上海理工大学高数试卷_A1_1
上海理工大学附属中学高一数学上学期期末考试试题(无
上理工附中2015学年第一学期高一数学期终考试2016.01一、填空题：（每题4分，共40分）1． 已知全集{}0,1,2U =，{}0=-=m x x A ，如果{}0,1U A =ð，则=m ______； 2．若函数()31x f x =-的反函数为()x f 1-，则()=-11f _______________；3．设()x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()=1f _______________；4．已知01x <<，则(1)x x -的最大值是____________；5．若函数()f x 的图像经过()0,1点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点________；6．已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则()()22f a f b +=____________；7．函数32-+=x x y 的值域为_______________； 8．函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的单调递增区间为_______________； 9．设a 是实数，若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则函数()f x 的单调递增区间为_______________；10．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是____________；二、选择题： （每题3分，共12分）11．“3>x ”是“03>-x ”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件12．下列幂函数中，定义域是R 且又是奇函数的是 （ ）（A ）32y x = （B ）23y x = （C ）13y x-= （D ）13y x =13．若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ ）（A ）||2||ab b a ≥+ （B ）2≥+ba ab （C ）()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭ （D ）22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭14．若0x 是方程1312x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 属于区间 （ ） （A ）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）12,23⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）10,3⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题：15．（本题满分8分）设集合{}2<-=a x x A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1212x x x B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．16．（本题满分8分）判断函数()211f x x =+在区间()0,1上的单调性，并用定义证明．17．（本题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）已知()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（1）求()1f 的值； （2）若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-<⎪⎝⎭．18．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-． （1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围； （2）求()()g x f x -的最大值．19．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系：()41012t f t -+=+.（设该生物出生时0t =）． （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值．。
上海市杨浦区上海理工大学附中2023届数学高一上期末统考试题含解析
13、5
【解析】直接求出集合A、B，再求出 ，即可得到答案.
【详解】因为集合 ，集合 ，
所以 ，
所以 的元素个数为5.
故答案为：5.
14、
【解析】 当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，
不合题意.若 ，则 ，故 ，检验知符合题意
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
故选：C.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】先求出 ，再结合二次函数的内容求解.
【详解】由 得 ， ，
故当 时，有最小值 ，当 时，有最大值 .
故答案为： .
12、
【解析】观察函数 的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式
【详解】令 ，则 ，得 ，即函数 的图像关于 中心对称，且 单调递增，不等式 可化为 ，即 ，得 ，解集为
10．规定从甲地到乙地通话 min的电话费由 (元)决定，其中 >0，[ ]是大于或等于 的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为( )元
A.4.8B.5.2
C.5.6D.6
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
上海理工大学高数期末复习试题
释 疑 解 难（第七章）（第七章）一、求垂直于平面0=z 且通过点)1,1,1(0-M 到直线îíì==+-001:x z y L 垂线的平垂线的平 面方程。
面方程。
解：解：直线L 的方向向量}1,1,0{--=l，过点0M 与直线L 的平面N 的方程的方程 0)1()1(=--+-z y ，即0=+z y解方程组ïîïíì=+==+-0001z y x z y ，得直线L 与平面N 的交点)21,21,0(1-M 由题意，设所求平面方程为0=++D By Ax ，将0M 、1M 坐标代入，得坐标代入，得ïîïíì=+-=+-02D B D B A ，解得D A =，D B 2=，所求的平面方程为：012=++y x 。
二、证明两直线二、证明两直线231212-=-+=-z y x 与112111-=+=--z y x共面，并求该平面方程。
共面，并求该平面方程。
解：解：记)3,2,2(1-M ，}2,1,1{1-=l ，)1,1,1(2-M ，}1,2,1{2-=l则}2,1,1{21--=M M∵0211121211)(2121=----=×´M M l l ∴两直线共面。
∴两直线共面。
取}1,3,5{21--=´=l l n则所求平面方程为则所求平面方程为0)3()2(3)2(5=-++---z y x ，即0135=--+z y x 。
三、求平面02122=++-z y x 与05247=-+z x 所成二面角的平分面方程。
所成二面角的平分面方程。
解：解：过两平面交线的平面束方程过两平面交线的平面束方程0)5247(2122=-++++-z x z y x l ，即，即0)521()242(2)71(=-+++-+l l l z y x其法向量}242,2,71{l l +-+=n，已知两平面法向量分别是，已知两平面法向量分别是}2,2,1{1-=n 与}24,0,7{2=n由题意知||||||||2211n n n n n n n n ×±=×，解得253±=l 所以所求平面方程为所以所求平面方程为025*******=++-z y x 和027011252=+--z y x 。
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷，解析版）(1)
2021年高考真题——文科数学（上海卷）解析版三．解答题（本大题共5题，总分值74分）1九、（此题总分值12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .（此题总分值14分）此题有2个小题，第一小题总分值6分，第二小题总分值1分。
