高三数学综合试卷

福建省龙岩市高中毕业班质量检查数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页. 全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差：s=其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V =Sh ，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：V =31Sh ，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R =π，343V R =π，其中R 为球的半径.第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知复数21iz i=+，则z 的共轭复数是 A.i -1B.i +1C.iD.i -2. 正项等比数列中，若2298log ()4a a =，则4060a a 等于 A. -16B. 10C. 16D. 2563. 已知随机变量2(0,)N ξσ，若(20)0.2P ξ-≤≤=，则(2)P ξ≥等于A. 0.1B. 0.2C. 0.3Ｄ. 0.44. 已知两个向量a 、b 满足a ⋅b =－，| a |=4，a 和b 的夹角为135°，则| b |为 A. 12B. 3C. 6D.5. 若6260126(1)mx a a x a x a x +=++++ ，且12663a a a +++=, 则实数m 的值为Ａ. 1或3 Ｂ. -3C. 1Ｄ. 1或 -36. 实数x 、y 满足1,0,0,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则z =x y 1-的取值范围是A. [－1,0]B. (－∞,0]C. [－1,+∞)D. [－1,1)7. 过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于 A ．10 B ．8 C ．6 D ．48. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a 、b (0,1)∈，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 A ．16B ．112C ．124D ．132{}n a正视图 侧视图俯视图9. 设函数244,1,()43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩ 则函数4()()log g x f x x =-的零点个数为A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将12310a a a a ，，，，这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为A. 18个B. 256个C. 512个D. 1024个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 11. 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元），有如下的统计资料使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 和x 呈相关关系，由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的b =1.23，据此估计，使用年限为10年时的维修费用是 万元.（参考公式：2121121)())((xn xyx n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i--=---=∑∑∑∑====，x b y a -=）12. 已知某算法的流程图如图所示，则输出的结果是_______________.13. 一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的 外接球的表面积是 . 14. 设函数()2f x ax b =+(0a ≠)，若200()2()f x dx f x =⎰，00x >，则0x = .15. 已知集合{}22()()()()(),,M f x f x f y f x y f x y x y R =-=+⋅-∈,有下列命题①若11,0,()1,0,x f x x ≥⎧=⎨-<⎩则1()f x M ∈.②若2()2,f x x =则2()f x M ∈.③若3(),f x M ∈则3()y f x =的图象关于原点对称.④若4(),f x M ∈则对于任意不等的实数12,x x ，总有414212()()0f x f x x x -<-成立.其中所有正确命题的序号是 .开始输出 结束是否三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分13分）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且1cos(A+C)=2， =2csinA a .（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求函数2()sin 24cos cos f x x A x =+的最大值.17.（本小题满分13分）如图，正方形OBCD 所在平面与等腰直角三角形AOD 所在平面 互相垂直，4OA OD ==，点E F 、分别为CD OA 、的中点. （Ⅰ）求证：DF ∥平面AEB ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点M ，使BM 与平面 AEB 所成角的正弦值为6？若存在，请求出DM MA的 值；若不存在，请说明理由．18. （本小题满分13分）某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台. 当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售a 台；根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率．．．为x (01)x <<，那么月销售量减少的百分率．．．为2x .记销售价提高的百分率．．．为x 时， 电脑企业的月利润是y （元）.（Ⅰ）写出月利润y （元）与x 的函数关系式；（Ⅱ）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大.19.（本小题满分13分）如图，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点 构成等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点Q (4,0)且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为1A .