计算几何实验报告

1.计算几何实验报告2.实验目的用VC 语言实现任意多边形的Delaunay完全三角剖分算法。

3.实验内容在计算机三维曲面造型,有限元计算和模式识别等领域里,经常要解决平面多边形的三角剖分问题。

一方面三角剖分解决了几何数据存储的一致性;另一方面三角形是平面域的单纯形,具有许多特性和优点,是解决许多问题的基础,处理上也比较简单,例如可以很好的拟合复杂边界等。

Delaunay 三角剖分具有三角剖分最小内角为最大”的性质,能够进行任意多连通域有限网格的自动生成。

令P = { P1 , P2 , ⋯, PN}为平面域(R2 ) 上N 个离散点的集合,尽管有多种方法实现点集P 的三角剖分,但是俄国科学家Delaunay 在1934 年证明:必定存在且仅存在一种三角剖分(一般称为Delaunay 三角剖分) 算法,使得所有三角形的最小内角之和最大。

因此,Delaunay 三角剖分能够尽可能地避免病态三角形的出现。

一般情况下,一个完整的Voronoi 图有多个Voronoi 多边形组成,第i 个Voronoi 多边形的数学表达形式如下:Vi = {x ∈R2 : ‖x - Pi ‖≤‖x - Pi ‖,j = 1 , ⋯,n ;j ≠i} (1) 式中,i = 1 ,2 , ⋯,N , ‖x - Pi ‖表示平面域上点x 和节点Pi 之间的欧式距离。

从(1) 式可知,Voronoi 多边形Vi 内任意点x 到节点Pi 的距离比到点集P 中任何其他节点的距离更近,因此Vi 由节点Pi 和每个相邻节点的垂直平分线所形成的开式半平面的交集组成,故Vi 必为凸多边形。

一般情况下, Voronoi 图的一个顶点同时属于三个Voronoi 多边形,每个Voronoi 多边形内有且仅有一个节点。

连接三个共点的Voronoi 多边形分别对应的三个节点则形成一个Delaunay 三角形,所有这样的三角形的集合就是著名的Delaunay 三角剖分。

图l 给出了8 个节点的Delaunay 三角剖分及其对偶的Voronoi 图。

Delaunay 三角剖分的一个重要性质就是所谓的“空圆盘”性质:对于任意的Delaunay 三角形,其开式圆盘(即该三角形外接圆的内部区域) 不包含其他任何节点,所有Delaunay三角形互不重叠,且完整地覆盖整个问题域。

4.算法原理在实际问题中,任何二维图形总是有一个外环和若干个内环组成,并且任意两个环之间不会重叠。

对于自相交多边形或者有重叠的非自相交多边形,均可以将它们分解成若干个无重叠多边形。

整个算法如F :令多边形的边数为N ,第K 条边的起点序号为L Kl ,终点序号为L K2 ,此时不再有内环和外环的概念的区分。

(1) 若N = 3 ,则该多边形本身是一个三角形,剖分结束;否则令K= 1 ,转入(1) ;(2) 令K= K+ 1 ,若L K2不在有向线段L1l L l2 之左,转入(2) ;否则转入(3) ;(3) 判断当前多边形其余各边是否与线段L l1L K2或L l2L K2相交,若是,转入(2) ;否则,转入(4) ;(4) 保存节电L K2至候选节电列表中,若K =N ,转入(5) ;否则转入(2) ;(5) 首先,从候选节点列表中求出与节点L l1 ,L l2形成的外接圆最小的节点L O2 ,则节点L1l ,L l2和L O2必然构成一个有效的Delaunay 三角形; 其次,判断由节点L1l ,L l2和L O2构成的Delaunay 三角形中是否有候选节点存在。

如果有候选节点存在,则保存到新的候选节点列表,然后再从新的候选节点列表中重新选取与节点L1l和L12构成的Delaunay三角形的外接圆最小的节点L O2 ,然后在对当前多边形作如下的修正。

如果没有候选节点存在,则直接对当前多边形作如下的修正。

①若线段L1l L O2及L12L O2均不是当前多边形的边界线段, 则令N = N + 1 ,L N1 = L O2 ,L N2 =L12 ,L12 = L O2 ,转入(1) :②若线段L11L O2或(L12L O2) 是当前多边形的第m 条边界线段,而线段L12L O2 (或L11 = L O2 ) 不是当前多边形的边,则令L11 = L O2 (或L12 = L O2) ,L m1 = L N1 ,L m2 = L N2 ,N = N - 1 ,转入(1) ;③若线L11L O2及L12 = L O2分别是当前多边形的第m 条和第n 条边界线段,则将线段L11L12 ,第m 条和第n 条边从当前的多边形中删除,N = N 一3 ,转入(1)。