设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( 若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；依照a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.（此题总分值14分）此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设AB 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角别离为βα和. 设计中CD 是铅垂方向，假设要求βα2≥，问CD 的长最多为多少（结果精准到米）？施工完成后.CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精准到米）？ （此题总分值16分）此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值7分。
在平面直角坐标系xOy 中，关于直线I ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），假设η<0，那么称点P 1，P 2被直线I 分隔，假设曲线C 与直线I 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1，P 2被直线I 分割，那么称直线I 为曲线C 的一条分隔线。
（1）求证：点A （1，2），B （-1,0）被直线x+y-1=0分隔；（2）假设直线y=kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线。
上海理工大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析
上海理工大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数x，y，m，n满足x2+y2=a，m2+n2=b，则mx+ny的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】利用三角换元，将其代入mx+ny中，由三角函数公式分析可得答案．【解答】解：由x2+y2=a，a≥0．∴令sinα=x，cosα=y，（0≤α＜2π）满足题意．由m2+n2=b，b≥0．∴令sinβ=m，cosβ=n，（0≤β＜2π）满足题意．则mx+ny=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α﹣β）．∵cos（α﹣β）的最大值为1．∴mx+ny的最大值为故选：B．2. 当时，，则下列大小关系正确的是（）A． B．C．D．参考答案：C略3. 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A．λ>1 B．λ<1 C．λ<－1 D．λ<－1或－1<λ<1参考答案：B略4. 已知且,则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．参考答案：5. 已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】压轴题．【分析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a 与b夹角是90°代入求解．【解答】解：∵=（2+3）（k﹣4）=2k+（3k﹣8）﹣12=0，又∵=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的6. 函数的零点所在的区间是( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．【点评】超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．7. 函数是（）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数参考答案：C略8. 已知直线l过点(1,2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（）A. B.C. 或D. 或参考答案：D【分析】根据题意，分直线l是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l的方程，即可得答案．【详解】根据题意，直线l分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点(1,2)，所求直线方程为，整理为，②当直线不过原点时，设直线l的方程为，代入点(1,2)的坐标得，解得，此时直线l的方程为，整理为．故直线l的方程为或.故选：D．【点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．9. 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A．B．C．D．参考答案：B由三角函数的定义可得．故选B．10. 函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意，函数f （x ）=x+lnx ﹣2在定义域上单调递增，再求端点函数值即可． 【解答】解：函数f （x ）=x+lnx ﹣2在定义域上单调递增， f （1）=1﹣2＜0， f （2）=2+ln2﹣2＞0，故函数f （x ）=x+lnx ﹣2的零点所在区间是（1，2）； 故选B ．【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数，则的解析式为_______________.参考答案：＝x -3 略 12. 若，则= ．参考答案：4037【考点】3T ：函数的值．【分析】先求出f（）+f （x ）=2，由此能求出的值．【解答】解：∵，∴f（）+f （x ）=+==2，∴=2018×2+f（1）=4036+=4037．故答案为：4037．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 13. 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，，那么x <0时，f (x )= ___参考答案：略14. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，若，则S n = ．参考答案：令，得，解得，当 时，由），得，两式相减得 整理得，且∴数列是首项为1公差为 的等差数列，可得所以15. 已知集合，试用列举法表示集合=参考答案：{2，4，5} 略16. 函数y=cos （x ﹣）（x∈[，π]）的最大值是 ，最小值是 ．参考答案：1，．【考点】三角函数的最值．【分析】根据x∈[，π]，算出x﹣∈[﹣，]，结合余弦函数的图象求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：∵x∈[，π]，可得x﹣∈[﹣，]，∴当x﹣=0时，即x=时，函数y=cos（x﹣）的最大值是1，当x﹣=，即x=时，函数y=cos（x﹣）的最小值是，故答案为：1，．17. 函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C ，如下结论中正确的是①图象C 关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f （x ）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x 的图角向右平移个单位长度可以得到图象C ．参考答案：①②③【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的对称性．【分析】把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．【解答】解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高考上海理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)每题填对得4分，否则一律得零分． 1．计算：311i-=+__________(i 为虚数单位)． 2．若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝__________. 3．函数 2 cos ()sin 1x f x x =-的值域是__________．4．若n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．5．在(x －2x)6的二项展开式中，常数项等于__________． 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim()n n V V V →∞+++=…__________.7．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________． 9．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝__________.10．如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角π6α=.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝__________.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．12．