（ⅰ）求证：直线1A B 过x 轴上一定点，并求出此定点坐标； （ⅱ）求△1OA B 面积的取值范围.A B O xyQ20.（本小题满分14分）已知函数1)(+=x x x f . （Ⅰ）求函数)1ln()()(+-=x a x f x F 的单调递增区间；（Ⅱ）数列{}n a 满足：10,1n a a >=f =,记数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11)2n n n a ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦S .（ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；并判断46b b +是否仍为数列{}n b 中的项？若是，请证明；否则，说明理由.（ⅱ）设{}n c 为首项是1c ,公差0d ≠的等差数列，求证：“数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项”的充要条件是“存在整数1m ≥-，使1c md =”.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵=M ⎝⎛ααsin cos ⎪⎪⎭⎫-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B (2,2)-，求矩阵M 的逆矩阵．（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(42x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数），点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求|PQ |的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知实数x y z 、、满足22249(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是7，求a 的值．龙岩市高中毕业班质量检查数学(理科)试题参考答案及评分标准说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1. A2. C3. C4.C5.D6.D7. B8. D9. B 10. C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11. 12.3812. 513. 3π14.15. ②③ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题主要考查正弦定理、三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考查学生的运算求解能力. 满分13分.解：（Ⅰ）由1cos()2A C +=，知3A C π+= ………………………（2分） 又2sin a c A =，得2sin sin a cc A C==，1sin 2C ∴= ，,66C A ππ== ………………………（5分）故cos 2C =………………………（6分）（Ⅱ） 由（Ⅰ）知cos 2A =，2()sin 2f x x x =+sin2x x =2sin(2)3x π=++………………………………（9分）[0,]2x π∈，42[,]333x πππ∴+∈当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值为2+． ……………（13分）17. 本题主要考查线线、线面、面面位置关系，线面角等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.解：（Ⅰ）证明：如图，取AB中点G，连结FGFG∥OB，FG∴∥DE，又12FG OB=，12DE OB=，∴FG DE=，…………（3分）四边形EDFG为平行四边形，DF∴∥EG，又EG⊂平面AEB，DF⊄平面AEB，DF∴∥平面AEB．………………………（6分）（Ⅱ）依题意知平面OBCD⊥平面AOD，OB OD⊥，OB∴⊥平面AOD，得,OB OA⊥又AO OD⊥，OB OD⊥.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，4AO OD==，可得(0,4,0)A、(4,0,2)E、(0,0,4)B，(4,4,2),(0,4,4)AE AB∴=-=-.设平面AEB的一个法向量为(1,,)n b c=，由n AEn AB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220b cb c-+=⎧⎨-+=⎩解得2,2b c==，(1,2,2)n∴=．………………………（9分）设线段AD上存在一点(,4,0)M t t-，其中04t≤≤，则(,4,4)BM t t=--，cos,||3n BMn BMn BM⋅===⋅⨯依题意：6cos,n BM=18=，可得2280t t+-=，解得2,4t t==-或（舍去）．所以AD上存在一点(2,2,0),1DMM ADMA=是的中点,．…………（13分）18．本题主要考查函数与导数等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，考查应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，销售价提高后为6000（1+x ）元/台，月销售量为2(1)a x -台……………（2分） 则[]2(1)6000(1)4500y a x x =-+- ……………………（4分）即321500(441)(01)y a x x x x =--++<<． ……………………（6分）（Ⅱ）21500(1224)y a x x '=--+令0y '=，得2620x x +-=，解得12,(23x x ==-舍去）． ……………………（9分） 当10,0;2x y '<<>时 当11,0.2x y '<<<时当12x =时，y 取得最大值．此时销售价为3600090002⨯=元．答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大．…………………（13分） 19．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分解：（Ⅰ）因为椭圆C 的一个焦点是（1，0），所以半焦距c =1.因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以12c a =，解得2, 3.a b == 所以椭圆的标准方程为22143x y +=. …（4分） （Ⅱ）（i ）设直线l ：4x my =+与22143x y +=联立并消去x 得：22(34)24360m y my +++=.