由渐开线函数未渐开线压力角的计算器方法

值， 是例 ２中的数值 ）： 口 ．＝ ０ ． ５ ２ １ ２ ３ ４ １ ６ Ｏ Ｎ Ｄ Ｒ Ｇ（ 显示Ｒ Ａ Ｄ） ０（ ０ ． ０ ５ ２ ９ ６ ７ ５ ８ １ ） 按 键程 序 与例 ｌ完 全 相 同， 只是 ０＝
ｘ ５＝ｉ ｎ Ｖ 厂
一
Ｍｉ ｎ ｛ Ｃ Ｏ Ｓ ｉ ｎ ｖ ｘ ÷
此 即求 方程 ｔ ａ ｎ — 一 ＝ ０的根。 应 用 牛顿迭代 法时， 须求 出上式 的一 阶
导 数：
ｆ ’ （ ） ＝ （ ｔ ａ ｎ 一 一 ） ：— — ； 一 一ｌ
ＣＯ
牛顿迭代 法 的几何 意义是，用 曲线Ｙ ＝
ｆ（ ｘ ） 上 的点Ｐ。（ 对应 近似 解 ｘ ｏ ） 处 的切 线来近似 代替 曲 缆 并求 切 线与ｘ 轴 的 交 点 ｘ１ 作为 方程 Ｙ＝ｆ （ ｘ） ＝ ０的近似 解。
ｏ ． ０ ５ ２ ９ ６ ７ ５ ８ １，（ 即圆弧中的数值）。只 要
写下 并默 记住 ０数值 ， 反 复按 动括带 号 中的 键， 不用输 人手册 数据， 亦 不用记 录 中间结
１＝ｉ ｎ ｖ ０］ （ 下例 ２结 靴 ９ 口 ５ １ ５ ２ ． ２ ６ “ ） 上列陧序 中＇Ｏ Ｎ 表示开机 按Ｄ Ｒ Ｇ 键
设计 参考
５ ７
将式 （ ５）求 得 的Ｘ－ 作 为式 （ ５） 中新 的Ｘ ｏ ， 这棒 便 可 以得 到 一系 列新 根 ｘ ２ ， ｘ ３ ，…… ｘ １ ，ｘ ， 故得 到迭代 公式为 ：
ｘ ＝Ｘ。 ｌ—ｆ （ｘ １） ｆ （ Ｘ ｎ １） （５ ‘ ）
专 ＞
￡ ｌ ｎ
一ｏ－ ４ ７ ０ ５８ ｓ
睡
募
现
，
性
橱 一
３ ６ ０ ｏ Ｐ￣
况 明 Ｕ
取 ｌ： ｚ＝０ ． ４ ７ ０ ６
例
编 制 由 ０求 的程 序
由无侧隙啮 台 方程 式
＝
为 了表 达方便， 列表如 — （ 见下页 ）
ｔ ｎ ｖ ＝ — 兰
： ： × — 。
用 十 进 位 和 六 十进 位 角 度 互 换 键 还 可 以用 常 用 的 度 分秒 角 度 表 示 。
按式 （ １ ２ ）进 行迭代 ，虽 然接键 次数较
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弱
设计 参考
机 械设 计＊ ｌ ９ Ｂ ｇ ６
顶高度 ｘ ：１ ， 齿 数ｚｔ ：ｚ ｚ ＝ ９。 求 不报切 表格 等大量 的重复 运算。把 这种 记 有数 据 的 的变位 齿轮 的各部 分 几何 尺 寸。 实例， 已验 算 通过 了的程 序记 录保 存下 来． 解： 由有 关公 式容易 算 出变位系 数 专 还 可 以供他 人应用 。 有 实例 数据 对他 人供使
求 。
程 序编好 后， 由 ８计算 ￣ １ ｔ ， 只用 ２ ｏ 、 ２ ｌ ２ ２ 三 句 即肯 得 到结果 。 若前后 两 次计算 的 ０ 值 相 差 不太， ｌ 句还 可 以省略 ， 输 人 ０值．
即可得 到 结果。 若 ０相 差很 大， 则 第２ ｌ 句不 能 省掉， 否 则计算器 会显 示错 误信号 “ Ｅ”， 运 算不 能进行。 这时 若 重新执行２ ０ 、２ １ 、２ ２ 三 句， 则 又恢 复正 常。 这个程 序 可 以取代 精 度很 高， 篇幅很 大 的渐 开线 函数表。
角度选用 弧 度制， 显 示器显 示ＲＡ 括带号 表 示重 复按键 的起 止位置 。 括带号 中的键每 按 一遍， 表 示迭代 一次。反 复迭代 ， 直到括 带 号 中倒 数第 二 键、 等号 “＝”后所 显 示 的 结果 ％ 不再 变化 为 止。 这时 瞩取数 键Ｍ Ｒ 取 出 ， 并 将弧 度角换算 成六 十进制 角 度。 为 了说 明其 应用 ， 下面给 出一个有 数据 的实 例。 例２ 用 齿 条插 刀加 工 变位 齿轮。 已知 模 数１ １ １ ＝１ ８ 毫米， 分 度圆压力 角 ：２ ０ 。 ， 齿
