随机过程课程设计

课程名称：《随机过程》

课程设计（论文）

题目: 应用马尔科夫链的平稳分

布预测空调市场的占有率学院：理学院

专业：数学与应用数学

班级：15-1

学生姓名：邹光睿

学生学号：2015028219

指导教师：蔡吉花

2017年12月20日

目录

任务书.......................................................... ...............I 摘要.. (Ⅱ)

1 马尔科夫链遍历性与平稳分布基本原理 (1)

1.1 马尔科夫链的概念 (1)

1.2 转移概率的概念 (1)

1.3 满足遍历性的条件 (2)

1.4 平稳分布的条件与算法 (2)

1.5 应用马尔科夫链研究市场占有率预测的必要前提 (2)

2 市场占有率问题的分析 (3)

2.1 建立模型 (3)

2.2 提出问题 (4)

2.3 分析问题 (4)

3计算机结果及程序 (5)

结论 (10)

参考文献 (10)

附录 (11)

评阅书 (13)

《随机过程》课程设计任务书

摘要

通过对市场现象的大量观察，人们发现：同类商品的市场占有率分布是一个随时间不断变化的随机过程，并且当期市场占有率只与前一期的市场占有率有关，而与再远期的市场占有率关联甚微。市场占有率的这一特性与马尔科夫性相吻合。它具有无后效性,即事物的将来呈什么状态、取什么值,仅与它现在的状态和取值有关,与它以前的状态和取值无关。

在预测领域,人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究,描述状态的变化趋势,并由此来预测未来。基于此，本文将对马尔科夫链预测市场占有率模型进行研究和分析，包括根据市场调查结果求出初始市场占有率，根据销售流量的统计算出一步转移概率矩阵及n步转移概率矩阵，判断该马氏链是否是具有遍历性，并求出其平稳分布，从而预测同类商品不同品牌的市场占有率。

关键词：市场占有率，马尔科夫链，转移概率矩阵，平稳分布

第1章马尔科夫链遍历性与平稳分布基本

原理

1.3满足遍历性的条件

1.定义：有限马氏链{n X ，n=0,1,…}的状态空间为I,若对一切i ，j ∈I,存在

不依赖于i 的极限j n ij

n p π=∞

→)

(lim ，则称马尔科夫链具有遍历性。 2.马尔科夫链遍历性的充分条件：

（1）有马氏链，，若∃k ∈N ，使∀i ，j ∈I 都有)

(k ij p >0，则此马氏链遍历。

（2）有限遍历链n X ，对I={1，2，…,s},对∀j ∈I ,)(lim n j n p ∞→=j π （3）有限遍历链n X ，I={1，2，…,s},对∀j ∈I ,j π=ππ⇔∑=ij s

i i p 1=p π

（4）如果j 为非周期的正常返（即遍历态），则有)(lim n ij n p ∞→=ij i

f μ1

。

1.4平稳分布的条件与算法

1.定义:设马尔科夫链{n X ，n0}的转移概率矩阵P=（ij p ），如果非负数据{j π}满足：

（1）∑∈I

j j π=1； （2）j π=∑∈I

i ij i p π，j ∈I 则称{i π，j ∈I}为平稳分布。

2.算法：平稳分布计算归结为求解线性方程组 ∏=⇔∏P (T P -E)T ∏=0

∑∈I

j j

π

=1⇒[1 … 1]T ∏=1

T T T E P ∏⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11 =()

T T T D B ∏-⇒⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡10 =b L=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11 , b=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡10 ,B=[]L P ,D=[]O E

在matlab 中,Ax=b 的求解命令：rref （A b ）

1.5应用马尔科夫链研究市场占有率预测的必要前提

1.市场占有率随机过程必须符合马尔科夫性，将来t+1时刻市场占有率仅依赖于第t 时刻的市场占有率的分布，与过去时刻t-2,t-2，…的市场占有率的分布及转移状态无关。

2.马尔科夫链理论是以固定的转移概率矩阵为根本规律和特征。应用马尔科夫链模型，市场占有率也要求转移概率矩阵具有相对稳定性。对于一个比较稳定的市场，在短期内可以认为市场占有率的转移概率矩阵是相对稳定的。

第2章 市场占有率问题的分析

2.1建立模型：

根据有关数据统计，依据随机变量市场占有率数据，对数据进行适当划分，可以得到初始占有率分布P （0）

计算得转移概率ij p ，通过{}i X j X P P I ij ===0,可以得到P=ij p ，（i ，j ∈I ），

然后计算m

nn n n n n m p p p p p p

p p p P ⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

2

1

22221

11211

，得到m 阶转移矩阵，即m 个周期后的市

场占有率转移矩阵，m 个周期后的市场占有率分布为P(m)=P （0）m P 如果市场流趋向长期稳定下去，则经过一段时间市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场占有率，而且这种占有率与初始分布无关。

按照实际意义，可以近似的看成最终市场占有率，并且得出计算式：

⎩⎨

⎧=+++∏=∏121

n P

πππ 一般n 个状态后的稳定市场占有率（稳定概率）()n πππ 21,=∏可通过解方程求得：

⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧

=+++=+++=+++=∑=n

i i n

nn n n n n n n

n p p p p p p p p p 1

22112222112212211111

1ππ

ππππππππ

πππ