高三数学综合试卷

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广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题含答案

广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题含答案

韶关市2023届高三综合测试(一)数学注意事项:1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}2,1,0,1,2U =--,集合{}2,1A =-,{}2320B x x x =-+=∣,则()UA B =( ) A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02.若11z i =+,21(2)z z i =+,1z 是1z 的共轭复数,则2z =( )B.2D103.下列区间中,函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是( ) A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4.函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为( )A. B. C. D.5.已知(3,4)a =,(1,0)b =,c a tb =+,若b c ⊥,则向量c 在向量a 上的投影向量为( ) A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6.某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物,同时生产出有用的肥料和清洁用水.已知在处理过程中,每小时可以清理池中残留污染物10%,若要使池中污染物不超过原来的12,至少需要的时间为(结果保留整数,参考数据:lg 20.30≈,lg30.48≈)( ) A .6小时B .7小时C .8小时D .9小时7.已知点O 为坐标原点,点F 是双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >)的右焦点,以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ,线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点,则双曲线的离心率为( )C.2D.38.已知函数()2lne xf x x e ex-=-+,若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+,其中0b >,则1||2||a a b+的最小值为( )A.34C.54D.2二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了200名观众进行调查,其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图,则A.0.08m =B .女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D .收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310.已知正方体1111ABCD A B C D -,设E 是棱BC 的中点,则 A .1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C .平面11A BC 与平面ABCD D .三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11.设A 是抛物线2:4C x y =上一点,F 是C 的焦点,A 在C 的准线l 上的射影为M ,M 关于点A 的对称点为N ,曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ,直线NF 交直线l 于点Q ,则A .F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C .FPQ △是等腰三角形D .||MQ 的最小值为412.以下四个不等关系,正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________(具体数字作答).14.已知(0,)απ∈,且1cos 22sin 2αα-=-,则cos()πα-=________.15.我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上,欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离,即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值,即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点,当P 与o (o 为坐标原点)两点之间的欧几里得距离最小时,其切比雪夫距离为________.16.已知三棱锥P ABC -中,PBC △为等边三角形,AC AB ⊥,PA BC ⊥,PA =BC =________;若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点,则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题10分)在ABC △中,D 为AC 的中点,且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.(1)证明:2BA BD =;(2)若22AC BC ==,求ABC △的面积. 18.(本小题12分) 已知数列{}n a 的首项145a =,且满足143n n n a a a +=+,设11n n b a =-. (1)求证:数列{}n b 为等比数列; (2)若1231111140na a a a ++++>,求满足条件的最小正整数n . 19.(本小题12分)北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动,为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况,在该地随机选取了10所学校进行研究,得到如下数据:(1)从这10所学校中随机抽取2所,在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下,求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率;(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”,现在从这10所学校中随机抽取3所,记X 为选出“基地学校”的个数,求X 的分布列和数学期望; (3)现在有一个“单板滑雪”集训营,对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试.规定:在一轮测试中,这3个动作至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中,甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23,每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次,那么至少要进行多少轮测试? 20.(本小题12分)已知矩形ABCD 中,4AB =,2BC =,E 是CD 的中点,如图所示,沿BE 将BCE △翻折至BFE △,使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明:BF AE ⊥;(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ,使得PF 与平面DEF 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题12分)已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ,B ,点D (不在x 轴上)为直线6x =上一点,直线AD 交曲线C 于另一点P . (1)证明:PB BC ⊥;(2)设直线BD 交曲线C 于另一点Q ,若圆O (O 是坐标原点)与直线PQ 相切,求该圆半径的最大值. 22.(本小题12分)已知函数2()1f x x =-,()ln(1)g x m x =-,m R ∈.(1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直,求m 的值;(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ,2x ,且12x x <,求证:()()1122x h x x h x >.2023届高三综合测试(一) 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题(每小题5分)1.【解析】由题意,23201,2B x x x =-+==,所以2,1,2AB =-,所以(){} 1,0UA B =-,故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-,所以,2z ==,故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由题意,322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈,解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈,取0k =,可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭,故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <,所以选D.5.【解析】因为b c ⊥,所以3t =-,()0,4c =,所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=,所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ,依题意,经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅,所以,10.92nm m ⋅≤,lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--,故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ,∴OP PF ⊥,∵直线OP 的方程为b y x a =,(),0F c ,∴直线PF 的方程为()ay x c b=--,由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,解得2P a x c =,P ab y c =,∵12PQ PF =,∴Q 是PF 的中点,故222Q a c x c +=,2Q ab y c =,代入双曲线方程,得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=,整理,得()2222222144aca a c c+-=,222c a =,e =故选A. 法2:∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ,∴OP PF ⊥,∴PF b =,从而1122PQ PF b ==,设双曲线左焦点为1F ,连结1QF ,则由定义知11222QF a QF a b =+=+,在Rt FPO △中,cos PF bPFO OF c∠==, 在1FQF △中,由余弦定理得:2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠,即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得a b =,所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=,其中0b >,则2a b =-. 当0a >时,1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当,23a =,43b =时等号成立; 当0a <时,1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝,当且仅当2a =-,4b =时等号成立;因为3544<,所以12a a b+的最小值为34.故选:A.二、多项选择题(全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分).误;对于B ,由频率分布直方图可知,女观众收看时间的352 6.54+⨯=,故B 正确; 对于C,男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时,女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时,故C 正确; 对于D ,由频率直方图可知,男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人,女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人,故D 错误.故选:BC. 10.【解析】对于A ,设1CD 交1C D 于F ,可得1EF BD ∥,从而得到1BD ∥平面1C DE ;所以A 正确;对于B ,可以求得1BC ,AC 所成角为3π,所以B 不正确. 对于C ,转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确; 对于D ,设正方体棱长为1,1116D ACD B ACD V V --==,D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ,焦点到准线距离2p =,A 不正确.对于B ,因为C :24x y =的准线为l :1y =-,焦点为()0,1F ,设()00,A x y ,则()0,1M x -,()00,21N x y +,所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=,所以90MFN ∠=︒,(或由抛物线定义知AM AN AF ==,所以90MFN ∠=︒,)故选项B 正确;对于C ,因为A 处的切线斜率,02AP x k =,而20000012242NF x y x k x x ⋅===,所以AP NF k k =, 从而AP NF ∥,又A 是线段MN 中点,所以,P 是线段MQ 的中点,又90MFN ∠=︒, 所以,PQ PF =,所以C 正确. 对于D ,因为02NFx k =,所以直线FN 的方程为012x y x -=,令1y =-,得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=,当且仅当02x =时,最小值为4,故选项D 正确;综上可知选BCD.12.【解析】对于A ,因为,2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭,所以,A 正确;对于B ,由切线不等式()ln 11x x x <-≠,得ln1.1 1.110.1<-=,B 不正确 对于C ,由19202019<得19ln 2020ln19<,1920ln19ln 20<,设()ln x f x x=,0x >且1x ≠,()()2ln 10ln x f x x -'==,得x e =,当01x <<和1x e <<时,()0f x '<,函数()f x 单调递减,当x e >时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,所以1920ln19ln 20<,C 正确. 对于D ,因为24ln 2ln 4=,22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭,且()()24f f =,且2242e e <<<, 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即224ln 4ln 2e <-,D 正确.故选ACD.二、填空题(第13、14、15题每小题5分,第16题第一空2分,第二空3分).13.【解析】依题意,展开式的中间一项是第4项,334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==,∴tan 2α=-, ∵()0,απ∈,sin 5α=,cos 5α=-,∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l :2150x y +-=上的动点,要使OP 最小,则OP l ⊥,此时2l k =-,所以12POk =,由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得,6x =,3y = 所以,P ,Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ,AB ,AC 两两垂直且长度均为成正方体,如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球,设外接球的半径为R ,则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ,内切球球心为2O ,内切球与平面PBC 的切点为K ,易知:1O ,2O ,K 三点均在AG 上,且AK ⊥平面PBC ,设内切球的半径为r ,由等体积法:()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅,得1r =,将几何体沿截面PAEG切开,得到如下截面图:两圆分别为外接球与内切球的大圆,注意到12AK GK =,6AG =,∴4GK =,∴M ,N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题(第17题10分,第18-22题每题12分). 17.(本小题满分10分)(1)证明:在ABD △中,由正弦定理得:sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即,sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=,所以,sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以,2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =,则2BA x =,在BCD △中,由余弦定理得:2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中,由余弦定理得:2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得:3cos 4BCA ∠=,sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.(本小题满分12分)解:(1)11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =,公比为34等比数列 5分 (2)由(1)可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>,即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭,则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.(本小题满分12分)解:记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ,“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =,()24210C P AB C =所以,()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 (2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所,所以()034631020101206C C P X C ⋅====,()124631060111202C C P X C ⋅====, ()2146310363212010C C P X C ⋅====,()304631041312030C C P X C ⋅====, 所以X 的分布列如下表:所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分(3)记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C , 则()2332122033327P C C b ===+=, 由题意,小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由题意列式20827n ≥,得545n ≥,因为*n N ∈,所以n 的最小值为11,故至少要进行11轮测试 12分 20.(本小题满分12分) (1)证明:依题意ABCD 矩形,4AB =,2BC =,E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==,又4AB =,所以, 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为,平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以,AE ⊥平面BEF ,又BF ⊂平面BEF ,所以AE BF ⊥ 5分(2)以C 为原点,CD 所在直线为x 轴,CB 所在直线为y 轴,建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ,()4,0,0D ,()0,2,0B ,()2,0,0E , 设N 是BE 的中点,FE FB =有FN BE ⊥, 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ,()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ,则由(01)DP DB λλ=<<. 可得,(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ,则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,令y =0x =,1z =-,即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=(1λ=舍去) .综上,存在34λ=,使得PF 与平面ADE12分21.(本小题满分12分) 解(1)设()00,P x y ∴002AP y k x =+,直线AD 的方程为()0022y y x x =++, 令6x =,得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭,∴0000822622BDy x y k x +==-+, 2分 又∵002BPy k x =-,且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--, ∴PB BD ⊥, 4分(2)当直线PQ 不垂直x 轴时,设直线PQ 方程为y kx m =+,()11,P x y ,()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->,2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由(1)可知,1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++,代入上式得:()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即:()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-(舍去),10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭,当PQ 垂直x 轴时,同样成立。

广东省茂名市2024届高三一模数学试题(教师版)

广东省茂名市2024届高三一模数学试题(教师版)

