高三模拟考试数学试卷(文科)(Word版含解析)

高三模拟考试数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．函数f（ x）=的定义域为()
A ．（﹣∞， 0]B．（﹣∞， 0）C．（ 0，）D．（﹣∞，）
2．复数的共轭复数是 ()
A ．1﹣ 2i B． 1+2i C．﹣ 1+2i D．﹣ 1﹣ 2i
3．已知向量=（λ， 1）， =（λ +2， 1），若 | + |=|﹣ |，则实数λ的值为 ()
A ．1B． 2C．﹣ 1D．﹣ 2
4．设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a4=9， a6=11，则 S9等于 ()
A ．180B． 90C． 72D． 10
5．已知双曲线﹣=1（a＞ 0， b＞ 0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为() A ．y= ±2x B． y= ±x C． y= ± x D． y= ±x
6．下列命题正确的个数是()
A ．“在三角形 ABC 中，若 sinA ＞ sin
B ，则 A ＞ B”的逆命题是真命题；
B．命题 p： x≠2或 y≠3，命题 q： x+y ≠5则 p 是 q 的必要不充分条件；
C．“?x∈R， x3﹣x2+1≤ 0的”否定是“?x∈R，
x3﹣x2+1＞0”；ab
2
a b
D．“若 a＞ b，则 2＞ 2 ﹣ 1”的否命题为“若 a≤b，则≤2﹣ 1”．
A ．1B． 2C． 3D． 4
7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于()
A ．B． 16πC． 8πD．
8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是 ()
A ．5B． 6C． 7D． 8
9．已知函数 f（ x） =+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数 x0，使得曲线 y=f （ x）在
点（ x0， f（ x0））处的切线与直线x+my ﹣10=0 垂直，则实数m 的取值范围是（三分之一前
有一个负号） ()
A ．C． D ．
10．若直线 2ax﹣ by+2=0 （ a＞ 0， b＞ 0）恰好平分圆
22
的x +y +2x ﹣4y+1=0 的面积，则
最小值()
A ．B．C． 2D． 4
11．设不等式组
1，不等式x
22
≤1表示的平面区域为Ω2．若表示的区域为Ω+y
Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则m 等于 ()
A ．﹣B．C．±D．
12．已知函数 f （ x） =sin（ x+）﹣在上有两个零点，则实数m 的取值范围为()
A ．
B ．D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．设函数 f （x） =，则方程f（ x） =的解集为__________ ．
14．现有 10 个数，它们能构成一个以
随机抽取一个数，则它小于8 的概率是1 为首项，﹣ 3 为公比的等比数列，若从这
__________．
10 个数中
15．若点 P（ cos α， sin α）在直线y=﹣ 2x 上，则的值等于__________．
16． 16、如图，在正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D 1中， M 、N 分别是棱 C1D1、 C1C 的中点．以下
四个结论：
①直线 AM 与直线 CC1相交；
②直线 AM 与直线 BN 平行；
③直线 AM 与直线 DD 1异面；
④直线 BN 与直线 MB 1异面．
其中正确结论的序号为__________ ．
（注：把你认为正确的结论序号都填上）
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
222
17．在△ ABC 中，角 A ，B ， C 的对应边分别是 a， b， c 满足 b +c =bc+a ．
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）已知等差数列 {a n} 的公差不为零，若 a1cosA=1 ，且 a2，a4，a8成等比数列，求 {}的前 n 项和 S n．
18．如图，四边形ABCD 为梯形， AB ∥ CD，PD ⊥平面 ABCD ，∠ BAD= ∠ADC=90°，DC=2AB=2a ， DA=，E 为 BC 中点．
（ 1）求证：平面 PBC ⊥平面 PDE ；
（ 2）线段 PC 上是否存在一点 F ，使 PA ∥平面 BDF ？若有， 请找出具体位置， 并进行证明；若无，请分析说明理由．
19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分 “优秀、合格、尚待改进 ”三个等级进行学