足 需要。
日Ｋ ＝ ｉ ｒ ｌ ｖ咏 ｔ ａｎ
‘１ ｊ
由 求
可查 表。 用 计算器 更容易
计算。 若 要求 求 ， 通 常 的做 法是 查 渐 开 线函 数表， 没有
ｉ ｎ ｖ 口Ｉ＜ ＜ ｉ ｎ ｖ 口２
目就
计算器 在 国 内 已相 当普 及。 如 果
多 项式
Ｐ１ （ ｘ＞ ＝ｆ （ ｏ ） ＋ｆ 。 （ ） （ ｘ ｏ ） （３ ）
来近 似。 因 此， ｆ （ ｘ 。 ） ＝ Ｏ在Ｐ ０ 附近 可 以 近 似 地 表 示为 ：
图 一 圆 的渐 开 线 图二 牛 顿 切 线 法 的 几 何 意 义 ｆ （ ０ ） ＋ ｆ （ｘ ０ ） （ｘ—ｘ ０ ： Ｏ （４ Ｊ
根 据式 （ 儿 ）和 （ ５）
０ ＝ ３ — 一
ｔ ａ ｎ％ 一
ｃ ｏｓ ２
而方程 的根为 曲线 与ｘ轴 的交点ｘ （准确
值 ）。
在迭 代 中， 只 要前后 两 次迭代 值 之 差 的 绝对值 不超 过允 许 的误 差 ｓ， 即
．
ｔ ａ ｒ Ｉ 一 １ ８
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５ ６ 一
设 计 参考
“ 机 械设 计 １ ９ ８ ９ ￣６
由 逝开
一、 引言
渐开线匡 的计算器方法
肖觉生 农 ，Ｈ１ ４｝ ５
：
ｃ ｏ ｓ
渐开线函数是渐开线齿幸 色 ｝ 的计算基础。
在 齿轮 传动 计 算 中， 一 开头 就要根据无 侧隙 啮 合方程式， 由渐开 线 函数计算 渐开线 压力 角。 这是 一个超 越 方程 ， 不能直接求 解。传 统 的查 表法 要依 赖 表 格，且 不精确， 不 能满
结果 存 人存贮器，供 下 一步 计算。
由式 【 １ ０ ） ｔ ｉ ＂ 【 ： ｏ ｔ ａ ｌ ｌ ￣ ＇ ０一 ｎ一 ０
ｃｏ ｎ
：０ ． ５ ２ ２ １ ５ ４ ９ ０ ９ 仿此 ：０ ． ５ ２ １ ２ ３ ６ １ １ ９，
＝ Ｏ ． ５ ２ １ ２ ３ ４ １ ６
三、 牛顿迭 代 法
迭 代 法 要求 迭 代 求 根 公式 收敛 ． 否 则 将
得 不 到结果。 而且， 实际迭代 时， 只 能迭 代 有 限次。尤其 是用 计算器反 复按键迭 代时， 次数 更不能 多。为 了节 省计 算 时 间和 按键 次 数， 要求 迭代公式 收敛 快 牛顿迭代 法 的收 敛 速 度平均 是线性 插值法 的两 倍， 收敛较 快， 设 已知方程 ｆ（ ｘ ） ＝ Ｏ的一个近似 根 为ｘ ｏ ， 则函数 在 ｘ ０ 附近 可 以用 其 一 阶泰 勒
ｔ ａ ｎ ＝
ｔ ． － 连续 运算， 式 （ ｉ ０ ）右 边 计算 的 结果
至式 （ １ ０ ） 出现 不变 结果或 右 边第 二项
ｌ ｔ ａ ｎ 一 ｌ 一
一
】 一
日
ｌ
．
ｌ
％一 ｎ ｌ ＿ ＜
（ ＜ １）
又 存 入 存 贮 器 中， 而 无 须记 录 中 间 结 果 。 直
ｔ ａ ｎ ＝ ＋ ÷ ＋ 击 ｎ 孤
＋ …… （ １ ｌ ＜ 吾
作为 齿廊 的渐开 线 的压力 角在０ ． ３ ４ ９ ｌ 弧 度 （ ２ ０ 。 ） 上 下， 通常 ＜ ｌ ， 所 略 去 ５ 次 以上的高 次 项得 ：
多， 但 却是 按同 样 的顺 序按同 样几 个镍 很 有规律， 按键时 颇 有 节奏感， 并不 觉得 繁舌 Ｌ 。 容易 适 应 现 以Ｃ Ａ Ｓ Ｉ Ｏ ｆ ｘ 一加 Ｏ型 函数计 算