2024年茂名市高三年级第一次综合测试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.一、单选题:本大题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3A =,{}1,0,1B =-,C A B = ,则集合C 的子集个数为()A.2B.3C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件,求出集合C 即可得解.【详解】集合{}0,1,2,3A =,{}1,0,1B =-,则{0,1}C A B == ,所以集合C 的子集个数为224=.故选:C2.“1x <”是“2430x x -+>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式,然后根据集合的包含关系可得.【详解】解不等式2430x x -+>得3x >或1x <,记()()(),13,,,1A B ∞∞∞=-⋃+=-,因为A B ,所以“1x <”是“2430x x -+>”的充分不必要条件.故选:A3.从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生,则不同的选取方法种数为()A.33 B.45 C.84D.90【答案】B 【解析】【分析】利用组合数公式直接计算.【详解】2163C C 45=.故选:B4.曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线与直线2y x =平行,则=a ()A.2- B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】确定曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线的斜率,求出函数的导数,根据导数的几何意义,即可求得答案.【详解】因为曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线与直线2y x =平行,故曲线()e xf x ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2,因为()e xf x a '=+,所以()00e 12f a a =+=+=',所以1a =,故选:C.5.椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作垂直于x 轴的直线l ,交C 于A ,B 两点,若12AB F F =,则C 的离心率为()A.B.1- C.12- D.2【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知直线l :x c =-,结合方程可得22bAB a=,进而求离心率.【详解】因为()1,0F c -,且直线l 垂直于x 轴,可知直线l :x c =-,将x c =-代入椭圆方程可得()22221c y a b-+=,解得2b y a =±,所以22b AB a =,又因为12AB F F =,则222b c a =,即22a c c a-=,可得220c ac a +-=,则210e e +-=,解得1551222e -=-+=.故选:A.6.函数()y f x =和()2y f x =-均为R 上的奇函数,若()12f =,则()2023f =()A.2-B.1- C.0D.2【答案】A 【解析】【分析】由奇函数性质推导出()y f x =的周期为4,利用周期性、奇偶性求函数值.【详解】因为()2y f x =-为奇函数,所以()y f x =关于()2,0-对称,即()(4)0f x f x -+-=,又()y f x =关于原点对称,则()()f x f x -=-,有()(4)(4)()f x f x f x f x =-⇒+=,所以()y f x =的周期为4,故()()()()202312024112f f f f =-+=-=-=-.故选:A 7.若π3π,44α⎛⎫∈⎪⎝⎭,ππ6tan 4cos 5cos 244ααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α=()A.2425B.1225C.725D.15【答案】C 【解析】【分析】合理换元,求出关键数值,结合诱导公式处理即可.【详解】令π4t α=+,π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,得π4t α=-,则ππ6tan 4cos 5cos 222t t t ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即6tan 4sin 5sin 210sin cos t t t t t +==,整理得()()5cos 3cos 10t t +-=,且cos 0<t ,那么3cos 5t =-,则2π7sin 2sin 2cos 212cos 225t t t α⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.故选:C.8.数列{}n a 满足18a =,11nn n a a na +=+(*n ∈N ),112nn n b a λ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,若数列{}n b 是递减数列,则实数λ的取值范围是()A.8,7⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.7,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.8,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】将11n n n a a na +=+取倒数结合累加法求得()22118n n a -=,再利用数列单调递减列不等式并分离参数,求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意,11nn n a a na +=+,两边取倒数可化为1111n n n nna n a a a ++==+,所以21111a a -=,32112a a -=,1111--=-n n n a a ,由累加法可得,()()11111212n n n n a a --=++⋅⋅⋅+-=,因为18a =,所以()()212111288n n n n a --=+=,所以()221111282nn n n n b a λλ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦,因为数列{}n b 是递减数列,故1n n b b -<,即()()2212123118282n n n n λλ-⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,整理可得,2254842017288n n n λ⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭>=,因为2n ≥,*n ∈N ,所以22max5548428722888n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,故7,8λ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故选:D.二、多选题:本题共4小题,每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.若()32112132f x x x x =-+++是区间()1,4m m -+上的单调函数,则实数m 的值可以是()A.4-B.3- C.3D.4【答案】CD 【解析】【分析】求导,分析导函数的正负得到原函数的单调性,再由已知建立关于m 的不等式组,解出即可.【详解】由题意,()()()2221f x x x x x =-++=--+',令()0f x '>,解得12x -<<,令()0f x '<,解得1x <-或2x >,所以()f x 在()1,2-上单调递减,在(),1∞--,()2,∞+上单调递减,若函数()32112132f x x x x =-+++在区间()1,4m m -+上单调,则41m +≤-或12m -≥或1142m m -≥-⎧⎨+≤⎩,解得5m ≤-或3m ≥或m ∈∅,即5m ≤-或3m ≥.故选:CD.10.过抛物线C :24y x =的焦点F 作直线l 交C 于,A B 两点,则()A.C 的准线方程为2x =-B.以AB 为直径的圆与C 的准线相切C.若5AB =,则线段AB 中点的横坐标为32D.若AB 4=,则直线l 有且只有一条【答案】BCD 【解析】【分析】对于选项A:计算出准线即可判断;对于选项B:验证2AB MM '=是否成立;对于选项C ,D:借助焦点弦及通径的相关公式计算即可.【详解】对于选项A:由抛物线C :24y x =,可得24,p =解得2p =,故准线方程为12px =-=-,故选项A 错误;对于选项B:设AB 的中点为M ,且,,A B M 在准线上的投影为,,A B M ''',由抛物线的定义可知:,AA AF BB BF =''=,易知四边形ABA B ''为直角梯形,所以222AA BB AF BFAB MM ++===''',故以AB 为直径的圆与C 的准线相切,故选项B 正确;对于选项C:设()()1122,,,A x y B x y ,因为1212522p pAB AF BF AA BB x x x x p =+=+=+++=++'=',所以123x x +=,所以线段AB 中点的横坐标为12322x x +=,故选项C 正确;对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短,可得24AB p ≥=,要使AB 4=,则线段AB 为抛物线的通径,则这样的直线有且只有一条,故选项D 正确.故选:BCD.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱AB ,BC 的中点,则()A.直线EF 与1BC 所成的角为60°B.过空间中一点有且仅有两条直线与1111,A B A D 所成的角都是60°C.过1A ,E ,F 三点的平面截该正方体,所得截面图形的周长为25+D.过直线EF 的平面截正方体,所得截面图形可以是五边形【答案】ACD 【解析】【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可.【详解】对于A ,如图所示,连接111,,AC AC A B ,因为E ,F 分别为棱AB ,BC 的中点,所以//EF AC ,由1111//,AA CC AA CC =可知,四边形11AA C C 是平行四边形,所以11//AC AC ,所以11//EF AC ,所以EF 与1BC 所成的角即为11A C 与1BC 所成的角,即11AC B ∠或其补角,因为11A BC V 是等边三角形,所以1160A C B ∠=︒,所以EF 与1BC 所成的角为60°,故A 正确;对于B ,因为直线11A B ,11A D 所成角是90°,且两条直线相交于1A ,所以过点1A 与两直线所成角为60°的直线有4条,故B 错误;对于C ,易知平面11A EFC 为过1A ,E ,F 三点的截面,该截面为梯形,显然1111A C A E C F EF =====所以截面图形的周长为1111A C A E EF C F +++=+=,故C 正确;对于D ,如图所示,分别取1AA ,1CC 的靠近A ,C 的三等分点G ,H ,连接1GD ,GE ,1HD ,HF ,易知1//GE HD ,1//HF GD ,故点1D ,G ,E ,F ,H 共面,该截面图形为五边形,故D 正确.故选:ACD12.从标有1,2,3,…,10的10张卡片中,有放回地抽取两张,依次得到数字a ,b ,记点(),A a b ,()1,1B -,()0,0O ,则()A.AOB ∠是锐角的概率为920B.BAO ∠是锐角的概率为9100C.AOB 是锐角三角形的概率为9100D.AOB 的面积不大于5的概率为920【解析】【分析】根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A ,B 选项,根据数量积为正得出锐角判断C 选项,结合面积公式判断D 选项.【详解】对A ,易知OA ,OB不共线,若AOB ∠是锐角,()(),·1,10OA OB a b a b ⋅=-=-> ,易知(),A a b 共有100种情况,其中a b =共有10种,a b >与a b <有相同种情况,即45种,所以AOB ∠是锐角的概率为45910020=,A 正确;对B ,若BAO ∠是锐角,220AB AO a a b b ⋅=-++>恒成立,所以BAO ∠是锐角的概率为1,B 错误;对C ,若AOB 是锐角三角形,则000OA OB BO BA AO AB ⎧⋅>⎪⎪⋅>⎨⎪⋅>⎪⎩,即()()()()()()22,·1,10,1,1·1,12,,·1,10,a b a b a b a b a b a b a a b b ⎧-=->⎪--+=-<⎨⎪-----=-++>⎩所以1a b -=,共有9种情况,所以AOB 是锐角三角形的概率为9100,C 正确;对D,若1sin 2AOBS OA OB AOB =∠11522OA a b =+≤ ,10a b +≤,该不等式共有210109C ==4512⨯⨯组正整数解,所以AOB 的面积不大于5的概率为920,D 正确.故选:ACD.三、填空题:本大题共4小题.13.已知复数21iz =+,其中i 为虚数单位,则z =______.【解析】【分析】应用复数除法化简,结合共轭复数的概念即可得答案.【详解】∵()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-,∴1i z =+.故答案为:1i+14.如图,茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上,下层3个,上层1个,两两相切.若球的半径都为a ,则上层的最高点离平台的距离为______.【答案】2663a +【解析】【分析】根据给定条件,求出四个球的球心构成的正四面体的高即可得解.【详解】依次连接四个球的球心1234,,,O O O O ,则四面体1234O O O O -为正四面体,且边长为2a ,正234O O O 外接圆半径232sin 6033r O O a == ,则1O 到底面234O O O 的距离3h a ==,所以最高点到平台的距离为6233a a a ++=.故答案为:2663a +15.动点P 与两个定点()0,0O ,()0,3A 满足2PA PO =,则点P 到直线l :430mx y m -+-=的距离的最大值为______.【答案】234+【解析】【分析】利用两点距离公式及已知求得P 的轨迹是圆心为(0,1)-,半径为2的圆上,再确定直线所过的定点并判断其与圆的位置关系,要使圆上点到直线距离最大,有圆心与定点所在直线与直线l 垂直,进而求最大值.【详解】令(,)P x y 2222(3)2x y x y +-=+,整理得22(1)4x y ++=,所以P 的轨迹是圆心为(0,1)-,半径为2的圆上,又直线l :430mx y m -+-=可化为(3)(4)0m x y ---=,易知过定点(3,4),由223(41)4++>,故点(3,4)在圆22(1)4x y ++=外,则圆心与定点所在直线与直线l 垂直,圆心与直线l 距离最大,所以点P 到直线l 223(41)2234++=+.故答案为:23416.函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0ω>)在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有两个零点,则ω的取值范围是______.【答案】111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.由于()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点,所以π3232T T <≤,即ππ3π393ωωω<≤⇒<≤,由()0f x =得,ππ6x k ω+=,k ∈Z ,∵ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴πππππ,66626x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭,∴πππ66ππ2π3π26ωω⎧+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩或πππ2π66ππ3π4π26ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩,解得1153ω<<或172333ω<≤,所以ω的取值范围是111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故答案为:111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【点睛】关键点睛:本题的关键是利用整体法得到πππππ,66626x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭,再根据零点个数得到不等式组,解出即可.四、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 0a B b A a c --+=.(1)求B 的值;(2)若M 为AC 的中点,且4a c +=,求BM 的最小值.【答案】(1)π3(2【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角以及利用两角和的正弦公式化简cos cos 0a B b A a c --+=,可得cos B 的值,即可求得答案.(2)由题意可得1122BM BA BC =+ ,平方后结合数量积的运算以及基本不等式,即可求【小问1详解】由正弦定理及cos cos 0a B b A a c --+=,得sin cos sin cos sin sin 0A B B A A C --+=,又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,所以2sin cos sin 0A B A -=,又()0,πA ∈,∴sin 0A ≠,∴2cos 10B -=,即1cos 2B =,又()0,πB ∈,∴π3B =.【小问2详解】由M 为AC 的中点,得1122BM BA BC =+ ,而4a c +=,所以22221111122442BM BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭()2221111cos 4424c a ac B a c ac ⎡⎤=++=+-⎣⎦()()2221334216a c a c a c ⎡⎤+⎛⎫≥+-=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当且仅当4a c a c =⎧⎨+=⎩,即2a c ==时等号成立,所以BM18.已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴,从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴,按质量(单位:g )将它们分成5组:[)360,380,[)380,400,[)400,420,[)420,440,[]440,460得到如下频率分布直方图.(1)用样本估计总体,求该品种石榴的平均质量;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)按分层随机抽样,在样本中,从质量在区间[)380,400,[)400,420,[)420,440内的石榴中抽取7个石榴进行检测,再从中抽取3个石榴作进一步检测.(ⅰ)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间,求这3个石榴恰好来自不同区间的概率;(ⅱ)记这3个石榴中质量在区间[)420,440内的个数为X ,求X 的分布列与数学期望.【答案】(1)416g(2)(ⅰ)617,(ⅱ)分布列见解析,()97E X =【解析】【分析】(1)根据题意,用每组的频率乘以该组区间的中点值再求和得解;(2)根据条件概率计算公式运算,求出X 的所有可能取值及对应的概率得解.【小问1详解】该品种石榴的平均质量为()203700.0053904104500.0104300.015x =⨯⨯+++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦416=,所以该品种石榴的平均质量为416g .【小问2详解】由题可知,这7个石榴中,质量在[)380,400,[)400,420,[)420,440上的频率比为0.010:0.010:0.0152:2:3=,所以抽取质量在[)380,400,[)400,420,[)420,440上的石榴个数分别为2,2,3.(ⅰ)记A =“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”,B =“这3个石榴恰好来自不同区间”,则()337337C C 34C 35P A -==,()11122337C C C 12C 35P AB ==,所以()()()12635341735P AB P B A P A ===,即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为617.(ⅱ)由题意X 的所有可能取值为0,1,2,3,则()3437C 40C 35P X ===,()214337C C 181C 35P X ===,()124337C C 122C 35P X ===,()3337C 13C 35P X ===,所以X 的分布列为X0123P 43518351235135所以()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)令()21n n nn a b S -=,n T 为数列{}n b 的前n 项积,证明:1615n n i i T =-≤∑.【答案】(1)2n a n=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由等差数列定义可得n S ,由n S 与n a 的关系即可得n a ;(2)由n S 与n a 可得n b ,即可得n T ,由()()2116n n ++≥,可得16n n T -≤,借助等比数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】由()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列,故()()111112336n S nn n n =+-=++,即()()()21111366n n n n n S n n ++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,当2n ≥时,()()12116n nn n S ---=,故()()()()121121166n n n nn n n n n S S a -++---==-()2222312316n n n n n n ++-+-==,当1n =时,113216a S ⨯===,符合上式,故2n a n =;【小问2详解】由2n a n =,()()2116n n n n S ++=,故()()()()()()()266211211212121n n n n a n n b S n nn n n n n ++-==+-=+-,则()()()()()()()()()12121412666211141121221n n nT b n b b n n --⨯=-⋅⋅⋅=++++++ ()()()()()6216211211n nn n n n -==++++,由()()211326n n ++≥⨯=,故1666nn n T -≤=,则()111116616165n ni i n n i n T ==-⨯--≤==-∑∑.20.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PCD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AB BC ⊥,22PD AB CD ===,BC =120PDC ∠=︒.(1)证明:PB AD ⊥;(2)点E 在线段PC 上,当直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为5时,求平面ABE 与平面PBC 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)415477【解析】【分析】(1)要证AD PB ⊥,需要证过PB 的平面与AD 垂直即可,根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理结合条件即得;(2)建立空间直角坐标系,先根据条件确定E 点的坐标,再求二面角.【小问1详解】如图:由于平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC 平面ABCD CD =,过点P 作CD 的垂线交CD 的延长线于点O ,则PO ⊥平面ABCD .连接OB 交AD 于Q ,连接OA ,∵2PD =,120PDC ∠=︒,∴1OD =,∴2==OC AB ,又//AB CD ,90ABC ∠=︒,∴四边形ABCO 为矩形,∴OA BC ==,∴22OD OA OA AB ==,∴Rt Rt ODA AOB ∽△△,∴OAD ABO ∠=∠,又∵90OAD DAB ∠+∠=︒,∴90AQB ∠=︒,即AD OB ⊥,又PO ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,∴PO AD ⊥,又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ,∴AD ⊥平面POB ,又∵PB ⊂平面POB ,∴AD PB ⊥.【小问2详解】以O 为坐标原点,OA ,OC ,OP 所在直线分別为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则(P ,()0,2,0C,)A,)2,0B ,由于E 在PC 上,设PE PC λ=uur uuu r,则()0,2E λ,∴()2AE λ= ,又平面ABCD 的法向量()0,0,1n =,设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ,∴sin cos ,5AE n θ== ,解得12λ=或52λ=(舍去),∴30,1,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∴()0,2,0BA =- ,31,2BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()BC = ,设平面ABE 的法向共()1111,,n x y z = ,平而PBC 的法向共()2222,,n x y z = ,则110,0,BA n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220,0,BC n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,0,2y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,22220,0,2y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取1x =2y =1n =,()22n = ,∴124154cos ,77n n = ,故平面ABE 与平面PBC 夹角的余弦值为415477.21.已知双曲线E :22213x y a -=(0a >)的左焦点为F ,A ,B 分别为双曲线的左、右顶点,顶点到双曲线的渐近线的距离为32.(1)求E 的标准方程;(2)过点B 的直线与双曲线左支交于点P (异于点A ),直线BP 与直线l :=1x -交于点M ,PFA ∠的角平分线交直线l 于点N ,证明:N 是MA 的中点.【答案】(1)2213y x -=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)分析条件,求解方程即可.(2)找到斜率不存在的情况,容易证明,再求证斜率存在的情况即可.【小问1详解】因为22213x y a -=,所以b =,0ay -=,因为双曲线的右顶点为(),0a ,设右顶点到浙近线的距离为d ,由题意得22,23,d c a c ⎧⎪===⎨⎪+=⎩解得1,2,a c =⎧⎨=⎩则E 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】①当90PFA ∠=︒,即PF AF ⊥时,设点()2,p P y -,代入双曲线方程得,()22213P y --=,解得3p y =±,取第二象限的点,则()2,3P -,因为()1,0B ,所以直线BP 的斜率为30121BP k -==---,所以直线BP 的方程为=1y x +,令=1x -,解得2y =,即()1,2M -,因为直线FN 是PFA ∠的角平分线,且.90PFA ∠=︒,所以直线FN 的斜率为1FN k =,直线FN 的方程为2y x =+,令=1x -,解得1y =,即()1,1N -,此时12AN AM =,即N 是MA 的中点;②当90PFA ∠≠︒时,设直线BP 的斜率为k ,则直线BP 的方程为()1y k x =-,联立方程()221,1,3y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得()()22223230k x k x k -+-+=,由韦达定理得,2233B P k x x k +=-,又因为1B x =,所以2233P k x k +=-,()2613P P k y k x k =-=-,点22236,33k k P k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭,又因为()2,0F -,所以222226623333123PF k k k k k k k k k -===+--+-,由题意可知,直线NF 的斜率存在,设为k ',则直线NF :()2y k x ='+,因为FN 是PFA ∠的角平分线,所以2PFB NFB ∠=∠,所以tan tan 2PFB NFB ∠=∠,又因为22tan 1PF k PFB k k ∠==-,2'22tan 2tan 21tan 1NFB k NFB NFB k ∠∠='=-∠-,所以2'22211k k k k'=--,即()2210k k k k k +--''=',即()()10k k kk ''+-=,得k k '=-或1k k =',由题意知k 和k '异号,所以k k '=-,所以直线FN 的方程为()2y k x =-+,令=1x -,可得y k =-,即()1,N k --,所以AN k =-,直线PB 的方程为()1y k x =-,令=1x -,可得2y k =-,即()1,2M k --,所以2AM k =-,所以122AN kAM k -==-,即N 是MA 的中点.综上,N 是MA 的中点.22.若函数()f x 在[],a b 上有定义,且对于任意不同的[]12,,x x a b ∈,都有()()1212f x f x k x x -<-,则称()f x 为[],a b 上的“k 类函数”.(1)若()22x f x x =+,判断()f x 是否为[]1,2上的“3类函数”;(2)若()()21e ln 2xx f x a x x x =---为[]1,e 上的“2类函数”,求实数a 的取值范围;(3)若()f x 为[]1,2上的“2类函数”,且()()12f f =,证明:1x ∀,[]21,2x ∈,()()121f x f x -<.【答案】(1)()22x f x x =+是[]1,2上的“3类函数”,理由见详解.(2)2e 114e e e a ++≤≤(3)证明过程见详解.【解析】【分析】(1)由新定义可知,利用作差及不等式的性质证明()()12123f x f x x x -<-即可;(2)由已知条件转化为对于任意[]1,e x ∈,都有()22f x '-<<,()e ln 1x f x ax x x '=---,只需ln 3e x x x a x ++<且ln 1e x x x a x +->,利用导函数研究函数的单调性和最值即可.(3)分1212x x -<和12112x x ≤-<两种情况进行证明,()()12f f =,用放缩法()()()()()()()()()()1212121212f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-进行证明即可.【小问1详解】对于任意不同的[]12,1,2x x ∈,有1212x x ≤<≤,1224x x <+<,所以122232x x ++<<,()()()2212121212121223222x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+-+=-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()22x f x x =+是[]1,2上的“3类函数”.【小问2详解】因为()e ln 1x f x ax x x '=---,由题意知,对于任意不同的[]12,1,e x x ∈,都有()()12122f x f x x x -<-,不妨设12x x <,则()()()()21122122x x f x f x x x --<-<-,故()()112222f x x f x x +<+且()()112222f x x f x x ->-,故()2f x x +为[]1,e 上的增函数,()2f x x -为[]1,e 上的减函数,故任意[]1,e x ∈,都有()22f x '-≤≤,由()2f x '≤可转化为ln 3e x x x a x ++≤,令()ln 3ex x x g x x ++=,只需()min a g x <()()()212ln e xx x x g x x +---'=,令()2ln u x x x =---,()u x 在[]1,e 单调递减,所以()()130u x u ≤=-<,()0g x '<,故()g x 在[]1,e 单调递减,()()e 1min 4e e e g x g ++==,由()2f x '≥-可转化为ln 1e x x x a x +-≥,令()ln 1ex x x h x x +-=,只需()max a h x ≥()()()212ln e xx x x h x x +--'=,令()2ln m x x x =--,()m x 在[]1,e 单调递减,且()110m =>,()e 1e<0m =-,所以[]01,e x ∃∈使()00m x =,即002ln 0x x --=,即02000ln 2,e x x x x -=-=,当[)01,x x ∈时,()0m x >,()0h x '>,故()h x 在[)01,x 单调递增,当(]0,e x x ∈时,()0m x <,()0h x '<,故()h x 在(]0,e x 单调递减,()()000e 12max 0ln 11e e x x h x h x x ++-===,故2e 114e e e a ++≤≤.【小问3详解】因为()f x 为[]1,2上的“2类函数”,所以()()12122f x f x x x -<-,不妨设1212x x ≤<≤,当1212x x -<时,()()121221f x f x x x -<-<;当12112x x ≤-<时,因为()()12f f =,12112x x -<-≤-()()()()()()()()()()1212121212f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()()121212122212112x x x x ⎛⎫<-+-=-+≤-+= ⎪⎝⎭,综上所述,1x ∀,[]21,2x ∈,()()121f x f x -<.【点睛】不等式恒成立问题常见方法:①分离参数()a f x ≥恒成立()()max a f x ≥或()a f x ≤恒成立()()min a f x ≤;②数形结合(()y f x =的图象在()y g x =上方即可);③讨论最值()max 0f x ≤或()min 0f x ≥恒成立;④讨论参数,排除不合题意的参数范围,筛选出符合题意的参数范围扫码加微信,进微信交。

