高阶齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程

数学与统计学院

赵小艳

1 2 高阶线性微分方程的概念

1

主要内容

3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关

高阶齐次线性微分方程通解的结构

1 2 高阶线性微分方程的概念

1

主要内容

3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关

高阶齐次线性微分方程通解的结构

解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动）

如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力

作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律.

pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直

向下. x x

o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位

置的位移为x (t ).

,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2

可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程

.0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：

一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程,

,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程,

t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程

)1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程

,

0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程， ,0)(时当≠t F n 阶非齐次线性微分方程.

其初始条件的一般形式为 )

2(.)(,,)(,)()

1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 解的存在唯一性定理

].

,[,),()2()1(,],[)()(,),(),()1(021b a t t t x b a t F t P t P t P n ∈的解件存在唯一的满足初始条则方程上连续均在区间及中的系数若

1 2 高阶线性微分方程的概念

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主要内容

3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质

函数的线性相关与线性无关

高阶齐次线性微分方程通解的结构

为线性微分算子. ),()()()()(1111t x t P t x t P t x t P t x x L n n n n n n ++++=---d d d d d d 记 称 )()()()(1111t P t t P t t P t L n n n n n n ++++=---d d d d d d 性质

;

0)0()1(=L ;

),()()2(为任一常数C x CL Cx L =,x L C x L C x L C x C x C x C L n n n n )()()()()3(22112211+++=+++ .

,,,为任意常数其中C C C 2 高阶齐次线性微分方程解的性质 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x

t P t x n n n n 0)(=x L

定理1（解的叠和性） ,)3(,,,21的解均是齐次线性方程

若n x x x ,)3(2211的解也是齐次线性方程则n n x C x C x C x +++= 问题： 例如 ,0=+x x

,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解， 也是它的解， 2211x C x C x +=.

sin )2(21t C C x +=这是因为但不是该方程的通解. )

3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n .

,,,21为任意常数其中n C C C 不一定！ 的通解呢？情况下才是方程个任意常数的解在什么具有)3(n 的通解？

是否是)3(2211n n x C x C x C x +++=

1 2 高阶线性微分方程的概念

1

主要内容

3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质

函数的线性相关与线性无关

高阶齐次线性微分方程通解的结构

定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得

个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0

)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I ,,,,21维向量是一组设n s ααα 的常数如果存在一组不全为零

,02211=+++s s k k k ααα 使得,,,1s k k s ααα,,,21 则称.

,则称它是线性无关的关一个向量组不是线性相.是线性相关的在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关.

I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =