(Day2)计算几何与三维凸包
cgal输入点自动构建面的方法
cgal输入点自动构建面的方法CGAL输入点自动构建面的方法引言在计算机图形学和计算几何中，使用点云数据进行面的构建是一个常见的任务。
CGAL（Computational Geometry Algorithms Library）是一个流行的开源库，提供了许多高效的算法和数据结构，用于解决计算几何相关的问题。
本文将介绍在CGAL中输入点自动构建面的几种方法。
方法一：凸包凸包是一个简单且常见的方法，用于从点集中构建一个多边形或者简单多面体。
CGAL提供了CGAL::convex_hull_3()函数用于构建三维空间中点集的凸包。
该函数的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是点集中的点的数量。
方法二：Poisson重建Poisson重建是一种基于点云数据的体素化方法，能够生成光滑的曲面。
CGAL提供了CGAL::Poisson_reconstruction()函数，用于进行Poisson重建。
该函数的时间复杂度取决于点云的密度和Poisson重建的参数设置。
方法三：Delaunay三角剖分Delaunay三角剖分是一种常用的方法，用于从点集构建连续的三角网格。
CGAL提供了CGAL::Delaunay_triangulation_3()函数，用于进行三维空间中点集的Delaunay三角剖分。
此外，还可以通过删除Delaunay三角网格中的非法三角形来构建曲面。
方法四：移动最小二乘移动最小二乘（Moving Least Squares, MLS）是一种经典的曲面重建方法。
CGAL提供了CGAL::Surface_mesh_simplification::edge_collapse()函数，用于进行MLS曲面重建。
该函数先进行网格简化，然后再进行曲面重建，以生成光滑的曲面。
方法五：随机采样一致性随机采样一致性（Random Sample Consensus, RANSAC）是一种在计算机视觉和计算机图形学中常用的方法，用于拟合几何模型。
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
凸包convexhullppt课件
Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长 我们先来看一个问题，POJ 1113。 题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。 解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远 点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。 个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简 单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法： 这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法 就像一对卡壳卡住凸包 旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对 踵点的个数不超过3N/2个 也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问 题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;
凸包算法公式
凸包算法公式凸包是计算几何中的一个重要概念，而凸包算法公式则是解决相关问题的关键工具。
咱先来说说啥是凸包。
想象一下，你面前有一堆散落在地上的钉子，然后你拿一个橡皮筋把最外层的钉子圈起来，让橡皮筋形成的形状能够完全包住所有钉子，这个形状就是这堆钉子的凸包。
凸包算法有好几种，比如 Graham 扫描法、Jarvis 步进法等等。
咱就拿 Graham 扫描法来说说它涉及的公式。
Graham 扫描法里，首先要找到一个基准点。
通常找纵坐标最小的点，如果有多个这样的点，就选横坐标最小的那个。
找到这个点后，其他点就按照和这个基准点的极角大小进行排序。
这里就涉及到计算极角的公式啦。
对于两个点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，极角θ 可以通过反正切函数来计算，公式是：θ = atan2(y2 - y1, x2 - x1)。
计算出极角后，就可以开始扫描了。
从基准点开始，依次检查相邻的三个点，如果这三个点构成的转向是逆时针的，那就保留中间那个点；如果是顺时针的，就把中间那个点去掉。
这里判断转向的公式就比较关键了。
对于三个点 A(x1, y1)、B(x2,y2)和 C(x3, y3)，可以通过计算向量叉积来判断转向。