_数学丨广东省茂名市2023届高三第一次综合测试(一模)数学试卷及答案

_数学丨广东省茂名市2023届高三第一次综合测试(一模)数学试卷及答案

2023年茂名市高三级第一次综合测试数学参考答案一、单选题:4.【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位(4个6之间有5个空位)中,2510C =5.【解析】如图所示为该圆锥轴截面,设顶角为α,因为其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是腰长为,面积为2的等腰三角形,所以2211sin sin 22l αα=⨯⨯=sin α=π3α=或2π3α=.由2π3α=得,πcos cos 23h l α==,πsin sin 323r l α===,则上半部分的体积为22311ππ333r h =⨯=,下半部分体积为218r h ππ=蒙古包的体积为3(18+6.【解析】1cos 211()sin 2sin(222242x πA f x x x T π-=+=-+∴=对于选项,,选项B:221(1-2)20且0()=22sin x sin x sin x cos x ,f x tan x T πsin x cos x sin x cos x-≠≠==∴=11()cos cos 222C f x x x x x x T π=-++=∴=对于选项,cos ,11()sin 2()sin(2)2623ππD f x x x T π=+=+∴=对于选项,,7.【解析】,685ln ,13ln ,564ln -=-=-=c b a 故可构造函数()(),112ln +--=x x x x f ()()(),01122'>+-=x x x x f 所以()()()543f f f <<12345678D A A D C C B D8.【解析】当PC CD ⊥时,三棱锥P ACD -的表面积取最大值,PD =三棱锥P ACD -的外接球的半径为R =.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9101112ACD ACD ABD BC10.【解析】由题意得,()()中心对称,,的图像关于01 x f 故A 正确;由()()()()x f x f x f x f +-=-=-2,且得()()()()x f x f x f x f ⇒+-=-=2的周期为4,故B 错误;()()01 01=-∴=f f ,故C 正确;()412121274 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f f f x f ,的周期为 ,故D 正确11.【解析】A 选项:由抛物线C 的定义知A 是正确的;B 选项:由12y x '=,切线方抛物线C 在点(21-,)处的切线斜率为1-,切线方程为10x y ++=;C 选项:顶点在原点O 的正三角形与抛物线相交与A 、B 两点,这个正三角形的边长为,OAB ∆的周长为C 错;D 选项:F 为抛物线的焦点,过H 作HD 垂直抛物线C 的准线y=1-于点D ,如图由抛物线的定义知,1sin HG HG t HF HD HGD===∠当t 取最大值时,HGD ∠取最小值,(正弦函数的单调性的应用)即直线GH 与抛物线C 相切.设直线HG 的方程为1y kx =-,由214y kx x y=-⎧⎨=⎩得2404x x k +=-,所以216160k ∆=-=,解得1k =±,此时2404x x k +=-,即2440x x ±+=,所以2x =±,故()2,1H ±,所以1122222H S GF x =⋅=⨯⨯=△GFH ,故D 正确.12.【解析】原式变形为n n n m me m ln ln ->-,构造函数()x xe x f x -=,()()11'-+=x e x f x ,()()()x f x f x e x x ,0,110'>∴>+>时, 单调递增,()()()x f x f x e x x ,0,110'<∴<+<时, 单调递减对于A ,取1==n m 满足原式,所以A 错对于B ,当n e m n n m≥>∴>≤≤1,010ln 时,,即,当()()时,在时,∞+>00ln x f n 单调递增,原式()()n f m f ln >⇔,n e n m m>>∴,即ln ,所以B 对。

