太原理工大学 高等代数第七章 6第六节 线性变换的值域与核

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线性变换的值域 值域与 都是V的子空间. 结论 线性变换的值域与核都是 的子空间 证明 由 Aα+Aβ=A(α+β)， kAα=A(kα) ， 可知， 对加法与数量乘法是封闭的 同时， 可知，AV对加法与数量乘法是封闭的，同时，AV 是非空的，因此AV是 的子空间. 是非空的，因此 是V的子空间 由Aα=0与Aβ=0可知 与 可知 A(α+β)=0 ， A(kα)=0 . 这就是说， 这就是说，A-1(0)对加法与数量乘法是封闭的. 又 对加法与数量乘法是封闭的 因为A(0)=0，所以 ∈A-1(0)，即A-1(0)是非空的 是非空的. 因为 ，所以0∈ ， 是非空的 是 的子空间 证毕. 证毕 因此，A-1(0)是V的子空间. 因此，
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我们来证明， 在一组适当的基下的矩阵是 在一组适当的基下的矩阵是(1). 这 我们来证明，A在一组适当的基下的矩阵是 由定理4，也就证明了所要的结论. 样，由定理 ，也就证明了所要的结论 如果α∈ ， 由A2=A，可知 2=A. 如果 ∈AV，即对某个 ，可知A β∈V有， ∈ 有 α=Aβ . 那么 Aα=A(Aβ)=A2β=Aβ=α. 因此我们有 AV∩A-1(0)={0} . 由定理11即得 由定理 即得 V=AV⊕A-1(0) . ⊕
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kr+1Aεr+1+L+knAεn=0. L 成立， 成立，则 A(kr+1εr+1+L+knεn)=0. L 这说明向量k 属于A 这说明向量 r+1εr+1+L+knεn属于 -1(0). 因此可被核 L 的基所线性表示： 的基所线性表示： kr+1εr+1+L+knεn=k1ε1+L+krεr . L L 线性无关推出 推出k 从ε1,ε2,L,εn线性无关推出 i=0 (i=1,2,L,n). 因此 L Aεr+1,Aεr+2,L,Aεn . 线性无关， 线性无关，则A的秩=n-1，于是 的 - ， A的秩+A的零度 . 的 的零度=n
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证毕. 证毕
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虽然子空间AV与 的维数之和为 虽然子空间 与A-1(0)的维数之和为n ，但是 AV+A-1(0)并不一定是整个空间 参看前例 . 参看前例) 并不一定是整个空间(参看前例 对于有限维线性空间的线性变换 它是单射 有限维线性空间的线性变换， 推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射 是它是满射 此时即为1—1对应 对应). 的<＝>是它是满射 (此时即为 ＝ 是它是满射. 此时即为 对应 证明 显然，当且仅当 显然，当且仅当AV=V，即A的秩为n时，A ， 的 时 满射；另外，当且仅当A 是满射；另外，当且仅当 -1(0)={0}，即A的零度 ， 的 为0时，A是单射；于是由上述定理即可得出结论 时 是单射；于是由上述定理即可得出结论. 证毕. 证毕
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2) 根据 A的秩等于基像组的秩. 另一方面， 根据1), 的 等于基像组的秩 另一方面， 矩阵A是由基像组的坐标按列排成的. 在前一章§ 矩阵 是由基像组的坐标按列排成的 在前一章§8 维线性空间V中取定一组基之后 中曾谈过，若在n维线性空间 中取定一组基之后， 中曾谈过，若在 维线性空间 中取定一组基之后， 的每一个向量与它的坐标对应起来 把V的每一个向量与它的坐标对应起来，我们就得 的每一个向量与它的坐标对应起来，我们就得 到V到Pn的同构对应 同构对应保持向量组的一切 到 的同构对应. 线性关系，因此基像组与它们的坐标组（即矩阵 基像组与它们的坐标组（ 线性关系，因此基像组与它们的坐标组 即矩阵A 列向量组）有相同的秩. 的列向量组）有相同的秩 证毕. 证毕
f ′( x) = (a0 )′ = 0 , a0 ∈ P .
