2011年江苏高考信息卷,南师大版

2011年江苏高考信息卷 <数学之友>编写20110513
一．填空题
1.设复数122,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ∙为实数，则x 为 .
2.一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的体积为________. 3．若ββαββαcos )cos(sin )sin(---＝m ，且α是第三象限角，则sin α＝ .
10.直线x +a y +1=0与直线(a +1)x -by +3=0互相垂直，a ,b ∈R ，且ab ≠0,则|ab |的最小值 是 . 11.函数()2
3
12
3
x
x
f x x =++
+
的零点的个数是 .
12．已知)2()2(,)(x f x f x f -=+且为偶函数，x
x f x 2
)(,02=≤≤-时当，
*
,2)(N n x f x
∈=若，==2008),(a n f a n 则 .
13.设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）的离心率e
2
的概率为 ．
14.若数列{n a }满足d a a n n =-+2
2
1（其中d 是常数，∈n N ﹡），则称数列{n a }是“等方差数列”. 已知数列{n b }是公差为m 的差数列，则m =0是“数列{n b }是等方差数列”的 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个） 二．解答题
15．高三年级有500名学生，
现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？
（2）根据题中信息估计总体平均数是多少？ （3）估计总体落在［129，150］中的概率.
16. 已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2） 证明：函数()f x 的图像关于直线8
πx =-对称.
17.已知：矩形A E F D 的两条对角线相交于点()2,0M ,A E 边所在直线的方程为：
360x y --=，点()1,1T -在A D 边所在直线上.
（1）求矩形A E F D 外接圆P 的方程。

(2)A B C ∆是P 的内接三角形，其重心G 的坐标是()1,1,求直线B C 的方程 .
18. 如图，海岸线M A N ，2,A θ∠=现用长为l 的
拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈． (1)若B C l =,求养殖场面积最大值；
(2)若B 、C 为定点，B C l <，在折线M B C N 内选点D ， 使B D D C l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．
19．已知各项均为正数的数列}{n a 满足2
12
101,2
1--+
==
n n n
a n
a •a
•a 其中n =1，
2，3，…. （1）求21a a 和的值； （2）求证：
2
1111n
a a n
n <
-
-；
（3）求证：n a n n n <<++2
1.
20.已知函数()a ax x x x f -+-=
2
33
1 (a ∈R )．
(1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．
参 考 答 案
1.4.提示：()1222(4)z z x x i R ∙=++-∈ ∴4x =。

2.π3
28.提示：画出简图可知，由222
d r R +=得球的半径为，利用球的体积公式得
3
V =。

3．－2
1m -.提示：依题意得m -=αcos ，α是第三象限角，sinα＜０，故sinα＝－2
1m
-．
4.63.提示：对于图中程序运作后可知，所求的y 是一个“累加的运算”即第一步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31，第五步是63.
5. 3提示：由图可知：P （2，2）到直线4x+3y+1=0的距离的最大，由点到直线的距离公式 可计算出，应填3。

6. 0x ±
=。

提示：对于双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的一个焦点到一条渐近
线的距离因为b ，而
124
b c
=
，因此 1,,2
2
b c a c =
=
=
b ∴=
0x ±=.
9.
10.2．提示:由题意b
a k a
k 1,12
22
1+=
-=∵两直线互相垂直,∴121-=⋅k k ,即
11122-=+⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-b a a , ∴221a b a =+,则2
2
1a b a +=, ∴2
11||||2||||a ab a a a +==+≥. ∴ab 的最小值为2.
11.1．提示：对于()2
2
131(02
4
f x x x x '=++=+
+
>，因此函数()f
x 在R 上单调递增，
而对于523(2)0,(2)03
3
f f -=-
<=
>，因此其零点的个数为1个.
12.1.提示: 由题意可知)(x f 为周期函数，周期为4，1)0()4()2008(2008====f f f a 则。

13．
116。

提示：属几何概型的概率问题，D 的测度为4；2e <
，则112
b a
<
<，
(](]0101a b ∈∈,,,，则d 的测度为14
，∴116
d P D =
=
的测度的测度
．
14. 充分必要条件。

提示：一方面，由数列}{n b 是公差为m 的等差数列及m =0得1b b n =，02
2
1=-+n n b b ，数
列}{n b 是等方差数列；
另一方面，由数列}{n b 是公差为m 的等差数列及数列}{n b 是等差数列得
m b m n b nm b b b n n 12
12
12
2
12])1([)(=-+-+=-+d m n =-+2
)12(对任意的∈n N *
都成立，令n =1与n =2分别得d m
m b =+2
12，d m
m b =+2
132，两式相减得m =0. 综
上所述，m =0是数列}{n b 是等方差数列的充分必要条件.
15.解：设抽取的样本为x 名学生的成绩，则由第四行中可知120.3x
=
，所以x ＝40.∴
④40 ③处填0.1，②0.025， ①1。

(2) 利用组中值估计平均数为
=90⨯0.025+100⨯0.05+110⨯0.2+120⨯0.3+130⨯0.275+140⨯0.1+150⨯0.05=122.5， (3)在［129，150］上的概率为
660.2750.10.050.29210
11
⨯++
⨯≈。

16.解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=-
(1)所以()f x 的最小正周期T π=
因为x R ∈，所以，当224
2
ππx k π-
=+
，即38
πx k π=+
时，()f x 最大值为；
(2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
πx =-
对称，只要证明对任意x R ∈，有
()()8
8
ππf x f x -
-=-
+成立，
因为())]2)28
84
2
ππππf x x x x -
-=-
--=-
-=-，
())]2)28
8
4
2
ππππf x x x x -
+=-+-=-+=-，
所以()()8
8
ππf x f x --=-
+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
πx =-
对称。