生互评．某校 2014-2015 学年高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度
测评结果的影响，采用分层抽样方法从 2014-2015 学年高一年级抽取了
45 名学生的测评结
果，并作出频数统计表如下： 表 1：男生
等级 优秀 合格 尚待改进 频数
15
x 5
表 2：女生
等级
优秀 合格 尚待改进 频数 15
3
y
（1）从表二的非优秀学生中随机选取
2 人交谈，求所选
2 人中恰有 1 人测评等级为合格的
概率；
（2）从表二中统计数据填写下边 2×2 列联表，并判断是否有
90%的把握认为 “测评结果优
秀与性别有关 ”．
男生
女生
总计
优秀 非优秀 总计
参考数据与公式： K 2
=
，其中 n=a+b+c+d ．
临界值表：
P （ K 2
＞ k 0） 0.10
0.05 0.01 k 0
2.706
3.841
6.635
20．已知椭圆 C ：
（ a ＞ b ＞0）的右焦点 F 1 与抛物线 y 2
=4x 的焦点重合，原点到
过点 A （a ， 0），B （ 0，﹣ b ）的直线的距离是 ．
（Ⅰ）求椭圆
C 的方程；
（Ⅱ）设动直线 l=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P ，过 F 1 作 PF 1 的垂线与直线 l 交于
点 Q ，求证：点 Q 在定直线上，并求出定直线的方程．
21．已知函数 f （ x ） =x 2
﹣ ax ﹣ alnx （ a ∈R ）． （1）若函数 f （ x ）在 x=1 处取得极值，求 a 的值．
（2）在（ 1）的条件下，求证： f （ x ） ≥﹣ + ﹣ 4x+
；
（3）当 x ∈
B ．（﹣ ∞， 0）
C ．（ 0， ）
D ．（﹣ ∞， ）
1.考点：函数的定义域及其求法． 专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数 f （ x ）的解析式，列出不等式，求出解集即可．
解答：
解：∵函数 f （x ） =
，
∴ l g （1﹣ 2x ） ≥0，
即 1﹣ 2x ≥1， 解得 x ≤0；
∴ f （x ）的定义域为（﹣ ∞， 0]．故选： A ．
点评：本题考查了根据函数的解析式，求函数定义域的问题，是基础题目．
2．复数
的共轭复数是 (
)
A ．1﹣ 2i
B ． 1+2i
C ．﹣ 1+2i
D ．﹣ 1﹣ 2i
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题：计算题．
分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到 a+bi 的形式，根据复数的共轭复数的特点得到结果．
解答：
解：因为
，
所以其共轭复数为 1+2i ．
故选 B
点评：本题主要考查复数的除法运算以及共轭复数知识， 本题解题的关键是先做出复数的除法运算，得到复数的代数形式的标准形式，本题是一个基础题．
3．已知向量 =（ λ， 1）， =（ λ +2，1），若 | + |=| ﹣ |，则实
数 λ的值为 ( )
A ．1B．2C．﹣ 1D．﹣ 2
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：先根据已知条件得到，带入向量的坐标，然后根据向量坐标求其长度并带入即可．
解答：解：由得：
；
带入向量的坐标便得到：
22
；
|（ 2λ +2， 2） | =|（﹣ 2， 0） |
∴（ 2λ+2）2
+4=4 ；
∴解得λ=﹣ 1．
故选 C．
点评：考查向量坐标的加法与减法运算，根据向量的坐标能求其长度．
4．设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a4=9， a6=11，则 S9等于 ()
A ．180B．90C． 72D． 10
考点：等差数列的前n 项和；等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：由 a4=9， a6=11 利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20 ，代入等差数列的前n 项和公式可求．
解答：解：∵ a4=9 ，a6=11
由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20
故选 B
点评：本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q ，则 a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．
5．已知双曲线﹣=1（a＞ 0， b＞ 0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()
A ． y= ±2x
B ． y= ±x C． y= ± x D． y= ±x