2022-2023学年北京市东城区高三下学期综合练习(一)数学试卷(PDF版)

2022-2023学年北京市东城区高三下学期综合练习(一)数学试卷(PDF版)

北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习(一)数 学 2023.3本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合22{|}0A x x -=<,且a A ∈,则a 可以为(A )2- (B )1-(C )32(D (2)在复平面内,复数iz对应的点的坐标是(3,1)-,则z = (A )13i + (B )3i + (C )3i -+ (D )13i -- (3)抛物线24x y =的准线方程为(A )1x = (B )1x =- (C )1y = (D )1y =- (4)已知0x >,则44x x-+的最小值为 (A )2- (B )0(C )1 (D )(5)在△ABC 中,a =2b c =,1cos 4A =-,则ABC S =△(A )(B )4(C ) (D )(6)设,m n 是两条不同的直线,αβ,是两个不同的平面,且m α⊂,αβ ,则“m n ⊥”是“n β⊥”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (7)过坐标原点作曲线2e1x y -=+的切线,则切线方程为(A )y x = (B )2y x = (C )21e y x = (D )e y x =(8)已知正方形ABCD 的边长为 2,P 为正方形ABCD 内部(不含边界)的动点,且满足0PA PB ⋅=,则CP D P ⋅的取值范围是(A )(0,8] (B )[0,8) (C )(0,4] (D )[0,4)(9)已知1a ,2a ,3a ,4a ,5a 成等比数列,且1和4为其中的两项,则5a 的最小值为(A )64- (B )8- (C )164 (D )18(10)恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明,曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数,由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001),可得N 的值为(A )13 (B )14 (C )15 (D )16第二部分(非选择题 共110分)二、填空题 共5小题,每小题5分,共25分。

广东省 2023 届高三综合能力测试(三)数学试卷

广东省 2023 届高三综合能力测试(三)数学试卷

广东省2023届高三综合能力测试(三)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ,B 是R 的子集,且()A B =∅R ,则下面选项中一定成立的是 ( )A .AB ⊆B .A B B =C .A B A =D .A B =R2.若复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且13i z =-,则12z z = ( )A .34i 55-- B .34i 55-+ C .43i 55-- D .43i 55-+ 3.“李白斗酒诗百篇,长安市上酒家眠”,本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具,后又作为计量粮食的工具.某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”,用它研究“斗”的相关几何性质.已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4,高为1,则该四棱台的表面积为( ) A.B .32C.20+D.20+4.在ABC △中,2AB =,AC =,45A =︒,点M 满足3BM BC =,则AM 的长度为( )A.B.C.D.5.数学家也有一些“美丽的错误”,如法国数学家费马于1640提出了以下猜想:形如221()nn F n =+∈N 的数都是质数.1732年,瑞士数学家欧拉证明了5F 不是质数,请你利用所学知识,估算5F 是( )位数.(参考数据:lg 20.3010≈) A .9B .10C .11D .126.已知奇函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称,且在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调,则ω的值是( )A .23 B .34C .32D .27.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>,左焦点为F ,过F 作倾斜角为30︒的直线交椭圆E 于M 、N 两点,且MF FN λ=(其中1λ>),则λ的值为( )A .2B. C.D .38.某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质,现从不同地区采集了100个样本.勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测,先将100个样本分为10组,每组再选取部分样本进行混合,对混合样本进行检测,如果不含该矿物质,则检测下一组,若含有该矿物质,则逐个检测;成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等.假设每个样本含有该矿物质的概率0.01p =,且每个样本是否含有该矿物质相互独立.则下列选项中检测次数的期望值最小的是 ( )(参考数据:50.990.951≈,100.990.904≈,200.990.818≈)A .5个一组B .10个一组C .20个一组D .逐个检验二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分. 9.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则lg lg a b > B .若22a b >,则a b > C .若a b >,c d >,则22ac bd >D .若22ac bc >,则a b >10.如图,圆锥OP 的底面O 的半径2r =,母线l =,点A ,B 是O 上的两个动点,则( )A .PAB △面积的最大值为2B .PAB △周长的最大值为4+C .当AB 的长度为2时,平面PAB 与底面所成角为定值D .当AB 的长度为2时,AB 与母线l11.已知动圆Q 过点(0,1),且与直线:1l y =-相切,记动圆Q 的圆心轨迹为Γ,过l 上一动点D 作曲线Γ的两条切线,切点分别为A 、B ,直线AB 与y 轴相交于点F ,下列说法正确的是( )A .Γ的方程为24x y = B .直线AB 过定点C .AOB ∠为钝角(O 为坐标原点)D .以AB 为直径的圆与直线1y =-相交12.已知函数21()e xf x ax a -=-+,1()ln g x x x=+,当[1,)x ∈+∞时,()()f x g x ≥恒成立,则实数a 的可能取值为( )A .12-B .0C .12D .2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.某单位安排4名工作人员随机分到3个核酸采样点参加“核酸检测亮码”工作,且每个人只去一个采样点,每个采样点至少有一名工作人员,则安排方案的总数为 . 14.写出一个同时满足下列条件①②的函数()f x = .①()f x 的图象关于点(0,1)对称;②曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为41y x =-.15.若,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,sin (2cos )tan 2ααα=-,则tan α= .16.如图,ABC △是面积为1的等腰直角三角形,记AB 的中点为1A ,以1CA 为直角边第一次构造等腰11Rt A B C △,记11A B 的中点为2A ,以2CA 为直角边第二次构造等腰22Rt A B C △,…,以此类推,当第n次构造的等腰Rt n n A B C △的直角边n CB 所构成的向量n CB 与CB同向时,构造停止,则构造出的所有等腰直角三角形的面积之和为 .A12四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足221n n n a a S =-. (1)证明:数列2{}n S 是等差数列;(2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,证明:10018T >.如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形,且1122AC BC AA ===,点D ,E ,F 分别是线段1AA ,AC ,11B C 的中点. (1)求点1C 到平面DEF 的距离;(2)求平面DEF 与平面CDF 夹角的余弦值.1已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c =.(1)若cos b C =sin 3c B =,求A ; (2)若4b =,求ABC △面积的最大值.神舟十四号,简称“神十四”,为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船,已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射,3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月.“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里程碑,实现了“神十四”与天宫一号的快速对接,创造了新的奇迹.为了宣传这一航天盛事,某高校组织了一场航天知识竞赛,共有1000名大学生参加,经统计发现他们的成绩(满分120)全部位于区间[50,110]内.现将成绩分成6组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110],得到如图所示的频率分布直方图,根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分.现规定前250名在10天后进行复赛.(1)求a ,b 的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表),并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线(结果保留整数);(2)复赛共分为两个环节:A 和B .经统计,通过初赛的学生在准备复赛的首日有23的学生准备项目A ,其余学生准备项目B ;在前一天准备项目A 的学生中,次日会有45的学生继续选择准备项目A ,其余选择准备项目B ;在前一天选择准备项目B 的学生中,次日会有23的学生继续选择准备项目B ,其余学生选择准备项目A ,用频率近似估计概率,记某学生在第n 天准备项目A 的概率为n P ,求10P .已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,左、右焦点分别为1F ,2F,且(0,M ,12MF F △是正三角形.(1)求C 的方程;(2)若直线l 与C 仅有一个公共点P ,且与C 的两条渐近线分别交于A ,B ,记AOP △的面积为1S ,BOP △的面积为2S (O 是坐标原点),则1211S S +是否存在最小值?若存在,求出该最小值,若不存在,请说明理由.已知函数1()e sin x f x n x +=-+,,m n ∈R . (1)若0n =,讨论()f x 的零点个数;(2)若函数()f x 有零点,证明:223e m n +>.。

四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(综合卷)完整试卷

四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(综合卷)完整试卷

四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分 (共8题)第(1)题函数的大致图像是()A.B.C.D.第(2)题设,是两个不同的平面,,,是三条不同的直线.下列说法不正确的是()A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,,,则第(3)题若向量满足,则在上的投影向量为()A.B.C.D.第(4)题若集合,,那么()A.B.C.D.第(5)题如图所示,多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,,,EF到平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积V为()A.B.5C.6D.第(6)题已知函数在上恰有1个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.第(7)题已知,,,则a,b,c的大小关系是().A.B.C.D.第(8)题在内,使成立的的取值范围是A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (共3题)第(1)题已知函数及其导函数的定义域均为,,,且当时,,则()A.B.C.D.第(2)题已知可导函数及其导函数的定义域均为,若是奇函数,,且对任意,恒有,则一定有()A.B.C.D.第(3)题已知函数,则下列说法正确的是()A.函数的最小正周期是B.,使C.在内有4个零点D.函数的图像是中心对称图形三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 (共3题)第(1)题如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成角为90°的面对角线共有_______条.第(2)题在数列中,,则__________.第(3)题我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.如图,阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形,将此图形绕y轴旋转一周,得到一个旋转体,如用与x轴相距为,且垂直于y轴的平面,截这个旋转体,则截面图形的面积为______;这个旋转体的体积为______.四、解答题:本题共5小题,每小题15分,最后一题17分,共77分 (共5题)第(1)题从①前n项和②且这两个条件中任选一个,填至横线上,并完成解答.在数列中,,________,其中.(1)求数列的通项公式;(2)若,,成等比数列,其中m,,且,求m的最小值.(注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分)第(2)题已知是数列的前n项和,,______.①,;②数列为等差数列,且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处,并求解:(1)求;(2)设,求数列的前6项和.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.第(3)题在中,内角所对的边分别为且.(1)求角的大小;(2)若,且的面积为,求的周长.第(4)题在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求大小;(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.第(5)题已知.(1)若在处的切线的斜率是,求当在恒成立时的的取值范围;(2)设,当时有唯一零点,求a的取值范围.。