在平行四边形ABCD 中，π3A ∠=，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是__________． 13．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是__________．二、选择题(本大题共有4题，本大题满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．若1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－116．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定17．设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的概率也均为0.2.若记Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关18．设1πsin25n n a n =，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．25 B ．50 C ．75 D ．100A ．16B ．72C ．86D ．100三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD =P A ＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 20．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ，Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．23．对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{a|a ＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }．若对任意a 1∈Y ，存在a 2∈Y ，使得a 1·a 2＝0，则称X 具有性质P .例如{－1,1,2}具有性质P .(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质P ，求x 的值；(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；(3)若X 具有性质P ，且x 1＝1，x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．1．答案：1－2i解析：＝23i (3i)(1i)33i i i 12i 1i (1i)(1i)2-----+===-++-. 2．答案：{x |12-＜x ＜3}解析：A ＝{x |2x ＋1＞0}＝{x |x ＞12-}，B ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |12-＜x ＜3}．3．答案：[52-，32-]解析：f (x )＝2×(－1)－sin x cos x ＝－2－sin22x，∵sin2x ∈[－1,1]，∴f (x )∈[52-，32-]4．答案：arctan2解析：∵n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，∴v ＝(1,2)是直线l 的一个方向向量，∴l 的斜率为2，即倾斜角的大小为arctan2.5．答案：－160解析：(x －2x )6的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·(－2x )3＝－160. 6．答案：87解析：棱长是以1为首项、12为公比的等比数列，则体积V 1，V 2，…，V n 是以1为首项、18为公比的等比数列，所以V 1＋V 2＋…＋V n ＝11[1()]818[1()]17818n n ⋅-=⋅--， ∴128lim ()7n n V V V →∞+++=…. 7．答案：(－∞，1]解析：e ()e x a a x x a f x x a --⎧>=⎨<⎩，，，，当x ＞a 时f (x )单调递增，当x ＜a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.8．答案：3解析：如图，由题意知21π2π2l =， ∴l=2.又展开图为半圆，∴πl =2πr ， ∴r =121π33V r h ==. 9．答案：－1解析：令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 10．答案：1πsin()6θ- 解析：如图所示，根据正弦定理，有25π5πsin sin(π)66ρθ=--，∴1πsin()6ρθ=-.11．答案：23解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法222333C C C 27＝种，而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A 18＝种，故填23. 12．答案：[2,5] 解析：如图，设||||||||BM CN BC CD λ==，则λ∈[0,1]，AM ·AN ＝(AB ＋BM )·(AD ＋DN )＝(AB ＋λBC )·(AD ＋(λ－1)CD )＝AB ·AD ＋(λ－1)AB ·CD ＋λBC ·AD ＋λ(λ－1)BC ·CD ＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM ·AN ∈[2,5]． 13．答案：54解析：由题意110,0,2()11010,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则22110,0,2()11010,1,2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为1122210210d (1010)d x x x x x +-+⎰⎰＝323111010(5)213302x x x +-＝1011051015(5)()3834384⨯+---⨯=. 14．答案：23解析：如图：当AB =BD =AC =CD =a 时， 该棱锥的体积最大．作AM ⊥BC ，连接DM ，则BC ⊥平面ADM ，AM ，DM =.又AD =2c ，∴ADM S ∆=∴V D －ABC =V B －ADM +V C －ADM =2315B 由x 1＝1i ，知x 2＝1i.则x 1＋x 2＝2＝－b ，即b ＝－2；x 1x 2＝(1i)(1i)＝1－2i 2＝3＝c . 16． C 由正弦定理可知a 2＋b 2＜c 2，从而222cos 02a b c C ab+-=<， ∴C 为钝角，故该三角形为钝角三角形． 17． A Eξ1＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)233445511220.222222x x x x x x x x x xE ξ+++++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5) ∴Eξ1＝Eξ2，记Eξ1＝Eξ2＝a .则Dξ1＝0.2[(x 1－a )2＋(x 2－a )2＋(x 3－a )2＋(x 4－a )2＋(x 5－a )2] ＝0.2[x 12＋x 22＋x 32＋x 42＋x 52－2a (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5a 2] Dξ2＝0.2[(122x x +－a )2＋(232x x +－a )2＋(342x x +－a )2＋(452x x +－a )2＋(512x x +－a )2]＝0.2{14[(x 1＋x 2)2＋(x 2＋x 3)2＋(x 3＋x 4)2＋(x 4＋x 5)2＋(x 5＋x 1)2]－2a (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5a 2]}∴Dξ1－Dξ2＝0.2{x 12＋x 22＋x 32＋x 42＋x 52－14[(x 1＋x 2)2＋(x 2＋x 3)2＋(x 3＋x 4)2＋(x 4＋x 5)2＋(x 5＋x 1)2]}＝120[2x 12＋2x 22＋2x 32＋2x 42＋2x 52－(2x 1x 2＋2x 2x 3＋2x 3x 4＋2x 4x 5＋2x 5x 1] ∵10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ∴x 12＋x 22＞2x 1x 2 x 22＋x 32＞2x 2x 3 x 32＋x 42＞2x 3x 4 x 42＋x 52＞2x 4x 5 x 52＋x 12＞2x 5x 1∴2x 12＋2x 22＋2x 32＋2x 42＋2x 52＞2x 1x 2＋2x 2x 3＋2x 3x 4＋2x 4x 5＋2x 5x 1 ∴Dξ1－Dξ2＞0，即Dξ1＞Dξ2. 18． D ∵1sin π25n na n =，∴当n ≤24时，a n 均大于0，a 25＝0， ∴可知S 1，S 2，…，S 25均大于0.又2611261π1sin πsin 2625262526a a ==-=-， ∴S 26＝2526a 1＋a 2＋…＋a 25＞0，而272127122sin πsin π2725272527a a ==-=-，∴a 27＋a 2＞0.