第7章向量代数与空间解析几何.

第7 章向量代数与空间解析几何

7.1 向量代数

1学习指导

1.基本要求

⑴理解向量的基本概念。

⑵熟练掌握向量的加减、数乘、数量积、向量积运算的几何意义和坐标运算，掌握混合积及其几何意义。

⑶熟练运用向量坐标来判定和表达向量之间的关系及计算等有关问题。

⑷掌握两个向量之间夹角的计算及两个向量平行或垂直的条件。

⑸掌握单位向量及方向余弦的表达式。

2重点与难点

重点向量的概念、向量的坐标、向量的线性运算、向量的数量积与向量积。

难点向量的向量积及其运算律。

3学习方法

⑴向量代数的主要内容可归类为：

①两种表示法几何表示与坐标表示。

②五类运算加减、数乘、数量积、向量积与混合积运算，其中数量积与混合积的运算结果是数量，其余的运算结果是向量。

③几个关系两向量的垂直、平行及相交关系，三向量的共面关系。

研究方法是以向量为工具，用代数方法研究几何问题，学习中应 深刻理解向量的基本概念及几何意义，切实掌握用向量研究各种数形 结合问题的方法和技巧。

⑵注意向量与数量是两类不同的概念， 学习中切不可将数量中的 一些规律随意用于向量运算，例如数量乘法只有一种而向量乘法却有 多种，其结果可能是数量也可能是向量；数量乘法具有交换律和消去 律，而向量的向量积具有反交换律；两数量可以比较大小而两向量却 没有大小之分；数量乘法可记为 a b a b ab ,而向量中的a b 是向

量，a b 是数量，需要严格区分不可混淆。

⑶对涉及向量的向量积和数量积的计算，一般是根据它们的定 义、性质和运算规律来进行，应明确哪个结果是数量，哪个结果是向 ，a a 0，a a b ，a b b a ，a b b a

等性质简化运算，如果仅涉及向量数量积的运算，则经常使用下面两 种方法:

②当不能直接利用定义时，根据所给条件充分利用数量积的有关 运算律间接计算。

⑷设a,b,c 为非零向量，研究向量间相互关系有如下方法。 如需确定a ll b 或a 与b 共线，则: ① 讨论是否有a b . ② 讨论是否满足生岂电

b x b y

b z

③计算a b 是否等于零向量。

量，特别注意利用a a

①已知向量的模与夹角时，利用定义 a b Ecos(a,b)直接计算。

如需确定a b ，则:

①计算a b ，看结果是否等于零。 ②计算a b ，若a b C ，贝J a c ， b C. 如需确定a,b,c 共面或四点共面，则 ①讨论是否有a b c .

②计算abc ，讨论其结果是否等于零。 ⑸向量的主要应用 ①求平行四边形的面积

设平行四边形以向量a,b 为邻边，则面积S ②求三角形的面积

X i y - x 2 y 2

X 3 乂

③ 求平行六面体体积

④ 求四面体体积

设四面体以A B 、C D 为顶点’则其体积V £1忑处吊 ⑤ 证明平面几何中的有关命题。 2. 解题指导 1.向量的有关概念

例1已知两点M I (4,J2I ),M 2(3,0,2)，计算向量MM ；的模、方向余

1O

20

1 一 -a 2

若三角形以Ax i ,y i , B X 2, y 2 , C X 3,y 3为顶点，则面积

若三角形以a,b 为邻边，则其面积S

-AB AC 2

设平面六面体以a,b,c 为棱，则其体积V abc ；

弦和方向角。

分析 向量的模、方向余弦和方向角的计算都要用到向量的坐标 表示，而由两点所确定的向量坐标就是终点坐标与起点坐标之差。

解 由 I MTMT {3 4,0 72,2 1} { 1, 72,1}，得

cos

M 1M 2

位向量。

由向量加法的定义，a 与b 的和是以a ， b 为邻边的平行四 边形的对角线，当a 与b 的模相等时，该平行四边形为菱形，其对角 线就是菱形内角的角分线。由此我们可以想到在a 或b 上取一个与b 或

a 的模相等的向量。

解 已知a 与b 不平行，且a 与b 都是非零向量。取

平分线上的向量。设其上的单位向量为 c o ，则

a b

-r

-r

a b

M 1M 2 （②

12 2，

cos

M 1M 2

1

一 ,co

s

M 1M 2

2 3

已知两非零向量 3

a 与

b 不平行，求a 与b 夹角平分线上的单

分析 与b 共线，且c

a .那么a c 平分a 与

b 的夹角，即a

b 是a 与b 夹角

c o

例3已知向量a 与三个坐标轴成相等的锐角，求 a 的方向余弦。

若a 2，求a .

分析 向量a 的方向余弦就是a 与三个坐标轴所成夹角的余弦, 且以a 的方向余弦为分量所得向量是与a 同方向的单位向量。

那么 cos cos cos

所以

9 12 12 V o 36

4

2.向量的运算

分析有两种求解方法：一是利用所给条件知三个向量构成首尾

cos 2

cos 2

cos 2

1，所以 cos cos

cos

申又因为为锐角,

所以cos

cos cos a .

2，则a

a {cos ,cos

求向量a （ 2i k ）

,cos } 学邵,諮.

k ）在向量b {3,6,2}上的投影。

分析

由投影定理 a cos(a, b) a a b a -■ -» 1

a b

因为

3i 2j

6k { 3,

2, 6}，

Prj b a

a cos(a,b) 例5 已知■ 都是单位向量，

且满足

(4i 3j

P^a

b 知，需要先计算