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：运用离心率公式，再由双曲线的
a ，
b ，
c 的关系，可得 a ， b 的关系，再由渐近线方 程即可得到． 解答： 解：由双曲线的离心率为
，
则 e= =
，即 c= a ，
b= =
= a ，
由双曲线的渐近线方程为 y=
x ，
即有 y= x ．
故选 D ．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．
6．下列命题正确的个数是 ( )
A ． “在三角形 ABC 中，若 sinA ＞ sin
B ，则 A ＞ B ”的逆命题是真命题；B ．命题 p ： x ≠2或 y ≠3，命题 q ： x+y ≠5则 p 是 q 的必要不充分条件；
C ． “?x ∈R ， x 3﹣x 2 +1≤ 0的”否定是 “?x ∈R ，
x
3﹣ x 2 +1＞0”；
ab
2 a b
D ． “若 a ＞ b ，则 2 ＞ 2 ﹣ 1”的否命题为 “若 a ≤b，则 ≤2﹣ 1”．
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ． 4 考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑．
分析： A 项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；
B 项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；
C 项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；
D 项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论． 解答：
解：对于 A 项 “在△ ABC 中，若 sinA ＞ sinB ，则 A ＞ B ”的逆命题为 “在 △ABC 中，
若 A ＞B ，则 sinA ＞ sinB ”，
若 A ＞B ，则 a ＞ b ，根据正弦定理可知 sinA ＞sinB ，∴逆命题是真命题，∴ A 正确；
对于 B 项，由 x ≠2，或 y ≠3，得不到 x+y ≠5，比如 x=1 ， y=4， x+y=5 ，∴ p 不是 q 的充分条件；
若 x+y ≠5，则一定有 x ≠2且 y ≠3，即能得到 x ≠2，或 y ≠3，∴ p 是 q 的必要条件；
∴p 是 q 的必要不充分条件，所以 B 正确；
对于 C 项， “?x ∈R ， x 3﹣x 2
+1≤ 0的”否定是 “? x ∈R ， x
3﹣ x 2 +1＞ 0”；所以 C 不对． a
b
a
b
对于 D 项， “若 a ＞b ，则 2 ＞ 2 ﹣1”的否命题为 “若 a ≤b，则 2 ≤2﹣ 1”．所以 D 正确．
故选： C ．
点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．
7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于 ( )
A ．
B ． 16π
C ． 8π
D ．
考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离．
分析： 由三视图知，几何体是一个正三棱柱， 三棱柱的底面是一边长为
2 的正三角形， 侧棱
长是 2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．
解答：
解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为
2 的正三角形，
侧棱长是 2，
如图，设 O 是外接球的球心， O 在底面上的射影是 D ，且 D 是底面三角形的重心，
AD 的
长是底面三角形高的三分之二
∴AD=
× =
，
在直角三角形
OAD
中， AD=
， OD=
=1
∴OA=
=
则这个几何体的外接球的表面积
4π×O A 2
=4π×=
故选： D ．
点评： 本题考查由三视图求几何体的表面积， 本题是一个基础题， 题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．
8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 M 的值是 ( )
A ．5
B ． 6C． 7D． 8
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出S 计算了 5 次，从而得出整数M 的值．解答：解：根据题意，模拟程序框图运行过程，计算
S=2×1+1 ，2×3+1 ， 2×7+1 ， 2×15+1 ， 2×31+1，⋯；
当输出的 S 是 63 时，程序运行了 5 次，
∴判断框中的整数M=6 ．
故选： B．
点评：本题考查了程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．
