数学模型经典实例

参
数
人数 nk,教室距离 Lk,门宽 D. 速度v，间隔 d，疏散时间 Tk

模

型
T1=(n1d+L1)/v T2=(n2d+L1+L2+D )/v T12=(n2d+L1+L2+D )/v, (L2+D)(n1+1)d [(n1+ n2+1 )d+L1] /v, (L2+D)<(n1+1)d
d x F ma m 2 dt
2
例2：哥尼斯堡七桥问题
1736 Konigsberg Pregel Euler
数学模型
数学模型是架于数学与实际 问题之间的桥梁 在数学发展的进程中无时无 刻不留下数学模型的印记。

三. 数 学 模 型 的特征
1. 实践性：有实际背景，有 针对性。接受实践的检验。 2. 应用性：注意实际问题的 要求。强调模型的实用价值。 3. 综合性：数学知识的综合。 模型的综合。



增重率 g 对售猪时间 t 的影响. 重量 w(t)=200 + g t 净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t 最大值点 t = 5(13g–49)/(2g) g 4 4.5 t 1.875 5.28 5 8 5.5 6 10.23 12.08

均匀、匀速地撤出。

3.忽略列队的时间和第一个人到达
教室门口的时间。

4. 人体厚度相同w
继 续 讨 论



1. T=(nd+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3.令d=0, 则有T=L/v, 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!! 4.考虑厚度的影响 T=(n(d+w)+L)/v, 若vv*,d=0, 则 T* = (nw+L)/v* 最短 合理吗？





问题：求出售时间使净收益最高 令 P’(t)=0 则有 0.8 t - 2×0.05 t = 0 得 t=8 P(8)=130+0.8×8－0.05×82= 133.2 结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元



分析： 1. 结果对参数的敏感程度。 结论所依赖的参数 猪的初始重量w0， 猪的初始价格p0， 猪的饲养花费k， 猪重的增加速率g， 价格降低的速率r。
继续修改假设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔 均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达 教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 5. 速度与密度有关v=v（d）

模 型


T=（nd+L)/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d↗, 则v↗; 若d→,则 v=v*. 若d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的 速度 v*, 使得疏散的时间最短.


价格变化率 r 对售猪时间t 的影响. 价格 p(t)=0.65 – r t, 净收益 P(t) = (0.65-rt)(200+5t)-0.45t 最大值点 t = (7-500r)/(25r) r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 t 15 11.1 8.0 5.5 3.3



B C D E
1 9 3 6 A
2 5 7 8 10 4 B C D


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE


间隔场次数
A 1 2 2 B 0 2 2 C 4 1 0 D 0 0 1 E 1 1 1

问题:Leabharlann Baidu



若有带长 M1=51m，缠绕包扎上面的管 道。 多余的 60 cm 带子不打算裁掉。缠绕 时允许带子互相重叠一部分。 应该如何包扎这个管道？(计算结果精 确到0.001)
例2. 地面上的方桌 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四 个脚同时着地？ 假设： 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正 方形ABCD。 2.地面的起伏是连续变化的。 模型： 1. 如何用描述“桌子的四个脚同时着地”？ xA: A与地面的距离，xB、xC、xD。



将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对 改变量的形式更自然也更实用。 模型的参数灵敏度 如果r改变了△r，则的相对改变量为△r/r。 如果r改变了△r，导致t有△t的改变量， 则相对改变量的比值为 △t / t 比上△r / r 令△r→0，按照导数的定义，我们有
t r dt r r t dr t
称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r)。





对于我们的问题，有 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r) 在r=0.01 附近，t关于r的灵敏度为 S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5 价格变化率降低1%将导致时间延长3.5% 时间与增重量的关系 t = 5(13g–49)/(2g) 在 g=5 附近，t关于g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06 增重率增加1%将导致出售时间延长3%

参数估计
L=5m，D=2m，T=1s， v*=40km/h=1.1m/s 2 2 a=2.6m/s 2m/s .

结 论
S8(15)=9m, S9(15)=-9.1m 该路口最多通过八辆汽车

问题



1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型 是否正确。 10.位置,走向,车道数,时间。 绿灯时间,通过的车数(至少三次)。 数据不同的原因。 20.模型的假设与实际是否一致。 模型的参数与实际是否一致。 30. 模型的计算结果与观测结果是否一致？ 不一致时，为什么？如何修改模型。

四. 模 型 举 例




例 1. 管道包扎 问题：用带子包扎管道，使带子全 部包住管道，且用料最省。 假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工,包扎时不减断带子.