如果叉积大于 0 ，就是逆时针；小于 0 ，就是顺时针。
向量叉积的公式是：(x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) 。
我记得之前有一次参加数学建模比赛，题目就和凸包算法有关。
当时我们小组几个人，一开始对这些公式和算法都不太熟悉，急得像热锅上的蚂蚁。
大家一起熬夜查资料、讨论，一遍遍地推导公式，尝试不同的方法。
特别是在计算极角和判断转向的时候，总是出错。
但经过不断地尝试和纠错，我们终于搞清楚了这些公式的应用，成功解决了问题，还拿到了不错的名次。
总之，凸包算法公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了其中的原理和规律，多做练习，就能熟练运用啦。
不管是在数学研究中，还是在实际的计算机图形学、地理信息系统等领域，凸包算法都有着广泛的应用。
凸包面积和周长的计算
凸包面积和周长的计算凸包是在平面上给定的一组点中构成的最小凸多边形。
凸包的面积和周长是计算凸包重要的指标，可以用来分析数据分布的紧密程度和形状特征。
本文将介绍凸包的定义和生成算法，并详细说明如何计算凸包的面积和周长。
一、凸包的定义凸包是指在平面上给定的一组点中，由这些点构成的最小凸多边形。
凸多边形的特点是：任意两点之间的线段都在多边形内部。
凸包是凸多边形中的最小面积的凸多边形，即是在所有凸多边形中，面积最小的凸多边形。
二、凸包的生成算法1. Jarvis算法（也叫作包裹算法或者旋转卡壳算法）：该算法基于以下思想：从一组点中找到一个起始点，将其作为凸包的一个顶点。
然后，从这个点开始，寻找下一个能保证凸包深度最大的点，并将其加入凸包。
不断重复这个过程，直到回到起始点为止。
该算法的时间复杂度为O(nh)，其中n是点的个数，h是凸包的顶点数。
2.快速凸包算法：该算法基于Graham扫描算法改进而来。
首先选择一个y坐标最小的点，将其他点按照与这个点的连线的极角进行排序。
然后依次处理排序后的点，对每个点进行判断，如果点在逆时针方向上，则加入凸包，否则舍弃。
最后得到凸包。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，是一种高效的凸包生成算法。
三、凸包面积的计算凸包的面积可以用以下公式进行计算：S = (x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 - x2y1 - x3y2 - ... - xnyn-1 - x1yn) / 2其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)是凸包的顶点的坐标。
计算凸包的面积可以通过以上公式进行求解，公式中的坐标是有顺序的，要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入。
四、凸包周长的计算凸包的周长可以通过计算凸包顶点之间的距离之和来得到。
对于凸包的n个顶点，可以依次计算相邻顶点之间的距离，并将其累加得到凸包的周长。
保证计算的正确性需要注意以下几点：1.凸包的顶点要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入，以保证计算出的面积和周长的结果正确。
凸包和凹包定义
凸包和凹包定义凸包和凹包是计算几何中常见的概念，它们分别指的是一个点集的最小凸多边形和最小凹多边形。
在实际应用中，凸包和凹包有着广泛的应用，比如在图像处理、计算机视觉、机器学习等领域中都有着重要的作用。
一、凸包凸包是指一个点集的最小凸多边形，也就是包含所有点的最小凸多边形。
凸包的求解方法有很多种，其中最常见的是Graham扫描法和Jarvis步进法。
Graham扫描法是一种基于极角排序的算法，它的基本思想是先找到点集中的最下面的点，然后按照极角从小到大的顺序对其余点进行排序，最后依次加入凸包中。
在加入新点的过程中，需要判断当前点是否在凸包内，如果不在则需要将凸包中的点弹出，直到当前点能够加入凸包为止。
Jarvis步进法是一种基于向量叉积的算法，它的基本思想是从点集中找到最左边的点作为凸包的起点，然后依次找到与当前点构成的向量中极角最小的点，直到回到起点为止。
在找到下一个点的过程中，需要判断当前点是否在凸包内，如果不在则需要继续寻找下一个点。
二、凹包凹包是指一个点集的最小凹多边形，也就是包含所有点的最小凹多边形。
凹包的求解方法相对于凸包来说要复杂一些，其中最常见的是分治法和动态规划法。
分治法是一种将问题分解成若干个子问题来解决的方法，它的基本思想是将点集分成左右两部分，分别求出左右两部分的凹包，然后将两个凹包合并成一个凹包。
在合并的过程中，需要找到左右两个凹包的上下凸壳，然后将它们连接起来形成一个新的凹包。
动态规划法是一种将问题分解成若干个子问题来解决的方法，它的基本思想是将点集按照极角排序，然后依次求出每个点作为凹包顶点时的最小凹包。