9．已知函数 f（ x） =+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数 x0，使得曲线 y=f （ x）在
点（ x0， f（ x0））处的切线与直线x+my ﹣10=0 垂直，则实数 m 的取值范围是（三分之一前
有一个负号） ()
A ．C．D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：导数的概念及应用；直线与圆．
分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为﹣1，得到 4x0﹣2
x0 +2=m，再由二次函数求出最值即可．
解答：解：函数 f（ x）=﹣
2
+2x 的导数为 f ′（ x） =﹣ x +4x+2 ．
曲线 f（ x）在点（ x0， f（ x0））处的切线斜率为4x0﹣ x02
+2，
由于切线垂直于直线
2 x+my ﹣ 10=0，则有 4x0﹣ x0 +2=m ，
由于 0≤x﹣ x2﹣ 2）
2
0≤3，由4x00 +2=﹣（x0+6，对称轴为x0=2，
当且仅当x0=2，取得最大值6；
当x0=0 时，取得最小值 2．故
m 的取值范围是．
故选： C ．
点评： 本题考查导数的几何意义： 曲线在某点处的切线的斜率， 考查两直线垂直的条件和二次函数最值的求法，属于中档题．
10．若直线 2ax ﹣ by+2=0 （ a ＞ 0， b ＞ 0）恰好平分圆
2 2
﹣4y+1=0 的面积，则
的
x +y +2x
最小值(
)
A ．
B ．
C ．2
D ．4
考点：直线与圆的位置关系；基本不等式． 专题：计算题；直线与圆．
分析：根据题意，直线 2ax ﹣by+2=0 经过已知圆的圆心，可得
a+b=1，由此代换得：
=
（a+b ）（
）=2+ （ +
），再结合基本不等式求最值，可得
的最小值．
解答：
解：∵直线 2ax ﹣ by+2=0 （ a ＞ 0， b ＞ 0）恰好平分圆 2
2
x +y +2x ﹣4y+1=0 的面积，
∴圆 x 2
+y 2 +2x ﹣ 4y+1=0 的圆心（﹣ 1， 2）在直线上，可得﹣ 2a ﹣ 2b+2=0 ，即 a+b=1 因此，
=（a+b ）（ ）=2+ （ + ）
∵ a ＞ 0， b ＞ 0，
∴ + ≥2
=2，当且仅当 a=b 时等号成立
由此可得
的最小值为 2+2=4
故答案为： D
点评： 本题给出直线平分圆面积， 求与之有关的一个最小值． 着重考查了利用基本不等式求最值和直线与圆位置关系等知识，属于中档题．
11．设不等式组
1，不等式 x 2 2
≤1表示的平面区域为 Ω2．若
表示的区域为 Ω +y
Ω1 与 Ω2 有且只有一个公共点，则 m 等于 (
)
A ．﹣
B ．
C ． ±
D ．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用 Ω1 与 Ω2 有且只有一个公共点，确定直线的位
置即可得到结论 解答：
解：（ 1）作出不等式组对应的平面区域，若
Ω1 与 Ω2 有且只有一个公共点，
则圆心 O 到直线 mx+y+2=0 的距离 d=1，
即
d=
=1，即
m 2=3，
解得 m=．
故选： C．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．
12．已知函数 f （ x） =sin（ x+）﹣在上有两个零点，则实数m 的取值范围为() A．B．D．
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由 f （ x） =0 得 sin（ x+）=，然后求出函数y=sin （ x+）在上的图象，利用数
形结合即可得到结论．
解答：解：由 f（ x） =0 得 sin（ x+）=，
作出函数y=g（ x） =sin（ x+）在上的图象，如图：
由图象可知当x=0 时， g（ 0）=sin=，
函数 g（ x）的最大值为1，
∴要使 f（ x）在上有两个零点，
则，即，
故选： B
点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用三角函数的图象是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．设函数 f（ x）=，则方程f（ x）=的解集为{﹣1，} ．
考点：函数的零点．
专题：函数的性质及应用．
分析：结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．
解答：解：若 x≤0，由 f（ x）=得f（x）=2x
==2﹣
1
，解得 x=﹣ 1．
若x＞ 0，由 f （x） = 得 f（ x） =|log2x|= ，即 log2x= ±，
由 log2x= ，解得 x=．
由 log2x= ﹣，解得 x== ．
故方程的解集为 { ﹣ 1，} ．
故答案为： { ﹣ 1，} ．
点评：本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是解决本题的关键．
