影响线及其应用

1
a
2
b
首先置临界荷载Fk在影响线顶点，然后 令其左移或右移，按上面一般判别式（94）、式（9-5），则可得三角形影响线适用的临界位置简化判别式。
F
a b F左 F右 FK a b
左
FK
F
右
(9 - 6)
图9-11
第五节 简支梁内力包络图及绝对最大弯矩
图9-12
二、简支梁的绝对最大弯矩
弯矩包络图是将各截面最大弯矩连成的曲线。弯矩包络图上的最大竖标 是整个梁上各截面中最大弯矩中的最大值，称之为绝对最大弯矩Mmax。 Mmax是考虑移动荷载作用时结构设计的重要依据。绝对最大弯矩发生 在跨中截面附近，通常不采用画弯矩图来确定Mmax，这种方法工作量 大，且精确度不高。
则有
S x Fi tan i
i 1
n
图9-10
一、移动集中荷载
3、由前分析可知，使S称为极大值临界位置，必须满足如下 条件：荷载自临界位置向右或向左移动时，△S值均应减 少或为零，即 由此可得：使S值为极大值时应满足 荷载稍向右移 ΣFitanαi≤0 （9-4） 荷载稍向左移 ΣFitanαi ≥0 同理：使S值为极小值时应满足 荷载稍向右移 ΣFitanαi ≥0 （9-5） 荷载稍向左移 ΣFitanαi ≤0 上述二式称为临界荷载位置的判别式。
By
l
l
上式两方程分别称为支座反力FAy和支座反 力FBy影响线方程。由影响线方程分别作量值 FAy和FBy的影响线，如图9-2b、c所示。
二、剪力影响线
用静力法作梁的剪力影响线仍需列出影响线方程。现作指定截面C 的剪力FQC的影响线。 如图9-3a所示，当F=1作用在C点以左或以右时，剪力FQC的影响系 数具有不同的表达式，应分别考虑。 当F=1作用于CB段时，其影响线方程为
梁上有固定的均布荷载作用时，也可利用影响线求量值。如图9-7a所示，此时可 将均布荷载分解为无数多个微小的集中荷载qdx。由式（9-1）知，微小的集 中荷载qdx对量值的影响为ds=qdxy，其中y表示影响线上与qdx对应的纵坐标， 如图9-7b所示。对此在mn区间积分即得均布荷载作用对量值的影响
S
三、弯矩影响线
作梁C截面的弯矩影响线方法步骤和剪力影响线基本相同。 当F=1在CB段移动时，取AC段为隔离体，由平衡条件∑MC=0，可得影响 线方程为 MC=FAya （a＜x≤l） 当F=1在AC段移动时，取CB段为隔离体，由平衡条件∑MC=0，可得影响 线方程为 MC=FByb （0≤x≤a） 依据影响线方程画出影响线图，如图9-3e所示。 由MC的影响线方程可见，AC段MC影响线的纵坐标是支座反力FBy影响线 纵坐标的b倍，CB 段MC影响线的纵坐标是支座反力FAy影响线的a倍。 因此，作AC段MC的影响线时，可以利用FBy影响线扩大b倍，然后保留其 中AC部分即为MC影响线的AC段； 作CB段MC的影响线时，利用FAy影响线扩大a倍，然后保留其中CB部分即 可，如图9-3e所示。 从图9-3e不难看出，MC影响线在C点的纵距为ab/l。 因此，MC影响线是一个顶在C的三角形，由图可以看出，当F=1作用于C 点时MC是最大值。 具体作法是：先画一基线，在C点作竖标ab/l,用直线连接基线两端，所得 三角形即为MC的影响线。
FQc FAy lx l
（a≤x≤l）
当F=1作用于AC段时，其影响线方程为
FQc FBy x l
（0≤x≤a）
由影响线方程分别画出FQC的影响线如图9-3d所示。 由影响线方程可以看出，CB段内，FQC的影响线与FAy的影响线相 同。而AC段内，FQC的影响线与FBy的影响线形状相同，但正负 号相反。 因此作CB段影响线时，可先作FAy的影响线，然后保留其中的CB 段。C点的竖距可按比例关系求得为b/l。 同理作AC段的影响线时，可先作FBy的影响线且画在基线下方，然 后保留其中的AC段。C点的竖距可按比例关系求得为-a/l。 可见在C截面FQC影响线有突变，突变值为单位力F=1。