在求解过程中，需要用到一个二维数组来记录每个点作为凹包顶点时的最小凹包，然后根据递推公式依次求解出所有点的最小凹包。
三、应用凸包和凹包在实际应用中有着广泛的应用，比如在图像处理中，可以用凸包来进行图像的边缘检测和形状分析，可以用凹包来进行图像的形状重建和形态分析。
在计算机视觉中，可以用凸包来进行目标检测和跟踪，可以用凹包来进行目标形状的描述和匹配。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
求凸包算法详解
概念凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。
严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。
这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。
（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）问题给定平面上的二维点集，求解其凸包。
过程1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。
如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。
坐标相同的点应排除。
然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。
实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。
以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。
下面进行逆时针扫描。
2. 线段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。
假设线段<K, C>也在凸包上，因为就H，K，C 三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。
但是接下来加入D时会发现，线段<K, D>才会在凸包上，所以将线段<K, C>排除，C点不可能是凸包。
3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。
从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。
如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。
实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为p n + 1，上一点为p n，再上一点为p n - 1。
顺时针扫描时，如果向量<p n - 1, p n>与<p n, p n>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。
计算几何
2.2.1 点积的定义
两个向量为： A x1 , x 2 ,..., x n B x1 , x 2 ,..., x n 定义两个向量的点积为：
AB
x
i 1
n
i
x i
2.2.2 点积的性质
两个向量的点积是标量 点积的变化与向量模的变化成正比。也 就是说，可以把向量标准化后再求点积， 然后再乘上某个系数，就可以得到原来向 量的点积
猜想由n个点(x1,y1), (x2,y2), ……, (xn,yn)构成 的多边形的重心的坐标是：
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
P1 P6
2.6.3 n边形的重心
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
xa xb
ya yb
b a
叉积的本质是一个向量，这个向量垂直于求叉积的 两个向量所在平面，大小是叉积的绝对值 二维情况的叉积向量平行于z轴，因此可以用正负号 表示方向
2.2 点积
2.2.1 点积的定义 2.2.2 点积的性质 2.2.3 点积的几何解释 2.2.4 点积与余弦函数的关系
可以用arctan2函数求得各个点的极角，然后排 序。但这样做会有浮点误差，且计算极角的运算 量大，没有用到几何特性，也没有深入使用排序 算法 满足全序关系，就能排序，无需算值
3.2.2.4 共线问题解决
Graham-Scan算法执行过程中会碰到多 点共线的情况 此时的一个解决办法是每次取三个点， 如果三者共线，则去掉中间的点
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形 但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
凸包 扩展系数-概述说明以及解释