14．现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，﹣ 3 为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是．
考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．
专题：等差数列与等比数列；概率与统计．
分析：先由题意写出成等比数列的 10 个数为，然后找出小于 8 的项的个数，代入古典概论的计算
公式即可求解
解答：解：由题意成等比数列的
239 10 个数为： 1，﹣ 3，（﹣ 3），（﹣ 3）⋯（﹣ 3）
其中小于8 的项有： 1，﹣ 3，（﹣ 3）3
，（﹣ 3）
5
，（﹣ 3）
7
，（﹣ 3）
9
共 6 个数
这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 P=
故答案为：
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题
15．若点 P（ cos α， sin α）在直线y=﹣ 2x 上，则的值等于﹣．
考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：把点 P 代入直线方程求得 tan α的值，原式利用诱导公式化简后，再利用万能公式化
简，把 tan α的值代入即可．
解答：解：∵点 P（ cosα， sin α）在直线y=﹣ 2x 上，
∴s in α=﹣ 2cosα，即 tan α=﹣2，
则 cos（ 2α+）=sin2α===﹣．
故答案为：﹣
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．
16． 16、如图，在正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D 1中， M 、N 分别是棱 C1D1、 C1C 的中点．以下四个结论：
①直线 AM 与直线 CC1相交；
②直线 AM 与直线 BN 平行；
③直线 AM 与直线 DD 1异面；
④直线 BN 与直线 MB 1异面．
其中正确结论的序号为③④．
（注：把你认为正确的结论序号都填上）
考点：棱柱的结构特征；异面直线的判定．
专题：计算题；压轴题．
分析：利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，② 要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面关系，得到结论．
解答：解：∵直线 CC1在平面 CC1D1D 上，
而M ∈平面 CC1D1D， A ?平面 CC1D1D，
∴直线 AM 与直线 CC1异面，故①不正确，∵
直线 AM 与直线 BN 异面，故②不正确，
∵直线 AM 与直线 DD 1既不相交又不平行，
∴直线 AM 与直线 DD 1异面，故③正确，
利用①的方法验证直线 BN 与直线 MB 1异面，故④正确，总
上可知有两个命题是正确的，
故答案为：③④
点评：本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交或平行，注意判断经常出错的一个说法，两条直线没有交点，则这两条直线平行，这种说法是错误的．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在△ ABC 中，角 A ，B ， C 的对应边分别是
222 a， b， c 满足 b +c =bc+a ．
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）已知等差数列 {a n} 的公差不为零，若 a1cosA=1 ，且 a2，a4，a8成等比数列，求 {}的前 n 项和 S n．
考点：数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以 cosA=，由此能求出 A=．
（Ⅱ）由已知条件推导出（a1211
+7d），且 d≠0，由此能求出n
，从而得
+3d） =（ a +d）（ a a =2n 以==，进而能求出 {} 的前 n 项和 S n．
解答：
222解：（Ⅰ）∵ b +c﹣ a =bc，
∴=，
∴c osA= ，
∵A ∈（0，π），∴ A=．
（Ⅱ）设 {a n} 的公差为d，
∵a1cosA=1 ，且 a2， a4， a8成等比数列，∴a1==2，且=a2?a8，
∴（ a1+3d）2
=（ a1+d）（ a1+7d），且 d≠0，解得 d=2 ，
∴a n=2n ，
∴==，
∴S n=（ 1﹣）+（） +（） +⋯+（）
=1﹣=．
点评：本题考查角的大小的求法，考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
18．如图，四边形ABCD 为梯形， AB ∥ CD，PD ⊥平面 ABCD ，∠ BAD= ∠ADC=90°，