同理可得a 28＋a 3＞0，…，a 49＋a 24＞0，而a 51到a 74均为正项，a 75＝0，a 76到a 99均为负项，且|a 76|＜a 51，|a 77|＜a 52，…，|a 99|＜a 74，a 100＝0，故{S n }中前100项均为正数．19．解：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ． 又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ． 从而CD ⊥PD ．因为PD ==CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为122⨯⨯=(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (2,22,0)，E ,1)．AE ＝(1,2,1)，BC ＝(0,,0)．设AE 与BC 的夹角为θ，则cos 22AE BC AE BCθ⋅===⨯， π4θ=. 由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 解法二：取PB 中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角． 在△AEF中，由EF =AF =，AE ＝2，知△AEF 是等腰直角三角形． 所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 20．解：(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝22lg 1xx -+＜1，得1＜221x x -+＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，2133x -<<. 由11,2133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x -<<.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg 2]． 21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程21249y x =，得P 的纵坐标y P ＝3.由||AP =/时． 由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝7arctan 30，故救援船速度的方向为北偏东7arctan 30弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)．由vt = 整理得v 2＝144(t 2＋21t)＋337.因为t 2＋21t ≥2，当且仅当t ＝1时等号成立． 所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．22．解： (1)双曲线C 1：22112x y -=，左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y =.过点A与渐近线y =平行的直线方程为)2y x =+，即1y =+.解方程组,1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得41.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为1||||28S OA y == (2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因直线PQ 与已知圆相切，1=，即b 2＝2. 由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则122122,1.x x b x x b +=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝2， 则O 到直线MN的距离为3. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx (显然|k |＞2)， 则直线OM 的方程为1y x k =-. 由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以2221||4k ON k +=+. 同理2221||21k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以22222111333||||1k d OM ON k +=+==+，即3d =. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．23．解：(1)选取a 1＝(x,2)，Y 中与a 1垂直的元素必有形式(－1，b )． 所以x ＝2b ，从而x ＝4. (2)证明：取a 1＝(x 1，x 1)∈Y . 设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0.由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号． 因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一为－1，另一为1，故1∈X . 假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ≥x 1，矛盾； 若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾． 所以x 1＝1.(3)解法一：猜测x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n . 记A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }，k ＝2,3，…，n . 先证明：若A k ＋1具有性质P ，则A k 也具有性质P .任取a 1＝(s ，t )，s ，t ∈A k ，当s ，t 中出现－1时，显然有a 2满足a 1·a 2＝0； 当s ≠－1且t ≠－1时，则s ，t ≥1.因为A k ＋1具有性质P ，所以有a 2＝(s 1，t 1)，s 1，t 1∈A k ＋1，使得a 1·a 2＝0，从而s 1和t 1中有一个是－1，不妨设s 1＝－1.假设t 1∈A k ＋1且t 1∉A k ，则t 1＝x k ＋1.由(s ，t )·(－1，x k ＋1)＝0，得s ＝tx k ＋1≥x k ＋1，与s ∈A k 矛盾． 所以t 1∈A k ，从而A k 也具有性质P .现用数学归纳法证明：x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n . 当n ＝2时，结论显然成立；假设n ＝k 时， A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }有性质P ， 则x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，k ；当n ＝k ＋1时，若A k ＋1＝{－1,1，x 2，…，x k ，x k ＋1}有性质P ，则A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }也有性质P ，所以A k ＋1＝{－1,1，q ，…，q k －1，x k ＋1}．取a 1＝(x k ＋1，q )，并设a 2＝(s ，t )满足a 1·a 2＝0.由此可得s ＝－1或t ＝－1.若t ＝－1，则x k ＋1＝q s≤q ，不可能； 所以s ＝－1，x k ＋1＝qt ≤q k 且x k ＋1＞q k －1，所以x k ＋1＝q k .综上所述，x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n .解法二：设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于1212s t t s =-. 记),,||||s B s X t X s t t ={∈∈>}，则数集X 具有性质P ，当且仅当数集B 关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数． 由于1221n n n n n n x x x x x x x x --<<<<…，已有n －1个数，对以下三角数阵 1221n n n n n n x x x x x x x x --<<<< (111231)n n n n n x x x x x x -----<<<… ……21x x 注意到12111n n x x x x x x ->>>…，所以12121n n n n x x x x x x ---===…，从而数列的通项为x k ＝x 1(21x x )k －1＝q k －1，k ＝1，2，…，n .。