凸包扩展系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：凸包是计算几何学中的重要概念，它是一个包含给定点集中所有点的最小凸多边形。
凸包的计算方法和算法在计算机图形学、模式识别、地理信息系统等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，为了更好地描述点集之间的几何关系，人们引入了凸包扩展系数这一概念。
凸包扩展系数可以帮助我们衡量凸包在空间中的扩展程度，进一步优化算法和提高计算效率。
本文将系统地介绍凸包的定义、计算方法和算法，以及凸包扩展系数的定义和计算方法，旨在深入探讨凸包在实际应用中的意义和作用。
1.2 文章结构本文将分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将首先对凸包进行简要概述，介绍凸包的基本概念，并说明本文的目的。
引言部分将帮助读者了解本文所要讨论的主题，并对文章的重点和方向有一个初步的了解。
在正文部分，将详细介绍凸包的定义和基本概念，以及凸包的计算方法和算法。
通过对凸包的详细讨论，读者可以深入了解凸包的特性和计算过程，从而更好地理解凸包扩展系数的定义和计算方法。
在结论部分，将总结本文的内容，讨论凸包在不同领域的应用和意义，并介绍凸包扩展系数的定义和计算方法。
结论部分将对本文所讨论的内容进行一个简要的总结，同时展望凸包在未来的研究和应用方向。
1.3 目的:本文的目的在于探讨和分析凸包扩展系数在计算机图形学和几何学中的重要性和应用。
通过详细介绍凸包的定义、基本概念和计算方法，引出了凸包扩展系数的概念。
在这一部分，我们将重点讨论凸包扩展系数的定义和计算方法，以及其在实际应用中的意义和作用。
同时，我们也将探讨如何利用凸包扩展系数来优化算法和提高计算效率。
通过深入研究凸包扩展系数的相关理论和实践，希望能够为读者提供全面的了解和思考，推动相关领域的研究和发展。
2.正文2.1 凸包的定义和基本概念凸包是指包围一组点集的最小凸多边形。
其中，凸多边形意味着多边形内部的所有角度都小于180度。
凸包在计算机图形学、几何学、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
三维体凸包的计算公式
三维体凸包的计算公式
三维体凸包的计算是一个复杂的几何问题，涉及到凸包、几何计算和算法等领域。
凸包是几何图形中一个重要的概念，它描述的是一个点集中的所有点构成的凸多边形。
三维体凸包的计算通常需要使用到计算机图形学和计算几何的方法。
下面提供一种常见的计算三维体凸包的方法：
1. 顶点选择: 首先，需要确定一个合适的顶点集合来表示三维体。
这个集合
可以是三维体的所有顶点，也可以是其中的一部分顶点。
2. 凸包计算: 对于给定的顶点集合，可以采用扫描算法或者分治算法来计算
凸包。
扫描算法通常采用旋转轴法，将三维体沿着不同的轴旋转，并记录下旋转过程中的极角和极径，最后根据这些信息确定凸包的顶点。
分治算法则将三维体分成不同的子集，分别计算子集的凸包，然后合并得到整体的凸包。
3. 优化: 为了提高计算效率，可以采用一些优化方法，例如使用八叉树等数
据结构来加速近邻点的查找，或者采用空间分割法将三维体分成更小的子集，分别计算后再合并。
需要注意的是，具体的实现方法可能会因为不同的应用场景和需求而有所不同。
此外，三维体凸包的计算是一个NP难问题，当点集数量较大时，计算
时间可能会较长。
因此，在实际应用中，需要综合考虑算法的复杂度、计算精度和实时性等方面的要求。
计算机图形学练习测试题及参考答案
计算机图形学练习测试题及参考答案计算机图形学练习测试题及参考答案Prepared on 24 November 2020《计算机图形学》测试题⼀、名词解释：(每个4分)1．计算机图形学2．图象处理3．模式识别4．计算⼏何5．凸多边形6．种⼦填充算法7．窗⼝8．视区9．光顺性10．拟合11．多项式插值12．⼩挠度曲线13．图形变换14．齐次坐标系15．凸包16．轮廓线17．等值线18．图形的翼边表⽰19．ER模型20．图形消隐21．本影22．半影23．⽤户坐标系24．规范化设备坐标系25．构造26．约束技术27．光线跟踪28、⾛样29、CRT（Cathode Ray Tube）30、隔⾏（interlaced）扫描32、取样⽅式（sample mode）33、区域34、边界表⽰法35、复合变换36、⼆维复合平移37．⼆维复合⽐例38．⼆维复合旋转39．视区（Viewport）40、投影变换41、平⾯⼏何投影42. 参数图43. 像素图44．⼈机界⾯45．地理信息系统46．虚拟现实47.⼏何造型技术48．扫描转换49. 插值曲线50．逼近曲线51. ⽤户接⼝52. 交互技术53. 交互式图形系统的基本交互任务54. 定位任务55. 选择任务56. 拾取任务57 .选择技术58. 菜单技术59. ⽂字输⼊任务60. 数值输⼊任务61．动画62．帧63．场64. 消隐65.物体空间的消隐算法66. 漫反射光67. 环境光⼆、选择题（每题2分）1、计算机图形学与计算⼏何之间的关系是( )。