图9-9
一、移动集中荷载
2、若移动集中荷载是一组荷载，最不利荷载位置时无法直接判断的。下面 以图9-10多边形影响线为例，说明最不利位置的确定方法。设图示为一 组集中荷载，荷载移动时其间距和数值不变。依据量值S的公式及叠加原 理有 S 1=F1y1 + F2y2 + … + Fnyn= ∑Fiyi 式中，F1、F2、…、Fn分别表示各区段荷载的合力，y1、y2、…、yn分别表 示各区段移动荷载的合力对应的影响线竖标。 如集中荷载组向右移动一距离△x,竖标增量为△y，则量值S将变为 S 2=F 1（y1+△y1）+ F 2（y 2+△y 2）+…F n（y n+△y n）= S 1+∑Fi△yi 令 △S=∑Fi△yi称为量值的增量 因 yi x tan i
第九章 影响线及其应用
第一节 概 述 第二节 用静力法绘制单跨静定梁影响线 第三节 用影响线求影响量值 第四节 最不利荷载位置的确定以及最大（最小）影响量值 的计算 第五节 简支梁内力包络图及绝对最大弯矩
第一节 概 述
在进行结构设计时，需要考虑移动荷载的作用， 为叙述方便，我们把反力、内力、位移等量 称为量值。结构在移动荷载作用下各量值都 随荷载位置的移动而变化，如图9-1所示简 支梁，汽车荷载自左向右移动时，梁的支座 反力和各截面内力都将随荷载位置的变化而 变化，支反力FAy逐渐变小，而FBy逐渐变大。 工程实际中为研究方便起见，先研究一个方向不变的定向单位移动荷载 F=1对结构某量值的影响，再由叠加原理进一步研究实际移动荷载对该 量值的影响。 当一个定向单位荷载沿结构移动时，表示某量值规律的函数图形，称为 该量值的影响线。
M x FAy x M k FR (l x a ) x Mk l
式中，MK表示FK以左梁上所有荷载对FK作用点的力矩之和，当梁上移动荷载的 数量不变时，合力FK和MK均为常数。 为求Mx的极值 令 dM x FR （9-7） (l a 2 x) 0
dx源自文库
由此可得最大弯矩的位置
Mc影响线和M图比较
值得注意的是，弯矩影响线与集中永久荷载作用下梁的弯 矩图在外形上有相似之处，但它们的意义有本质的区别。 图9-4a为Mc影响线，图9-4b为M图，它们都是三角形，但 意义不同，见表9－1。
表9－1：Mc影响线和M图比较
M图
Mc影响线
荷载 位置 图形
F=1无单位 荷载位置移动 描绘固定截面弯矩变化规律
这表明，当FK与合力FR对称于梁的中点时，FK上下截面的弯矩达到最大值。则 最大弯矩为
第二节 用静力法绘制单跨静定梁影响线
用静力法作单跨静定梁支座反力及内力的影响线，其方法是: 1、先选取坐标系，将单位荷载布置在梁的任意x位置。 2、根据静力平衡方程建立所研究量值与x之间的影响线方程； 3、再由影响线方程绘制量值影响线。 一、支座反力的影响线 图9-2a所示为一简支梁AB，当单位竖向荷载F=1在梁上移动时，试讨论支座反力 FAy、FBy的变化规律。 取A点为支座原点，建立xAy坐标系，将移动荷载F=1暂固定在x位置，由平衡方 程可求出支座反力 lx lx FAy F （0≤x≤l） l l x x （0≤x≤l） F F
下面介绍一种解析法，以求最大弯矩值。在移动荷载作 用下确定最大弯矩，需要知道绝对最大弯矩发生的位置 和发生绝对最大弯矩的最不利荷载位置，即有两个因素 影响简支梁的绝对最大弯矩。由于梁的弯矩图的顶点总 是集中荷载作用处，可以断定Mmax必发生在某集中荷载 作用下，计算时，可在移动荷载中假定某一荷载为临界 荷载Fk，可用求弯矩极值的方法确定产生相对最大 弯矩的截面位置。