5.程序实现4.1数据结构为了便于对多边形和剖分后形成的三角形的管理,本文采用MFC 的CObList 类设计和管理链表。

本文设计了2 个单向链表其中点链表(CObList * m pNodeList) 负责管理多边形的节点,链上的每个结点记录多边形节点的索引号和平面坐标值。

三角形链表(CObList * m p TriList ) 负责管理剖分后的三角形,链上的每个结点记录了生成的三角形的索引号和构成该三角形的三个顶点的索引号。

点链表和三角形链表结点类的设计如下:点链表的结点类://点链表的结点类class CNode:public CObject{public:int index;//点索引号int x,y;//x，y坐标值bool out;//内外环int NO_in;//内环编号，外环为0，内环从1开始bool head;//是否环头bool tail;//是否环尾public:CNode(){index=0;x=0;y=0;out=TRUE;NO_in=0;head=FALSE;tail=FALSE;}//零初始化CNode(CNode *temp){index=temp->index;x=temp->x;y=temp->y;out=temp->out;NO_in=temp->NO_in;head=temp->head;tail=temp->tail;}CNode(CNode &n){index=n.index;x=n.x;y=n.y;out=n.out;NO_in=n.NO_in;head=n.head;tail=n.tail;}CNode& operator =(CNode n){index=n.index;x=n.x;y=n.y;out=n.out;NO_in=n.NO_in;head=n.head;tail=n.tail;return *this;}#ifdef _DEBUGvoid Dump( CDumpContext& dc ) const{//CObject::Dump( dc );dc << index;}#endif};三角形链结点类:class CTriange:public CObject{public:int index;//点索引号int L1,L2,L3;//三角形的三个点的索引号public:CTriange(){index=0;L1=0;L2=0;L3=0;}//零初始化CTriange(CTriange *temp){index=temp->index;L1=temp->L1;L2=temp->L2;L3=temp->L3;}CTriange(CTriange &t){index=t.index;L1=t.L1;L2=t.L2;L3=t.L3;}CTriange& operator =(CTriange t){index=t.index;L1=t.L1;L2=t.L1;L3=t.L3;return *this;}};同时整个算法的操作对象是多边形的边，为了使算法容易实现，设计了边链表类表示多边形的边，所有多边形的边都存储在边链表(CObList * mpEdgeList)中。

算法中对边的查找、插入、删除都是针对边链表的操作。

//边链表的边类class CEdge:public CObject{public:int index;//边索引号int L1,L2;//边的两个点的索引号public:CEdge(){index=0;L1=0;L2=0;}//零初始化CEdge(CEdge *temp){index=temp->index;L1=temp->L1;L2=temp->L2;}CEdge(CEdge &t){index=t.index;L1=t.L1;L2=t.L2;}CEdge& operator =(CEdge t){index=t.index;L1=t.L1;L2=t.L2;return *this;}#ifdef _DEBUGvoid Dump( CDumpContext& dc ) const{//CObject::Dump( dc );dc << index<<":"<<L1<<","<<L2;}#endif};为了便于Windows对话框窗口在窗口重绘时完成对GUI的重绘，设计了便于完成图形重绘的边链表类。

储存对话框上现存的每一条边的颜色和位置信息。

而点的位置信息储存在(CObList * mpNodeList)中。

//用来画图的边链表的边类class CEdge2:public CObject{public:int color;//边索引号int x1,y1,x2,y2;//边的两个点的坐标public:CEdge2(){color=1;x1=0;y1=0;x2=0;y2=0;}//零初始化CEdge2(CEdge2 *temp){color=temp->color;x1=temp->x1;y1=temp->y1;x2=temp->x2;y2=temp->y2;}CEdge2(CEdge2 &t){color=t.color;x1=t.x1;y1=t.y1;x2=t.x2;y2=t.y2;}CEdge2& operator =(CEdge2 t){color=t.color;x1=t.x1;y1=t.y1;x2=t.x2;y2=t.y2;return *this;}#ifdef _DEBUGvoid Dump( CDumpContext& dc ) const{//CObject::Dump( dc );dc << color<<":"<<x1<<","<<y1<<"->"<<x2<<","<<y2;}#endif};程序中再求外接圆半径时会用到直线的斜截式方程，设计直线类如下：//直线方程结构class CLine{public:double k; //斜率double b; //截距};4.2GUI设计本程序用vc6.0设计了基于对话框的绘图界面，使用GDI进行绘图操作，同时对用户各种不合法的输入进行了提示。