17.解：（1）设A 点坐标为(),x y 13
A E K =
且 AE AD ⊥
3AD K ∴=- 又()1,1T -在A D 上
360
1
31
x y y x --=⎧⎪
∴-⎨=-⎪
+⎩ 02x y =⎧∴⎨=-⎩ 即A 点的坐标为()0,2- 又M 点是矩形A E F D 两条对角线的交点 M ∴点()2,0即为矩形A E F D 外接圆的圆
心，其半径r MA ==P 的方程为()2
2
28x y -+=
（2）连A G 延长交B C 于点()0,0N x y ，则N 点是B C 中点,连M N G 是A B C ∆的重心，2AG GN ∴=
()()001,321,1x y ∴=-- 0032
52
x y ⎧=⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩ M 是圆心，N 是B C 中点M N BC ∴⊥, 且 5M N K =- 15
B C K ∴=
5132
52y x ⎛⎫
∴-
=
- ⎪⎝⎭
即直线B C 的方程为5110x y -+= 18. 解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>
2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ
=+-≥-，
2
22
22cos 24sin l
l
xy θθ
≤
=
-，
2
2
2
11
cos sin 22sin cos 2
24sin 4sin l
l S xy θ
θθθθθ
=≤
⋅⋅=， 所以，△ABC 面积的最大值为2
cos 4sin l θθ
，当且仅当x y =时取到．
(2)设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2B C c =(定值) ， 由2D B D C l a +==，a =
1
2
l ，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上，
1sin 22
A B C S m n θ
∆=
为定值．
只需D B C ∆面积最大,需此时点D 到B C 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点．
BC D b S ∆=
=
面积的最大值为
122
c b c ⋅⋅=，
因此,四边形ACDB
面积的最大值为1sin 22
m n c θ⋅⋅+
19．（1）∵2
10=
a ，∴64
57
43(41
4
3,4
3
21(21
22
21=
⨯+
=
=+=
•a •a . （2）∵•
•a n
a a n n n ,012
12
1>=
---∴01>>-n n a a . ∴12
12
12
111----+<+
=n n n n n n a a n a a n
a a ，∴2
1
111n
a a n
n <
-
-.
（3）
2
2120
1
31
211111
1()1
1(
11++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
+-
=--n n n
a a a a a a a a …
n
n n n
n n
1211
1(
)3
121(
)2
11(1)1(1
3
212
11112
-
=--++-+-
+=-+
+⨯+
⨯+
<+
又••a ,2
10=
∴n a n <.
∵12
2
12
2
12
11
)1(111-----+=
∙-+
-<+=n n n n n a n
n n a n n
an a n
a a ，
∴.1
2
2
1n n a n n n
a -+>
-
∴12
2
12
2
12
12
12
11
111-------++
=-+∙+
>+
=n n n n n n n n n a a n n n
a a n n n
a n
a a n
a a .
∴
.1111
11112
2
1•n n
n n n n a a n n +-=+>
-+>--
∴ +-+->-
+-
+-=-
-)4
1
31(3121()1
1
(
11(
)11(
111
3
2
2
1
1
n n n
a a a a a a a a 1121)111(+-=+-n n n
∵4
31=
a ，∴
1
21
1|
11
16
51++=
++<++
<
n n n n a n
，∴2
1++>
n n a n .
综上所述，
.2
1n a n n n <<++
20.解：（1）当3-=a 时，()333
12
3
+--=
x x x x f ，
∴()x f '()()13322+-=--=x x x x .
令()x f '=0, 得 121,3x x =-=.
当1-<x 时,()0'
>x f
, 则()x f 在()1,-∞-上单调递增;
当31<<-x 时,()0'
<x f , 则()x f 在()3,1-上单调递减;
当3>x 时,()0'
>x f
, ()x f 在()+∞,3上单调递增.
∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 3
143313
1=
++--
;
当3=x 时, ()x f 取得极小值为()399273
13+--⨯=
f 6-=.
（2） ∵ ()x f '= a x x +-22，∴△= a 44-= ()a -14 .
① 若a ≥1，则△≤0， ∴()x f '≥0在R 上恒成立，∴ f （x ）在R 上单调递增 . ∵f （0）0<-=a ，()023>=a f ,
∴当a ≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点．
② 若a ＜1，则△＞0，∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x 1，x 2，（x 1<x 2）． ∴x 1+x 2 = 2，x 1x 2 = a ． 当x 变化时，()()x f ,x f
'
的取值情况如下表：
∵0212
1=+-a x x ,∴12
12x x a +-=.
∴()a ax x x x f -+-=12
131131=
12
11213123
1x x ax x x -++-()13
123
1x a x -+=
()[]
233
12
11-+=
a x x .
同理()2x f ()[]
233
12
22-+=
a x x .
∴()()()[]()[]
2323912
22
12121-+⋅-+=
⋅a x a x x x x f x f
()()()()
()
[]2
2
22
12
2121292391-++-+=a x x a x x x x
()()[]()
{
}2
212
212
2922391-+-+-+=a x x x x a a a
(
)
339
42
+-=
a a a .
令f （x 1）·f （x 2）＞0, 解得a ＞0．
而当10<<a 时,()()023,00>=<-=a f a f ,
故当10<<a 时, 函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点.
综上所述，a 的取值范围是()+∞,0．。