2019届高考数学一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系训练理新人教版

第1节坐标系

知识点、方法题号

伸缩变换、极坐标与直角坐标的互化 1

直线和圆的极坐标方程及应用 2

简单曲线的极坐标方程及应用3,4 1.将圆x+y=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.

(1)写出Γ的参数方程;

(2)设直线l:3x+2y-6=0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(x,y),

依题意,得即

由+=1,得()2+()2=1,

即曲线Γ的方程为+=1.

故Γ的参数方程为(t为参数).

(2)由

解得或

不防设P1(2,0),P2(0,3),

则线段P1P2的中点坐标为(1,),

所求直线的斜率k=.

于是所求直线方程为y-= (x-1),

即4x-6y+5=0,化为极坐标方程,

得4ρcos θ-6ρsin θ+5=0.

2.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1,C2的极坐标方程;

(2)若直线C3的极坐标方程为θ= (ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.

解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,

所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,

C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,

得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.

故ρ1-ρ2=,

即|MN|=.

由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.

3.在极坐标系中,曲线C:ρ=2acos θ(a>0),l:ρcos(θ-)=,C与l有且仅有一个公共点.

(1)求a;

(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最

大值.

解:(1)曲线C:ρ=2acos θ(a>0),变形ρ2=2aρcos θ,

化为x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2.

所以曲线C是以(a,0)为圆心,a为半径的圆.

由l:ρcos(θ-)=,展开为ρcos θ+ρsin θ=,所以l的直角坐标方程为x+y-3=0.

由题可知直线l与圆C相切,即=a,解得a=1.

(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,

则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos(θ+)=3cos θ-sin θ=2cos(θ+),

当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值2.

4. (2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中,半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C的极坐标方程;

(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与半圆C的交点为O,P,

与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.

解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈[0,]. (2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,

则有

解得

设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,

则有

解得

由于θ1=θ2,

所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段PQ的长为4.