设计移动荷载作用下的简支梁时，需要知道各截面的内力最大值。反映全梁 各截面可能产生内力最大值范围的图形称为简支梁的内力包络图。 绘制简支梁的内力包络图时，一般现将梁等分为9-12等份。现以图9-12a为 例加以说明，并作出各等分点截面上弯矩和剪力的影响线，然后分别计 算出各等分点截面上的最大（最小）弯矩值和剪力值。 依据计算的结果，按一定的比例，将各截面的最大（最小）弯矩值，剪力值 分别标在图上，并连以曲线，分别为弯矩包络图和剪力包络图，如图912b、c所示。 需要指出的是，上述弯矩包络图和剪力包络图仅考虑移动荷载的作用，结构 设计时，还需将其恒载作用下的内力图与之相叠加。恒载与活载共同作 用下的内力包络图才是结构设计的依据。
确定荷载最不利位置的步骤
1）从荷载中选定一力Fk，使其位于影响线的顶点。 2）当Fk在顶点稍左或稍右时，分别求出ΣFitanαi的数值。如 ΣFitanαi变号（或为零），则此位置即为临界位置。若ΣFitanαi不变号，说明该 位置不是临界位置，可重新选定。 3）找出所有临界位置，并计算出相应的各个影响量值经比较绝对值较大者即为 最大（或最小）影响量值，它所对应的移动荷载位置称为最不利位置。 当影响线为如图9-11所示三角形时，临界位置判别式位置会得到简化。 h h 因 tan , tan
第四节 最不利荷载位置的确定以及最大（最小）影 响量值的计算
一、移动集中荷载 对于移动集中荷载，依据式S=∑Fiyi可知，当∑Fiyi为最大值时，相应的 荷载位置即为S的最不利荷载位置，可以证明，此时必有一集中荷载 位于影响线顶点，通常将该荷载称为临界荷载，用Fk表示。下面分几 种情况进行分析。 1、若有两个移动集中荷载 F 1 、F 2共同作用，最不利荷载位置是其中一 个数值较大的荷载位于影响线最大竖标处，而 把另一个荷载放在影响线的坡度较缓的一边， 如图9-9所示。当二荷载位置位置变换时，则须 分别将二荷载置于影响线顶点，分别计算量值 进行比较方能确定。
i 1 i 1
n
n
（9-3）
例9-3 试用影响线求图9-8a所示外伸梁C截面的 弯矩值。 解 （1）作MC影响线，求各有关y值，如图914b所示。 （2）求MC 由式（9-3）
例9-3
M C Fi yi qA
i 1
n
1 2 1.5 3 (8 1 10 0.5 3 1.5 2 )kN m 6kN m 2
FQC F1 y1 F2 y2 F3 y3 Fi yi
i 1
3
图9-12
一般情况下，结构在一组平行荷载F1、F2、 F3、．．．、Fn共同作用下某量值S的计算式为 n
i 1
S F1 y1 F2 y 2 Fn y n Fi yi
（9-1）
二、均布荷载
F为真实值 荷载位置固定 描绘所有截面弯矩的变化规律
纵距
F=1作用在该点时，指定截面的弯矩
真实的F作用在固定位置时该截面的弯矩值
顶点
发生在与固定截面对应的位置
发生在F作用处对应的位置
第三节 用影响线求影响量值
影响线是研究移动荷载作用下结构计算的基本工具， 应用它可确定一般移动荷载作用下某量的影响 量值，下面我们分别讨论集中荷载和分布荷载 作用对量值的影响。 一、集中荷载作用 设图9-12a所示简支梁，受到一组平行集中荷载F1、 F2、F3的作用，其剪力FQC影响线如图9-12b所 示，设y1、y2、y3代表荷载F1、F2、F3所对应剪 力FQC影响线的竖标，依据影响线的定义和叠加 原理，该组荷载作用时FQC的值为

n m
yqdx q
n m
ydx qA
（9-2）
式中，A表示影响线在均布荷载作用范围内的面积，该面积依据影响线的正负号 取代数值，如图9-7b所示截面C剪力值为 FQC=qA=q(A2-A1) 若梁上有多个集中荷载和均布荷载共同作用时，则对量值的影响为
S Fi yi qi Ai
图9-13
如图9-13a所示，以整梁为研究对象，设相应最大弯矩Mx发生在临界荷载作用的截面 x处，FR代表梁上所有荷载的合力，设其位于FK的右侧a处，此时取a为正值，反之 为负值。由∑MB=0得 F (l x a ) FAy R l
二、简支梁的绝对最大弯矩
如图9-13b所示，以x的左段梁作为研究对象。列平衡方程得