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．33．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 5．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的()条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．411．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
《高等数学》(上理工) 试卷A
华南理工大学 广州汽车学院 2008——2009学年度第一学期期末考试 《高等数学》（上册•理工类） 试卷A考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚，“序号”即交作业的序号，勿写学号；2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟；3．所有答案应直接写在试卷上。
一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．函数ln(1)y x =+的定义域是 。
2．设0sin 2lim 3x kx x→=，则常数k = 。
3．设y =dy = 。
4．不定积分2x dx xe ⎰= 。
5．反常积分 (0)a pI a dxx +∞=>⎰，当1p >时，I = 。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将正确选项的字母填在括号内）1．曲线ln y x x =在点(1,0)处的切线方程是 （ ） A ．(ln 1)(1)y x x =+- B ．1y x -= C ．1y x =- D ．(1)y x =--2．设||,0;()1,0,x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()f x 在0x =处 （ ）A ．0lim ()x f x →不存在 B ．'(0)f 存在C ．0lim ()x f x →存在，但()f x 在0x =处不连续D ．()f x 在0x =处连续，但不可导3．在区间[1,1] -上，不满足罗尔中值定理条件的是 （ ） A ．2()1x f x e =- B ．2()ln(1)f x x =+ C．()f x = D ．21()1f x x=+ 4．下列等式中，正确的是 （ ） A ．[()]()d f x dx f x =⎰ B ．[()]()df x dx f x dx dx=⎰ C ．()()df x f x =⎰ D ．' ()()f x dx f x C =+⎰5．设()f x 连续，且()sin xa f t dt x x =⎰，则()2f π= （ ）A ．sin cos x x x +B ．12π-C ．2πD ．1三．计算题（本大题共7小题，每小题7分， 共49分） 1．求极限 22sin 1lim (2)x x x ππ→--。
上海市理工大学附属中学高三数学上学期第一次月考试题
2015学年第一学期上理附中高三月考一数学（理科）一．填空题（每题4分，共56分） 1. 集合A={}13x x ≤≤，B={}x x a ≤,若AB I=A ，则a 的取值范围为_________2. 所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为_______________3. 022>+-kx kx 恒成立，则k 的取值范围是__________________.4．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，1(2)___________f -=则。
5．设11212,,,,,1,2,32332a ⎧⎫∈----⎨⎬⎩⎭，已知幂函数a x y =为偶函数，且在()+∞,0上递减，则a 的所有可能取值为____________. 6．函数()xf x a =()1,0≠>a a 在区间[]1,2上最大值比最小值大2a ，则a 的值为__7． 不等式1132x x +≥-的解集为______________ 8. 已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩的解集是关于x 的不等式2290x ax +-<解集的一个子集，则实数a 的取值范围为______________.9. 方程03|lg |=-+x x 实数解的个数________________ 10. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π，半径为6 cm 的扇形，则此圆锥的体积为___________．11．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数,已知(0,1)x ∈,()()12log 1f x x =-,则函数()f x 在(1,2)上的解析式是____________12. 如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，︒=∠90ABC ， BC BA =，球心O 到平面ABC 的距离是223，则B 、C 两点的 球面距离是 .13. 已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，x x f 21log )(=，则不等式2)(≤x f 的解集是____________.14. 试用列举法表示集合21,133x M x x R x Z x x ⎧+⎫=∈>-∈⎨⎬-+⎩⎭且__________________ ·A BCO二．选择题（每题4分，共16分）15. 对于定义在R 上的函数)(x f ， “0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的（ ） （A ）仅充分条件（B ）仅必要条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件16.从空间一点出发的三条射线,,PA PB PC 均成60︒角， 则二面角B PA C --的大小为 ( )（A ）3π (B) 2π (C) 1arcsin 3 （D ）1arccos 317.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ,若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同的实数解，则b c +值为 （ ）（A ）0 (B) 1 (C) 1- （D ）不能确定 18.某同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+ 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立；②函数()f x 的值域为 (－1,1)；③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点.其中正确结论的个数为 ( ) (A)．1个 (B)．2个 (C)．3个 (D)．4个 三 .解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分） 19.已知,a b R ∈, 求证: 220a ab b -+≥20.设A={}{}1,(1),1,x x a a B y y x x A -≤≤>-==+∈.{}2,C y y x x A ==∈，若 B=C ，求a 的值21. 如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，异面直线1A B 与11B C 所成角的大小为5arccos. （1）求侧棱1AA 的长。
2015-2016-上海理工大学高数A1-期中考试 - 答案
一、填空题：(每空 3 分，共 18 分) 1. lim
cos n n 2n 1
0
.
2
( lim
1 0 ， cos n 有界，无穷小乘以有界函数为无穷小) n 2n 1
2
阶无穷小. ( x 0 ， sin(sin x ) sin x x )
4
(端点处连续可导必须利用定义)
1
又 f (0 ) lim f ( x) lim x e x 0 ， f (0) 0 ， f ( x) 0 ， f (0 ) lim
x 0 x 0 x 0
则 f ( x) 在 x 0 处连续, 进而 f ( x) 在 ( , ) 上连续. 当 x 0 时， f ( x) 0 ；当 x 0 时， f ( x) 4 x e x x e x
2.
1 x sin x e x . (拆项后利用等价无穷小) lim x 0 ln(1 x 2 )
2 2 2
2
1 x sin x e x 1 x sin x 1 1 e x 1 x sin x 1 1 ex 解： lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 ln(1 x 2 ) x2 x2
3 4 1 1 1 1 2 x ； (4 1)e x x 2 x
1 x 4e x 0 00 3 x ， 当 x 0 时， f (0) lim f (0) lim lim x e 0 ，则 f (0) 0 0 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 2 (4 x 1)e x , x 0 故 f ( x) 在 ( , ) 上可导，且 f ( x) . 0, x0 六、(本题 12 分) 求内接于半径为 R 的球内体积最大的圆柱体的半径和高.