A）学术上的同义词 B）计算机图形学以计算⼏何为理论基础C）计算⼏何是计算机图形学的前⾝D）．两门毫不相⼲的学科2、计算机图形学与计算机图象学的关系是( )。
A）计算机图形学是基础，计算机图象学是其发展B）不同的学科，研究对象和数学基础都不同，但它们之间也有可转换部分C）同⼀学科在不同场合的不同称呼⽽已D）完全不同的学科，两者毫不相⼲3、触摸屏是( )设备。
moravec算子计算例题
moravec算子计算例题
【原创实用版】
目录
1.Moravec 算子的概念
2.Moravec 算子的应用
3.Moravec 算子的计算例题
正文
Moravec 算子是计算机图形学中的一种重要算子，主要用于计算二维或三维空间中的几何图形的交点。
它的概念最早由捷克计算机科学家Moravec 在 1968 年提出，故以此命名。
Moravec 算子广泛应用于计算机辅助设计、图像处理、虚拟现实等领域。
Moravec 算子的应用主要包括以下几个方面：
1.计算几何图形的交点：在计算机图形学中，经常需要计算两个或多个几何图形的交点，例如计算直线与圆的交点、计算两个圆的交点等。
Moravec 算子可以高效地完成这种计算任务。
2.计算几何图形的包围盒：在计算机图形学中，为了提高计算效率，通常需要将几何图形转换为包围盒（bounding box）进行计算。
Moravec 算子可以方便地计算几何图形的包围盒。
3.计算几何图形的凸包：在计算机图形学中，凸包（convex hull）是一个重要的概念。
Moravec 算子可以高效地计算几何图形的凸包。
下面是一个 Moravec 算子的计算例题：
假设有两个圆，圆心分别为 (1, 2) 和 (4, 6)，半径分别为 2 和 3。
我们需要计算这两个圆的交点。
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凸包面积和周长的计算
凸包面积和周长的计算凸包是指包围一组点的最小凸多边形，它可以通过一系列点的坐标来确定。
凸包的面积和周长是凸包的两个重要指标，可以用来描述凸包的大小和形状。
一、凸包的面积计算凸包的面积可以通过计算凸包上所有边构成的三角形的面积之和来得到。
具体计算步骤如下：1. 首先，根据给定的一组点，确定凸包的顶点。
可以使用凸包算法如Graham扫描或Jarvis步进等方法来求解凸包的顶点。
2. 然后，通过连接凸包顶点的边，将凸包划分为一系列的三角形。
3. 接下来，计算每个三角形的面积。
可以使用海伦公式或矢量叉积等方法来计算三角形的面积。
4. 最后，将所有三角形的面积进行累加，即可得到凸包的面积。
凸包的面积计算可以用来衡量一组点的分布情况。
当凸包的面积较大时，说明点的分布比较离散；而当凸包的面积较小时，说明点的分布比较集中。
二、凸包的周长计算凸包的周长是指凸包边界上所有边的长度之和。
计算凸包的周长可以通过以下步骤实现：1. 根据给定的一组点，确定凸包的顶点。
2. 连接凸包顶点的边构成凸包的边界。
3. 遍历凸包的边界，计算每条边的长度。
4. 将所有边的长度进行累加，即可得到凸包的周长。
凸包的周长可以用来描述凸包的大小。
当凸包的周长较大时，说明凸包的形状比较复杂；而当凸包的周长较小时，说明凸包的形状比较简单。
凸包面积和周长的计算在计算几何和图形学中有着广泛的应用。
它们可以用来解决许多实际问题，比如计算地理区域的面积和周长、计算物体的外形和边界等。
总结起来，凸包的面积和周长是衡量凸包大小和形状的重要指标。
凸包的面积可以通过计算凸包上所有边构成的三角形的面积之和来得到，而凸包的周长是指凸包边界上所有边的长度之和。
凸包面积和周长的计算在计算几何和图形学中有着广泛的应用，可以用来解决许多实际问题。
通过对凸包面积和周长的计算，我们可以更好地理解和分析凸包的性质和特征，为后续的研究和应用提供参考依据。
三维凸包生成算法_解释说明以及概述
三维凸包生成算法解释说明以及概述1. 引言1.1 概述三维凸包生成算法是计算机图形学和计算几何领域的一个重要研究方向。
它涉及到在三维空间中找到能够完全包围给定点集的最小可见表面，这个表面被称为凸包。
三维凸包在计算机图形学、虚拟现实、遥感技术、立体成像等领域都有广泛的应用。
本文将对三维凸包生成算法进行解释说明，并对常见的算法进行概述和比较评估。
首先会介绍凸包的定义和生成问题，然后详细阐述Graham扫描算法、Jarvis 步进算法和QuickHull算法的原理和实现方法。
接下来将对这些算法进行性能评估，并比较它们的优缺点。
最后，我们还将分析三维凸包生成算法在各个应用领域中的具体应用情况，并展望未来发展趋势。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、三维凸包生成算法、算法解释与说明、算法概述和评估比较以及结论。
引言部分概述了整篇文章的主题内容以及研究背景，介绍了凸包生成算法在实际应用中的重要性。
接下来的三维凸包生成算法部分将解释凸包的定义和生成问题，并列举常见的算法。