就是P[x]n-1 ，D的核就是子空间 . 则D的值域就是 的值域就是 的 就是子空间P 返回 上页 下页
定理10 设ε1,ε2,L,εn是n维线性空间 的一组基， 定理 维线性空间V的一组基， A是V的线性变换， A在这组基下的矩阵是A，则 在这组基下的矩阵 是 的线性变换， 在这组基下的矩阵是 ， 1) A的值域 是由基像组生成的子空间，即 是由基像组生成的子空间， 的值域AV是由基像组生成的子空间 AV=L(Aε1,Aε2,L,Aεn) 2) A的秩=A的秩. 的 的 中任一向量, 证明 1)设ξ是V中任一向量 可用基的线性组合表示为 设 是 中任一向量 可用基的线性组合表示为 ξ=x1ε1+x2ε2+L+xnεn . L Aξ=x1Aε1+x2Aε2+L+xnAεn. 于是 L 这个式子说明， ∈ 因此AV包含 这个式子说明，Aξ∈L(Aε1,Aε2,L,Aεn). 因此 包含 在L(Aε1,Aε2,L,Aεn)内. 这个式子还表明基像组的线性 内 这个式子还表明基像组的线性 组合还是一个像, 因此L(Aε1,Aε2,L,Aεn)包含在AV内. 包含在 内 组合还是一个像 因此 包含 这样， 这样，AV=L(Aε1,Aε2,L,Aεn).
第六节 线性变换的值域与核
定义6 定义 设A是线性空间 的一个线性变换，A 是线性空间V的一个线性变换， 是线性空间 的一个线性变换 全体像组成的集合称为 称为A的值域， 的全体像组成的集合称为 的值域，用AV表示 (也 表示 也 用记号ImA表示 所有被 变成零向量的向量组成 表示). 所有被A变成零向量的向量 变成零向量的向量组成 用记号 表示 的集合称为 的核，用A-1(0)表示 也用记号 表示(也用记号 的集合称为A的 称为 表示 也用记号KerA表 表 示). 若用集合的记号，则 AV={Aξ |ξ∈V}， 若用集合的记号， { ∈ } 记号 A-1(0) ={ξ |Aξ=0, ξ∈V}. { ∈ }
A(η1,η2,L,ηn)=(η1,η2,L,ηn)
1 1 O 1 . 0 O 0
证毕. 证毕
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概念 为A的零度 的零度.
AV的维数称为 的秩，A-1(0)的维数称 的维数称为A的 的维数称 称为
在线性空间P[x]n中，令 例1 在线性空间 Df(x)=f ’(x) 由于有
f ′( x) = (an−1 xn−1 +L+ a1 x + a0 )′
= (n − 1)an−1 xn−2 +L+ a1 ,
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中取一组基η 在AV中取一组基 1,η2,L,ηr，在A-1(0)中取一组 中取一组基 中取一组 基ηr+1,ηr+2,L,ηn，则η1,L,ηr,ηr+1,L,ηn就是V的一 就是 的一 组基. 组基 显然 Aη1=η1, Aη2=η2,L,Aηr=ηr ， L Aηr+1=0, Aηr+2=0,L,Aηn=0 . L 这就是说
定理10说明线性变换与矩阵之间的 定理 说明线性变换与矩阵之间的对应关系保 说明线性变换与矩阵之间的对应关系保 持不变. 持不变
返回间 的线性变换，则 定理 是 维线性空间V的线性变换， AV的一组基的原像及A-1(0) 的一组基合起来就是 一组基合起来就是V 合起来就是 的一组基的原像及 一组基. 的一组基 由此还有等式 A的秩+A的零度 . 的 的零度=n 变换A的零度等于 等于r. 中取一组 证明 设变换 的零度等于 在核A-1(0)中取一组 中取 并且把这组基扩充成为V的 基 ε1,ε2,L,εr，并且把这组基扩充成为 的一组基 ε1,ε2,L,εr,L,εn. 根据定理 ，AV是由基像组 根据定理 定理10， 是由 是由基像组 Aε1,Aε2,L,Aεr ,L,Aεn. 所以值域 值域AV是由 生成的. 但是Aε L 生成的 但是 i=0(i=1,2,L,r) ，所以值域 是由 Aεr+1,L,Aεn生成的 现在来证明它就是 的一组 生成的. 现在来证明它就是AV的 证明它就是 为此，只需证明它们线性无关. 基. 为此，只需证明它们线性无关 设
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是一个n× 矩阵 矩阵， 例2 设A是一个 ×n矩阵，A2=A，证明 相似 是一个 ，证明A相似 于一个对角矩阵
1 1 O 1 0 O 0
(1)
证明取一 维线性空间V以及 的一组基ε1,ε2,L,εn. 证明取一n维线性空间 以及V的一组基 取一 以及 定义线性变换 如下： 线性变换A如下 定义线性变换 如下： A(ε1,ε2,L,εn)=(ε1,ε2,L,εn)A .