问题：用带子缠绕包扎管道，使带子全部 包住管道，且互不重叠。 参量、变量： W：带宽，C：截面周长，：倾斜角 模型（倾斜角模型）
2. 分析汽车开始以最高限速穿过路 口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量随时间 变化的数学模型。

例 4：人员疏散

建模分析意外事件发 生时建筑物内的人员 疏散所用的时间。
假

设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间 隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到 达教室门口的时间。
模型：
重量 w = w0+g t , 单价 p = p0 – r t , 总花费 C = k t , 总收益 R = p w 净收益的模型 P = R – C=(p0-rt)(w0+gt)-kt





参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445 P = R – C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t P(t) = 130 + 0.8t – 0.05 t2.
第一章 数学模型
一. 模

型
为了一定的目的， 人们对原型的一个 抽象
二. 数 学 模 型
•
通过抽象和化简，使 用数学语言，对实际问 题的一个近似描述，以 便于人们更深刻地认识 所研究的对象。
。例1：牛顿定律



假设： 1.物体为质点，忽略物体的大小和 形状。 2.没有阻力、摩擦力及其他外力。 令x(t)表示在t时刻物体的位置, 则




令 f(θ)= xA( θ ) + xC( θ ), g(θ)= xB( θ )+ xD( θ ) 则有 f(θ), g(θ)连续且 f(θ) g(θ)≡0. 桌子在位置 θ* 四脚落地,则有f(θ*) = 0, g(θ*) = 0. 若 f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则有 f(θ1) > 0, g(θ1) = 0 令 h(θ) = f(θ) - g(θ), 则有 h(θ) 连续 且 h(θ0) < 0, h(θ1) > 0.
例 3：交通路口红绿灯

十字路口绿灯亮15秒， 最多可以通过多少辆 汽车？
假设



1. 2. 3. 4.
车辆相同，从静止开始做匀加速动。 车距相同，启动延迟时间相等。 直行，不拐弯，单侧，单车道。 秩序良好，不堵车。

车长L，车距D，加速度a，启动延迟T 时间t，车位Sn（t）
模型

V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
问题
在上面的讨论中，证明如果 疏散队伍的速度是队列间隔的增 函数， 则存在有唯一的间隔d* 和速度 v*，使得疏散的时间最短。 如果有n=400，L=30m，w=0.2m, 求最优疏散方案。

例5. 赛程安排 五支球队在同一场地上进行单 循环比赛。共进行十场比赛。如何 安排赛程对各队来说都是公平的。
问题：
将例2 的假设1 改为“方桌的四 条腿等长，四脚连线呈平面长方 形”， 试构造数学模型证实结论同样成 立。
1.





2.小王早上8：00从A城出发于下午5：00到 达B城。 次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回 并于下午5：00准时到达A城。 试用数学模型说明A、B城之间定有一个位 置， 小王在往返A、B二城的途中于相同的时间 到达该位置。
问题：赛程如何做到公平安排？ 如何安排比赛的赛程，使相邻比 赛各队最小的间隔场次达到可能的 最大？



例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪， 在上一周猪每天增重约5磅。 五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65 美分/磅， 饲养每天需花费45美分。 求出售猪的最佳时间。 假设： 1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。 2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。 3. 猪饲养的花费每天不变。 4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。
1.停车位模型：Sn(0)=–(n-1)(L+D) 2.启动时间: tn =nT 3.行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2,t>tn 4.限速行驶: tn*=a/v*+tn Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tn–tn* )2+v*(t-tn*), t>tn* =Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*>t>tn = Sn(0) tn>t
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？ 定位：中心O位于坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 θ ：AC与X轴的夹 角。 θ0≦ θ ≦ θ0+ 900= θ1. xA( θ ) 表示在位置 θ 时，桌脚 A 与地面的距 离。 同样 xB( θ ), xC( θ ), xD( θ ).


讨论： 1. 实用么？ 2. 深刻么？
W Sin C

模型（截口模型）
OB C W
2
2
讨论 1. 实用性 2. 深入分析
例题

已知: 管长 L, 管粗 C, 带宽 W, 求带 长 M？ LC M C 2 W 2 W
若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm 则有 M= (30×0.5/0.3)+ 0.4 = 50.4(m)








变量和参量： 猪的重量w（磅）， 猪的饲养时间 t（天）， t 天内饲养猪的花费C（美元）， 猪的市场价格 p（美元/磅）， 售猪所获得的总收益R（美元）， 最终获得的净收益P（美元）。 猪的初始重量w0（磅）， 猪的日增重量 g（磅）， 出售价格（单价）的日减少量 r（美元）， 每天饲养猪的花费 k（美元）。
讨


论
1. 模型分析 ：T=(nd+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3. d ↘, 则T↘ . 令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!!
修 改 假 设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