2024—2025学年广东省广州市天河中学高三上学期综合模拟测试(一)数学试卷

2024—2025学年广东省广州市天河中学高三上学期综合模拟测试(一)数学试卷

2024—2025学年广东省广州市天河中学高三上学期综合模拟测试(一)数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合,,则()A.B.C.D.(★★) 2. 已知复数满足,则复数对应的点在第()象限A.一B.二C.三D.四(★★) 3. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则的展开式中的系数为()A.B.C.10D.20(★★) 4. 若角的终边过点,则()A.B.C.D.(★★) 5. 已知:不等式的解集为,则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(★★) 6. 双曲线x2-=1的渐近线与圆x2+( y-4) 2=r2( r>0)相切,则r=()A.B.C.D.(★★★) 7. 下列说法中,正确的命题是()A.已知随机变量X服从正态分布,则B.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强,反之,线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归方程为,若,则D.若样本数据的方差为8,则数据的方差为2(★★★) 8. 已知函数,若方程有3个不同的实根,则实数m取值范围值是()A.B.C.D.二、多选题(★★★) 9. 已知一组数据,,…,是公差不为0的等差数列,若去掉数据,则()A.中位数不变B.平均数变小C.方差变大D.方差变小(★★★) 10. 在正方体中,点分别是和的中点,则()A.B.与所成角为C.平面D.与平面所成角为(★★★★) 11. 设,,且,则下列关系式可能成立的是()A.B.C.D.三、填空题(★) 12. 如图,矩形中,,E是的中点,则_________ .(★★★) 13. 若直线l既和曲线相切,又和曲线相切,则称l为曲线和的公切线.已知曲线和曲线,请写出曲线和的一条公切线方程: ______ .(★★★★) 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为,,以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A,B,若,则C的离心率的最大值是 ______ .四、解答题(★★) 15. 记的内角的对边分别为,,,已知为锐角,且.(1)求角的大小;(2)若,,求的面积.(★★★) 16. 已知函数.(1)当时,求的极值;(2)当时,不等式恒成立,求a的取值范围.(★★★) 17. 如图,三棱柱的底面是等腰直角三角形,,侧面是菱形,,平面平面.(1)证明:;(2)求点到平面的距离.(★★★★★) 18. 已知在曲线,直线交曲线C于A,B两点.(点A在第一象限)(1)求曲线C的方程;(2)若过且与l垂直的直线与曲线C交于C,D两点;(点C在第一象限)(ⅰ)求四边形ACBD面积的最小值.(ⅱ)设AB,CD的中点分别为P,Q,求证:直线PQ过定点.(★★★★) 19. 在三维空间中,立方体的坐标可用三维坐标表示,其中,而在维空间中,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标,其中.现有如下定义:在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和,即为.回答下列问题:(1)求出维“立方体”的顶点数;(2)在维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离.①求的分布列与期望;②求的方差.。

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷(解析版)

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷(解析版)

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷【参考答案】一、单项选择题。

(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z满足(1﹣i)z=2+2i,则|z|=()A.1B.C.2D.2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论.【解答】解:∵(1﹣i)z=2+2i,∴|1﹣i||z|=|2+2i|,则,∴|z|=2,故选:C.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.已知M,N均为R的子集,且M⊆∁R N,则∁R M∩N=()A.∅B.M C.N D.R【分析】根据M⊆∁R N可画出Venn图,根据Venn图即可得出∁R M∩N=N.【解答】解:用Venn图表示M,N如下:由Venn图看出,M⊆∁R N,∁R M∩N=N.故选:C.【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算,子集的定义,借助Venn图解决集合问题的方法,考查了计算能力,属于基础题.3.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①,②,③三个村庄进行义诊活动,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往①村庄”;B表示事件“医生乙派往①村庄”;C表示事件“医生乙派往②村庄”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立C.D.【分析】由古典概型概率计算公式求出P(A),P(B),P(C),P(AB),P(AC),再利用相互独立事件的定义能判断AB;利用条件概率公式计算能判断CD.【解答】解:将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有=36个基本事件,它们等可能,事件A含有的基本事件数为=12,则P(A)==,同理P(B)=P(C)=,事件AB含有的基本事件个数为=2,则P(AB)=,事件AC含有的基本事件数为=5,则P(AC)=,对于A,P(A)P(B)=≠P(AB),即事件A与B相互不独立,故A不正确;对于B,P(A)P(C)=≠P(AC),即事件A与C相互不独立,故B不正确;对于C,P(B|A)==,故C不正确;对于D,P(C|A)==,故D正确.故选:D.【点评】本题考查命题真假的判断,考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.已知向量,满足=(,1),•=4,则||的最小值为()A.1B.C.D.2【分析】由平面向量数量积运算,结合平面向量模的运算求解即可.【解答】解:由=(,1),则,则,即,则||的最小值为2,故选:D.【点评】本题考查了平面向量数量积运算,重点考查了平面向量模的运算,属基础题.5.已知直线l:x+(a﹣1)y+2=0,,且l 1⊥l2,则a2+b2的最小值为()A.B.C.D.【分析】根据l1⊥l2得出b与a的关系式,代入a2+b2中利用二次函数的性质即可求出a2+b2的最小值.【解答】解:因为l1⊥l2,所以b+(a﹣1)=0,所以a=1﹣b,所以a2+b2=+b2=4b2﹣2b+1=4+,所以当时,a2+b2取最小值为.故选:A.【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题,也考查了利用函数求最值的应用问题,是基础题.6.为庆祝神舟十三号飞船顺利返回,某校举行“特别能吃苦,特别能战斗,特别能攻关,特别能奉献”的航天精神演讲比赛,其冠军奖杯设计如图,奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成,底座由边长为36cm 的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成,则冠军奖杯的高度为()cm.A.B.C.D.【分析】A,B,C在底面内的射影为M,N,P分别为对应棱的中点,求解△ABC外接圆圆心O的半径r,转化求解O1到平面DEF距离,推出结果.【解答】解:由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成,底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成,设:A,B,C在底面内的射影为M,N,P分别为对应棱的中点,∴,∴△ABC是边长为9的等边三角形,设△ABC外接圆圆心O,半径r,则,∴,,∴O1到平面DEF距离:9,∴冠军奖杯的高度为:.故选:C.【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.7.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M,N,若,且∠F1NF2=90°,则双曲线E的离心率为()A.B.4C.D.6【分析】设N(x1,y1)则,利用,M在,求得N,则,,由,即可求双曲线离心率.【解答】解:设N(x1,y1),,∵N在,M在,∴∴,即N,则,,∴,∴,∴,故选:B.【点评】本题考查了双曲线的性质,考查了计算能力、转化思想,属于中档题.8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1﹣x),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣a,若f(x)=m|x﹣1|恰有六个不相等的零点,则实数m的取值范围为()A.(,)∪[﹣,﹣]B.(,)∪[﹣,]C.(,)∪{﹣}D.(,)∪{﹣}【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性,推出函数的周期,结合函数的图象,函数零点个数,列出不等式求解即可.【解答】解:定义在R上的奇函数f(x),满足f(1+x)=f(1﹣x),则f(x)关于x=1对称,f(0)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣a,所以a=1,y=m|x﹣1|关于x=1对称,f(x)=m|x﹣1|有6个根,∴f(x)=m(x﹣1)在x∈(1,+∞)有三个根,f(2+x)=f(﹣x)=﹣f(x),函数的周期T=4,作出f(x)图象如图:当m>0时,k AC<m<k AB,则;点m<0时,,∴m的取值范围,故选:D.【点评】本题考查函数与方程的应用,零点个数的判断,考查数形结合以及计算能力,是中档题.二、多项选择题。

广东省茂名市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(综合卷)完整试卷

广东省茂名市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(综合卷)完整试卷

广东省茂名市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分 (共8题)第(1)题为营造欢乐节日气氛、传承传统习俗,同时又要确保公共安全,某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”,规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区两个规定区域燃放烟花爆竹,甲、乙两人各自决定从这7天选1天去中的一个区域燃放烟花爆竹,若甲、乙两人不在同一天去同一个地方,则去的种数为()A.35B.84C.91D.182第(2)题已知函数,,若存在,使得成立,则实数k的范围是()A.B.C.D.第(3)题已知全集为,集合A,B为的非空真子集,,则()A.A B.B C.D.第(4)题已知集合,,则()A.B.C.D.第(5)题已知函数,则()A.B.C.D.第(6)题在三棱柱中,点在棱上,且,点在棱上,且为的中点,点在直线上,若平面,则()A.2B.3C.4D.5第(7)题设集合,,则等于()A.B.C.D.第(8)题已知函数,且,则()A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左右焦点分别为,,抛物线与椭圆共焦点,若两曲线的一个交点为P,则下列说法正确的是()A.B.C .D.的面积为2第(2)题将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,若在上为增函数,则的值可能为()A.B.2C.3D.4第(3)题以下命题是真命题的是()A.当总体是由差异明显的几个部分组成时,通常采用分层抽样B.若为数据,2,3,,的中位数,则C.回归直线可能不经过样本点的中心D.独立性检验不可以确定两个变量之间是否具有某种关系三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 (共3题)第(1)题已知正项数列的前项和为,且,则的最小值为______.第(2)题已知实数,满足约束条件,则的取值范围是___________.第(3)题已知为坐标原点,矩形的顶点A,C在抛物线上,则顶点B的轨迹方程为__________.四、解答题:本题共5小题,每小题15分,最后一题17分,共77分 (共5题)第(1)题为调查某地区植被覆盖面积x(单位:公顷)和野生动物数量y的关系,某研究小组将该地区等面积划分为200个区块,从中随机抽取20个区块,得到样本数据,部分数据如下:x… 2.7 3.6 3.2…y…57.864.762.6…经计算得:,,,.(1)利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程;(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程,并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下,横坐标x,纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.(i)求这两条直线的公共点坐标.(ii)比较与的斜率大小,并证明.附:y关于x的线性回归方程中.,,第(2)题在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)与,其中,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段,其中,则称与互为正交点列.(1)试判断与是否互为正交点列,并说明理由.(2)求证:不存在正交点列;(3)是否存在无正交点列的有序整数点列?并证明你的结论.第(3)题记数列的前项和为,若,且.(1)求证:数列为等比数列;(2)求的表达式.第(4)题已知数列各项都为正数,且,.(1)求的通项公式;(2)若,数列的前项和为,证明:.第(5)题某中学有初中学生1800人,高中学生1200人,为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间,学校采用分层抽样方法,从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间(单位:小时)各分为5组:,得其频率分布直方图如图所示.(1)国家规定:初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时,若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准,则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),该校是否需要增加初中学生课外阅读时间?(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人,求至少有2名初中生的概率.。

四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷

四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷

四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分 (共8题)第(1)题若是平面外一点,则下列命题正确的是()A.过只能作一条直线与平面相交B.过可作无数条直线与平面垂直C.过只能作一条直线与平面平行D.过可作无数条直线与平面平行第(2)题为了迎接学校即将到来的某项活动,某班组织学生进行卫生大扫除,班主任将班级中的9名同学平均分配到三个包干区(编号1、2、3)进行卫生打扫,其中甲同学必须打扫1号包干区,则不同的分配方法有()A.560种B.280种C.840种D.1120种第(3)题已知x,y为正实数,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第(4)题近年来喜欢养宠物猫的人越来越多.某猫舍只有5个不同的猫笼﹐金渐层猫3只(猫妈妈和2只小猫嶲)、银渐层猫4只、布偶猫1只.该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里,4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里,布偶猫单独放在一个猫笼里,则不同的安排有()A.8种B.30种C.360种D.1440种第(5)题若,满足约束条件,则的最大值为()A.2027B.2026C.2025D.2024第(6)题已知圆台的体积为,两底面圆的半径分别为4和6,则圆台的母线长为()A.6B.C.D.第(7)题已知是圆上不同的两个动点,为坐标原点,则的取值范围是()A.B.C.D.第(8)题已知,则()A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (共3题)第(1)题定义平面斜坐标系,记,,分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若平面上任意一点P的坐标满足:,则记向量的坐标为,给出下列四个命题,正确的选项是()A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为第(2)题在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为,其中,则()A.B.C.D.A,B为随机事件,已知,下列结论中正确的是()A.若A,B为互斥事件,则B.若A,B为互斥事件,则C.若A,B是相互独立事件,D.若,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 (共3题)第(1)题是虚数单位,则的值为__________.第(2)题已知是虚数单位,复数满足,则___________.第(3)题复数_________.四、解答题:本题共5小题,每小题15分,最后一题17分,共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)设函数的导函数为,若,证明:.第(2)题已知函数(,且).(1)求函数的单调区间;(2)若存在,使得(是自然对数的底数),求实数的取值范围.第(3)题如图,在三棱柱中,平面平面.(1)若分别为的中点,证明:平面;(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求平面与平面夹角的余弦值.第(4)题某农家乐引入A,B两个新项目进行测试,现从A,B两个项目均玩过的家庭中随机抽取100个家庭,每个家庭分别对这两个项目进行评分(满分均为100分),得到相关统计数据如表.分数家庭数122638204A项目得分频数分布表(1)若以平均分作为最终得分,试问该农家乐应淘汰哪个项目?(2)该农家乐的项目负责人欲从A,B两个所保留的项目中,且评分在与内的家庭中,采用分层抽样的方法抽取5个家庭,再从这5个家庭中抽取3个家庭,征求项目改进意见.若X表示评分在内抽取的家庭的个数,求X的分布列与数学期望.设函数,其中.(1)若在上有最小值, 求实数的取值范围;(2)当,时, 记,若对任意,总存在,使得,求的取值范围.。

