南京市2019届高三年级学情调研卷【学生版】

南京市2019届高三年级学情调研卷

解析

锤子数学

叶庄亮数学癞蛤蟆数学： ⎪⎩⎪⎨⎧一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合} ,51|{R x x x A ∈<<=，} ,2|{Z n n x x B ∈==，那么集合B A 中

有______个元素.

2.复数)2)(1(i bi z -+=，其中R b ∈，i 为虚数单位，若z 是纯虚数，则

实数b 的值为________.

3.已知某地连续5天的最低气温（单位：摄氏度）依次是18，21，22，

24，25，那么这组数据的方差为______.

4.执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值为_________.

5.若函数1

21)(-+=x a x f 是奇函数，则实数a 的值为_________.6.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=的准线与双曲线)0,0( 12222>>=-b a b

y a x 的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是___________.

7.不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球的颜色相同的概率是____________.

8.已知函数)22( )2sin(2)(π<ϕ<π-ϕ+=x x f 的图象关于直线6

π=x 对称，则)0(f 的值为__________.9.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，31=AA ，则四

棱锥CB C B A 111-的体积是___________.

10.在数列}{n a 中，已知11=a ，)( )1(11*+∈++

=N n n n a a n n ，则10a 的值为____________.

11.已知ABC ∆的面积为153，且2=-AB AC ，4

1cos -=A ，则BC 的长为__________.12.在菱形ABCD 中，︒=∠60ABC ，E 为边BC 上一点，且6=⋅AE AB ，23=

⋅AE AD ，则AD AB ⋅的值为__________.

13.在平面直角坐标系xoy 中，已知点)1 ,1(A ，)1 ,1(-B ，点P 为圆4)4(22=+-y x 上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则2

1S S 的最小值是____________.

14.若函数121)(2+-=x e ax x f 在1x x =和2x x =两处取到极值，且21

2≥x x ，则实数a 的取值范围是___________________.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.

15.（本小题满分14分）

如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面BCE ，EC BC =，F 是BE 的中点.

（1）求证：//DE 平面ACF ；

（2）求证：平面⊥AFC 平面ABE .

16.（本小题满分14分）

已知βα,为钝角，且53sin =

α，5

32cos -=β.（1）求βtan 的值；

（2）求)2cos(β+α的值.

销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1+=t at P ；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式bt Q =，其中b a ,为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲商品，所得利润为4

9万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为)(x f 万元.

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0( 1:2222>>=+b a b

y a x E 的离心率为22，且直线2:=x l 被椭圆E 截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 与Q P ,两点，且PQ 的中点R 在直线l 上.点)0 ,1(M .

（1）求椭圆E 的方程；

（2）求证：PQ MR ⊥.

已知函数x x f ln )(=，2)(x x g =.

（1）求过原点)0 ,0(，且与函数)(x f 的图象相切的直线l 的方程；

（2）若0>a ，求函数|)(2)(|)(2x f a x g x -=ϕ在区间),1[+∞上的最小值.

20.（本小题满分16分）

如果数列}{n a 共有)4 ,( *≥∈k N k k 项，且满足条件：①120k a a a +++= ；②12||||||1

k a a a +++= 则称数列}{n a 为)(k P 数列.

（1）若等比数列}{n a 为)4(P 数列，求1a 的值；

（2）已知m 为给定的正整数，且2≥m .

①若公差为正数的等差数列}{n a 是)32(+n P 数列，求数列}{n a 的公差；②若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤=**-N n m n m n m N n m n q a n n ,21 ,12,,1 ,31，其中q 为常数，1-