DC=2AB=2a ， DA=，E为BC中点．
（1）求证：平面 PBC⊥平面 PDE；
（2）线段 PC 上是否存在一点 F，使 PA∥平面 BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（ 1）连接 BD ，便可得到 BD=DC ，而 E 又是 BC 中点，从而得到 BC ⊥DE，而由 PD⊥平面 ABCD 便可得到 BC ⊥PD，从而得出 BC ⊥平面 PDE ，根据面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面 PDE；
（2）连接AC ，交BD于 O，根据相似三角形的比例关系即可得到AO=，从而在PC 上找 F，使得PF=，连接OF，从而可说明PA∥平面BDF ，这样即找到了满足条件的 F 点．解答：解：（ 1）证明：连结BD ，∠ BAD=90°，；
∴B D=DC=2a ， E 为 BC 中点，∴ BC ⊥DE；
又 PD⊥平面 ABCD ， BC ? 平面 ABCD ；
∴BC ⊥ PD， DE∩PD=D ；
∴BC ⊥平面 PDE；
∵BC ? 平面 PBC；
∴平面 PBC⊥平面 PDE；
（ 2）如上图，连结 AC ，交 BD 于 O 点，则： △AOB ∽△ COD ；
∵DC=2AB ；
∴
；
∴
；
∴在 PC 上取 F ，使 ；
连接 OF ，则 OF ∥ PA ，而 OF? 平面 BDF ，PA? 平面 BDF ； ∴PA ∥平面 BDF ．
点评： 考查直角三角形边的关系，等腰三角形中线也是高线， 以及线面垂直的性质，线面垂
直的判定定理，相似三角形边的比例关系，线面平行的判定定理．
19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分 “优秀、合格、尚待改进 ”三个等级进行学 生互评．某校 2014-2015 学年高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度 测评结果的影响，采用分层抽样方法从 2014-2015 学年高一年级抽取了 45 名学生的测评结
果，并作出频数统计表如下： 表 1：男生
等级 优秀 合格 尚待改进 频数
15
x 5
表 2：女生
等级
优秀 合格 尚待改进 频数 15
3
y
（1）从表二的非优秀学生中随机选取
2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的
概率；
（2）从表二中统计数据填写下边 2×2 列联表，并判断是否有
90%的把握认为 “测评结果优
秀与性别有关 ”．
男生
女生
总计
优秀 非优秀 总计
参考数据与公式： K 2
=
，其中 n=a+b+c+d ．
临界值表：
P （ K 2
＞ k 0） 0.10
0.05 0.01 k 0
2.706
3.841
6.635
考点：独立性检验． 专题：概率与统计．
分析：（ 1）根据分层抽样，求出 x 与 y ，得到表 2 中非优秀学生共 5 人，从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果共
10 种，其中恰有 1 人测评等级为合格的情况共
6 种，所以概率为
；
（2）根据 1﹣ 0.9=0.1 ， P （ K 2
≥ 2.706） =
= =1.125 ＜ 2.706，判断
出没有 90%的把握认为 “测评结果优秀与性别有关
”．
解答：
解：（ 1）设从 2014-2015 学年高一年级男生中抽出 m 人，则 = ，m=25
∴ x =25 ﹣ 15﹣ 5=5 ， y=20 ﹣ 18=2
表 2 中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为 a ，b ，c ，尚待改进的
2 人为
则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为
A ，
B ，
（a ， b ），（a ， c ），（ a ，A ），（a ， B ），（ b ， c ），（ b ， A ），（ b ，B ），（c ， A ），（ c ， B ），（ A ，
B ）共 10 种，
记事件 C 表示 “从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人，恰有 1 人测评等级为合格 ”
则 C 的结果为：（a ， A ），（ a ， B ），（ b ，A ），（b ， B ），（ c ， A ），（ c ，B ），共 6 种，∴P （ C ） = = ，故所求概率为 ；
（ 2）
男生 女生总计
优秀 15 15 30
非优秀 10 5
15
总计
25 20 45
∵1﹣ 0.9=0.1 ， P （ K 2
≥ 2.706） =
= =1.125 ＜2.706
∴没有 90%的把握认为 “测评结果优秀与性别有关
”．
点评：本题考查了古典概率模型的概率公式，独立性检验，属于中档题．
20．已知椭圆 C ：
（ a ＞ b ＞0）的右焦点 F 1 与抛物线 y 2