数学丨浙江省湖州、衢州、丽水2025届高三11月三地市高三教学质量检测试卷数学试卷及答案

数学丨浙江省湖州、衢州、丽水2025届高三11月三地市高三教学质量检测试卷数学试卷及答案

湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷数学1.本试题卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.2.考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如要改动,须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔,确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑,答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,5,4,3,2,1=A ,{}A x xB ∈=2,则=B A A.{}1 B.{}2,1 C.{}4,2,1 D.{}6,5,4,3,2,12.已知复数=-1i z (其中i 是虚数单位),则+=2z z A.2B.13.双曲线的另一种定义:动点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它与定直线2:al x c=的距离的比是常数ca(0a c <<),则点M 的轨迹是一个双曲线.动点M 与定点F 的距离和它与定直线:3l x =M 的轨迹方程为A.2212y x -= B.2212y x -= C.2212x y -= D.2212x y -=4.为研究光照时长x (小时)和种子发芽数量y (颗)之间的关系,某课题研究小组采集了9组数据,绘制散点图如图所示,并对,x y 进行线性回归分析.若在此图中加上点P 后,再次对,x y 进行线性回归分析,则下列说法正确的是A.,x y 不具有线性相关性B.决定系数2R 变大C.相关系数r 变小D.残差平方和变小5.已知ABC ∆的外接圆圆心为O ,且2AB AC AO += ,||||OA AB = ,则向量BA在向量BC 上的投影向量为A.14BCB.C.14BC-D. 6.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为r 的水车,以水车的中心为原点,过水车的中心且平行于水平面的直线为x 轴,建立平面直角坐标系,一个水斗从点2)A -出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设P 点的坐标为(,)x y ,其纵坐标满足sin()(0y r t t ωϕ=+ ,0ω>,||)2πϕ<,当45t =秒时,||PA =A.B.C. D.47.已知长方体1111ABCD A B C D -,E 是棱11C D 的中点,平面1AB E 将长方体分割成两部分,则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为A .715B .12C .724D .7178.已知函数()x x x f 2cos 3cos -=,(0,)x π∈,若()f x 有两个零点()1212,x x x x <,则A .{}21,5x x ∈πB .123x x =C .121cos cos 2x x +=D .41cos cos 21-=x x 第6题图二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a >,0b >,则下列说法正确的是A.若1=+b a ,则2log log 22-≤+b a B.若1=+b a ,则1<+b a C.若1a b -=,则1212a b-≥ D.若1=-b a ,则221a b +>10.现有一个抽奖活动,主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中,甲从中选择了1号箱子,但暂时未打开箱子,主持人此时打开了另一个箱子(主持人知道奖品在哪个箱子,他只打开甲选择之外的一个空箱子).记i A (1,2,3i =)表示第i 号箱子有奖品,j B (2,3j =)表示主持人打开第j 号箱子.则下列说法正确的是A.321()2P B A =B.131()3P A B =C.若再给甲一次选择的机会,则甲换号后中奖概率增大D.若再给甲一次选择的机会,则甲换号后中奖概率不变11.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,12AC BC CC ===,AC BC ⊥,Q 是线段AB 的中点,P 是线段1BC 上的动点(含端点),则下列命题正确的是A.三棱锥1P A QC -的体积为定值B.在直三棱柱111ABC A B C -内部能够放入一个表面积为4π的球C.直线PQ 与AC 所成角的正切值的最小值是22D .1A P PQ +第11题图三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.在()12nx -(*n ∈N )的展开式中,x 的系数为10-,则n =▲.13.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,过左焦点F 作直线l 与圆222:4c M x y +=相切于点E ,与椭圆C 在第一象限的交点为P ,且3PE EF =,则椭圆离心率为▲.14.若()()3(2)222f x x x =-+-+,已知数列{}n a 中,首项1120a =,32123n n a a aa a n=++++L ,*n ∈N ,则()791ii f a ==∑▲.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC 是边长为2的等边三角形,⊥PC 平面ABC ,点E 是PB 的中点,点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =,G 为三角形ABC 的重心.(1)求证:GF ∥平面P AB ;(2)当PC 的长为何值时,二面角E AC B --的大小为60︒.16.(本小题满分15分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的的三边分别是a ,b ,c,且2bB c-=.(1)求角C 的值;(2)若1=c ,B A tan 3tan 2=,求ABC ∆的面积.17.(本小题满分15分)第15题图已知数列{}n a 的首项是1,其前n 项和是n S ,且121++=+n a a n n ,*n ∈N .(1)求32,a a 的值及数列{}n a 的通项公式;(2)若存在实数λ,使得关于n 的不等式25n S n λ+≤,*n ∈N 有解,求实数λ取到最大值时n 的值.18.(本小题满分17分)已知函数()21ln1x f x ax x -=+-(R a ∈).(1)当1=a 时,求曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程;(2)若103a <≤,3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,证明:()2f x <;(3)若1x >,恒有()32ln 22f x ≥+,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分17分)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体,例如()R ∈+=k kx y 1表示过点()1,0的直线族(不包括直线y 轴),直线族的包络曲线定义为:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)圆()22:34M x y +-=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线,求,m n 满足的关系式;(2)若点()00,N x y 不在直线族Ω:()2y tx t t =-∈R 的任意一条直线上,求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程;(3)在(1)(2)的条件下,过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ,PB ,交曲线E 于点A ,B ,求PAB ∆面积S 的最小值.湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCBCAADD二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案ACDBCACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.513.14.158四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC 是边长为2的等边三角形,⊥PC 平面ABC ,点E 是PB 的中点,点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =,G 为三角形ABC 的重心.(1)求证:GF ∥平面P AB ;(2)当PC 的长为何值时,二面角E AC B --的大小为60︒.解:(1)如图1,连接CG 并延长,交AB 与点H ,由于,G F 分别为,ABC PBC ∆∆重心,所以2CF CGFE GH==,故//GF EH ,……………………3分EH ⊂面PAB ,FG ⊄面PAB ,所以//FG 面PAB .……………………6分(2)解法一:如图2,取线段BC 的中点D ,连接ED ,过点D 作DK AC ⊥,垂足为K ,连接EK .因为//,ED PC PC ABC ⊥平面,所以ED ABC ⊥平面,所以EKD ∠为二面角B AC E --的平面角,所以60EKD ∠= ……………………………………………………10分因为2DK =,所以32ED =,于是有3PC =.……………………13分解法二:如图3,以AC 的中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系Ozxy ,设PC h =,则()0,1,0A -,)B,()0,1,0C,1,22h E ⎫⎪⎪⎝⎭.……………………8分设平面EAC 的一个法向量为()1,,n x y z =则1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得3022220hz x y y ++=⎪⎨⎪=⎩取(,0,n h =,………………………………………………………………11分易得平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =因为二面角E AC B --的大小为060,所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅==,解得:3h =.………………………………………………………………13分图1图2图316.(本小题满分15分)在ABC∆中,角A,B,C对应的的三边分别是a,b,c,B=.(1)求角C的值;(2)若1=c,BA tan3tan2=,求ABC∆的面积.解:(1B=sin cosA B C B-=,…………2分sin cosB C B C B-=(+),cos sinB C B=,.………………………………………………………………5分故2cos2C=,又0Cπ<<,所以4Cπ=.……………………………………………7分(2)若1=c ,tan 12tan 3tan 3tan )341tan A A B A Aπ-==-+=-⨯-(,22tan 5tan 30A A --=解得tan 3A =,1tan 2A =-(舍去),……………………10分则tan 2B =,所以sin A =,sin B =,由sin sin a cA C=,得a =,……13分故113sin 1225S ac B ==⨯⨯,ABC ∆的面积为53.……………………15分17.(本小题满分15分)已知数列{}n a 的首项是1,其前n 项和是n S ,且121++=+n a a n n ,*n ∈N .(1)求32,a a 的值及数列{}n a 的通项公式;(2)若存在实数λ,使得关于n 的不等式25n S n λ+≤,*n ∈N 有解,求实数λ取到最大值时n 的值.解:(1)由题可得当1n =时,21214a a =++=当2n =时,322219a a =+⨯+=.……………………2分当2n ≥时,121-=--n a a n n ,所以112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2212331n n n =-+-++= ,……5分当1n =时,11a =也满足2n a n =,综上所述,数列{}n a 的通项公式为2n a n =.…………………………………7分(未检验1n =时的情形,扣1分)(2)由题可得25n n S λ≤-,设25n n b n S =-,若要使得关于n 的不等式25n S n λ+≤(*n ∈N )有解,则()max n b ≤λ,当2n ≥时,2125250n n n b b a n --=-=-≥,则5n ≤,…………………………………12分故当4n =或5n =时,n b 的最大值为70,所以实数λ取到最大值70时,此时n 的值为4或5.………………………………………………………………………15分(λ最大值未给出不扣分)18.(本小题满分17分)已知函数()21ln 1x f x ax x -=+-(R a ∈).(1)当1=a 时,求曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程;(2)若103a <≤,3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,证明:()2f x <;(3)若1x >,恒有()32ln 22f x ≥+,求实数a 的取值范围.解:(1)()()()11211f x x x -'=+--(1x >或12x <),…………………………3分则()223f '=,又()2ln 32f =+,所以所求的切线方程为()()2ln 3223y x -+=-,即22ln 333y x =++.…………………5分(定义域未给出,扣1分)(2)()()()1211f x a x x -'=+--……………………7分因为322x ≤≤,所以()()1112113x x --≤≤---,而310≤<a ,所以()0f x '≤,故()f x 在区间3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,………………………………9分所以()3312ln 22ln 22222f x f ⎛⎫≤=+≤+< ⎪⎝⎭成立.………………………………10分(3)当32x =时,3332ln 22ln 2222f a ⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭,所以1a ≥.………………………12分下证:当1a ≥,1x >时()32ln 22f x ≥+恒成立.令()21ln 1x g a xa x -=+-,1a ≥所以()()211ln1x g a g x x -≥=+-,………………………………………………………14分所以()21ln 1x f x x x -≥+-,令()21ln 1x x x x ϕ-≥+-,则()()()()()()2311211211x x x x x x x ϕ--'=+=----,当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'<,()x ϕ单调递减,当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'>,()x ϕ单调递增,所以()332ln 222x ϕϕ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭,所以a 的取值范围为[)1,+∞.……………………………………………………17分19.(本小题满分17分)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体,例如()R ∈+=k kx y 1表示过点()1,0的直线族(不包括直线y 轴),直线族的包络曲线定义为:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)圆()22:34M x y +-=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线,求,m n 满足的关系式;(2)若点()00,N x y 不在直线族Ω:()2y tx t t =-∈R 的任意一条直线上,求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程;(3)在(1)(2)的条件下,过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ,PB ,交曲线E 于点A ,B .求PAB ∆面积S 的最小值.解:(1)由题可得,直线族1(,)mx ny m n +=∈R 为圆M 的切线,………………2分故满足,2d =,所以,m n 满足2254610n m n --+=.……………4分(2)将点()00,N x y 代入()2R y tx t t =-∈,可得关于t 的方程2000t x t y -+=,因为点()00,N x y 不在直线族()2R y tx t t =-∈上,故方程2000t x t y -+=无实数解,所以20040x y ∆=-<,那么2004x y >,故00y >因为区域2004x y >的边界为抛物线24x y =,…………………………………7分下证:24x y =是()2R y tx t t =-∈的包络曲线.证明:联立直线()2R y tx t t =-∈与24x y =,可得22440x tx t -+=,所以0∆=,故直线族Ω:()2R y tx t t =-∈为抛物线24x y =的切线.因此直线族Ω的包络曲线E 的方程为24x y =.…………………………………10分(3)设()11,A x y ,()22,B x y ,()22,P u u 则2111224PA y u x u k x u -+==-,故()11:2420PA x u x y ux +--=由直线PA 与M 相切,所以2d =,整理得()22111250u y ux u -++-=,1)同理可得,()22221250u y ux u -++-=,2)由1)2)可得直线()22:1250AB u y ux u -++-=.………………………………12分直线AB 与2:4C x y =联立得()22212504u y ux u x y ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩,(显然12≠u )可得22228204011ux u x u u -++=--,由韦达定理可得21212228204,11u u x x x x u u -+=-⋅=--.因此(()222411u AB u+=-,………………………………………………14分由于点()22,P u u 到直线AB 的距离422251u u d u ++=+,所以PAB ∆面积为()()4222225251PAB S u u u ∆=++-,令21u m -=,则()824PAB S f m m m ∆⎛==++ ⎝,由()()01f m m '==≥-,解得4m =,所以()f m 在()0,4上单调递减,在()4,+∞上单调递增,那么()()min 4PAB S f ∆==25u =时取到),所以PAB ∆面积S的最小值是17分。