记11,A x y （），22,B x y （），1222434my y m -+=+， 1223634y y m =+. ……………（5分） 由A 关于x 轴的对称点为1A ，得111(,)A x y -，A 1yxQB根据题设条件设定点为T （t ，0）， 得1TB TA k k =，即2121y yx t t x =--. 所以212121121212(4)(4)x y y x my y my y t y y y y ++++==++121224431my y y y =+=-=+即定点T （1 ， 0）. ……………………………………（8分） （ii ）由（i ）中判别式0∆>，解得2m >.可知直线1A B 过定点T (1,0). 所以1212111|()|||22OA B S OT y y y y ∆=--=+ ……………（10分） 得121244||42433OA B m S m m m∆==++, 令||t m =记4()3t t t ϕ=+，得/24()13t tϕ=-，当2t >时，/()0t ϕ>. 4()3t t tϕ=+在(2 , )+∞上为增函数. 所以43m m +28233>+= ， 得1330482OA B S ∆<<⨯=. 故△OA 1B 的面积取值范围是3(0 , )2. ……………（13分）20. 本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识，考查运用合理的推理证明解决问题的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分. 解：（Ⅰ）因为()ln(1)1xF x a x x =-++， 所以22(1)1()(1)1(1)x x a ax a F x x x x +---+'=-=+++. ………………（1分）（i ）当0a =时，()0F x '>.（ii ）当0a >时，由()0F x '=，得到11x a =-，知在1(1,)a a --上()0F x '>. （iii ）当0a <时，由()0F x '=，得到11x a=-，知在(1,)-+∞上()0F x '>.综上，当0a ≤时，()F x 递增区间为(1,)-+∞；当0a >时, ()F x 递增区间为1(1,)aa--. ………………………………………（4分） （Ⅱ）（if ==，1=+1=，1(1)n n =+-=，即21n a n =. ……………………………………（6分）因为211)(1)222n n S n n n a ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦， 当1n =时，111S b ==， 当2n ≥时，11n n n b S S n -=-=，所以*1()n b n n N =+∈. ……………………………（8分）又因为46112b b +=+=，所以令*2()t b t N =∈，则21=+得到102t =+与*t N ∈矛盾，所以46b b +不在数列{}n b 中. ………（9分） （ii ）充分性：若存在整数1m ≥-，使1c md =.设,r t c c 为数列{}n c 中不同的两项，则111(1)(1)(2)r t c c c r d c t d c r m t d +=+-++-=+++-[]1(1)1c r m t d =+++--.又3r t +≥且1m ≥-,所以11r m t ++-≥.即r t c c +是数列{}n c 的第1r m t ++-项. ……………………（10分） 必要性：若数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项， 则1(1)s c c s d =+-，1(1)t c c t d =+-，（s ，t 为互不相同的正整数） 则12(2)s t c c c s t d +=++-，令s t l c c c +=，得到112(2)(1)c s t d c l d ++-=+- *(,,)n t s N ∈，所以1(1)c l s t d =--+，令整数1m l s t =--+，所以1c md =. ……（11 分） 下证整数1m ≥-若设整数1,m <-则2m -≥.令k m =-， 由题设取1,k c c 使1(1)k r c c c r +=≥即111(1)(1)c c k d c r d ++-=+-，所以(1)(1)md m d r d +--=- 即0rd =与1,0r d ≥≠相矛盾，所以1m ≥-.综上, 数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项的充要条件是存在整数1m ≥-，使1c md =. ……………………（14分）21. （1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分.解：2222M -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以cos sin 1,sin cos 1,αααα-=-⎧⎨+=⎩ 得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩ ……………………（4分）即M=01⎛ ⎝ 10-⎫⎪⎭ ，由11001M M -⎛⎫=⎪⎝⎭得101M -⎛= -⎝ 10⎫⎪⎭. 或0det 1M =10-=10≠ , 101M -⎛∴= -⎝ 10⎫⎪⎭. ……………………（7分） （2）本题主要考查圆极坐标方程和直线参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分. 解：曲线C 的极坐标方程4sin ρθ=可化为24sin ρρθ=,其直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=. ……………（2分）直线l 的方程为40x y --=.所以，圆心到直线l 的距离d ==……………………（5分）所以，PQ 的最小值为2. …………………………（７分） （3）本题主要考查柯西不等式与不等式解法等基本知识，考查化归与转化思想. 满分7分. 解：由柯西不等式：22222221111(2)(3)1()()(23)2323x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++≥+⨯+⨯⎣⎦⎢⎥⎣⎦. …………（3分）第11页 共11页 因为22249(0),x y z a a ++=> 所以249()36a x y z ≥++，即x y z ≤++≤因为x y z ++的最大值是7,所以76=，得36a =， 当3694,,777x y z ===时，x y z ++取最大值， 所以36a =. ………………………………………（7分）。