普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科数学试题及答案
2020年一般高等学校招生上海卷理工类数学试题一、填空(本大分 48分,每小4分)11.若tgα=,tg(α+)= .242.抛物的点坐(2,0),准方程x=－1,它的焦点坐.3.会合A={5,log2(a+3)},会合B={a,b}.若A∩B={2},A∪B= .1 84.等比数列{an }(n∈N)的公比q=－ ,且lim(a1+a3+a5+⋯+a2n-1)=,a1=.2 n 35.奇函数 f(x)的定域[-5,5].若当x∈[0,5] ,f(x)的象如右,不等式 f(x)<0的解是 . yy=f(x)6.已知点A(1, －2),若向量AB 与a={2,3}同向, AB=213, 点B 的坐.O25x7.在极坐系中,点M(4,)到直l:ρ(2cos θ+sin 的θ距)=4离3d= .8.心在直2x －y －7=0上的C 与y 交于两点A(0,-4),B(0,-2),C的方程.9.若在二式(x+1)10的睁开式中任取一,的系数奇数的概率是.(果用分数表示)10.若函数f(x)=axb2在[0,+∞)上增函数,数a 、b 的取范是.11.教材中“坐平面上的直”与“曲”两章内容体出分析几何的本是.12.若干个能独一确立一个数列的量称数列的“基本量”.{a n}是公比q的无等比数列,以下{an}的四量中,必定能成数列“基本量”的是第.(写出全部切合要求的号)①S 1与S2; ②a 2与S3; ③a 1与an; ④q 与an.此中n 大于1的整数,Sn{an}的前n 和.二、(本大分 16分,每小4分)13.在以下对于直 l 、m 与平面α、β的命中,真命是()若l β且α⊥β,l ⊥α.(B)若l ⊥β且α∥β,l ⊥α.若l ⊥β且α⊥β,l ∥α.(D)若α∩β=m 且l ∥m,l ∥α.14.三角方程2sin(-x)=1的解集()25(A){x │x=2kπ+,k∈Z}.(B){x│x=2kπ+,k∈Z}.33 (C){x │x=2kπ±,k∈Z}. (D){xK│x=kπ-1)+(,k∈Z}.315.若函数 y=f(x)的象可由函数y=lg(x+1)的象坐原点O 逆旋获得,2f(x)=( )-x(B)10x-x x(A)10-1.-1.(C)1-10.(D)1-10.16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的状况列表以下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来权衡该行业的就业状况,则依据表中数据,就业局势必定是()计算机行业好于化工行业.(B)建筑行业好于物流行业.(C)机械行业最紧张.(D)营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17.(此题满分12分)已知复数z1知足(1+i)z1=－1+5i,z2=a－2－i,此中i为虚数单位,a∈R,若z1z2<z1,求a的取值范围.18.(此题满分12分)某单位用木材制作以下图的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为多少(精准到0.001m)时用料最省?yx19.(此题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分记函数f(x)=2x3的定义域为A,g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.(1)x1求A；若BA,务实数a的取值范围.20.(此题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为极点且过点(1,1),反比率函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点距离8,f(x)=f1(x)+f2(x).求函数f(x)的表达式；明:当a>3,对于x的方程f(x)=f(a)有三个数解.21.(安分16分)第1小分4分,第2小分6分,第3小分6分如,P-ABC是底面1的正三棱,D、E、F分棱PA、PB、PC上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱P-ABC的棱和相等.(棱和是指多面体中全部棱的度之和)明：P-ABC正四周体；1(2)若PD=PA,求二面角D-BC-A的2大小；(果用反三角函数表示)棱台DEF-ABC的体V,是否存在体V且各棱均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有同样的棱和?若存在,详细结构出的一个直平行六面体,并出明；若不存在,明原因.22.(安分18分)第1小分6分,第2小分4分,第3小分8分P1(x1,y1), P1(x2,y2),⋯,P n(x n,y n)(n≥3,n∈N)是二次曲C上的点,且a1=OP12,a2=OP22,⋯,a n=OP n2组成了一个公差d(d≠0)的等差数列,此中O是坐原点.S n=a1+a2+⋯+a n.(1) 若C的方程x2y2=1,n=3.点P1(3,0)及S3=255,求点P3的坐；100 25(只要写出一个)x2y21(a>b>0).点P1(a,0),于定的自然数n,当公差d化,(2)若C的方程b2a2求S n的最小；.(3)定一条除外的二次曲C及C上的一点P1,于定的自然数n,写出切合条件的点P,⋯P存在的充要条件,并明原因.1,P2n符号意本卷所用符号等同于《教材》符号向量坐标a ={x,y}a =(x,y)正切 tgtan2004年一般高等学校招生上海卷理工类数学试题参照答案一、填空题(本大题满分48 分,每题4分)1.32.(5,0)3.{1,2,5}5.(－2,0)∪(2,5]6.(5,4)2 15229.410.a>0且b ≤07.58.(x －2)+(y+3)=51111.用代数的方法研究图形的几何性质 12.①、④ 二、选择题(本大题满分16分,每题4分)三、解答题(本大题满分86 分)17.【解】由题意得z 1= 1 5i =2+3i,1i于是z 1z 2=4a2i =(4a)24,z 1=13.(4 a)2 4< 13,得a 2－8a+7<0,1<a<7.18.【解】由题意得18 x 2 8 x(0<x<44=xy+ x 2=8,∴y=x 2).4x 4于定, 框架用料长度为l=2x+2y+2(2x )=( 3 + 2)x+ 16 ≥4 642 .2 2 x 当(316 ,即x=8－4 2时等号建立.2+2)x=x此时,x ≈2.343,y=22≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为时,用料最省.x 3x 1 19.【解】(1)2－1≥0,得≥0,x<－1或x ≥1x x 1即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2)由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1). ∵BA,∴2a ≥1或a+1≤－1,即a ≥1或a ≤－2,而a<1,2∴1≤a<1或a ≤－2,故当BA 时,实数a 的取值范围是21 (－∞,－2]∪[,1)220.【解】(1)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a=1,∴f 1(x)=x 2.k设f 2(x)=(k>0),它的图象与直线 y=x 的交点分别为xA(k , k )B(－ k ,－ k )由AB =8,得k=8,.∴f 2(x)=8.故f(x)=x 2+8.xxx【证法一】f(x)=f(a),得x 2+8=a 2+,a 882 28即=－x+a+.xa8和 在同一坐标系内作出f 2(x)=8xf 3(x)= －x 2+a 2+a的大概图象,此中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线 ,且位于第一、三象限的双曲线,f 3(x)与的图象是以(0,a 2 + 8 )为极点,张口向下的抛物线.a所以,f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点 , 即f(x)=f(a)有一个负数解 . 又∵f 2(2)=4,f 3(2)=－4+a 2+8a当a>3时,.f 3(2)－f 2(2)=a 2+8－8>0,a∴当a>3时,在第一象限 f 3(x)的图象上存在一点 (2,f(2))在f 2(x)图象的上方. ∴f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点 ,即f(x)=f(a)有两个正数解 . 所以,方程f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由 f(x)=f(a),得x 2+8=a 2+8,x a8即(x －a)(x+a －)=0,得方程的一个解x 1=a.ax方程x+a －8=0化为ax 2+a 2x －8=0,ax 4由a>3,△=a+32a>0,得a 2a 4 32aa 2 a 4 32a ,x 2=2a,x 3=2a∵x 2<0,x 3>0,∴x 1≠x≠x2,且x 23.a 2a 4 32a2a 432a 4若x 1=x 3,即a=,则3a=,a=4a,2a得a=0或a=34,这与a>3矛盾,∴x1≠x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.21.【证明】(1)∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,DE+EF+FD=PD+OE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC,DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P-ABC是正四周体.【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,3∴PM=AM=,由D是PA的中点,得2AD33sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.AM33(3)存在知足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.1,底面相邻两边夹角为α,设直平行六面体的棱长均为21则该六面体棱长和为sinα=V.6,体积为8∵正四周体P-ABC的体积是22,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 1212故结构棱长均为1,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即知足要求.2。
高等数学-理工科类2018级-试卷A
□2、设函数y = y(x)由方程ey + xy = e所确定，求y′′(0) .
(A)
(B)
图1
第 1 页（共 2 页）
□3、设f(x)二次可微，f(0) =
0, f ′(0)
=
1, f ′′(0) =
2,求lim
x→0
f(x)−x x2
.
□4、求不定积分∫ 1 dx . x(1+x)
□四、解答题(共 18 分) □1、设抛物线y = ax2 + ������������ + ������通过原点，且当x ∈ [0,1]时，y ≥ 0,试确定 a, b, c的值，使
9
□2、设f(x)在[a, b]上连续，在（a, b) 内可导，且f(b) = 0 ,试证至少存在一点ξ ∈ (a, b),
使得
f
′
(ξ)
+
f(ξ) (−a + ξ)
=
0. (9
分)
第 2 页（共 2 页）
(C) C[y1(x) + y2(x)]； (D) y1(x) + C[y1(x) + y2(x)]；
□三、计算题(每题 7 分，共 42 分) □1、求极限 lim (2x−1)x.
x→∞ 2x+1
1、下列论述正确的是
.
(A) 驻点必是极值点；
(B) 极值点必是最值点；
(C) 可导的极值点必是驻点；
课程名称
高等数学 1
闭卷
适用专业年级
理工科类专业 2018 级
Ａ卷
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
题分 20 20 42 18
100
上海高考数学试卷与答案(理科)(K12教育文档)
