估计就越精确。 2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波 动的大小，反映了一组数据变化的幅度．
5.已知一个样本1， 3， 2， 5，X，若它的平均
2 数是3，则这个样本的标准差是 ______.
6.若样本x1 , x 2 , ，x n的方差为0，则表示 （B） A.x 0 B.x1 x 2 x n C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
2、若x1 , x2 , , xn的方差为4，那么
4 x1 3, x2 3, , xn 3的方差为 ____
3、若x1 , x2 , , xn的方差为2，那么
32 这组数据均乘以4后的方差为 ____ 4、若k1,k2,….k8的方差为3，则2（k1-3), 12 2(k2-3), ….2（k8-3)的方差为_____( xi x) n i 1
n
1 2 2、s ( xi x) n i 1
2
n
推论：如果数据 x1, x2 , xn 的平均数为 x ，方差为 s ， 那么 1 2 2 2 2 2
2
n 2 (2)数据x1 a，x2 a， ，xn a的平均数为x+a,方差仍为s