器 为侧， 给 出一个 实 际 的按 键程序。 例 ｌ 已知 ， 求 口 写下 并默 记位 ０的数值 （ 圆括 弧 中的数
＿ ＿ｌ
ｘ １ ｎ—ｘ 札 一ｌ ｌ＜
则ｘ ｎ与方程 真 实 根 ｘ 的误 差就 不会超 过 ￡， 我们 就取 ｘ ＝ｘ ｎ 作 为 方程 的根。
＝
＝Ｌ
（ １ ０）
四、用计算器 由渐开线函数 求渐开 线压力 角
（ － ）压力 角初 始值 ｏ 的确定 初始 值选 择 恰 当， 可 以减少迭 代 次数。 由正切 函数 的幂级 数展开式 可知；
果． 当反 复迭代到 第 三 第 四 次， 。 和 口． 已出现 不变 的结果。 而 ． 只 是 加 上 １ × ｌ ０ 校 正值 。 口・ 即为 所求 的根。 笔者 实 算只 花 了—分钟。 上面 给 出 中间结果， 只是 为 了显 示 逐步逼 近 的情 形。 因此 解得： ： 口 ・ ＝２ ９ 。 ５ １ 。 ５ ２ ． ２ ６ ２） 应 用 简易可 编程 序 计 算器 计算 上述 问题如果 甩 可编程 序计 算器 计算， 则 更为 方便。 计算器 编程 容 易学。所 编程 序 即使 关机也 不 会抹掉． 特别 适用 于 编 制数据
一
ａ ｎ ＋ ｔ ｎ ｖ
＝０ ． ０５２ ９６ ７５ ８ｌ
正如 前 边所 述． 齿轮传 动计 算一 开头 就 要由 ０ 求 。 在 这里， 节圆压力 角 能否 求 出及其 精 度’ 决定 着齿轮 各部 分尺 寸 的计 算。 以下着 重显 示 已知 ＝ ０ ． ０ ５ ２ ９ ６ ７ ５ ８ １，
则 可根据线 性插值 法作 近似 计算
＝ 一 ＋— ｉ ｌ ｎ Ｖ 嘎
一
用 计算器 就能解 这个 方程 ， 对于 没有很 多机 会接触 计算 机而 正在 学 习齿轮传 动设 计 的学 生或一 般设 计人员 有时 需 要作 这种 小 型 计算， 是 一个 实用 的方法。
１
ｎＶ口Ｉ
（ ｚ
ｔ）
‘
此法 的缺点是： （ １ 必 须 查找 手册； （ ２ 结 果是 近似 的， 不能 满足 高精 度要求。
二、 渐开 线及 渐开线 函数
如 图 —， 将 一直 线ＫＢ 沿 一圆周 作 纯 滚 动， 直 线上任 一 点Ｋ 的轨 遗－ ＡＫ 称 为 圆 的渐 开 线 角 称 为 压力角， 角 称 为 展角 ， 又称为 压力 角的 渐开 线 函数， 记作 ｉ ｎ ｖ 。
（７ ）
’ ５
ｆ ｃ 。 ｓ 一
十 位 计 算器 ￡ ＝１ ０ 。 这 时 的 ｎ即为
所 以 日可 以写成近似 等 式
日 ＝ ｉ ｎ Ｖ ＝ ｔ ａ ｎ 一 吉 。 （ ８ ） 所 求
于是， 若 压力 角 的初 始 近似值 以 。 表 示＿ 则 ０ ＝ √ （ ９） （ － ） 已知 渐 开 线 函数值 ，求 压力 角
１） 用 函数计 算器 计 算 式 （ １ Ｏ ） 中， 为 已知 常数。 若 计 算器 有 多 个存贮器， 可将 值 存 入， 每 次迭代时
调 出。 若 计 算器 只 有 一个贮 贮器， 则写 下并 默 记住 口数值 （ 因为 多 次使 用 值 ．故 容 易
记 住 ）。 迭代时， 角度选 甩 弧 度制。将 上一 式 求 出的结果 一 － 存 人存 贮器 中 ，则式 （ １ ０ ）右 边 各项 中的 ｎ １ 可用 取 数锤［ Ｍ Ｒ
设ｆ （ ｘ ｏ 牟 Ｏ， 则方程 （ ４） 的解为 设 向径 为 ｒ ｘ ， 基 圆 半径为 ， 根据 渐开 线 的形成过程， 可得 渐 开线 的极 坐标方程 ；
ｆ ‘ ） （５
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机 械设计 １ ９ ８ ９ Ｎ ｏ ６