上海高考数学试卷与答案(理科)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（上海高考数学试卷与答案(理科)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）一．填空题(本大题满分44分)1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -•-=的解是．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ,则x y •的最大值是．6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ．9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ①01≠+aa ;②2222)(b ab a b a ++=+; ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是．10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ,1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件:.（原点O 除11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点1C 1B1A外），直线OP 的倾斜角为θ弧度,记||OP d =．在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形为 二．选择题(本大题满分16分）12．已知a b ∈R ，,且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根,那么p q ，的值分别是（ )Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <,则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a <Ｂ．b a ab 22<Ｃ．ba ab 2211<Ｄ．b aa b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ )Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么,下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立 Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时,均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时,均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分) 16．（本题满分12分)如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -成角的大小（结果中,1,90===∠BC AC ACB．求直线B A 1与平面C C BB 11所用反三角函数值表示)．17．（本题满分14分)在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34％．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42％，到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95％）,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．(1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由;（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．20．(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…,1a a n =,即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如,由组合数组成的数列01mm m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1)设{}n b 是项数为7的“对称数列"，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ,114=b ．依次写出{}n b 的每一项；(2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k ）的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值?并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列"，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ,0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ,2A 和1B ，2B 分别是“果圆"与x ，y 轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形,“果圆”的方程;(2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；（3的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆"平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在,求出所有可能的k 值；若不存在,说明理由．答案要点一、填空题(第1题至第11题）1． {}34≠<x x x 且2． 32-3． ）（11≠-x x x 4．7log 3 5．1616． π7． 3.08．)3(122+=x y 9．②④ 10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题)题 号12131415答 案ACBD三、解答题（第16题至第21题）16．解法一: 由题意，可得体积1B1C上海高考数学试卷与答案(理科)(word 版可编辑修改)11111122ABCV CC S CC AC BC CC ====△，∴211==CC AA ．连接1BC ． 1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11,11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．52211=+=BC CC BC ，51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． 即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan． 解法二: 由题意，可得 体积11111122ABCV CC S CC AC BC CC ∆====，21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，，1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ,A 1与的夹角为ϕ, 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-，66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin ． 17．解: 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B , 10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得710=c ， ∴111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．上海高考数学试卷与答案(理科)(word 版可编辑修改)18．解：（1)由已知得2003,2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40,%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1)当0=a 时，2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．(2）解法一:设122x x <≤,22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121, 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，,即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ．a ∴的取值范围是(16]-∞，． 解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数，xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数．当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，∴数列{}n b 为25811852，，，，，，． (2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ,∴当13=k 时,12-k S 取得最大值． 12-k S 的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，； ②2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ． 对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ． 对于③，当2008m ≥时,2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时,2008S 3222009-+=-m m ． 对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-m m ．21． 解：（1） ()()012(0)00F c F F ，，，，,021211F F b F F ∴==，， 于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤． （2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222． 2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴,得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ．45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆"C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥,22221(0)y x x b c+=≤． 记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a c t x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩， 得122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述,当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此,在直线l 右侧,以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x ka b y 22-=上，即不在某一椭圆上．当0k时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海理)数学试题及答案
里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
y
=
12 49
x2
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
y P
援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t .