山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习(一)数学试题试卷

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山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习(一)数学试题试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.复数12ii--的共轭复数对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知函数()ln f x x =,若2()()3F x f x kx =-有2个零点,则实数k 的取值范围为( )A .21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B .1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C .10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.下列说法正确的是( )A .“若1a >,则21a >”的否命题是“若1a >,则21a ≤”B .“若22am bm <,则a b <”的逆命题为真命题C .0(0,)x ∃∈+∞,使0034x x >成立D .“若1sin 2α≠,则6πα≠”是真命题 4.已知函数2,0()4,0xx f x x -⎧⎪=+>,若()02f x <,则0x 的取值范围是( )A .(,1)-∞-B .(1,0]-C .(1,)-+∞D .(,0)-∞5.已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[0,1]C .[1,)+∞D .[0,2]6.如图,在平面四边形ABCD 中,,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ⋅的最小值为 ( )A .2116B .32C .2516D .37.函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示,图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点,且M 在y 轴上,则下列说法中正确的是A .函数()f x 的最小正周期是2πB .函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C .函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D .函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8.当输入的实数[]230x ∈,时,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于103的概率是( )A .914B .514C .37D .9289.已知集合{}2,1,0,1A =--,{}22*|,B x x a a N=≤∈,若A B ⊆,则a 的最小值为( )A .1B .2C .3D .410.3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A .-1280B .4864C .-4864D .128011.在复平面内,复数(2)i i +对应的点的坐标为( ) A .(1,2)B .(2,1)C .(1,2)-D .(2,1)-12.已知集合A ={﹣2,﹣1,0,1,2},B ={x |x 2﹣4x ﹣5<0},则A ∩B =( ) A .{﹣2,﹣1,0}B .{﹣1,0,1,2}C .{﹣1,0,1}D .{0,1,2}二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

江苏省盐城市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷

江苏省盐城市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷

江苏省盐城市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分 (共8题)第(1)题已知实数满足,若目标函数的最大值为,最小值为,则实数的取值不可能是A.3B.2C.0D.第(2)题恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就,其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个81位数,则由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001),可得的值为()235711130.3010.4770.6990.845 1.041 1.114A.13B.14C.15D.16第(3)题某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务,若每个教师只去一个社区,且两个社区都有教师去,则不同的安排方法有()A.20种B.14种C.10种D.7种第(4)题已知函数(且),若对任意,,则实数a的取值范围为()A.B.C.D.第(5)题抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于A,B两点.则的最小值为()A.6B.7C.8D.9第(6)题已知正项数列满足,则下列正确的是()A.当时,递增,递增B.当时,递增,递减C.当时,递增,递减D.当时,递减,递减第(7)题若球是正三棱锥的外接球,,点在线段上,,过点作球的截面,则所得的截面中面积最小的截面的面积为()A.B.C.D.第(8)题已知是抛物线上一点,圆关于直线对称的圆为,是圆上的一点,则的最小值为()A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (共3题)第(1)题如图,在棱长为2的正方体中,点分别为的中点,为面的中心,则以下命题正确的是()A.平面截正方体所得的截面面积为B.四面体的外接球的表面积为C.四面体的体积为D.若点为的中点,则存在平面内一点,使直线与所成角的余弦值为第(2)题为了研究y关于x的线性相关关系,收集了5组样本数据(见下表):x12345y0.50.81 1.2 1.5假设经验回归方程为,则()A.B.当时,y的预测值为2.2C.样本数据y的40%分位数为0.8D.去掉样本点后,x与y的样本相关系数r不变第(3)题已知点为坐标原点,直线与抛物线相交于、两点,则()A.B.C.的面积为D.线段的中点到轴的距离为2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 (共3题)第(1)题设无穷等比数列{}的公比为q,若,则q=______.第(2)题已知非零且不垂直的平面向量,满足,若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于,则,夹角的余弦值的最小值为______.第(3)题已知函数,,当实数满足时,不等式恒成立,则实数的取值范围为______.四、解答题:本题共5小题,每小题15分,最后一题17分,共77分 (共5题)第(1)题已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围;(2)求证:.第(2)题如图,在四棱柱中,,,底面.(1)若为边的中点,求证:平面平面;(2)若,四棱柱体积为,的面积为,求二面角的正弦值.第(3)题已知函数(1)当时,求在点处的切线方程;(2)当时,是否存在两个极值点,若存在,求实数的最小整数值;若不存在,请说明理由.第(4)题如图,在平面四边形ABCD 中,,,,.(1)若,,求的大小;(2)若求四边形ABCD 面积的最大值.第(5)题如图,已知抛物线C :y 2=2px (p >0),G 为圆H :(x +2)2+y 2=1上一动点,由G 向C 引切线,切点分别为E ,F ,当G 点坐标为(-1,0)时,△GEF 的面积为4.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)当点G 在圆H :(x +2)2+y 2=1上运动时,记k 1,k 2分别为切线GE ,GF 的斜率,求||的取值范围.。

2024-2025学年天津市南开中学高三(上)统练数学试卷(6)(含答案)

2024-2025学年天津市南开中学高三(上)统练数学试卷(6)(含答案)

2024-2025学年天津市南开中学高三(上)统练数学试卷(6)一、单选题:本题共9小题,每小题3分,共27分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ={−2,−1,0,1,2,3},N ={x|2x−1>0},则M ∩N =( )A. {2,3} B. {1,2,3}C. {0,1,2,3}D. {−2,−1,0,1,2,3}2.记S n 为数列{a n }的前n 项和.“任意正整数n ,均有a n >0”是“{S n }为递增数列”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=(x−1x )cosx B. f(x)=(x +1x )sinx C. f(x)=(x +1x )ln |x|D. f(x)=(x +1x )cosx4.设a =(35)0.5,b =(53)0.4,c =lo g 53(sin3),则( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. a <c <b5.下列说法错误的是( )A. 线性相关系数|r|越接近1,两个变量的线性相关程度越强B. 独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系C. 在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适,带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高D. 甲、乙两个模型的决定系数R 2分别约为0.88和0.80,则模型甲的拟合效果更好6.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n +1a n <1,若a 3+a 5=20,a 3a 5=64,则S 4=( )A. 63或126B. 252C. 120D. 637.已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2,S n +1+S n−1=2S n +log 2(1+1n )(n ≥2,n ∈N ∗),则a 8=( )A. 22B. 3C. 4D. 428.将函数g(x)=cos (ωx +π12)(ω∈N ∗)的图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象,若f(x)在(0,π2)上只有一个极大值点,则ω的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 59.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(−x),且当x ∈[0,12]时,f′(x)>π,则不等式f(x)≤sinπx 在[−32,32]上的解集为( )A. [−1,0]∪[1,32]B. [−12, 32]C. [−12, 1]D. [−32,−1]∪[0,1]二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。

湖南省郴州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷

湖南省郴州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷

湖南省郴州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(综合卷)完整试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分 (共8题)第(1)题已知函数,且关于的方程有6个不同的实数解,若最小的实数解为-1,则的值为A.-2B.-1C.0D.1第(2)题已知实数,若,且这四个数的中位数是3,则这四个数的平均数是()A.B.3C.D.4第(3)题下列不等式一定成立的是A.B.C.D.第(4)题已知,,则()A.B.C.D.第(5)题下列说法中正确的是()A.一组数据3,4,2,8,1,5,8,6,9,9,的第60百分位数为6B.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后,方差变大C.若甲、乙两组数据的相关系数分别为和,则甲组数据的线性相关程度更强D.在一个列联表中,由计算得的值,则的值越接近1,判断两个变量有关的把握越大第(6)题某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A.B.C.D.第(7)题已知,且,则的最小值为()A.B.C.D.第(8)题已知命题,;命题,,则()A.和都是真命题B.和都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (共3题)第(1)题已知函数,则下列说法正确的是().A.函数的最小正周期为B.点是图像的一个对称中心C .的图像关于直线对称D.在区间单调递减第(2)题已知椭圆上有不同两点,,,则()A.若过原点,则B.,的最小值为C.若,则的最大值为9D.,,异于点,若线段的垂直平分线与轴相交于点,则直线的斜率为第(3)题如图,点是棱长为2的正方体的表面上一个动点,是线段的中点,则()A.当在平面上运动时,三棱锥的体积为定值B.当在线段上运动时,与所成角的取值范围是C.当直线与平面所成的角为时,点的轨迹长度为D.当在底面上运动,且满足平面时,线段长度的取值范围是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为.若和为椭圆上在轴上方的两点,且,则直线的斜率为______.第(2)题已知,则________.第(3)题在中,,,当取最大值时,的面积为______.四、解答题:本题共5小题,每小题15分,最后一题17分,共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线与直线:()有唯一的公共点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,其中点,在第一象限.(1)探求参数,满足的关系式;(2)若为坐标原点,为双曲线的左焦点,证明:.第(2)题在直角坐标系中,已知曲线(为参数),曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;(2)已知是曲线上的两个动点(异于原点),且,若曲线与直线有且仅有一个公共点,求的值.第(3)题已知数列中,,(n).(1)分别比较下列每组中两数的大小:①和;②和;(2)当n≥3时,证明:.第(4)题设数列的前项和,(1)求数列的通项公式;(2)令,记数列前n项和为,求;(3)利用第二问结果,设是整数,问是否存在正整数n,使等式成立?若存在,求出和相应的值;若不存在,说明理由.第(5)题中国探月工程自2004年批准立项以来,聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标,创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球,首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度,从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查,调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分).(1)完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关?关注没关注合计男生女生合计(2)若将频率视为概率,现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.附:,其中.0.1500.1000.0500.0100.0052.072 2.7063.841 6.6357.879。

北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)

北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)

