用二分法求方程的近似解教案(人教A版必修)

用二分法求方程的近似解

一、教学内容分析

本节选自新人教Ａ版必修１第三章第一节的第二课时，是利用前一节课中的函数的零点和方程的根的关系来才解方程的根，而如何求得函数的零点，就是本节课的主要内容。这里要求学生懂得二分法的求解的过程，理解二分法求解的原理，更重要的是，有了计算机这种高科技产品，使得复杂的计算变成了简单，使得这种近似的计算方法有了更广泛的应用空间。为必修3算法提供了技术支持。同时让学生对函数与方程的思想，数形结合思想以及逼近的数学思想有了进一步的认识。

二、学生学习情况分析

同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而通过生活中的案例来接触二分的思想，使二分法不要变化抽象，能够激发学生的学习兴趣，使学生明白数学就在我身边，数学无处不在的。学生也能够很容易理解这种方法。对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．

三、教学目标

通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．

四、教学重点和难点

1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

2．教学难点：方程近似解所在起始区间的确定，近似解与精确度的关系。

五、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题

体会一分为二的“逼近”思想

问题1：在班级举办的新年晚会上，有一支有100个小彩灯组成的串联彩灯电路突然不亮了，知道只有一个灯泡烧毁，如何迅速找出烧掉的灯炮并换掉，让欢乐的气氛得以继续？

这个问题会让学生有身临其境的感觉，确实，这个欢快的场面，出现了这个大杀风景的事，是有点不爽，越快找出烧毁的灯炮越好。

[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：

思路1：用万用表按顺序一个一个灯泡去测试．

思路2：通过先找到中间的灯泡，测试两次，这样就剩下50个灯泡，以此类推不用几次即可找出烧毁的灯泡。

老师从思路2入手，引导学生解决问题：

如图，首先找到中间灯炮的接点A51．用万用表测量A1与A51之间的电阻，如果指针不动，说明电阻无穷大，烧毁的灯光就在A1与A51之间，否则烧毁的灯光就在A52与A101之间，若是在A1至A51之间，再测量A1至A26之间和A26至A51之间，找出烧毁灯泡所在的电路段，以此类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就可以烧毁的灯光．接下来教师现场演示测量过程．

在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）．

[设计意图] 从实际问题入手，现场演示用二分法思想查找烧毁的灯泡，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．

（二）师生探究,构建新知

问题2：现在我把烧毁的灯泡比作函数()ln26

=+-的零点，请同学们

f x x x

先猜想它的零点大概是什么？

1．教师引导学生计算)2(f，)3(f的值，以及()ln26

=+-在（2,3）是

f x x x

否有定义。

计算结果：()ln26

f＞

=+-在（2,3）是连续函数，而且(2)

f x x x

f＜0，(3) 0.

教师演示：用毛线比作函数曲线，因为(2)

f＞0.所以横坐标为2

f＜0，(3)

的点在x轴下方，横从标为3的点在x轴上方，将毛线的两端分别固定在x轴的上方或下方，无论毛线如何放置，始终与x轴交于2至3之间

结论：实际上在闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程()0

f x=在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．也就是()ln26

=+-在区间（2，3）内有零点。

f x x x

2．我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间（2，3）内有零点，且(2)f ＜0，(3)f ＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？

合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）

学生的结论：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，经过多次以后，我们可以得到零点.

教师问：要经过多少次缩小范围呢？

学生：因为我们这节课的课题是求近似解，近似解有精确度问题，所以只要指定精确度，就可以解决这个问题。

师问：那如何缩小范围呢？

这个问题学生可能有两种回答：

1.通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

2.通过“取三等分点或四等分点”等方法逐步缩小零点所在的范围，因为他看到了找烧毁灯泡的过程中，中间点并不中间。

教师总结：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便（便于实现必修3中的算法设计）.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.

引导学生分析理解求区间(,)a b 的中点的方法2

a b x +=． 合作探究：（学生4人一组互相配合，事先确定好精确度，一人按计算器，一人记录过程．另1人确定每次计算得到的零点所在的区间，最后一人监督计算结果是否符合要求，即区间的长度是否<=精确度，若是即得到近似值。）

步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f ≈-<. 由(3)f ＞0，得知(2.5)(3)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。

步骤二：取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得(2.75)0.5120f ≈>.因为(2.5)(2.75)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

结论:由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)⊃⊃，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间内的任一点作为函数零点的近似值．