（1）当 t = 0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 O
x
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）
18．设 an
=
1 n
sin
n 25
，
Sn
= a1 + a2 + + an .
在 S1, S2,, S100中，正数的个数是
（
）
（A）25.
（B）50.
（C）75.
（D）100.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）[来源:学_科_网 ZP_X_X_K]
19．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，
函数 y = xf (x) (0 x 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为
.
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D 14．如图，AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.
若 AD=2c，且 AB+BD=AC+CD=2a，其中 a、c 为
（D） D1 与 D2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关.
18．设 an
=
1 n
sin
n 25
，
Sn
= a1 + a2 + + an .
在 S1, S2,, S100中，正数的个数是
上海理工大学高数试卷_A2_1
2. x 2 y 2 z 2 dv , 其中 是由 z
R2 x2 y 2 与 z x2 y 2
所围的区域. 3. L e sin y 4 y dx e cos y 4 dy ,其中 L 是圆 x 1 y 1上由
x x
n
2 n 1
1
五.(8 分).用拉格朗日乘数法求函数
f x, y, z xyz 在条件 x 2 y 2 z 2 a 2 下的最大值
( x 0, y 0, z 0 ).
六.(8 分) 将函数
1 f x (ln(1 x) ln(1 x)) 展开成 x 的幂级数. 4
3
z x 0,1,1
二.(7 分)化
1 0
dy
2 y y2 y
f x, y dx 为极坐标系下的二次积分.
三.计算下列各积分(每小题 7 分，共 28 分) 1.
a
D
2
1 d , 其中 D：由 y x, y 1 x 2 和 y x 所围的区域. 2 2 x y
e3 x 的通解.
七(8 分)求微分方程 y 6 y 9 y 八.(7 分)求直线
x 1 y z 1 在平面 x 2 y z 1 0 上的投影直线的方程. 2 1 1
附加题(每小题 10 分,共 20 分.不计入卷面总分) 1.借助幂级数展开式证明 Euler 公式:
sin( xy ) ( x , y )( 0 , 2 ) x
2 x
2.设 z x y ，求 dz . 3.已知 a (3,1,2),b (1,2,1) ，求 a b 和 | a b | . 4.设函数 z z x, y 由方程 z 3xyz 1 所确定，求
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五. （6 分）计算 I n 六. （8 分）设
0 x n e x dx .
xeห้องสมุดไป่ตู้ x , f x 1 , 4 x2
2
x0 2 x0
, 计算1 f x 3dx .
4
七. （8 分）求由抛物线 y 2 x , y x 围成的平面图形的面积，以及此图形绕 x 轴旋转而成
2 2
的立体体积. 八. （6 分）若 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，且 f a f b 0 ， 求证：存在一点 x0 a, b ，使 f x0 f x0 0 .
2
8. 设
f x x a x , x 在x a 处 连续，求f a .
x0
,
f x x 二. （8 分）设 f x 在 , 有连续的二阶导数， f 0 0, g x f 0
上海理工大学
第一学期《高等数学 A》试卷-1
编号 一 二 三 四 五 六 七 八
姓 名
得分 阅卷人 一. 计算下列各题.（48 分） 1. lim (csc x ).
x0
学 号
班 级
任 课 教 师
装 订 线 外 不 要 答 题 ， 装 订 线 内 不 要 写 姓 名 、 学 号 、 班 级 、 任 课 老 师 ， 违 者 试 卷 按
0
1 x
2. .
y ln( x 1 x 2 ) ,求 y 和 y .
y 1 xe y ，求
dy . dx
3.
4.
2
1
x
1 3 x dx .
2
5.
x 2 dx 0 x 2 1 .
6.
2
1
ln x dx x2
dy d2y x ln 1 t 2 7. 已知 ，求 与 . dx t 1 dx 2 t 1 y arctan t
求 g x ，并问 g x 在 ( , ) 是否连续？
x0
分 处 理
三. （8 分）求函数
f ( x) ( x 5)2 3 ( x 1)2
的单调区间和极值.
1
四. （8 分）当 x [
1 ,1] 时，证明： arctan x ln(1 x 2 ) ln 2 . 4 2