在算法解释与说明部分，详细介绍了Graham扫描算法、Jarvis步进算法和QuickHull算法的原理和流程。
随后，在算法概述和评估比较部分，我们将对这些算法进行性能指标评估，并比较它们的优缺点。
最后，在结论部分，对整篇文章进行总结，并展望未来三维凸包生成算法的发展趋势。
1.3 目的本文旨在提供读者对三维凸包生成算法的全面了解和深入认识。
通过解释说明和概述常见的三维凸包生成算法，读者可以掌握每种算法的原理、实现方法以及其在不同应用领域中的优缺点。
文章还将对这些算法进行评估比较，帮助读者选择适合自己需求的具体实现方法。
同时，本文也希望为未来研究提供一定参考价值，探讨三维凸包生成算法在更广泛领域中可行性和改进方向，促进该领域的发展和创新。
2. 三维凸包生成算法：2.1 凸包定义：凸包是指一个闭集合内的所有点都位于该集合的边界或内部，形成一个多面体。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是现代计算机科学、数学与工程技术中的一个重要分支。
它研究空间中各种几何对象的表示、存储、处理与运算。
伴随着计算机技术的发展，计算几何的应用也越来越广泛，从计算机图形学、CAD （计算机辅助设计）到模式识别与机器学习等领域均有涉及。
本文将从基本概念入手，逐步深入，探讨计算几何的基本理论、主要算法以及实际应用中的重要性。
计算几何的基本概念在讨论计算几何之前，我们首先需要理解一些基本的几何概念和术语。
计算几何主要关注以下几个方面：1. 点、线、面和多边形点是最基本的几何元素，通常用坐标表示。
在二维空间中，我们用坐标 (x, y) 来表示一个点；而在三维空间中，则使用 (x, y, z)来表示。
此外，线由两个点确定，面则由三条边围成的区域形成。
多边形是由有限条线段首尾相连形成的闭合图形，例如三角形、矩形等。
2. 几何变换几何变换是对几何对象进行的位置、大小和方向的改变。
常见的变换包括平移、旋转和缩放。
通过这些变换，可以实现对象的重新定位以及调整其尺寸以适应不同的应用场景。
3. 几何算法几何算法是处理和分析几何对象的步骤和方法。
这些算法解决诸如点与线的关系、点是否在多边形内等问题。
高效的几何算法能够提高计算效率，对于大规模数据处理尤为重要。
计算几何中的重要算法在计算几何中，有一些关键算法为我们解决复杂问题提供了必要工具。
以下将介绍其中几个广泛应用且基础的重要算法。
1. 凸包算法凸包是指能够包含一组点的最小凸多边形。
凸包问题在许多领域都有广泛应用，包括数据可视化、模式识别等。
著名的求解凸包的算法包括Graham扫描法和Jarvis行侠法等。
Graham扫描法具体步骤如下： - 将所有点按照x坐标排序，如果x坐标相同则按照y坐标排序。
- 选定左下角点为起始点，按极角顺时针排序。
- 利用栈结构循环判断当前点与栈顶两点所组成的角度来维护凸包。
此算法在时间复杂度上表现良好，通常为 (O(n n))。
凸包
凸包凸包（Convex hull）目录[隐藏]∙ 1 什么是凸包∙ 2 凸包的表达方式∙ 3 凸包的算法∙ 4 参考文献[编辑]什么是凸包在了解凸包之前，须先认识何谓“凸多边形”(Convex Polygon)。
从直观上说，一个凸多边形就是没有任何凹陷位的多边形。
我们在低年级数学所学习的三角形、正方形、长方形、平行四边形、正五边形、正六边形等等，都是凸多边形的例子。
但是以下这个“凸”字形却并非凸多边形，因为箭头指着的地方实际是一个凹陷位。
可是上述这一定义很不严密，究竟何谓“凹陷位”？实在难以说清楚。
因此在数学上，凸多边形有另一个严格的定义。
假设我们在一个多边形上 (包括多边形的边界及边界围封的范围)任意取两点并以一条线段连结该两点，如果线段上的每一点均在该多边形上，那么我们便说这个多边形是凸的。
根据以上定义，我们便可判断“凸”字形的确不是凸的。
例如，在下图中，连结A、B两点的线段有一部分并不在该多边形上。
认识了凸多边形后，我们便可了解何谓凸包。
给定平面上的一个(有限)点集(即一组点)，这个点集的凸包就是包含点集中所有点的最小面积的凸多边形。
例如，下图的点集共包含9个点，图中的六边形便是该点集的凸包。
其中构成六边形的6个点称为“凸包上的点”(Hull Point)，其余3个点则并非“凸包上的点”。
请注意上述定义中“最小面积”这个限制条件，因为除了凸包以外，还有无限多个包含点集中所有点的凸多边形。
例如，只要画一个面积足够大的四边形，便可包围任意给定的点集。
因此假如没有这个限制条件，求凸包就变成非常容易但却没有唯一解的运算。
[编辑]凸包的表达方式在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点()的线性组合来构造。
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
[编辑]凸包的算法增量式算法1逐次再点加入，然后检查之前的点是否在新的凸包上。
CGAL功能大纲