=4x 的焦点重合，原点到
过点 A （a ， 0），B （ 0，﹣ b ）的直线的距离是 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设动直线 l=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P ，过 F 1 作 PF 1 的垂线与直线 l 交于
点 Q ，求证：点 Q 在定直线上，并求出定直线的方程．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
2 2
分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求得
c=1，结合隐含条件得到 a =b +1，再由点到直线的距 离公式得到关于 a ， b 的另一关系式，联立方程组求得 a ， b 的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去
2 2 2
y 得到（ 4k +3） x +8kmx+4m ﹣ 12=0 ，由判别式等
于 0 整理得到 2
2
2
2 2
求得 P 的坐标，然后写出
4k ﹣ m +3=0，代入（ 4k +3）x +8kmx+4m ﹣ 12=0
直线 F1Q 方程为，联立方程组，求得 x=4 ，即说明
点 Q 在定直线 x=4 上．
解答：（Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1， 0），得 c=1，
22
① ，
因此 a =b +1
直线 AB：，即 bx﹣ ay﹣ ab=0．
∴原点 O 到直线 AB 的距离为② ，
联立①②
22
，解得： a =4， b =3，
∴椭圆 C 的方程为；
（Ⅱ）由，得方程（ 4k 2
+3） x2+8kmx+4m
2
﹣ 12=0，（ *）
由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k 2222
m ﹣ 4（ 4k+3 ）（ 4m﹣ 12） =0，
整理得： 4k 2
﹣ m
2
+3=0 ，
2222
222
将 4k +3=m，即 m ﹣ 3=4k代入（ * ）式，得 m x +8kmx+16k=0，
即（ mx+4k ）2
，=0，解得
∴，
又 F1（ 1， 0），∴，则，
∴直线 F1Q 方程为，
联立方程组，得 x=4 ，
∴点 Q 在定直线 x=4 上．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题．
21．已知函数 f （ x） =x 2
﹣ ax﹣ alnx（ a∈R）．
（1）若函数 f（ x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值．
（2）在（ 1）的条件下，求证： f （ x）≥﹣+﹣ 4x+；（3）当 x∈
解答：（1）解：，由题意可得 f ′（ 1） =0，解得a=1；
经检验， a=1 时（2）证明：由（f （ x）在 x=1 处取得极值，所以
1）知， f（ x） =x2﹣ x﹣ lnx ．
a=1．
令，
由，
可知g（ x）在（0，1）上是减函数，在（1， +∞）上是增函数，
所以g（ x）≥g（ 1） =0 ，所以成立；
（3）解：由x∈=8×=4．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．
24．已知函数 f （ x） =|2x﹣ a|+a．
（1）若不等式 f（ x）≤6的解集为（2）在（ 1）的条件下，若存在实数{x| ﹣ 2≤x≤3}，求实数a的值；
n 使 f（ n）≤m﹣f（﹣ n）成立，求实数m 的取值范围．
考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．
专题：计算题；压轴题．
分析：（ 1）由 |2x﹣ a|+a ≤6得 |2x﹣ a| ≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，
结合条件得出 a 值；
（2）由（ 1）知 f（ x） =|2x﹣ 1|+1，令φ（ n） =f （ n） +f （﹣ n），化简φ（ n）的解析式，若存在实数 n 使 f （ n）≤m﹣ f （﹣ n）成立，只须 m 大于等于φ（ n）的最大值即可，从而求
出实数 m 的取值范围．
解答：解：（ 1）由 |2x﹣ a|+a ≤6得|2x﹣ a| ≤6﹣a，
∴a﹣ 6≤2x﹣ a≤6﹣ a，即 a﹣ 3≤x≤3，
∴a﹣ 3=﹣ 2，
∴a=1．
（2）由（ 1）知 f（ x） =|2x﹣ 1|+1，令φ（ n） =f （ n）+f （﹣ n），
则φ（ n） =|2n﹣ 1|+|2n+1|+2=
∴φ（n）的最小值为4，故实数 m 的取值范围是 [4， +∞）．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，
表达式是解题的关键．
利用分段函数化简函数。