A. a b
B. 2a 2b
C. a b
D. log2 a2 log2 b2
5.已知
(x3
2 x2
)n
的展开式中各项系数和为
243,则展开式中常数项为(

A.60
B.80
C.
D.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,若 F 是线段 AB 的中点,则
AB ( )
C.1, 2
2.已知向量
a
1,
m,b
3,
2
,且
(a
b)
b
,则
m=
D. 2,
A.−8
B.−6
C.6
D.8
3.下列函数中,是奇函数且在定义域内单调递减的是( )
A. f x sin x
B. f x 2 x
C. f x x3 x
D. f x 1 ex ex 2
4.若实数 a 、 b 满足 a2 b2 0 ,则下列不等式中成立的是( )
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
(1)求 a 的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评
分不小于 9 的概率; (2)从 5 名专家中随机选取 3 人,X 表示评分不小于 9 分的人数;从场外观众中随机 选取 3 人,用频率估计概率,Y 表示评分不小于 9 分的人数;试求 E(X)与 E(Y)的 值; (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分:方案一:用所有专家与观众的评分
六、填空题
15.在数列an 中,对任意的 n N*
都有 an
0
,且
an
2 1
an1
an
,给出下列四个结论:
①对于任意的 n 3 ,都有 an 2 ;
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福建省龙岩市高中毕业班质量检查数学(理科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),共4页. 全卷满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差:s=其中x 为样本平均数; 柱体体积公式:V =Sh ,其中S 为底面面积,h 为高;锥体体积公式:V =31Sh ,其中S 为底面面积,h 为高; 球的表面积、体积公式:24S R =π,343V R =π,其中R 为球的半径.第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知复数21iz i=+,则z 的共轭复数是 A.i -1B.i +1C.iD.i -2. 正项等比数列中,若2298log ()4a a =,则4060a a 等于 A. -16B. 10C. 16D. 2563. 已知随机变量2(0,)N ξσ,若(20)0.2P ξ-≤≤=,则(2)P ξ≥等于A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.44. 已知两个向量a 、b 满足a ⋅b =-,| a |=4,a 和b 的夹角为135°,则| b |为 A. 12B. 3C. 6D.5. 若6260126(1)mx a a x a x a x +=++++ ,且12663a a a +++=, 则实数m 的值为A. 1或3 B. -3C. 1D. 1或 -36. 实数x 、y 满足1,0,0,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则z =x y 1-的取值范围是A. [-1,0]B. (-∞,0]C. [-1,+∞)D. [-1,1)7. 过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,则||AB 等于 A .10 B .8 C .6 D .48. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,得0分的概率为0.5(投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分),其中a 、b (0,1)∈,已知他投篮一次得分的数学期望为1,则ab 的最大值为 A .16B .112C .124D .132{}n a正视图 侧视图俯视图9. 设函数244,1,()43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩ 则函数4()()log g x f x x =-的零点个数为A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.设数列{}n a 是首项为2,公方差为2的等方差数列,若将12310a a a a ,,,,这种顺序的排列作为某种密码,则这种密码的个数为A. 18个B. 256个C. 512个D. 1024个第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费y (万元),有如下的统计资料使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 和x 呈相关关系,由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的b =1.23,据此估计,使用年限为10年时的维修费用是 万元.(参考公式:2121121)())((xn xyx n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i--=---=∑∑∑∑====,x b y a -=)12. 已知某算法的流程图如图所示,则输出的结果是_______________.13. 一个空间几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形,且直角边长都为1,则它的 外接球的表面积是 . 14. 设函数()2f x ax b =+(0a ≠),若200()2()f x dx f x =⎰,00x >,则0x = .15. 已知集合{}22()()()()(),,M f x f x f y f x y f x y x y R =-=+⋅-∈,有下列命题①若11,0,()1,0,x f x x ≥⎧=⎨-<⎩则1()f x M ∈.②若2()2,f x x =则2()f x M ∈.③若3(),f x M ∈则3()y f x =的图象关于原点对称.④若4(),f x M ∈则对于任意不等的实数12,x x ,总有414212()()0f x f x x x -<-成立.其中所有正确命题的序号是 .开始输出 结束是否三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且1cos(A+C)=2, =2csinA a .(Ⅰ)求cos C 的值;(Ⅱ)当]2,0[π∈x 时,求函数2()sin 24cos cos f x x A x =+的最大值.17.(本小题满分13分)如图,正方形OBCD 所在平面与等腰直角三角形AOD 所在平面 互相垂直,4OA OD ==,点E F 、分别为CD OA 、的中点. (Ⅰ)求证:DF ∥平面AEB ;(Ⅱ)线段AD 上是否存在一点M ,使BM 与平面 AEB 所成角的正弦值为6?若存在,请求出DM MA的 值;若不存在,请说明理由.18. (本小题满分13分)某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台. 当笔记本电脑销售价为6000元/台时,月销售a 台;根据市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售价提高的百分率...为x (01)x <<,那么月销售量减少的百分率...为2x .记销售价提高的百分率...为x 时, 电脑企业的月利润是y (元).(Ⅰ)写出月利润y (元)与x 的函数关系式;(Ⅱ)试确定笔记本电脑的销售价,使得电脑企业的月利润最大.19.(本小题满分13分)如图,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点 构成等边三角形.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点Q (4,0)且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,设点A 关于x 轴的对称点为1A .(ⅰ)求证:直线1A B 过x 轴上一定点,并求出此定点坐标; (ⅱ)求△1OA B 面积的取值范围.A B O xyQ20.(本小题满分14分)已知函数1)(+=x x x f . (Ⅰ)求函数)1ln()()(+-=x a x f x F 的单调递增区间;(Ⅱ)数列{}n a 满足:10,1n a a >=f =,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,且11)2n n n a ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦S .(ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;并判断46b b +是否仍为数列{}n b 中的项?若是,请证明;否则,说明理由.(ⅱ)设{}n c 为首项是1c ,公差0d ≠的等差数列,求证:“数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项”的充要条件是“存在整数1m ≥-,使1c md =”.21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵=M ⎝⎛ααsin cos ⎪⎪⎭⎫-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B (2,2)-,求矩阵M 的逆矩阵.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是2(42x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数),点P 是曲线C 上的动点,点Q 是直线l 上的动点,求|PQ |的最小值.(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知实数x y z 、、满足22249(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是7,求a 的值.龙岩市高中毕业班质量检查数学(理科)试题参考答案及评分标准说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分50分. 1. A2. C3. C4.C5.D6.D7. B8. D9. B 10. C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分20分.11. 12.3812. 513. 3π14.15. ②③ 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 本小题主要考查正弦定理、三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识,考查学生的运算求解能力. 满分13分.解:(Ⅰ)由1cos()2A C +=,知3A C π+= ………………………(2分) 又2sin a c A =,得2sin sin a cc A C==,1sin 2C ∴= ,,66C A ππ== ………………………(5分)故cos 2C =………………………(6分)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知cos 2A =,2()sin 2f x x x =+sin2x x =2sin(2)3x π=++………………………………(9分)[0,]2x π∈,42[,]333x πππ∴+∈当232x ππ+=,即12x π=时,()f x 取得最大值为2+. ……………(13分)17. 本题主要考查线线、线面、面面位置关系,线面角等基本知识,考查空间想像能力,运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.解:(Ⅰ)证明:如图,取AB中点G,连结FGFG∥OB,FG∴∥DE,又12FG OB=,12DE OB=,∴FG DE=,…………(3分)四边形EDFG为平行四边形,DF∴∥EG,又EG⊂平面AEB,DF⊄平面AEB,DF∴∥平面AEB.………………………(6分)(Ⅱ)依题意知平面OBCD⊥平面AOD,OB OD⊥,OB∴⊥平面AOD,得,OB OA⊥又AO OD⊥,OB OD⊥.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,4AO OD==,可得(0,4,0)A、(4,0,2)E、(0,0,4)B,(4,4,2),(0,4,4)AE AB∴=-=-.设平面AEB的一个法向量为(1,,)n b c=,由n AEn AB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220b cb c-+=⎧⎨-+=⎩解得2,2b c==,(1,2,2)n∴=.………………………(9分)设线段AD上存在一点(,4,0)M t t-,其中04t≤≤,则(,4,4)BM t t=--,cos,||3n BMn BMn BM⋅===⋅⨯依题意:6cos,n BM=18=,可得2280t t+-=,解得2,4t t==-或(舍去).所以AD上存在一点(2,2,0),1DMM ADMA=是的中点,.…………(13分)18.本题主要考查函数与导数等基本知识,考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力,考查应用意识. 满分13分.解:(Ⅰ)依题意,销售价提高后为6000(1+x )元/台,月销售量为2(1)a x -台……………(2分) 则[]2(1)6000(1)4500y a x x =-+- ……………………(4分)即321500(441)(01)y a x x x x =--++<<. ……………………(6分)(Ⅱ)21500(1224)y a x x '=--+令0y '=,得2620x x +-=,解得12,(23x x ==-舍去). ……………………(9分) 当10,0;2x y '<<>时 当11,0.2x y '<<<时当12x =时,y 取得最大值.此时销售价为3600090002⨯=元.答:笔记本电脑的销售价为9000元时,电脑企业的月利润最大.…………………(13分) 19.本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分解:(Ⅰ)因为椭圆C 的一个焦点是(1,0),所以半焦距c =1.因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以12c a =,解得2, 3.a b == 所以椭圆的标准方程为22143x y +=. …(4分) (Ⅱ)(i )设直线l :4x my =+与22143x y +=联立并消去x 得:22(34)24360m y my +++=.记11,A x y (),22,B x y (),1222434my y m -+=+, 1223634y y m =+. ……………(5分) 由A 关于x 轴的对称点为1A ,得111(,)A x y -,A 1yxQB根据题设条件设定点为T (t ,0), 得1TB TA k k =,即2121y yx t t x =--. 所以212121121212(4)(4)x y y x my y my y t y y y y ++++==++121224431my y y y =+=-=+即定点T (1 , 0). ……………………………………(8分) (ii )由(i )中判别式0∆>,解得2m >.可知直线1A B 过定点T (1,0). 所以1212111|()|||22OA B S OT y y y y ∆=--=+ ……………(10分) 得121244||42433OA B m S m m m∆==++, 令||t m =记4()3t t t ϕ=+,得/24()13t tϕ=-,当2t >时,/()0t ϕ>. 4()3t t tϕ=+在(2 , )+∞上为增函数. 所以43m m +28233>+= , 得1330482OA B S ∆<<⨯=. 故△OA 1B 的面积取值范围是3(0 , )2. ……………(13分)20. 本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识,考查运用合理的推理证明解决问题的方法,考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分. 解:(Ⅰ)因为()ln(1)1xF x a x x =-++, 所以22(1)1()(1)1(1)x x a ax a F x x x x +---+'=-=+++. ………………(1分)(i )当0a =时,()0F x '>.(ii )当0a >时,由()0F x '=,得到11x a =-,知在1(1,)a a --上()0F x '>. (iii )当0a <时,由()0F x '=,得到11x a=-,知在(1,)-+∞上()0F x '>.综上,当0a ≤时,()F x 递增区间为(1,)-+∞;当0a >时, ()F x 递增区间为1(1,)aa--. ………………………………………(4分) (Ⅱ)(if ==,1=+1=,1(1)n n =+-=,即21n a n =. ……………………………………(6分)因为211)(1)222n n S n n n a ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦, 当1n =时,111S b ==, 当2n ≥时,11n n n b S S n -=-=,所以*1()n b n n N =+∈. ……………………………(8分)又因为46112b b +=+=,所以令*2()t b t N =∈,则21=+得到102t =+与*t N ∈矛盾,所以46b b +不在数列{}n b 中. ………(9分) (ii )充分性:若存在整数1m ≥-,使1c md =.设,r t c c 为数列{}n c 中不同的两项,则111(1)(1)(2)r t c c c r d c t d c r m t d +=+-++-=+++-[]1(1)1c r m t d =+++--.又3r t +≥且1m ≥-,所以11r m t ++-≥.即r t c c +是数列{}n c 的第1r m t ++-项. ……………………(10分) 必要性:若数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项, 则1(1)s c c s d =+-,1(1)t c c t d =+-,(s ,t 为互不相同的正整数) 则12(2)s t c c c s t d +=++-,令s t l c c c +=,得到112(2)(1)c s t d c l d ++-=+- *(,,)n t s N ∈,所以1(1)c l s t d =--+,令整数1m l s t =--+,所以1c md =. ……(11 分) 下证整数1m ≥-若设整数1,m <-则2m -≥.令k m =-, 由题设取1,k c c 使1(1)k r c c c r +=≥即111(1)(1)c c k d c r d ++-=+-,所以(1)(1)md m d r d +--=- 即0rd =与1,0r d ≥≠相矛盾,所以1m ≥-.综上, 数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项的充要条件是存在整数1m ≥-,使1c md =. ……………………(14分)21. (1)本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识,考查运算求解能力, 满分7分.解:2222M -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ,即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以cos sin 1,sin cos 1,αααα-=-⎧⎨+=⎩ 得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩ ……………………(4分)即M=01⎛ ⎝ 10-⎫⎪⎭ ,由11001M M -⎛⎫=⎪⎝⎭得101M -⎛= -⎝ 10⎫⎪⎭. 或0det 1M =10-=10≠ , 101M -⎛∴= -⎝ 10⎫⎪⎭. ……………………(7分) (2)本题主要考查圆极坐标方程和直线参数方程等基本知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想. 满分7分. 解:曲线C 的极坐标方程4sin ρθ=可化为24sin ρρθ=,其直角坐标方程为2240x y y +-=,即22(2)4x y +-=. ……………(2分)直线l 的方程为40x y --=.所以,圆心到直线l 的距离d ==……………………(5分)所以,PQ 的最小值为2. …………………………(7分) (3)本题主要考查柯西不等式与不等式解法等基本知识,考查化归与转化思想. 满分7分. 解:由柯西不等式:22222221111(2)(3)1()()(23)2323x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++≥+⨯+⨯⎣⎦⎢⎥⎣⎦. …………(3分)第11页 共11页 因为22249(0),x y z a a ++=> 所以249()36a x y z ≥++,即x y z ≤++≤因为x y z ++的最大值是7,所以76=,得36a =, 当3694,,777x y z ===时,x y z ++取最大值, 所以36a =. ………………………………………(7分)。

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