CGAL功能大纲CGAL（计算几何算法库）是一个开源的C++库，提供了一系列的计算几何算法。
它涵盖了从基本几何算法到高级算法的广泛范围，并提供了高效、可扩展和可靠的实现。
以下是CGAL的主要功能大纲：1.基本几何算法-点、线、线段、射线、直线等基本几何对象的表示和计算-点与点之间的距离、线段与线段之间的相交判断等基础计算2.二维凸包算法-计算给定点集的凸包，即围成这些点的最小凸多边形- 支持多种算法，如Graham、Jarvis、Chan等算法3.三维凸包算法-计算给定点集的凸包，即围成这些点的最小凸多面体- 支持多种算法，如QuickHull、Incremental等算法4.二维射线追踪-计算从给定点出发的射线与给定曲线的交点-支持射线与线段、直线、射线、圆等的相交计算5.三维射线追踪-计算从给定点出发的射线与给定曲面的交点-支持射线与平面、球、三角面片等的相交计算6.二维三角剖分算法- 将给定点集进行分割，生成Delaunay三角剖分或Voronoi图-支持多种算法，如法向量加速算法、法向量三角剖分等7.三维三角剖分算法- 将给定点集进行分割，生成Delaunay三角剖分或Voronoi图-支持多种算法，如增量法、基于球的三角剖分等8.网格生成与处理-生成二维和三维网格，支持任意形状的网格-提供网格平滑、剪裁、填充、变形等操作9.曲线与曲面拟合-将给定的曲线或曲面拟合到离散数据点集上-支持平面拟合、曲线拟合、曲面拟合等算法10.几何优化-通过调整顶点位置来优化网格形状-支持曲面光滑、网格简化等优化算法11.多边形分割-判断给定多边形是否可被切割为互不相交的子多边形-支持多边形分割的算法12.立体包围盒-计算给定点集的最小立体包围盒-支持2D和3D的最小包围盒计算总结：CGAL提供了广泛的计算几何算法和数据结构，可用于解决各种几何问题。
其高效性和可扩展性使其成为许多计算几何领域的首选工具。
无论是在二维还是三维几何问题上，CGAL都提供了简单易用且高质量的算法，可以帮助开发者快速实现各种几何应用。
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|P|,|Q| <= 10^5
MINKOWSKI和
等价于P和Q凸包的Minkowski和
凸包的边构成 (Px+Py,P(x+1)+Py) or (Px+Py,Px+P(y+1)) 相当于用P和Q凸包的所有边做一个新凸包
双指针扫描解决
PART II
回顾：凸包
增量法 – O(n^2) Javris步进法 – O(nh) Graham扫描 – O(nlogn) QuickHull – O(n^2)~O(n) Chan分块法 – O(nlogh)
平行四边形加一维就是平行六面体 给定向量a,b,c，求以a,b,c为三边的平行六面体体积
每一项看起来都像一个二维叉积。 回忆：三阶行列式按第1行展开
计算几何基础：运算
叉积的另一种写法：三阶行列式
j k i X 1 Y 1 Z1 P1 P 2 X 2 Y 2 Z 2
对上式进行求值，可以得到相同的结果。
计算几何基础：运算
2D：用a×b表示以a和b为边的平行四边形面积 3D：|a×b|表示以a和b为边的平行四边形面积
判定点和平面关系
计算几何基础：运算
点积 <a,b> = AxBx+AyBy+AzBz <a,x>+<b,x>=<a+b,x> <a,b> = |a|*|b|*cosθ <a,b> = 0 <-> a⊥b 也被称为内积(Inner Product)
计算几何基础：运算
P1：求一个点Q到直线(Po,V)的距离
假设已知凸包上有M个点。
Step 1：将点均分为N/M个部分 对每个点集进行Graham-Scan，得到N/M个凸包 复杂度统计
O((n/m)*(mlogm)) = O(nlogm)
Step 2：合并N/M个凸包。
CHAN’S ALGORITHM
CHAN’S ALGORITHM
只要M>=H，算法就能正确出解
CHAN’S ALGORITHM
倍增枚举M？ M=2,4,8,16,…,2^t,…
O(nlog2)+O(nlog4)+…+O(nlogh) =O(n)*(1+2+3+…+logh) =O(n)*O(log^2h) =O(nlog^2h)
比指数更快的增长率 M=2,4,16,256,…,2^(2^t))….
QuickHull(a,b)应当返回S的凸包。
QUICKHULL
QuickHull(a,b)
找到离ab最远的点c，那么c一定在凸包上 QuickHull(a,c) QuickHull(c,b)
将点集分成三个部分
(1)三角形内点 (2)AC右侧点 (3)CB右侧点
B
(2)
Step 2：合并N/M个凸包
卷包裹 选取初始点x0，每次选择最右手边的一个点前进
可能的点都在n/m个凸包上
在每个凸包内部二分查询：O(logm)
时间复杂度
选取最右点：O(n/m*logm) 凸包上有M个点：O(m*n/m*logm)=O(nlogm)
Chan’s Algorithm求凸包的复杂度是O(nlogm) M是啥?
