高阶齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程
数学与统计学院
赵小艳
1 2 高阶线性微分方程的概念
1
主要内容
3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关
高阶齐次线性微分方程通解的结构
1 2 高阶线性微分方程的概念
1
主要内容
3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关
高阶齐次线性微分方程通解的结构
解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动）
如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力
作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律.
pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直
向下. x x
o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位
置的位移为x (t ).
,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2
可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程
.0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：
一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程,
,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程,
t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程
)1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程
,
0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程， ,0)(时当≠t F n 阶非齐次线性微分方程.
其初始条件的一般形式为 )
2(.)(,,)(,)()
1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 解的存在唯一性定理
].
,[,),()2()1(,],[)()(,),(),()1(021b a t t t x b a t F t P t P t P n ∈的解件存在唯一的满足初始条则方程上连续均在区间及中的系数若
1 2 高阶线性微分方程的概念
1
主要内容
3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质
函数的线性相关与线性无关
高阶齐次线性微分方程通解的结构
为线性微分算子. ),()()()()(1111t x t P t x t P t x t P t x x L n n n n n n ++++=---d d d d d d 记 称 )()()()(1111t P t t P t t P t L n n n n n n ++++=---d d d d d d 性质
;
0)0()1(=L ;
),()()2(为任一常数C x CL Cx L =,x L C x L C x L C x C x C x C L n n n n )()()()()3(22112211+++=+++ .
,,,为任意常数其中C C C 2 高阶齐次线性微分方程解的性质 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x
t P t x n n n n 0)(=x L
定理1（解的叠和性） ,)3(,,,21的解均是齐次线性方程
若n x x x ,)3(2211的解也是齐次线性方程则n n x C x C x C x +++= 问题： 例如 ,0=+x x
,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解， 也是它的解， 2211x C x C x +=.
sin )2(21t C C x +=这是因为但不是该方程的通解. )
3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n .
,,,21为任意常数其中n C C C 不一定！ 的通解呢？情况下才是方程个任意常数的解在什么具有)3(n 的通解？
是否是)3(2211n n x C x C x C x +++=
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主要内容
3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质
函数的线性相关与线性无关
高阶齐次线性微分方程通解的结构
定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得
个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0
)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I ,,,,21维向量是一组设n s ααα 的常数如果存在一组不全为零
,02211=+++s s k k k ααα 使得,,,1s k k s ααα,,,21 则称.
,则称它是线性无关的关一个向量组不是线性相.是线性相关的在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关.
I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =
定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得
个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0
)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I 在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关. I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =例如 t t 22sin ,cos ,1线性相关； 一般地， ,)()(21常数上若在≠t y t y I 上在与则函数I t y t y )()(21线性无关. .
,线性无关而t
e t
例1 .,,,,11
2上线性无关在任何区间证明函数组I x x x n - 证 反证法. 零的常数 使得
()0,1,2,,1,i C i n =-0
112210=++++--n n x C x C x C C 对区间 I 上的所有x 都成立, 但以上n -1 次方程在实数范围内最多有n -1个根. .
,,,,112上线性无关在任何区间所以，函数组I x x x n - 即方程有无穷多个根.
例如 ,0=+x x
,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解， 是它的解， t C C x C x C x sin )2(212211+=+=但不是通解. 矛盾！
.
个线性无关的特解关键是求微分方程的n 则必存在n 个不全为 假设这n 个函数线性相关, ,要求微分方程的通解
t t t e e e 2,,-是否线性无关？
,),(时当∞+-∞∈t 例2 解 两边同时关于变量t 求一阶和二阶导数, 得:
假设 0
2321=++-t t t e C e C e C 0
42321=++-t t t e C e C e C 0
22321=+--t t t e C e C e C 联立, t t t t t t t t t e e e e e e e e e D 22242----=4
112111112-=t e ,0≠t e 26-=().,+∞∞-∈t 因此 ,0321===C C C 即
t
t t e e e 2,,-线性无关. ,),(时当∞+-∞∈t 321,,C C C 关于变量
的线性方程组的系数行列式为
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3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质
函数的线性相关与线性无关
高阶齐次线性微分方程通解的结构
定理2（解的线性无关判别法） 线性无关则)(,),(),(21t x t x t x n 0)()()()()()()
()()()(0)1(0)1(20)1(100201002010≠=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x t w n n n n n n
使得
中存在一点在,0t I ,)3()(,),(),(21的解的定义于区间是方程若I t x t x t x n 4 高阶齐次线性微分方程通解的结构
)3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 行列式
Wronski .)3(个线性无关的特解的关键是求n ,)3(的通解要求微分方程
定理3（齐次线性微分方程通解的结构）
个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )
()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .
,,,21为任意常数其中n C C C 证明 下证任一解 x (t ) 具有以上形式.
由齐次方程解的叠加性质，可知上式中的 x (t ) 是(3)的解.
任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件
.
)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 均可表示为
则它的任一解x
任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件
.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 构造方程组 由于Wronski 行列式不等于零，
所以以上方程组关于变量 n C C C ,,,21 且满足初值条件. )()()()(0202101t x C t x C t x C t x n n
+++= 于是 .,,,0020
1n
C C C )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)
()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++= )()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++=)()()(0)1(0)1(110)1(t x C t x C t x
n n n n n ---++=
存在唯一一组解
定理3（齐次线性微分方程通解的结构） )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .
,,,21为任意常数其中n C C C 均可表示为
则它的任一解x .,0)(')(",21求其通解的解是方程已知=++y x a y x a y e x x 例1 解 ,01111
0)0(≠-==w 由于.
,线性无关所以x e x ,21x e C x C y +=该方程的通解为.,21为任意常数其中C C 个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n。