考研数学定理证明

显然, φ(x) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在开区间 (a , b) 可导, 且 φ(a) = φ(b) = F (b)f (a) − F (a)f (b) F (b) − F (a) f (b) − f (a) F (ξ) = 0 F (b) − F (a)
故 φ(x) 适合罗尔定理的条件，因此在 (b − a) 内至少有一点 ξ, 使 φ′(ξ) = f ′(ξ) − 由此得
a
故 F (x) 单调减少. 于是当 a ˆ [
a b
x
b 时, F (x)
2
0, 则 F (b) ˆ
a b 2
0. 即:
ˆ
a
f (x)g(x) d x]
b
f (x) d x ·
g 2(x) d x
6
11. 范德蒙行列式 1 x1 2 x1 . . . 1 x2 x2 2 . . . 1 x3 2 x3 . . .
a x
f (t)g(t) d t] −
2
ˆ
a
x
f (t) d t ·
2
ˆ
a
x
g 2(t) d t
则 F (a) = 0. 当 a x b 时, ˆ x ˆ x ˆ x ′( ) 2 2 2 F x =2 f (t)g(t) d t · f (x)g(x) − f (x) · g (t) d t − g (x) · f 2(t) d t a a ˆa x {[f (x)g(t)]2 − 2 f (t)g(t)f (x)g(x) + [f (t)g(x)]2} d t =− ˆa x [f (x)g(t) − f (t)g(x)]2 d t 0 =−
′ ′
u(x + ∆ x) u(x) − v(x + ∆ x) v(x) = lim ∆ x →0 ∆x u(x + ∆ x)v(x) − u(x)v(x + ∆ x) = lim ∆ x →0 v(x + ∆ x)v(x)∆ x [u(x + ∆ x) − u(x)]v(x) − u(x)[v(x + ∆ x) − v(x)] = lim ∆ x →0 v(x + ∆ x)v(x)∆ x v(x + ∆ x) − v(x) u(x + ∆ x) − u(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = lim ( ) ( ) ∆ x →0 v x + ∆x v x ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x −u x v x = v2(x)
f (x0 + ∆ x) − f (x0) ∆x
f (x0 + ∆ x) − f (x0) 0 ∆x 根据函数 f (x) 在 x0 可导的条件及极限的保号性，便得到
′( ) f ′(x0) = f+ x0 = lim+
∆ x →0
f (x0 + ∆ x) − f (x0) ∆x f (x0 + ∆ x) − f (x0) ∆x
2
6. 拉格朗日中值定理: 如果函数 f (x) 满足 (1) 在闭区间 [a , b] 上连续; (2) 在开区间 (a , b) 可导, 那么在 (a , b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b), 使等式 f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a) 成立 证: 引进辅助函数 f (b) − f (a) (x − a) b− a 则 φ(a) = φ(b) = 0, φ(x) 在闭区间在闭区间 [a , b] 上连续, 在开区间 (a , b) 可导, 根据 罗尔定理，可知在 (a , b) 内至少有一点 ξ 使 φ′(x) = 0, 即 φ(x) = f (x) − f (a) − φ′(ξ) = f ′(ξ) − 或引进辅助函数 F (x) = f (x) − f (b) − f (a) =0 b− a f (b) − f (a) x b− a
f (b) − f (a) f ′(ξ) = ′ F (b) − F (a) F (ξ)
4
8. 定积分中值定理: 如果函数 f (x) 在积分区间 [a , b] 上连续, 则在 [a , b] 上至少存在一 个点 ξ, 使下式成立: ˆ b f (x) d x = f (ξ)(b − a) (a ξ b)
a
也是 f (x) 的一个原函数. 于是这两个原函数之差 F (x) − Φ(x) 在 [a , b] 上必定是某一 个常数 C, 即 F (x) − Φ(x) = C (a x b) 在上式中令ˆx = a, 得 F (a) − Φ(a) = C, 可知 Φ(a) = 0, 因此, F (a) = C, 以 F (a) 代入 x 上式 C, 以 f (t) d t 代入上式中的 Φ(x), 可得
Dn =
··· ··· ···
1 x n − x1 x n(x n − x1) . . .
n−2( n−2( 0 x2 x 2 − x1) x3 x3 − x1) · · ·
n−2( xn x n − x1)
按列提出公因式 (x i − 1), 得: 1 x1 2 x1 . . . 1 x2 x2 2 . . . 1 x3 2 x3 . . .
0 0
′( ) f ′(x0) = f− x0 = lim−
∆ x →0
所以,f ′(x0) = 0. 5. 罗尔定理: 如果函数 f (x) 满足 (1) 在闭区间 [a , b] 上连续; (2) 在开区间 (a , b) 上可导;
(3) 在区间端点处的函数值相等, 即 f (a) = f (b), 那么在 (a , b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b), 使得 f ′(ξ) = 0 证: 由于 f (x) 在闭区间 [a , b] 上连续, 根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理,f (x) 在闭区间 [a , b] 上必定取得它的最大值 M 和最小值 m. 这样, 只有两种可能情形: (1) M = m. 这时 f (x) 在闭区间 [a , b] 上必然取相同的数值 M : f (x) = M . 由 此,∀ x ∈ (a , b), 有 f ′(x) = 0. 因此, 任取 ξ ∈ (a , b), 有 f ′(ξ) = 0. (2) M > m. 因为 f (a) = f (b), 所以 M 和 m 这两个数中至少有一个不等于 f (x) 在 区间 [a , b] 的端点处的函数值. 为确定起见, 不妨设 M ̸= f (a), 那么必定在开区间 (a , b) 内有一点 ξ 使 f (ξ) = M . 因此, ∀ x ∈ [a , b], 有 f (x) f (ξ), 从而由费马引 理可知 f ′(ξ) = 0.