将凸包扩展到三维情况。
计算几何基础：表达
定义直角坐标系
右手坐标系
三维空间的点坐标: (x,y,z) 点和向量有什么区别 Ax+By+Cz+D = 0 描述一个面
(A,B,C)是平面的法向量 右手法则
描述一条直线
基础：两个平面的交点 (A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0)
计算几何基础
直线表示
标准式 Ax+By+C = 0 斜率式 y = kx+b 两点式 (x-x0)/(x1-x0) = (y-y0)/(y1-y0) x/A+y/B = 1 Balabala
计算几何基础
点积
二维情形：a· = axbx+ayby b <a,b> = |a|*|b|*cosθ θ=arccos(<a,b>/|a|/|b|) Dis(a,b) = |B-A| = <A-B,A-B>
常用技巧：维护水平序节点
DIVIDE-AND-CONQUER
考虑对点集进行分治 Solve(S)返回S的凸包。
Solve(S)
将S分为两个点集S1和S2，保证S1在S2左侧 合并Solve(S1)和Solve(S2)返回的凸包
合并凸包的关键：找到切线 上下切线可以分别考虑
DIVIDE-AND-CONQUER
计算几何基础：运算
ARDENIA
给定三维空间上的两条线段，求它们的最近距离。
分情况讨论 (1)线段所在直线是异面/相交直线
计算异面直线距离 当且仅当两个垂点都在线段上时取到
(2)直线平行，或(1)的条件不满足
分别计算四个端点到另一条线段的最短距离 视为平面问题
STAR WAR
C (3)
(1)
对(2)(3)分治 (1)的点全部抛弃 (2)和(3)会有交集么？
A
QUICKHULL
QuickHull的效率
三角形ABC内的点一定不在凸包上 在点集随机的情况下，复杂度十分优秀 能够被圆周撒点卡到O(nlogn)
没有点在三角形内
初始调用
指定点集的最左/最右点x,y 调用QuickHull(x,y)和QuickHull(y,x)
U-,U,V和U,V,V+都成逆时针顺序排列 双指针扫描
从L的最右端和R的最左端开始 维护U上可见点的最远点，直到一个点都看不见
QUICKHULL
回忆Quicksort 选定一个标准mid，将<mid和>mid的部分分别排序
定义过程QuickHull(a,b)
保证A-B是凸包上的两个顶点。 定义点集S，使S中的点除了a,b以外都在a->b的右侧。 A-B这条边被称为凸包的弦(chord)
目前使用最为广泛的算法。 确定极角序
选取最左下的点作为参考点，按夹角对其他点排序
按夹角排序？
叉积定方向 偏序关系
GRAHAM’S CONVEX HULL
维护凸壳
节点按极角序入栈 保持栈中节点凸壳性质
弹出栈顶元素直到新边和原栈顶边成左转关系
复杂度分析
一个节点进栈一次出栈一次，O(n) 排序O(nlogn) 总复杂度O(nlogn)
给定三维空间上的两个四面体，求它们的最近距离。
保证四面体相离
分情况讨论
点-面距离 线-面距离？ 面-面距离？
计算几何基础：运算
二维叉积
a×b=AxBy-AyBx a×b=|a||b|sinθ
三维叉积：定义
c=a×b=|a||b|sinθ*n n是和ab所在平面垂直的单位向量 a×b = -b×a 也被称为外积(Outer Product)
确定n的方向
右手定则/右手系 右手四指从X扫到Y，大拇指方向为N
计算几何基础：运算
平面上三个不共线点确定唯一平面。给定三个点 M1,M2,M3，求平面解析式。
N = (M2-M1)×(M3-M1) 平面上的点P应当满足 <P-M1, N> = 0
计算几何基础：运算
计算P1(x1,y1,z1) × P2(x2,y2,z2)的值 假设i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) P1 × P2 = (x1i+y1j+z1k) × (x2i+y2j+z2k) =x1x2(i ×i)+x1y2(i ×j)+x1z2(i ×k) +y1x2(j×i)+y1y2(j ×j)+y1z2(j ×k) +z1x2(k ×i)+z1y2(k ×j)+z1z2(k ×k) =(y1z2-y2z1)i+(z1x2-z2x1)j+(x1y2-x2y1)k
选取一个一定在凸包上的点X，沿着点集逆时针走一 圈，当走回X时，得到整个凸包
(1)X怎么选？ (2)如何找最右手边的射线
JAVRIS步进法（卷包裹法）
复杂度分析 O(n*h) H是凸包上的节点数 Output-Sensitive
GRAHAM’S CONVEX HULL
计算几何基础：运算
Solution to P2：假设q’是Q在π上的投影。
计算几何基础：运算
P3：给定两条异面直线，求它们之间的距离
假设两条直线是L1=P1+us,L2=P2+vt (s,t∈R) 垂线交点是Q1=P1+us,Q2=P2+vt 那么有<Q1-Q2,u> = 0和<Q1-Q2,v> = 0