∵ F (a) = F (b) =
bf (a) − af (b) b− a ( ) f b − f (a) ∴ F ′(ξ) = f ′(ξ) − = 0 (a < ξ < b) b− a
3
7. 柯西中值定理: 如果函数 f (x)、 F (x) 满足 (1) 在闭区间 [a , b] 上连续; (2) 在开区间 (a , b) 可导; (3) 对任一 x ∈ (a , b), F ′(x) ̸= 0 那么在 (a , b) 内只要有一点 ξ, 使等式 f (b) − f (a) f ′(ξ) = ′ F (b) − F (a) F (ξ) 成立. 证: 首先注意到 F (b) − F (a) ̸= 0, 这是由于 F (b) − F (a) = F ′(η)(b − a) 其中 a < η < b, 根据假定 F ′(η) ̸= 0, 又 b − a ̸= 0, 所以 F (b) − F (a) ̸= 0 设辅助函数 φ(x) = f (x) − f (b) − f (a) F (x) F (b) − F (a)
1
4. 费马引理: 设函数 f (x) 在点 x0 的某领域 U(x0) 内有定义, 并且在 x0 处可导, 如果对任 意的 x ∈ U(x0). 有 f (x) f (x0) (或f (x) f (x0)) 那么 f ′(x0) = 0. 证: 不妨设 x ∈ U(x0) 时,f (x) ∆ x ∈ U(x0), 有 从而当 ∆ x > 0 时, 当 ∆ x < 0 时, f (x0)(如果 f (x) f (x0 + ∆ x) f (x0), 可类似证明). 于是, 对于 x0 + f (x0) 0
1. 证: [u(x) ± v(x)] [u(x + ∆ x) ± v(x + ∆ x)] − [u(x) ± v(x)] = lim ∆ x →0 ∆x u(x + ∆ x) − u(x) v(x + ∆ x) − v(x) = lim ± lim ∆ x →0 ∆ x →0 ∆x ∆x ′( ) ′( ) =u x ±v x 2. 证: [u(x)v(x)]′ [u(x + ∆ x)v(x + ∆ x)] − [u(x)v(x)] = lim ∆ x →0 ∆x v(x + ∆ x) − v(x) u(x + ∆ x) − u(x) ] · v(x + ∆ x) + u(x) · = lim [ ∆ x →0 ∆x ∆x u(x + ∆ x) − u(x) v(x + ∆ x) − v(x) = lim · v(x + ∆ x) + u(x) · lim ∆ x →0 ∆ x →0 ∆x ∆x ′( ) ( ) ′ ( ) ( ) =u x v x +u x v x 3. 证: u(x) ] [ v(x)
a
证: 设 M 及 m 分别是函数 f (x) 在区间 [a , b] 上的最大值及最小值, 则 ˆ b m(b − a) f (x) d x M(b − a) (a < b)
a
将上式各除以 b − a, 得 m 这表明, 确定的数值 1 ˆ
b
1 b− a
ˆ
a
b
f (x) d x
M
f (x) d x 介于函数 f (x) 的最小值 m 及最大值 M 之间. b− a a 根据闭区间上连续函数的介值定理, 在 [a , b] 上至少存在一点 ξ, 使得函数 f (x) 在点 ξ 处的值与这个确定的数值相等, 即应 ˆ b 1 f (x) d x = f (ξ) (a ξ b) b− a a ˆ
a b
即
f (x) d x = f (ξ)(b − a) (a
ξ
b)
9. 微积分基本定理: 如果函数 F (x) 是连续函数 f (x) 在区间 [a , b] 上的一个原函数, 那么 ˆ b f (x) d x = F (b) − F (a)
a
证: 已知函数 F (x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数, 则积分上限函数 ˆ x f (t) d t Φ(x) =
= x 2 − x1
结论成立. 设对 n − 1 阶范德蒙行列式命题成立, 则对于 Dn, 依次将第 n − 1 行乘 − x1 加到第 n 行, 将 n − 2 行乘 − x1 加到第 n − 1 行, · · · , 将第 1 行乘 − x1 加到第 2 行, 得: 1 0 0 . . . 1 x 2 − x1 x 2(x 2 − x1) . . . 1 x3 − x1 x3(x3 − x1) . . .
n
Dn(x1 , x 2 , · · · , x n) = ∏(x i − x1)
i= 2
··· ··· ···
n−2 n−2 n−2 x1 x2 x3 ··· n
1 xn x2 n . . .
−2 xn n
= ∏(xi − x1) ·
i= 2
2 j <i n
∏
(x i − x j) =
1 j <i n
a
ˆ
a
x
f (t) d t = F (x) − F (a)
在上式中令 x = b 得证.
5
10. 柯西-施瓦兹不等式: 设 f (x), g(x) 在 [a , b] 上连续, 则: ˆ [
a b 2
ˆ
a来自百度文库
f (x)g(x) d x]
b
f (x) d x ·
2
ˆ
a
b
g 2(x) d x
证: 令: F (x) = [ ˆ
Dn(x1 , x 2 , · · · , x n) =
··· ··· ···
n−1 n−1 n−1 x1 x2 x3 ···
1 xn x2 n . . .
−1 xn n
=
证: 用第一数学归纳法. 当 n = 2 时, 有 D2 =
1 j <i n
∏
(x i − x j) (n
2)
1 1 x1 x 2